Sự hội tụ xác suất của dãy các biến ngẫu nhiên

1 Trờng đại học vinh Khoa toán ========== Sự hội tụ theo xác suất của dãy các biến ngẫu nhiên Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán ------------------------------------- Chuyên ngành: Xác suất thống kê Giáo viên hớng dẫn :PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng Sinh viên thực hiện :Lê Thị Hơng Lớp :43 E2 Toán Vinh, 2007 Mục lục Trang Lời mở đầu 2 Đ1. Các kiến thức chuẩn bị 3 Đ2. Sự hội tụ theo xác suất của dãy các biến ngẫu nhiên 8 Đ3. Một số mệnh đề khác 19 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 Lời mở đầu 2 Trong lý thuyết xác suất, sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên theo một số nghĩa khác nhau đóng vai trò rất quan trọng. Sự hội tụ theo xác suất của dãy các biến ngẫu nhiên đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các định lý giới hạn nói chung và luật yếu số lớn nói riêng. Khóa luận này trình bày sự hội tụ theo xác suất của dãy các biến ngẫu nhiên cùng các tính chất của nó. Với mục đích nh vậy, khóa luận chia làm 3 phần: Phần 1: Các kiến thức chuẩn bị. Trong phần này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất phục vụ cho phần sau nh: không gian xác suất, các biến ngẫu nhiên . Phần 2: Sự hội tụ theo xác suất của dãy các biến tự nhiên. Trong phần này, chúng tôi trình bày và chứng minh các tính chất của sự hội tụ theo xác suất của dãy các biến ngẫu nhiên. Phần 3: Một số mệnh đề khác. Trong phần này, chúng tôi đa ra và tự giải một số bài toán về sự hội tụ theo xác suất của dãy các biến ngẫu nhiên, dới dạng các mệnh đề. Khóa luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình, chu đáo của PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng. Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập tại khoa. Cuối cùng, do sự hạn chế thời gian cũng nh tài liệu tham khảo nên khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận đợc sự đóng góp, giúp đỡ của qúy thầy cô và bạn bè. Vinh, tháng 4 năm 2007 Tác giả 3 Đ.1. các kiến thức chuẩn bị i. không gian xác suất I.1. Định nghĩa. Giả sử , là một họ các tập con của . đợc gọi là một - đại số nếu: i) ; ii) Nếu A thì \ A ; iii) Nếu { } n A thì n n A = 1 . I.2. Định nghĩa. Giả sử , là một - đại số các tập con của . Hàm tập P: đợc gọi là độ đo xác suất trên nếu: i) P(A) 0 ; với mọi A ; ii) P( ) = 1; iii) Nếu { } n A ; = mn AA , với mọi mn , thì )( 1 1 n n n n APAP = = = . I.3. Định nghĩa. Giả sử , là một - đại số các tập con của và P: là độ đo xác suất. Khi đó bộ ba ( , , P) đợc gọi là một không gian xác suất. Trong đó: đợc gọi là không gian biến cố sơ cấp. đợc gọi là - đại số các biến cố. A đợc gọi là biến cố. đợc gọi là biến cố chắc chắn. đợc gọi là biến cố không thể có. Nếu == B.ABA thì A,B đợc gọi là xung khắc. Biến cố A\A = đợc gọi là biến cố đối lập của A. 4 I.4. Tính chất. a) 0)( = P ; b) Nếu BA thì )()( BPAP ; c) Nếu BA thì )A(P)B(P)A\B(P = ; d) 1)()( =+ APAP ; e) Nếu BA, thì )()()()( ABPBPAPBAP += ; f) Nếu A, B, C thì )()()()()()()()( ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP +++= ; g) Nếu }{ n A thì = = 1 1 )()( n nn n APAP ; h) Nếu { } n A sao cho . 