Các loại tích phân stieltjes và kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Mở đầu Lý thuyết độ đo và tích phân là công cụ quan trọng để nghiên cứu lý thuyết xác suất. Khoá luận này trình bày một hiểu biết của tác giả về tích phân Lebesgue - Stieltjes và tích phân Riemannn - Stieltjes, cùng những ứng dụng của chúng vào việc nghiên cứu khái niệm và tính chất của kỳ vọng của biến ngẫu nhiên. Khoá luận gồm 2 chơng: Ch ơng 1. Độ đo Lebesgue - Stieltjes. Chơng này gồm 2 tiết: Tiết 1: Chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của độ đo. Tiết 2: Trình bày về độ đo Lebesgue - Stieltjes. Ch ơng 2. Các loại tích phân Stieltjes. Chơng này gồm 4 tiết: Tiết 1: Trình bày khái niệm và tính chất của tích phân Riemannn - Stieltjes. Tiết 2 : Trình bày khái niệmvà tính chất của tích phân Lebesgue - Stieltjes. Tiết 3: Trình bày về việc chuyển qua giới hạn dới dấu tích phân Stieltjes. Tiết 4: Trình bày khái niệm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên và ứng dụng của tích phân Riemannn - Stieltjes và tích phân Lebesgue - Stieltjes để nghiên cứu các tính chất của kỳ vọng. Khoá luận này đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng và sự góp ý tạo điều kiện giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong tổ Xác suất thống kê và Toán ứng dụng trong khoa Toán. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Quảng, các thầy cô giáo trong khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận này. Vì năng lực và thời gian hạn hẹp, khoá luận không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong quý thầy, cô giáo và các bạn góp ý giúp đỡ. Tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 5 năm 2006 Tác giả 1 Chơng I. Độ đo lebesgue - stieltjes Đ1. một số khái niệm cơ bản của độ đo. Các hàm tập xác định trên - đại số đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tích phân và lý thuyết xác suất. Giả sử (, A) là không gian đo nào đó. 1.1.1. Định nghĩa. Ta gọi hàm tập à là độ đo trên không gian đo (, A) nếu: 1) Miền xác định của à là - đại số A. 2) à không âm và - cộng tính. 1.1.2. Định lý: Nếu à là độ đo - hữu hạn thì tồn tại {X n } A sao cho {X n } tăng đến n n 1 X X = = U và à(X n ) < +, n. 1.1.3. Các tính chất cơ bản của độ đo 1) à() = 0. 2) Nếu A, B A, B A và à(B) < + thì à(A\B) = à(A) - à(B). 3) (Tính đơn điệu) A, B A và B A thì à(B) à(A). 4) Tính nửa - cộng dới. Nếu A k A, A A, A k n 1 A = U thì à(A) k k 1 (A ) = à . Đặc biệt nếu thêm điều kiện à(A k ) = 0 k = 1, 2, thì à(A) = 0. 1.1.4. Định lý. Giả sử A là - đại số, à là hàm tập không âm cộng tình hữu hạn trên A. Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng: a) à là độ đo (tức là à - cộng tính); b) à nửa - cộng tính dới; c) à liên tục dới, tức là nếu A n A thì à(A n ) à(A). Nếu thêm điều kiện à hữu hạn thì các điều kiện trên tơng đơng với một trong các điều kiện sau: d) à liên tục trên, tức là nếu n A thì à(A n ) à(A). e) à liên tục tại , tức là nếu n thì à(A n ) 0. 2 Đ2. Độ đo lebesgue - stieltjes. 1.2.1. Hàm không giảm và độ đo trên đờng thẳng. 