Sự hội tụ chắc chắn của dãy các đại lượng ngẫu nhiên

Mục Lục 1 Trờng đại học vinh Khoa toán ========== Sự hội tụ hầu chắc chắn của d y các đại lã ợng ngẫu nhiên Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán ------------------------------------- Chuyên ngành: Xác suất thống kê Giáo viên hớng dẫn :PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng Sinh viên thực hiện :Hoàng Thị Nhung Lớp :43 E2 Toán Vinh, 5/ 2007 Trang Lời mở đầu 2 Đ1. Các kiến thức chuẩn bị. 4 Đ2. Sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy đại lợng ngẫu nhiên. 11 Đ3. Sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các đại lợng ngẫu nhiên độc lập và martingle. 17 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 2 Lời mở đầu Trong lý thuyết xác suất, sự hội tụ của dãy đại lợng ngẫu nhiên theo một số nghĩa khác nhau đóng vai trò rất quan trọng. Sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy các đại lợng ngẫu nhiên, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu Luật mạnh số lớn đối với dãy đại lợng ngẫu nhiên độc lập và martingale. Khoá luận này trình bày sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy các đại l ợng ngẫu nhiên và các tính chất của sự hội tụ đó. Với mục đính nh vậy, khoá luận này đợc chia làm 3 phần: Phần 1: Các kiến thức chuẩn bị. Trong phần này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất phục vụ cho phần sau: Không gian xác suất, các tính chất của không gian xác suất, . Phần 2: Sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy đại lợng ngẫu nhiên. Trong phần này, chúng tôi trình bày các tính chất về sự hội tụ hầu chắc của dãy đại l ợng ngẫu nhiên và chứng minh những mệnh đề liên quan đến sự hội tụ hầu chắc chắn của dãy đại lợng ngẫu nhiên. Phần 3: Sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các đại lợng ngẫu nhiên độc lập và martingale. Trong phần này, chúng tôi giới thiệu các tính chất về sự hội tụ của chuỗi các đại lợng ngẫu nhiên độc lập và chứng minh một số định lý hội tụ đối với martingale. Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình chu đáo của PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Em xin gửi lời cám ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập tại khoa . 3 Cuối cùng, do sự hạn chế thời gian và tài liệu tham khảo nên khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong đợc sự đóng góp, giúp đỡ của quý thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 4 năm 2007 Tác giả. 4 Đ1. các kiến thức chuẩn bị 1.1. Định nghĩa. Giả sử , là một họ các tập con của , đợc gọi là một đại số nếu: i) ; ii) Nếu A thì \A ; iii) Nếu A,B thì A B . 1.2. Định nghĩa. Giả sử , là một họ các tập con của , đợc gọi là một đại số nếu: i) ; ii) Nếu A thì \A ; iii) Nếu { } n A thì = 1n n A . 