21 n AAA thì tồn tại )(lim n n AP và )()(lim 1 n n n n APAP = = ; i) Nếu { } n A sao cho A AA n 21 thì tồn tại )(lim n n AP và )()(lim 1 n n n n APAP = = . I.5. Định nghĩa. Hai biến cố A, B đợc gọi là độc lập nếu: )().()( BPAPABP = . II. Biến ngẫu nhiên II.1. Định nghĩa. Giả sử ( , , P) là không gian xác suất. Khi đó một ánh xạ X: đợc gọi là biến ngẫu nhiên nếu X là hàm đo đợc, tức là a thì < )( aX . { } )]),[()(:)(( 1 aXaXaX =<=< . II.2. Tính chất. a) Nếu X,Y là các biến ngẫu nhiên xác định trên ( , , P) thì: )0(;);0,max();0,max(;.; == + Y Y X XXXXXYXYX cũng là các biến ngẫu nhiên xác định trên ( , , P). 5 b) X là biến ngẫu nhiên trên ( , , P) khi và chỉ khi B () thì )( 1 BX . (() là - đại số nhỏ nhất chứa các khoảng aa),,( ). c) Nếu X là biến ngẫu nhiên, f : là hàm đo đợc (f -1 (B) (), B ()) thì f(X) là biến ngẫu nhiên. d) Nếu X 1 , ., X n , . là dãy biến ngẫu nhiên cùng xác định trên ( , , P) thì nnn n n n Xlim,Xlim,Xsup,Xinf (nếu hữu hạn), n n X lim (nếu tồn tại hữu hạn) là biến ngẫu nhiên. II.3. Các biến ngẫu nhiên độc lập. II.3.1. Định lý. Giả sử ( , , P) là không gian xác suất và X: là biến ngẫu nhiên. Đặt X = {A=X -1 (B): B ()}. Khi đó X là một - đại số. II.3.2. Định nghĩa. i) X đợc gọi là - đại số sinh bởi X. ii) Hai - đại số 1 , 2 đợc gọi là độc lập nếu với 1 A 1 , 2 A 2 thì P(A 1 A 2 )=P(A 1 ).P(A 2 ); Họ - đại số ( i ) Ii gọi là độc lập nếu với mọi họ con hữu hạn i1, ., in của ( i ) Ii và 1 A i1 , ., n A in ta có: P(A 1 .A n )=P(A 1 ) .P(A n ). iii) Họ biến ngẫu nhiên (X i ) Ii gọi là độc lập nếu họ -đại số ( xi ) Ii độc lập. II.4. Kỳ vọng. II.4.1. Định nghĩa. Giả sử ( , , P) là không gian xác suất, X: là biến ngẫu nhiên. Kỳ vọng của X, ký hiệu EX là một số xác định bởi công thức: EX= Xdp . II.4.2. Chú ý. 6 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có thể tồn tại hoặc không tồn tại. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên tồn tại nếu tích phân trong vế phải của định nghĩa trên tồn tại. II.4.3. ý nghĩa. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là giá trị trung bình theo xác suất của biến ngẫu nhiên đó. Trong trờng hợp X nhận các giá trị với xác suất nh nhau thì kỳ vọng của X chính là trung bình cộng của các giá trị của nó. II.4.4. Tính chất. a) Nếu X 0 thì EX 0; b) Nếu X=c=const thì EX=c; c) Nếu tồn tại EX thì với c ta có E(cX)=cEX; d) Cho X, Y là biến ngẫu nhiên, ta có E(X Y)=EX EY; e) Cho X, Y là biến ngẫu nhiên, thì với ba, ta có E(aX+bY)=aEX+bEY; f) Cho X,Y là các biến ngẫu nhiên, nếu X,Y độc lập E(XY)=EX.EY; Tổng quát: Nếu X 1 , .,X n là họ các biến ngẫu nhiên độc lập thì E(X 1 .X n )=EX 1 .EX n ; g) Nếu X rời rạc có bảng phân phối X x 1 x 2 .x n . P p 1 p 2 .p n . thì EX=x 1 p 1 +x 2 p 2 + .