1.2.1. a) Định nghĩa. Giả sử F: R 1 R 1 là hàm số không giảm. Ta biết rằng đối với mỗi hàm số nh thế luôn tồn tại giới hạn một phía: F(a + 0) = x a limF(x) ; F(a - 0) = x a limF(x) ; F(+ ) = x lim F(x) + ; F(- ) = x lim F(x) . 1.2.1.b) Mệnh đề 1. à F là tập hàm xác định trên đại số B 2 , không âm, - cộng tính, - hữu hạn và nhận giá trị hữu hạn trên mỗi khoảng hữu hạn [a, b). 1.2.1.c) Định lý. Với mỗi F F tồn tại duy nhất một độ đo - hữu hạn (Lebesgue - Stieltjes) trên - đại số Borel B của đờng thẳng thực sao cho à F ([a, b)) = F(b) - F(a) < . Ngợc lại, với mỗi độ đo à trên B nhận giá trị hữu hạn trên mỗi khoảng [a, b) tồn tại duy nhất F F sao cho à F = à. 1.2.2. Độ đo Lebesgue của đờng thẳng thực Lấy F(x) = x F. Khi đó = à F đợc gọi là độ đo Lebesgue của đờng thẳng thực và mỗi tập L 1 B đợc gọi là tập Lebesgue. 1.2.3. Độ đo Lebesgue - Stieltjes của một điểm. Độ đo Lebesgue - Stieltjes của tập chỉ gồm có một điểm rất có thể khác không. Chơng 2. các loại Tích phân Stieltjes Đ 1. Tích phân Riemann - Stieltjes 2.1.1. Định nghĩa. Giả sử trên đoạn [a, b] đợc xác định một hàm số hữu hạn f(x) và F(x) là hàm phân phối. Ta chia đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ bởi phép chia gồm các điểm chia: a = x 0 < x 1 < < x n = b. Đặt = maxx i , trong đó x i = x i+1 - x i và mỗi đoạn con [x i , x i+1 ] (i = 0, 1, 2, , n-1) ta chọn một điểm i tuỳ ý và lập tổng Riemann - Stieltjes = n 1 i i i 0 f ( ) F(x ) = , trong đó F(x i ) = F(x i+1 ) - F(x i ). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn I của các tổng khi dần đến 0 và giới hạn đó không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và cách 3 chọn điểm i , thì giới hạn này đợc gọi là tích phân Riemann - Stieltjes và đợc ký hiệu (R - S) b a f (x)dF(x) . Ta ký hiệu I = n 1 i i i 1 0 i 0 lim f ( )V x , x + = < > . Ta có thể định nghĩa cách khác: Số I là tích phân Riemann - Stieltjes của hàm số f(x) lấy theo hàm phân phối F(x) nếu với mọi > 0 đều có một số > 0 sao cho trong mọi cách chia với > thì - I < , dù cho ta chọn các điểm i nh thế nào. 2.1.2. Nhận xét. Tích phân Riemann là một trờng hợp đặc biệt của tích phân Riemann - Stieltjes khi F(x) = x. 2.1.3. Các tính chất của tích phân Riemann - Stieltjes. 1) [ ] b b b 1 2 1 2 a a a f (x) f (x) dF(x) f (x)dF(x) f (x)dF(x)+ = + . 2) [ ] b b b a a a f (x)d F(x) G(x) f (x)dF(x) f (x)dG(x)+ = + . 3) Nếu k, l là những hằng số: b b a a kf (x)dlF(x) kl f (x)dF(x)= . 4) Nếu a < c < b và cả ba tích phân trong đẳng thức sau tồn tại thì: b c b a a c f (x)dF(x) f (x)dF(x) f (x)dF(x).= + 5) Nếu một trong các tích phân b a f (x)dF(x) và b a F(x)df (x) tồn tại thì tích phân kia cũng tồn tại và ta có đẳng thức: b a F(x)df (x) + [ ] b b a a f (x)dF(x) f (x).F(x)= trong đó ta đặt: [ ] b a f (x).F(x) f (b).F(b) f (a).F(a) = . 2.1.4. Định lý 1. Tích phân (R- S) b a f (x) dF(x) tồn tại nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và F(x) có biến phân hữu hạn trên đoạn đó. 4 2.1.5. Định lý 2. