KỲ VỌNG của BIẾN NGẪU NHIÊN

Kho ti liu phớ ca Ket-noi.com Trờng đại học vinh Khoa toán === === lê thị phơng kú väng cđa biÕn ngÉu nhiªn khãa ln tèt nghiƯp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Vinh, 2009 =  = LỜI NÓI ĐẦU Hàm phân phối đại lượng ngẫu nhiên X cho ta lượng thông tin tương đối đầy đủ để khảo sát thân X Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com Tuy nhiên việc biết toàn phân phối đại lượng ngẫu nhiên khó gặp thực tế Vì cần phải tìm số đặc trưng phân phối để qua nhận biết số tính chất cần thiết phân phối Do vËy c¸c đặc trng phân phối cho ta lợng thông tin đại lợng ngẫu nhiên tơng ứng Các đặc trưng thường sử dụng lý thuyết xác suất thống kê toán học kỳ vọng tốn học, phương sai, mơment, median,… Trong khố luận nghiên cứu tính chất kỳ vọng tốn hc Khoá luận gồm hai phần Phần I: trình bày kiến thức sở cần thiết cho việc trình bày phần II Phần II: trình bày nội dung khoá luận Định nghĩa tính chất kỳ vọng biến ngẫu nhiên Trình bày chứng minh cụ thể số mệnh đề kỳ vọng Khoá luận đợc thực hoàn thành trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng góp ý tạo điều kiện giúp đỡ thầy, cô giáo tổ xác suất thống kê toán ứng dụng khoa Toán Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Văn Quảng, thầy cô giáo khoa toán bạn bè đà giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận Vì lực thời gian hạn hẹp khoá luận tránh khỏi thiếu sót Rất mong quý thầy, cô giáo bạn bè góp ý giúp đỡ Tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng năm 2009 Tác giả Phần I : KIN THC CHUN B 1.1 Biến ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F) không gian đo cho, ¡ = [-∞; +∞] 1.1.1 Định nghĩa Hàm thực X = X(ω) xác định Ω lấy giá trị ¡ hàm F-đo biến ngẫu nhiên suy rộng gọi Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com {ω: X(ω) ∈ B} = X (B) ∈ F , với B ∈ B( ¡ ) (Ở B( ¡ ) σ - đại số tập Borel trục thực ¡ ) Thêm vào đó, X: Ω → ¡ = (-∞, +) thỡ X đợc gọi bin ngu nhiờn 1.1.2 Định lý Giả sử X: Ă Khi mệnh đề sau tơng đơng a X biÕn ngÉu nhiªn b {ω : X(ω) < x } ∈ F víi mäi x ∈ ¡ c {ω : X(ω) ≤ x }∈ F víi mäi x ∈ ¡ d {ω : a ≤ X(ω) ≤ b}∈ F víi a < b bÊt kú 1.1.3 Hàm Borel Hàm ϕ: ( ¡ n , B( ¡ n )) → ( ¡ , B ( ¡ )) gọi hàm Borel, B( ¡ n )- đo được, nghĩa ϕ (B) ∈ B( ¡ n ) với B ∈ B ( ¡ ) Nhận xét Từ định nghĩa suy ra, ϕ : ¡ n → ¡ hàm liên tục ϕ cịng hàm Borel Đặc biệt hàm (x, y)  x + y; (x, y)  xy; (x, y)  x ∨ y = max (x, y); (x, y)  