+x n p n + . h) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ p(x) thì EX= ( ) + dxxpx. ; i) Nếu f: đo đợc thì nếu X rời rạc và P(X=x i )=p i ; nếu X liên tục có hàm mật độ p(x). III. Các bất đẳng thức III.1. Định lý. 7 ( ) [ ] = + ,dx)x(p)x(f ,p)x(f XfE i ii Gi¶ sö X lµ biÕn ngÉu nhiªn kh«ng ©m. Khi ®ã nÕu tån t¹i EX th× víi mäi 0 > ε ta cã: ε EX EXP ≤> )( . III.2. HÖ qu¶ 1 (BÊt ®¼ng thøc Trª b sep). Gi¶ sö X lµ biÕn ngÉu nhiªn bÊt kú. Khi ®ã nÕu tån t¹i DX th× víi 0 >∀ ε ta cã: ( ) 2 ε ε DX EXXP ≤>− . III.3. HÖ qu¶ 2 (BÊt ®¼ng thøc Mark«v). Gi¶ sö X lµ biÕn ngÉu nhiªn bÊt kú. Khi ®ã nÕu tån t¹i r XE th× víi 0 >∀ ε ta cã: r r XE )X(P ε ε ≤> . 8 Đ.2. Sự hội tụ theo xác suất của dãy các biến ngẫu nhiên Giả sử (X n ) là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất cố định ( , , P). II.1 Định nghĩa. Dãy biến ngẫu nhiên (X n ) đợc gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nếu: ( ){ }( ) 1))((: = nXXP n . Kí hiệu: XX hcc n khi n . II.2. Định nghĩa. Dãybiến ngẫu nhiên (X n ) đợc gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X nếu 0 > ( ) 0lim => XXP n n . Kí hiệu: )( nXX P n . II.3. Định nghĩa. Dãy biến ngẫu nhiên (X n ) đợc gọi là hội tụ theo trung bình cấp r (r>0) đến biến ngẫu nhiên X nếu 0lim = r n n XXE . kí hiệu: )( nXX r L n . II.4. Định nghĩa. Giả sử )(xF n và )(xF tơng ứng là hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên X n và X. C(F) là tập hợp các điểm mà tại đó F(x) liên tục. Nếu )();()(lim FCxxFxF n n = thì ta nói dãy biến ngẫu nhiên (X n ) hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiên X (khi n ). Kí hiệu: )( nXX n . II.5. Định nghĩa. Dãy (X n ) đợc gọi là cơ bản theo xác suất nếu 0 > bất kỳ: [ ] 0 > mn XXP khi nm, . 9 II.6. Định nghĩa. Dãy biến ngẫu nhiên (X n ) đợc gọi là bị chặn theo xác suất nếu ( ) 0 1 => aXPsuplim n n a . II.7. Định nghĩa. Cho dãy X 1 , X 2 , .,X n , .là dãy các biến ngẫu nhiên bất kỳ có kỳ vọng ii aEX = (i=1,2, .). Ta nói rằng dãy (X n ) tuân theo luật số lớn nếu với 0 > : 0 2121 = > +++ +++ n a .aa n X .XX Plim nn n . hay : 0 2121 +++ +++ p nn n a .aa n X .XX . II.8. Các tính chất của sự hội tụ theo xác suất của dãy các biến ngẫu nhiên. II.8.1. Mệnh đề. Nếu XX p n ; YY p n thì: a) YXYX p nn ++ . b) aXaX p n , a R . c) bYaXbYaX p nn ++ với a , b R . Chứng minh. a) Ta có: ( ) YYXXYYXXYXYX nnnnnn ++=++ Suy ra: [ ] > >>+ 22 YYXXYXYX nnnn . Thật vậy: Đặt [ ] >+ YXYX nn =A. > 2 XX n =B 1. > 2 YY n = B 2. Ta cần chứng minh: 21 BBBA = . Lấy B cần chứng minh A . 10 . thuyết xác suất, sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên theo một số nghĩa khác nhau đóng vai trò rất quan trọng. Sự hội tụ theo xác suất của dãy các biến ngẫu nhiên. ≤> . 8 Đ.2. Sự hội tụ theo xác suất của dãy các biến ngẫu nhiên Giả sử (X n ) là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất cố định