1.3. Định nghĩa. Giả sử , là một đại số các tập con của . Khi đó một ánh xạ P: (A P(A)) đợc gọi là một độ đo xác suất trên nếu: i) P(A) 0 ; A ; ii) P ( ) =1; iii) Nếu A n ( n=1,2,.), = ji AA (với mọi i j ) thì = = = 1 1 )( n n n n APAP U . 1.4. Định nghĩa. Giả sử , là một đại số các tập con của và P: là độ đo xác suất. Khi đó bộ ba (,,P) đợc gọi là một không gian xác suất. 1.5. Tính chất. a) ( ) 0 = P ; b) Nếu BA thì ( ) ( ) BPAP ; 5 c)Nếu BA thì ( ) ( ) ( ) APBPABP = \ ; d) ( ) AP ( ) AP + =1; e)Nếu BA, thì ( ) ( ) ( ) ( ) ABPBPAPBAP += ; f)Nếu CBA ,, thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP +++= ; g)Nếu { } n A thì ( ) = = 1 1 n n n n APAP ; h)Nếu { } n A sao cho 21 n AAA thì tồn tại ( ) = = 1 lim n nn n APAP ; i)Nếu { } n A sao cho 21 n AAA thì tồn tại ( ) = = 1 lim n nn n APAP . 1.6. Định nghĩa. Hai biến cố A, B đợc gọi là độc lập nếu ( ) ( ) ( ) BPAPABP . = . 1.7.Định nghĩa. Họ tùy ý các biến cố ( ) Ii i A gọi là độc lập đôi một nếu i j; ( ) Iji , thì A i ; A j độc lập. 1.8. Định nghĩa. Họ tùy ý các biến cố ( ) Ii i A gọi là độc lập (toàn cục) nếu với mọi họ hữu hạn các biến cố ( ) Ii iii AAA n , , 1 thì ( ) ( ) ( ) ( ) nn iiiii APAPAPAAP . 211 = , ( ) 2 n . 1.9. Định nghĩa. Giả sử (,, P) là không gian xác suất. Khi đó ánh xạ đo đợc X: đợc gọi là đại lợng ngẫu nhiên (ĐLNN). 1.10. Tính chất. a) X: là ĐLNN khi và chỉ khi a R thì ( )( ) ( ) <=< aXaX : . b) Nếu X, Y là hai ĐLNN thì X Y; X.Y; Y X (Y 0) là ĐLNN. c) Nếu X là ĐLNN; f: là hàm đo đợc (f -1 (B) (); B ()) thì f(X) là ĐLNN. 6 d) Nếu X 1 ,X 2 ,.,X n , là dãy ĐLNN cùng xác định trên (,,P) thì n n Xinf ; n n Xsup ; n Xlim ; n Xlim (nếu hữ hạn); n n X lim (nếu tồn tại hữu hạn) là ĐLNN. 1.11. Định lý. Giả sử (, , P) là không gian xác suất; X: là ĐLNN. Đặt X ={X -1 (B):B () }. Khi đó X là một đại số. 1.12. Định nghĩa. i) X đợc gọi là đại số sinh bởi X. ii) Hai đại số 1 , 2 đợc gọi là độc lập nếu với mọi A 1 1 thì A 2 2 thì P(A 1 .A 2 )=P(A 1 )P(A 2 ). Họ đại số { , I} độc lập nếu với mọi họ con hữu hạn 1 . n của họ ( ) I và mọi A ( I ) ta có: P(A 1 .A n )=P(A 1 )P(A n ). iii) Hai ĐLNN X,Y gọi là độc lập nếu X , Y độc lập. Dãy ĐLNN X 1 ,X 2 ,.,X n , gọi là độc lập nếu với mọi n 1, thì (X 1 ,X 2 ,,X n ) và (X n+1 ,X n+2 ,,) độc lập. (Trong đó (X 1 ,X 2 ,.,X n ) (tơng ứng (X n+1 ,X n+2 ,,)) là đại số bé nhất mà X 1 ,X 2 ,,X n (tơng ứng X n+1 ,X n+2 ,) đo đợc)). 