x ∧ y = (x, y) hàm Borel biến 1.1.4 Định lý Giả sử X1, …, Xn biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F ) ϕ (t1,…, tn) hàm Borel giá trị thực Khi Y = ϕ(X1, …, Xn) biến ngẫu nhiên Hệ Giả sử X, Y l cỏc bin ngu nhiờn xác định (, F), a∈ ¡ + − Khi ®ã, aΧ , Χ ∧ Y , Χ + = Χ ∨ , Χ − = (- Χ ) ∨ , Χ = Χ + Χ biến ngẫu nhiên Đặc biệt Y khơng triệt tiêu X/Y biến ngẫu nhiên 1.1.5 Định lý Giả sử (Xn, n 1) l dóy bin ngu nhiờn xác định trªn (Ω, F) Χ n Χ n , inf n hữu hạn Khi đó, sup n , inf Χ n , lim sup Χ n , lim inf sup n n n n n n Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com biến ngẫu nhiên Đặc biệt lim Χ n = Χ , Χ hữu hạn Χ biến ngẫu nhiên 1.1.6 Cấu trúc biến ngẫu nhiên Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F) đó, a) Tồn dãy biến ngẫu nhiên rời rạc hội tụ đến X b) Nếu X ≥ tồn dãy biến ngẫu nhiên đơn giản (X ) cho X ↑ X 1.1.7 Ph©n phối xác suất biến ngẫu nhiên Giả sử (, F, P) không gian xác suất, X : Ω Ă biến ngẫu nhiên Khi đó, hàm tập P Χ : B ( ¡ )→ ¡ B a P Χ ( Β ) = P ( Χ −1 ()) đợc gọi phân phối xác suất X Tính chất +/ P độ đo xác suất B ( Ă ) +/ Nếu Q độ đo xác suất B ( Ă ) Q phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X 1.1.8 Hàm phân phối xác suất Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (, F, P) Khi đó, hàm số F ( x) = P [ Χ < x ] , x∈ ¡ đợc gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X Nhận xét Theo định nghĩa, hàm phân phối X thu hẹp độ đo xác suất PX lớp khoảng (- ; x), x Ă Từ hàm phân phối F ( x) F ( x) có tính chất sau: +) F(x) đơn ®iƯu: x≤ y ⇒ F(x)≤ F(y) +) F(x) liªn tơc trái, có giới hạn điểm +) F(x) F ( x) = ; F (+∞) := lim F ( x) = +) F(-∞):= xlim x + 1.1.9 Các loại biến ngẫu nhiên a) Biến ngẫu nhiên rời rạc Một biến ngẫu nhiên gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận số hữu hạn đếm đợc giá trị Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, tập hợp tất c¸c Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com gi¸ trị có đợc liệt kê dÃy hữu hạn hay vô hạn x1 , x2 , , xn , TËp tÊt c¶ giá trị có biến ngẫu nhiên X đợc kí hiệu X( ) Bảng phân phối Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1 , x2 , , xn , với xác suất tơng ứng P ( = xi ) = pi (i = 1, 2, , n, ) Khi bảng phân phối X cã d¹ng X P … … x1 x2 p1 p2 (chó ý ∑p i i xn pn … … =1) b) BiÕn ngÉu nhiªn liªn tơc BiÕn ngÉu nhiªn X đợc gọi biến ngẫu nhiên liên tục hàm phân phối F(x) hàm liên tục tồn hàm số