Thứ tự sắp được của dãy các đại lượng trung bình tổng quát

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCĐỖ ĐỨC HIỆP THỨ TỰ SẮP ĐƯỢC CỦA DÃY CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2017... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCĐỖ ĐỨC HIỆP THỨ T

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỖ ĐỨC HIỆP

THỨ TỰ SẮP ĐƯỢC CỦA DÃY CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỖ ĐỨC HIỆP

THỨ TỰ SẮP ĐƯỢC CỦA DÃY CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - NĂM 2017

3.1 Sắp thứ tự một số đại lượng sinh bởi lớp hàm đơn điệu 243.2 Điều chỉnh các bộ số theo thứ tự gần đều 353.3 Một số mở rộng của định lý Jensen 443.4 Một số bài toán trong các đề thi Olympic quốc gia và quốc tế 55

Bảng ký hiệu

N∗ tập các số tự nhiên dương

I(a, b) tập các số thực trong khoảng (a, b)

AG bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhânAPMO Olympic toán học châu Á Thái Bình Dương

IMO Olympic toán học quốc tế do Ủy ban Olympic toán học

quốc tế tổ chức

MO Olympic toán học quốc tế

Mở đầu

Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt quan trọng trong toán học không chỉ như

là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắclực của các mô hình toán học liên tục cũng như các mô hình toán học rời rạctrong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Tronghầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc tế,thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toánliên quan đến bất đẳng thức hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rấtkhó Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của cáctổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức chotrước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng (bất đẳngthức) tương ứng

Trong bất đẳng thức, thứ tự sắp xếp giữa các đại lượng trung bình của bộ

số thực dương đóng một vai trò quan trọng trong việc so sánh giá trị giữa cácđại lượng trung bình đó Ngoài thứ tự sắp xếp của một số đại lượng trung bìnhthông thường như trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa .người ta còn quan tâm đến sắp thứ tự dãy các đại lượng trung bình tổng quát.Mục đích của luận văn nhằm khảo sát các tính chất của dãy các đại lượngtrung bình tổng quát và một số dạng toán liên quan

Nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong 3 chương

Chương 1 "Một số dạng bất đẳng thức giữa các đại lượng trung bình cơbản": giới thiệu một số dạng bất đẳng thức giữa các đại lượng trung bình cơbản và một số dạng bất đẳng thức cổ điển

Chương 2 "Sắp thứ tự dãy các đại lượng trung bình tổng quát": trình bàybài toán sắp thứ tự dãy các đại lượng trung bình tổng quát không có trọng và

có trọng

Chương 3 "Các dạng toán liên quan": xét một số dạng toán liên quan làcác bất đẳng thức và các bài toán cực trị từ các đề thi học sinh giỏi và thiOlympic

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tácgiả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học–Đạihọc Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên củacác thầy cô của khoa Toán-Tin và các thầy cô trong trường Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường THPT NguyễnBình, Đông Triều, Quảng Ninh và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiệntốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học

Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K9C và bạn bè đồngnghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làmluận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017

Tác giả luận văn

Đỗ Đức Hiệp

Chương 1 Một số dạng bất đẳng thức giữa các đại lượng trung bình cơ bản

Chương này giới thiệu một số dạng bất đẳng thức giữa các đại lượng trungbình cơ bản và một số dạng bất đẳng thức cổ điển Nội dung của chương đượcviết trên cơ sở các tài liệu [1]–[4]

1.1 Các giá trị trung bình cơ bản

1.1.1 Trung bình thông thường

Giả sử n ∈ N∗ Xét tập dãy các số dương

(a) := a1, a2, , ai, , an;(b) := b1, b2, , bi, , bn

Định nghĩa 1.1.1 Ta nói dãy (a) tỷ lệ với dãy (b) nếu tồn tại hai số λ và µkhông đồng thời bằng 0 sao cho

λai = µbi (i = 1, 2, , n)