1.13. Định nghĩa. Giả sử (, , P) là không gian xác suất, X: là đại lợng ngẫu nhiên. Kỳ vọng của X, ký hiệu EX là một số xác định bởi công thức EX= XdP 1.14. Chú ý. Kỳ vọng của đại lợng ngẫu nhiên X có thể tồn tại hoặc không tồn tại. Kỳ vọng của đại lợng ngẫu nhiên X tồn tại nếu tích phân trong vế phải của định nghĩa 1.13 tồn tại. 1.15. ý nghĩa. Kỳ vọng của đại lợng ngẫu nhiên X là giá trị trung bình theo xác suất của đại lợng ngẫu nhiên đó. Trong trờng hợp X nhận các giá trị với xác suất nh nhau thì kỳ vọng của X chính là trung bình cộng của các giá trị của nó. 7 1.16. Tính chất. a) Nếu X 0 thì EX 0; b) Nếu X=C=const thì EX = C; c) Nếu tồn tại EX thì với mọi C R thì ta có E(CX)=CEX; d) Cho X,Y là các ĐLNN, ta có E(X Y)=EX EY; e) Cho X,Y là các ĐLNN thì với mọi a,b R, ta có: E(aX+bY)=aEX+bEY; f) Cho X,Y là các ĐLNN,nếu X,Y độc lập thì EXY=EX.EY. Tổng quát,nếu X 1 ,X 2 ,,X n là họ các ĐLNN độc lập thì E(X 1 .X 2 X n )=EX 1 .EX 2 .EX n . g) Nếu X rời rạc có bảng phân phối X x 1 x 2 . x n P p 1 p 2 . p n Thì EX=x 1 p 1 +x 2 p 2 + +x n p n +. h) Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ p(x) thì EX= + dxxxp )( i) Nếu f: đo đợc thì: [ ] = + dxxpxf pxf XfE i ii )()( )( )( nếu X rời rạc và P(X=x i )=p i ; nếu X liên tục có hàm mật độ p(x). 1.17. Bổ đề Borel-Cantelli. Giả sử (A n ) là dãy biến cố bất kỳ. a) Nếu ( ) = < 1n n AP thì 0suplim = n n AP . b) Nếu 8 ( ) = = 1n n AP và (A n ) độc lập thì 1suplim = n n AP . ở đây = = = 1 suplim n nm mn n AA . 1.18. Định lý (định lý hai chuỗi). Giả sử (X n ) là dãy ĐLNN độc lập. i) Nếu = 1n n DX , = 1n n EX hội tụ thì chuỗi = 1n n X hội tụ h.c.c. ii) Nếu < C sao cho ( ) 1;1 = nCXP n và = 1n n X hội tụ thì = 1n n DX , = 1n n EX hội tụ. 1.19. Định lý: (định lý 3 chuỗi). Để chuỗi các ĐLNN độc lập = 1n n X hội tụ h.c.c điều kiện cần và đủ là mọi số c>o sao cho ba chuỗi sau hội tụ: ( ) = 1n n cXP ; ( ) = 1n c n DX ; ( ) = 1n c n EX . 1.20. Định lý. (Luật mạnh số lớn Kolmogorov). Giả sử (X n ) là dãy các ĐLNN độc lập cùng phân phối. Khi đó a n S n (h.c.c); a R khi và chỉ khi < 1 XE và a=EX 1 . 1.21. Định nghĩa. i) Cho X là ĐLNN và số r>0. Khi đó số = dPXEX rr , (nếu tồn tại) đợc gọi là moment cấp r của X. ii) Số = dPEXXEXXE rr (nếu tồn tại) đợc gọi là moment trung tâm cấp r của X. 9 iii) Số = dPXXE rr , (nếu tồn tại) đợc gọi là moment tuyệt đối bậc r của X. 1.22. Nhận xét. i) Moment bậc nhất chính là kỳ vọng. ii) Moment trung tâm bậc hai chính là phơng sai. 1.23. Bất đẳng thức Liapunov. Đối với ĐLNN X bất kỳ và 0<s<t, ta có ts XX Đặc biệt ( ) ( ) XEXEXXE n n 1 2 1 2 . 1.24. Định nghĩa. Giả sử (,,P) là không gian xác suất; X: là ĐLNN. G là đại số con của . Ta nói X là ĐLNN G -đo đợc, nếu với mọi B () thì X -1 (B) G. 1.25. Định nghĩa. Giả sử (,,P) là không gian xác suất; X: là ĐLNN. G là đại số con của . Khi đó ĐLNN Y: gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với G. Nếu: i) Y là G - đo đợc; ii) = A A XdPYdP ; A G. Ký hiệu Y=E(X/ G). 1.26. Tính chất. a) Giả sử Y 1 và Y 2 là hai ĐLNN G - đo đợc. Khi đó i) Nếu A A dPYdPY 21 ; A G thì Y 1 Y 2 h.c.c. 10