p(x) cho +) p(x) x +) F(x) = ∫ p(t )dt −∞ < x < + Hàm số p(x) nêu đợc gọi hàm mật độ xác suất X TÝnh chÊt b +) P (a < Χ < b) = ∫ p( x)dx víi - ∞ ≤ a < b ≤ + ∞ a +∞ +) ∫ p( x)dx = −∞ +) p( x) = F ' ( x) điểm x mà p(x) liên tục 1.2 Tính độc lập Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất cố định 1.2.1 Định nghĩa Họ hữu hạn {Fi, i ∈ I} σ-đại số F gọi độc lập Ai ∈ Fi (i∈I) P( Ai) = P(Ai) Họ vô hạn {Fi , i ∈ I} σ-đại số F gọi độc lập họ hữu hạn độc lập Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com Họ biến ngẫu nhiên { Χ i , i ∈ I} gọi độc lập họ σ-đại số sinh chúng {F ( Χ i ), i ∈ I} độc lập Họ biến cố {Ai, i ∈ I} ⊂ F gọi độc lập họ biến ngẫu nhiên { Ι Α , i ∈ I} độc lập i 1.2.2 Định lý Giả sử {Ci , i ∈ I} họ tuỳ ý lớp F có tính chất sau a) Mỗi lớp Ci đóng phép giao b) Họ {Ci , i ∈ I} độc lập theo nghĩa J ⊂ I hữu hạn C ∈ C ta có ( j ∈ J bÊt kú) P (C) = P (C) Khi đó, họ {σ(Ci), i∈ I} cịng độc lập PhÇn II: KỲ VỌNG cđa biÕn ngÉu nhiªn Định nghĩa tính chất 1.1 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, X: Ω → ¡ biến ngẫu nhiên (bnn) Kỳ vọng bnn X số, ký hiệu EX xác định công thức ΕΧ =XdP Chú ý Kỳ vọng X tồn khơng tồn Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X tồn tích phân vế phải công thức tồn 1.2 Lược đồ xây dựng kỳ vọng * Nếu X biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng n X= ∑ i =1 Ι Αi n EX : = ∑ i =1 aiP(Ai) KÝ hiƯu L lµ tập hợp tất biến ngẫu nhiên đơn giản xác định (Ω, F, P) * Nếu X biến ngẫu nhiên khơng âm X giới hạn dãy tăng biến ngẫu nhiên đơn giản (Xn, n ≥ 1) Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com n.2n k −1  k −1 k  Ι  n ≤ Χ < n ÷+ n.Ι ( Χ ≥ n) n   k =1 Χn = ∑ Khi EX : = nlim → ∞ EXn KÝ hiƯu L+ lµ tập biến ngẫu nhiên X giới hạn dãy tăng biến ngẫu nhiờn n gin khụng õm (Xn) Để chứng tỏ định nghĩa EX cho X L+ công thức đắn ta chứng minh bổ đề sau: Bỉ ®Ị Giả sử ≤ Xn↑X, ≤ Yn ↑X (Xn), (Yn) ∈ L Khi lim EXn = lim EYn n n Chứng minh Thật vậy, cố định m Do tính liên tục hàm số (x, y)  inf (x,y) nên lim ↑ inf (Xn, Ym) = inf(X, Ym) = Ym n Từ ta có lim EXn ≥ lim E[inf(Xn, Ym)] = EYm n n lim EYm Cho m → ∞ ta có lim m n EXn ≥ Đổi vai trò ( Χ n ) ( Ym ) ta có lim EYn ≥ lim EXm n m * Nếu X biến ngẫu nhiên X = X+ - Χ − Trong X+ = max ( X, 0) ≥ 0, Χ − = max ( −Χ , 0) ≥ Khi ΕΧ : = ΕΧ + - ΕΧ − (nếu có nghĩa) 1.3 Ý nghĩa cña kú väng Kỳ vọng biÕn ngẫu nhiên giá trị trung bình theo xác suất đ¹i lượng ngẫu nhiên