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b], đạo hàm F'(x) khả tích Riemann thì: (S) b a f (x) dF(x) = (R) b a f (x) F'(x) dx. 2.1.6. Định lý 3. Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và F(x) là bậc thang trên (a, c 1 ), (c 1 , c 2 ), (c m , b), trong đó a < c 1 < c 2 < < c m < b. Khi đó b a f (x)dF(x) = f(a)[F(a + 0) - F(a)] + m i i 1 f (c ) = [F(c i + 0) - F(c i - 0)]- + + f(b) [F(b) - F(b - 0)]. Đ2. tích phân Lebesgue - stieltjes Giả sử B là - đại số tập Borel trên đờng thẳng, à là độ đo xác định trên B và lấy giá trị hữu hạn trên các khoảng hữu hạn. Ta ký hiệu (R, B à , à) là không gian có độ đo đầy đủ tơng ứng. Độ đo à trên B à đợc gọi là độ đo Lebesgue - Stieltjes. Hệ thức F(b) - F(a) = à[a, b) xác định đơn trị (sai khác nhau hằng số cộng) hàm F(x) đơn điệu không giảm, liên tục trái. Gọi F(x) là hàm phân phối tơng ứng với độ đo à trên B à . 2.2.1. Định nghĩa. Giả sử f(x) là hàm thực B à - đo đợc, nếu f(x) khả tích theo độ đo à thì tích phân f (x)dà đợc gọi là tích phân Lebesgue - Stieltjes. Nếu F(x) là hàm phân phối tơng ứng với độ đo à thì tích phân f (x)dà đợc ký hiệu là f (x)dà = f (x)dF(x) . Tích phân trên [a, b), đợc ký hiệu là: b b a a f (x)d f (x)dF(x)à= hoặc (L - S) b a f (x)dF(x) . 2.2.2. Nhận xét. Độ đo tơng ứng với F(x) = x đợc gọi là độ đo Lebesgue, còn tích phân tơng ứng đợc gọi là tích phân Lebesgue. 2.2.3. Tính chất. Tích phân Lebesgue - Stieltjes là tích phân đợc xác định từ độ đo Lebesgue - Stieltjes. Do đó tích phân Lebesgue - Stieltjes có đầy đủ các tính chất của tích phân theo độ đo bất kỳ. Cụ thể ta có: 5 1) [ ] b b b a a a f (x) g(x) dF(x) f (x)dF(x) g(x)dF(x)+ = + 2) [ ] b b b 1 2 1 2 a a a f (x)d F (x) F (x) f (x)dF (x) f (x)dF (x)+ = + . 3) Nếu k, l là các hằng số thì ta có: b b a a kf (x)dlF(x) kl f (x)dF(x)= . 4) Giả sử c [a, b] sao cho a < c < b. Khi đó ta có: b a f (x)dF(x) = c b a c f (x)dF(x) f (x)dF(x)+ . 2.2.4 Mối liên hệ giữa tích phân Lebesgue - Stieltjes và tích phân Riemann - Stieltjes. Định lý 1. Giả sử f liên tục trên [a, b]. Khi đó (L - S) b a fdF = (R - S) b a fdF Định lý 2. Nếu f liên tục trên [a, b] và hàm phân phối F(x) liên tục trên [a, b] thì: (R - S) b a f (x) dF(x) = (L) b a f (x) F'(x)dx = (L) b a f (x) p(x)dx. Đ3. Chuyển qua giới hạn dới dấu tích phân Riemann - Stieltjes Giả sử trên [a, b] hàm phân phối F(x) xác định. Ta chia đoạn [a, b] thành n phần bởi phân hoạch gồm các điểm x 0 = a < x 1 < x 2 < < x n = b, và lập tổng V = [ ] n 1 k 1 k k 0 F(x ) F(x ) + = . 2.3.1. Định nghĩa. Cận trên đúng của tập tất cả các tổng V , chạy trong tập tất cả các phân hoạch của [a, b] đợc gọi là biến phân toàn phần của hàm số f(x) trên [a, b] và đợc ký hiệu là b a V (F). Nếu b a V (F) < thì ta nói F(x) là một hàm số với biến phân hữu hạn trên đoạn [a, b]. 6 2.3.2. Định lý 1. Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a, b] và F(x) có biến phân hữu hạn trên đoạn [a, b] thì ta có: b a f (x) dF (x) M(f). b a V(F) (12) trong đó M(f) = max f(x) . 