Trong trường hợp X nhận c¸c giá trị với xác suất kỳ vọng trung bình cộng X Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com Đối với hệ học kỳ vọng trọng tâm hệ 1.4 Ví dụ 1) Lấy A ∈ F, X = Ι Α Khi EX = P(A) Thật Do X = Ι Α = Ι Α + Ι Α suy EX = P(A) + P( Α ) = P(A) 2) Tung đồng xu cân đối, đồng chất, gọi X số mặt sấp xuất Tính EX Giải Ta có Ω = {(S, S), (N, N), (S, N), (N, S)} X: Ω → ¡ xác định X(S,S) = 2; X(N,S) = 1; X(S,N) = 1; X(N,N)= 0; suy EX =XdP = P ((N,N)) + 1.P((S,N) ;(N,S)) + 2.P ((S,S)) = 1 + = 3) Cho ΕΧ = , Ε Χ = T×m Ε [max( Χ, )]; Ε [min( Χ, )] Giải Đặt + = max( , ), Χ − = max( −Χ, ) = − min( Χ, ), suy ΕΧ + = Ε [max( Χ, )], ΕΧ − = Ε [ − min( Χ, )] = −Ε [min( Χ, )], suy Ε [min( Χ, )]= −ΕΧ − + − Ta cã Χ + ≥ 0, Χ − ≥ vµ Χ = Χ + − Χ − ; Χ = Χ + Χ Suy ΕΧ = Ε(Χ + − Χ − ) = ΕΧ + − ΕΧ − , Ε Χ = Ε( Χ + + Χ − ) = ΕΧ + + ΕΧ − ΕΧ + − ΕΧ − =  Mµ ΕΧ = 0, Ε Χ = suy  suy  ΕΧ + + ΕΧ − =  2 VËy Ε [max( Χ, )]= , Ε [min( Χ, )] = − 1.5 Tính chất 1) E(.) phiếm hàm tuyến tính L 2) NÕu X ≥ EX ≥ 3) NÕu X ≤ Y EX ≤ EY Do ΕΧ ≤ Ε Χ  + ΕΧ =  ΕΧ − =  Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com Chøng minh Nếu = Y = + bất đẳng thức đầu hiển nhiên Nếu > ΕΧ − < +∞ Do Χ ≤ Y nªn Χ + ≤ Y + , Χ − ≥ Y − Tõ ®ã ΕY + − ΕY − ≥ + Tơng tự Y < + Bất đẳng thức Χ suy tõ − Χ ≤ Χ ≤ Χ vµ tính đơn điệu kỳ vọng 4) Nu Xn X ( tương ứng Xn↓X ) EXn↑ EX (tương ứng EXn ↓ EX) Chứng minh * Trong L10 : Giả sử Xn ↓ Đặt C = max X1(ω) Khi đó, với ε > 0, ≤ Xn ≤ C.I[ Χ n > ε ] + ε ω Do đó, ≤ EXn ≤ C P[Xn > ε] + ε Cho n → ∞ với lưu ý [Xn > ε] ↓ φ, ta có ≤ lim n EXn ≤ ε Vậy lim n EXn = (vì ε nhỏ tuỳ ý) Do trên, Xn↑X ( tương ứng ↓) X-Xn ↓ (tương ứng Xn-X ↓ 0) EX - E Χ n = E(X-Xn) ↓ (tương ứng EXn - EX ↓ 0) * Trong L+ : V× Xn ∈ L+ nên có dãy ( Χ n ) m≥1 ⊂ L không âm, tăng theo m m ) lim ↑ X (m = Xn , (n≥1) n m ) Đặt Ym = sup X (m n , m ≥ Ta có, n≤ m ) ( m +1) ( m +1) Χ (nm ) ≤ Ym = sup X (m ≤ sup X n ≤ nsup X n = Ym+1 ≤ nsup Xn = Xm+1, n ≤ m n n≤ m n≤ m ≤m +1 ≤m +1 ) Vậy X (m n ≤ m, n ≤ Ym ≤ Xm , Ym ≤ Ym+1, ) E(X (m n ≤ m n ) ≤ E(Ym) ≤ E(Xm), E(Ym) ≤ E(Ym+1), Cho m → ∞, sau cho n → ∞ ta có lim ↑ Ym X = lim n ↑ Xn = m Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com lim lim n ↑ EXn = m ↑ EYm = EX * Đối với biến ngẫu nhiên bÊt kỳ, ta biểu diễn dạng Xn = Xn+- Xn- với Xn+, Xn- ∈ L+ 5) Nếu X = C (hằng số) EX = C 6) Nếu tồn EX với C ∈ R ta có E(CX) = C EX Chứng minh Nếu C ≥ Χ ≥ tồn ( Χ n ) ⊂ L, ΕΧ n = CΕΧ Ε(C Χ n ) = C lim ≤ Χ n ↑ Χ suy ≤ CΧ n ↑ CΧ Ε(C Χ) = lim n n Với X nửa khả tích, chẳng hạn ΕΧ + < ∞ C ≥ , ta có: (C Χ) + = C Χ + khả tích (C Χ) − = C Χ − Khi Ε ( CΧ ) = ΕC Χ + - ΕC Χ − = CΕΧ Tương tự với C < ta có Ε(C Χ ) = Ε(−C Χ − ) – Ε(−C Χ + ) = CΕΧ 7) NÕu Χ , Y khả tích ( Χ + Y ) khả tích vµ Ε( Χ + Y ) = ΕΧ + ΕY Chứng minh Đầu tiên ta giả thiết Χ Y ≥ Khi có dãy ( Χ n ), ( Yn ) ⊂ L cho ≤ Χ n ↑ Χ , ≤ Yn ↑ Y Do ta có ≤ Χ n + Yn ↑ Χ + Y vµ Ε( Χ n + Yn ) ↑ Ε( Χ + Y ) , Ε( Χ n + Yn ) = ΕΧ n + ΕYn ↑ ΕΧ + ΕY Từ suy Ε( Χ + Y ) = ΕΧ + ΕY Xét trường hợp tổng quát, từ bất đẳng thức Χ +Y ≤ Χ + Y , suy Z = Χ + Y còng khả tích ý Ζ = Z + - Z − = ( Χ + Y ) + - ( Χ + Y ) − = Χ + + Y + - ( Χ − + Y − ), nên Z + + ( Χ − + Y − ) = Z − + ( Χ + + Y + ) Từ điều vừa chứng minh ta có ΕZ + + ΕΧ − + ΕY − = ΕZ − + ΕΧ + + ΕY + , 10 Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com chuyển vÕ với lưu ý Z − , Χ − , Y − khả tích nên ta có ΕZ = ΕΧ + ΕY 8) ∑x p i i i nÕu X rời rạc nhận giá trị x1 , x2, víi P ( Χ = xi ) = pi EX= +∞ ∫ x p( x).dx nÕu X liªn tơc có hàm mật độ p(x) Tng quỏt Nu f : ¡ → ¡ hàm đo Y = f(X) ∑ f (x ) p i EY = i i X rời rạc nhận giá trị x1, x2,…víi P ( Χ = xi ) = pi +∞ ∫ f ( x) p( x) dx X liên tục có hàm mật độ p(x) −∞ 9) Định lý P Levi hội tụ đơn điệu Nếu Χ n ↑ Χ (tương ứng Χ n ↓ Χ ) tồn n để ΕΧ −n xk( n ) = ΕΧ n = với n ΕΧ = Nếu X Χ = Χ + − Χ − Do Χ = Χ + + Χ − nên Χ ± = (h.c.c) Theo ΕΧ + = ΕΧ − = suy ΕΧ = 13) Nếu X ≥ EX = X = (h.c.c) Chứng minh Ta có ≤ ΧΙ  1  Χ> n     ≤ Χ suy 1 ΧΙ ≤ P  Χ > n  ≤ Ε Χ> 1n  ≤ ΕX =    1 Do đó, P  Χ >  = với n = 1, 2, … n  ∞ Từ đó, P[ X > 0] = P( U n =1   Χ > 1 )≤ n  ∞ ∑ n =1 P[ Χ > ] = n hay X = (h.c.c) 14) Nếu X = Y (h.c.c), X khả tích EX = EY Chứng minh Giả sử X khả tích, X = Y (h.c.c) Khi Z = Y – X = (h.c.c), suy Z khả tích Y = X + Z cịng khả tích Từ EY = EX + EZ = EX, 15) Bất đẳng thức Markov Giả sử X biến ngẫu nhiên khơng âm Khi đó, ∃ EX với a > ta có: P [X ≥ a] ≤ EX Chứng minh EX =XdP =XdP +XdP (do X ≥ 0) ≥XdP ≥ adP = a.P[X≥a] Do ®ã P[X≥a] ≤ EX 13 Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com Tính chất kéo theo P[ Χ ≥a] ≤ E Χ , Tổng quát: P( Χ ≥ a) ≤ k Χ k E a a>0 a>0, k >0 k P( Χ ≥ a) = P( Χ ≥ a k ) 16) Bất đẳng thức Jensen ϕ: ¡ → ¡ hàm lồi dưới, X ϕ(X) biến ngẫu nhiên khả tích Khi đó, Eϕ(X) ≥ ϕ(EX) Chứng minh Do ϕ hàm lồi nên có đạo hàm trái đạo hàm phải điểm Ngoài ∀x, xo ∈ ¡ , ϕ(x) ≥ ϕ(xo) + ϕ’(xo) (x – xo) Thay