2.3.3. Định lý 2. Giả sử F(x) là hàm phân phối với biến phân hữu hạn và một dãy các hàm số liên tục {f n (x)} hội tụ đều đến một hàm số f(x) (liên tục). Khi đó: b n a a lim f (x) dF(x) = b a f (x) dF (x) 2.3.4. Định lý 3. Giả sử trên [a, b] đợc xác định một hàm số liên tục f(x) và một dãy hàm phân phối {F n (x)} hội tụ tại mọi điểm của [a, b] đến một hàm phân phối hữu hạn F(x). Nếu với mọi n, b n a V(F ) K < + thì b a a lim f (x) dF n (x) = b a f (x) dF (x) (13) 2.3.5. Nhận xét. Nhờ định lý 2.3.3 mà ta có thể đa việc tính tích phân b a f (x) dF(x) (trong đó f(x) liên tục và F(x) có biến phân hữu hạn) về trờng hợp F(x) liên tục. Đ4. Kỳ vọng 2.4.1. Định nghĩa. Giả sử (, F, P) là không gian xác suất, X: R là biến ngẫu nhiên (b.n.n). Kỳ vọng của b.n.n X là một số, ký hiệu là EX đợc xác định bởi công thức: EX = XdP . 2.4.2. Chú ý. Kỳ vọng của X có thể tồn tại hoặc không tồn tại. Kỳ vọng của b.n.n X tồn tại nếu tích phân vế phải công thức trên tồn tại. 2.4.3. ý nghĩa. Kỳ vọng của b.n.n X là giá trị trung bình theo xác suất của b.n.n đó. Trong trờng hợp X nhận các giá trị với xác suất nh nhau thì kỳ vọng chính là trung bình cộng của nó. 2.4.5. Các tính chất. Giả sử (,F, P) là không gian xác suất, X là b.n.n khả tích thì ta có các tính chất sau: 7 a) Nếu X = C = const thì EC = C b) Với C là hằng số ta có: ECX = CEX. c) Cho X, Y là đại lợng ngẫu nhiên ta có: E(X Y) = EX EY. d) Nếu X, Y độc lập thì E (X Y) = EX . EY. Tổng quát. Nếu X 1 , X 2 , , X n là họ các b.n.n độc lập thì E(X 1 . X 2 X n ) = EX 1 . EX 2 EX n . e) Nếu b.n.n Y = f(X) là hàm của b.n.n X thì: EY = Ef(X) = n i i 1 f (x ) = p i nếu X rời rạc và P(X = x i ) = p i . và EY = Ef(X) = f (x) + p(x) dx nếu X liên tục và có hàm mật độ là p(x). Việc chứng minh các tính chất này có thể suy ra từ định nghĩa. Vì vậy ta không trình bày ở đây. 2.4.6. Định lý. Giả sử X là đại lợng ngẫu nhiên với hàm phân phối F X (x). Khi đó EX = ( ) x xdF x + . 2.4.7. Hệ quả. Giả sử X có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm mật độ p(x). Khi đó: EX xp(x)dx + = . 2.4.8. Mệnh đề 1. Giả sử X là b.n.n không âm và kỳ vọng hữu hạn. Khi đó EX = [ ] 0 1 F(x) dx + . 2.4.9. Mệnh đề 2. Giả sử F(x) là hàm phân phối của b.n.n không âm và EX < ( > 0 nào đó). Khi đó. EX = [ ] 1 0 x 1 F(x) dx + . 2.4.10. Mệnh đề 3. Giả sử F(x) là hàm phân phối của b.n.n X không âm và EX < + ( < 0 nào đó). Khi đó EX = 1 0 x F(x)dx + . 8 Kết luận Kết quả chính của khoá luận bao gồm các nội dung sau: + Đã trình bày lại một cách chi tiết các khái niệm cơ bản của độ đo. + Đã trình bày đợc các khái niệm cơ bản của độ đo Lebesgue - Stieltjes. + Đã trình bày đợc khái niệm và chứng minh các tính chất cơ bản của các loại tích phân Stieltjes. + Dựa vào các loại tích phân Stieltjes, khoá luận đã ứng dụng vào việc xây dựng kỳ vọng và chứng minh một số mệnh đề của nó. + Đã đa ra đợc một số ví dụ minh hoạ. Việc nghiên cứu tìm hiểu những ứng dụng của toán học trong các lĩnh vực khác nhau là rất rộng lớn. Khoá luận này chỉ mới trình bày đợc một phần nhỏ của vấn đề rộng lớn ấy. Hy vọng rằng, chúng tôi sẽ có điều kiện quan tâm nhiều hơn đến vấn đề này. 9 10