x X, xobởi EX vào bất đẳng thức trên, sau lấy kỳ vọng vế ta E(ϕ(X)) ≥ ϕ(EX) + ϕ’(EX) (E(X – EX)) = ϕ(EX) ( h.c.c) Các mệnh đề 2.1 MƯnh ®Ị Giả sử X1,…, Xn biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn Khi ®ã, Emax {X1,…,Xn} ≥ max {EX1,…, EXn} Emin{X1,…,Xn} ≤ {EX1,…, EXn} Chứng minh +) Đặt Y = max {X1, X2,…, Xn} Ta cã Y ≥ X1, Y ≥ X2,…, Y ≥ Xn, suy EY ≥ EX1, EY ≥ EX2, …, EY ≥ EXn , ®ã EY ≥ max {EX1, …, EXn} Hay Emax {X1,…, Xn} ≥ max {EX1,…, EXn} +) Tương tự đặt Z = {X1, X2,…, Xn} Ta cã Z ≤ X1, X ≤ X2, …, X ≤ Xn, suy EZ ≤ EX1,…, EZ ≤ EXn , ®ã EZ ≤ {X1, X2,…, Xn} hay Emin{X1,…,Xn} ≤ {EX1,…, EXn} 2.2 MÖnh ®Ò Giả sử Ε Χ p < ∞ (p > đó) Khi đó, 14 Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com lim t p P [ Χ > t] = t →∞ Chứng minh ΕΧ Ta có p p p p = Χ dP = Χ dP + Χ dP p p p Suy ∞ > Ε Χ ≥ Χ dP + t p dP = Χ dP + t p P [ Χ > t ] p p Cho t→∞ Χ dP → Ε Χ p p Ε Χ ≥ Ε Χ + lim t p P( > t) Do Điều nµy kÐo theo lim tP.P ( Χ > t) = t →∞ 2.3 MƯnh ®Ị Giả sử X1, X2,…, Xn biến ngẫu nhiên môment bậc < α ≤ Khi Ε X1 + Χ + + Χ n α ≤ Ε X1 α + … + Ε Χ n α Chứng minh α α α Ta áp dụng bất đẳng thức a + b ≤ a + b , với < α ≤ LÊy kú väng hai vÕ ta cã Ε a+b Ε a+b suy α α α α α α ≤ Ε( a + b ) = Ε a + Ε b , α 0 ta có P ( max 1≤ k≤ n ∑Ε Χ k =1 k ε Chứng minh Yk > ε) = P({ Y1 > ε} ∪… ∪ { Yn > ε}) Ta có P ( max 1≤ k ≤ n = P({ Χ1 > ε} ∪… ∪ { Χ1 + + Χ n > ε}) ≤ P( Χ1 + + Χ n > ε) Từ áp dụng bất đẳng thức Markov ta nhận Ε( Χ1 + + Χ n ) Ε Χ1 + + Ε Χ n = ε ε P ( max > ε) ≤ 1≤ k ≤ n n P ( max > ε) ≤ 1≤ k ≤ n hay ∑Ε Χ k =1 k ε 2.9 MƯnh ®Ị Giả sử X1, X2, …, Xn biến ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị nguyên, không âm EXi < ∞ Khi đó, Emin {X1, X2,…, Xn} = ∞ ∑ i =1 P(X1 ≥ i) P(X2 ≥ i)… P(Xn ≥ i) Chứng minh 18 Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com Trước hết ta nhận xét theo mƯnh ®Ị (2.5) X biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, khơng âm EX = ∞ ∑ P(X ≥ i) i =1 Suy Emin {X1, X2,…, Xn} = = = ∞ ∑ i =1 ∞ ∑ i =1 ∞ ∑ i =1 P (min{X1, X2,…, Xn} ≥ i) P(X1 ≥ i, X2 ≥ i,…, Xn ≥ i) P(X1 ≥ i) P(X2 i)P(Xn i) 2.10 Mệnh đề Giả sử X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó, ( Y ) = .Y Tổng quát Giả sö X1, X2,…, Xn biÕn ngẫu nhiên độc lập Khi ®ã, E (X1 X2… Xn) = EX1 EX2… EXn Chứng minh +) NÕu X, Y lµ hai biến ngẫu nhiên rời rạc () = { x1 , x2 , , xn } ; Y (Ω) = { y1 , y2 , , ym , } Khi Z = .Y đại lợng ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị zij = xi y j với xác suất tơng ứng pij = P ( Χ = xi ; Y = y j ) = P ( Χ = xi ) P (Y = y j ) = pi q j ( v× X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập ), ( i = 1, 2, , n, ; j = 1, 2, , m, ) Suy ΕZ = ∑∑ xi y j pij = ∑∑ xi y j pi q j = ∑ xi pi ∑ y j q j = ΕΧ.ΕY i j i j i j +) , Y hai biến ngẫu nhiên không âm, , Y giới hạn dÃy biến ngẫu nhiên đơn giản ( n , n ≥ 1);(Yn , n ≥ 1) , n.2n k −1  k −1 k  Ι  n ≤ Χ < n ÷+ n.Ι ( Χ ≥ n) n   k =1 Χn = ∑ n.2n k −1  k −1 k  Ι  n ≤ Y < n ÷+ n.Ι (Y ≥ n) n   k =1 Yn = ∑ DƠ thÊy, víi mäi n ta có n Yn độc lập Do đó, ΕΧY = Ε(lim Χ n lim Yn ) = Ε(lim Χ nYn ) = lim ΕΧ nYn n →∞ n →∞ n →∞ 19 n →∞ Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com = lim ΕΧ n ΕYn = lim ΕΧ n lim ΕYn = ΕΧΕY n →∞ n →∞ n →∞ +) Χ , Y lµ biÕn ngÉu nhiên Khi đó, = + ; Y = Y + − Y − XÐt thấy biến ngẫu nhiên không âm + , độc lập biến ngẫu nhiên không âm Y +, Y , ta đợc Y = Ε  ( Χ + − Χ − )(Y + − Y − )  = Ε  Χ +Y + − Χ +Y − − Χ −Y + + Χ −Y −  = ΕΧ + ΕY + − ΕΧ + ΕY − − ΕΧ −ΕY + + ΕΧ −ΕY −  = Ε( Χ + − Χ − )Ε(Y + − Y − ) = ΕΧΕY Bây giả sử ( i )i =1,n họ độc lập, ( ) σ ( Χ k , ≤ k ≤ n) ®éc lËp Suy Χ1 vµ Χ Χ Χ n ®éc lËp, ®ã Ε( Χ1.Χ Χ n ) = ΕΧ1.Ε( Χ Χ n ) Lại có ( ) ( Χ k ,3 ≤ k ≤ n) ®éc lËp Suy Χ vµ Χ Χ Χ n ®éc lËp, ®ã Ε( Χ Χ3 Χ n ) = ΕΧ Ε( Χ Χ n ) Tiếp tục trình sau hữu hạn bớc ta đợc E (X1 X2 Xn) = EX1 EX2 EXn 2.11 MƯnh ®Ị Giả sử X biến ngẫu nhiên khơng âm, có kỳ vọng hữu hạn, F(x) hàm phân phối X Khi ú EX = [1- F(x)]dx Chứng minh Ta có EX = XdP = dx dP = I(X ≥x)dx dP = (I(X ≥x)dx) dP = I(X ≥x)dP dx = P(X ≥x)dx (®ỉi thø tù tích phân theo định lý Fubini) = [1-F(x)]dx 2.12 Mệnh ®Ị Giả sư X lµ biến ngẫu nhiên khơng âm, F(x) hàm phân phối X v < ∞ (α > đó) Khi đó, 20 Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com ΕΧα = α.xα-1 [1- F(x)]dx Chng minh Gọi F ( x) hàm phân phèi cđa Χα Khi ®ã, F ′( x) = P ( Χα < x) = P ( Χ < x1/α ) = F ( x1/α ) Sư dơng mƯnh ®Ị (2.11) cho Χα suy EXα = [1- F(x1/α)]dx Đặt x1/α = t suy x = tα , dx = αtα-1dt Khi x=0 ⇒ t=0 x → +∞ ⇒ t → +∞ EXα = [1 – F (t)]α.tα-1dt = α [1 – F (t)]tα-1dt Đỉi vai trị x t ta có EXα = α [1 – F (x)]xα-1dx 2.13 MƯnh ®Ị Giả s X biến ngẫu nhiên khụng õm, F(x) hàm phân phối X EX < + ( < đó) Khi đó, EXα = α xα-1.F(x)dx Chứng minh Với α < 0, F(x) hàm phân phối biến ngẫu nhiên X không âm EXα < +∞ EXα = xαdF(x) = xα.F(x) - F(x)d xα = -α.xα-1F(x)dx (vì α < 0) = xα-1F(x)dx Vậy EX = x-1F(x)dx 2.14 Mệnh đề Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận hữu hạn giá trị không âm n +1 = max{ x1 , x2 , , xr } n →∞ ΕΧ n x1 , x2 , , xr Khi lim Chứng minh Giả sử x1 = max{ x1 , x2 , , xr }, 21 Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com pi = P ( X = xi ) , i=1,2,…,r ΕΧ n +1 x1n +1 p1 + + xrn +1 pr = n ΕΧ n x1 p1 + + xrn pr Khi ®ã = x1n +1 p1 xrn +1 pr + + x1n p1 + + xrn pr x1n p1 + + xrn pr x1n +1 p1 xrn +1 pr ΕΧ n +1 lim lim +…+ lim = n→∞ n n→∞ n →∞ ΕΧ n x1 p1 + + xrn pr x1n p1 + + xrn pr Suy = x1 + + + = x1 = max{ x1 , x2 , , xr } 2.15 Mệnh đề Giả sử X biến ngẫu nhiên, r >0 Khi đó, ∑ n =1 ∞ P  Χ ≥ n1/ r  ≤ Ε Χ ≤ ∑ P  Χ > n1/r r n=0 Chứng minh Thật vậy, đặt ∞ Y = ∑ j.Ι  j =1 j ≤ Χ < j +1   r ∞ Z = ∑ ( j + 1).Ι  r   j ≤ Χ < j +1 j =0 Khi ®ã, Y ≤ Χ r ≤ Z , ®ã ΕY r Z (1) Mặt khác ∞ ∑ n =1 ∞ ∞ ∞ j r P  Χ ≥ n1/r  = ∑∑ P  j ≤ Χ < j + 1 n =1 j = n r = ∑∑ P  j ≤ Χ < j + 1   j =1 n =1 ∞ =∑ j P  j ≤ Χ < j + 1   r j =1 = ΕY ∞ ∑ n =0 ∞ ∞ r P  Χ > n1/r  = ∑∑ P  j < Χ ≤ j + 1 n =0 j = n 22 (2) Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com ∞ j r = ∑∑ P  j < Χ ≤ j + 1   j =0 n =o ∞ = ∑ ( j + 1) P  j < Χ ≤ j + 1   j =0 r = ΕZ Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh 23 (3) Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com Kết luận Trong khoá luận đà trình bày đợc số vấn đề sau: - Nhắc lại số khái niệm tính chất lý thuyết xác suất cần thiết nh : khái niệm biến ngẫu nhiên, hàm Borel, tính độc lập, hàm phân phối biến ngẫu nhiên - Trình bày chứng minh tính chất kỳ vọng - Trình bày chứng minh cách chi tiết số mệnh ®Ị vỊ kú väng Do sù h¹n hĐp vỊ thêi gian nh lực nên khoá luận nhiều thiếu sót Rất mong quý thầy, cô giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp đỡ Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất, NXB Đại học Quốc Gia HN [2] Ngun ViÕt Phó - Ngun Duy TiÕn (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học Quốc Gia HN 24 Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com [3] Ngun Duy TiÕn - Vị ViÕt Yªn (2003), Lý thut x¸c st, NXB Gi¸o dơc Mơc lơc Trang Lêi nói đầu PhÇn I: KiÕn thøc chuÈn bÞ BiÕn ngÉu nhiªn .2 Hµm Borel CÊu tróc cđa biÕn ngÉu nhiªn Ph©n phối xác suất biến ngẫu nhiên .3 Hàm phân phối xác suất Các loại biến ngẫu nhiên .4 TÝnh ®éc lËp Phần II: Kỳ vọng biến ngẫu nhiên .6 Định nghĩa tính chất .6 Các mệnh đề 14 25 Kho tài liệu miễn phí Ket-noi.com KÕt luËn 25 Tài liệu tham khảo 26 26