Chú ý rằng dãy không (0), tức là dãy gồm toàn số không, tỷ lệ với mọi dãy (b).Nhận xét rằng tính tỷ lệ, như đã định nghĩa, là một quan hệ đối xứng giữacác dãy nhưng không phải là một quan hệ bắc cầu; nó sẽ là quan hệ bắc cầunếu khi khảo sát ta bỏ đi dãy không Nếu hai dãy (a) và (b) tỷ lệ và cả hai khácdãy không thì bi = 0 nếu ai = 0, còn đối với những giá trị khác của chỉ số i, tỷ

số ai/bi không phụ thuộc vào i

Định nghĩa 1.1.2 Xét các số thực r 6= 0 Khi đó tổng Mr(a) xác định theocông thức

được gọi là trung bình bậc r

Các đại lượng Mr(a) này sẽ được khảo sát chi tiết trong Chương 2

Vì trung bình là hàm thuần nhất bậc không đối với p, nên ta có thể giả sử

Thông thường, ta không chỉ rõ trọng trong các công thức, nhưng sẽ luônhiểu rằng những giá trị trung bình được đem ra so sánh với nhau phải cùngđược thành lập tự một hệ trọng

Trung bình thông thường là những trường hợp riêng của trung bình cótrọng Mặt khác, trung bình có trọng với các trọng thông ước là trường hợpriêng của trung bình thông thường (đối với hệ số a khác) Thật vậy, do tínhthuần nhất, ta có thể giả sử trọng là nguyên, còn trung bình có trọng nguyênthu được từ trung bình thông thường bằng cách thay mỗi số bằng một hệ các

số giống nhau tương ứng Trung bình với các trọng không thông ước có thể coinhư trường hợp giới hạn của trung bình thông thường Ta sẽ thường xuyên sửdụng các công thức hiển nhiên sau:

G(b) = kG(a) nếu (b) = k(a), (1.18)

Mr(a) ≤ Mr(b) nếu aν ≤ bν với mọi ν (1.19)

1.2 Một số dạng bất đẳng thức cổ điển

1.2.1 Định lý về trung bình cộng và trung bình nhân

Định lý 1.2.1 Ta luôn có G(a) ≤ A(a)

Chứng minh Bất đẳng thức phải chứng minh có thể viết dưới một trong haidạng sau:

Dấu bất đẳng thức thật sự xảy ra ở một trong các trường hợp a1, a2, a3, a4không đồng thời bằng nhau Lặp lại suy luận này m lần, ta thấy

a1 an < Antrừ trường hợp tất cả các phần tử của (b) và vì thế tất cả các phần tử của (a)bằng nhau Đây chính là bất đẳng thức (1.20) với trọng lượng đơn vị

Đặt

qi = qi0+ qi00 (i = 1, 2, , n)trong đó q0i > 0, qi00 > 0 và qi0 hữu tỷ Lúc này

Từ điều vừa chứng minh ở trên, suy ra

A(a) = M1(a) > M1/2(a) = M21(a1/2) ≥ G2(a1/2) = G(a)



1.2.2 Bất đẳng thức H¨ older

Định lý 1.2.2 Giả sử (a), (b), , (l) là m dãy, mỗi dãy gồm n số Khi đó

G(a) + G(b) + · · · + G(l) < G(a + b + · · · + l), (1.23)trừ các trường hợp hoặc là

(1) mỗi cặp bất kỳ trong dãy (a), (b), , (l) tỷ lệ, hoặc;

(2) tồn tại số i sao cho ai = bi = li = 0

(1) tất cả các dãy (a), (b), , (l) tỷ lệ, hoặc;

(2) có dù chỉ một trong các dãy đó là dãy không

Có thể diễn tả điều kiện có đẳng thức như sau: một trong các dãy tỷ lệ vớimọi dãy còn lại (trong đó dãy không được coi là tỷ lệ với tất cả các dãy khác)

Ta trình bày chứng minh Định lý 1.2.2 bằng hai cách sau đây

Bây giờ giả sử M là một số tự nhiên bất kỳ, bé hơn 2m và (g) là dãy thứ

M Nếu dãy (ab g) khác dãy không, ta đặt

A2m = aM, , G2m = gM (M dãy)

Nếu bây giờ α, β, hữu tỷ, ta có thể chọn chúng sao cho

i l

λ1 σ1

P

i=1

aαi bβi liλ(

i=1

ai

+ β nbiP

P

i=1

ai

= nbiP

Chú ý rằng chứng minh không phụ thuộc vào việc α, β, có hữu tỷ haykhông vì trong chứng minh này không có một bước chuyển qua giới hạn nào,trừ những bước đã gặp trong chứng minh Định lý 1.2.1

i nào đó

Nếu r = 1 thì đẳng thức nghiệm đúng với mọi a, b, Định lý 1.2.2 làtrường hợp riêng của Định lý 1.2.4 khi r = 0

Chứng minh Lấy trung bình với trọng q và đặt

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tất cả (qar), (qbr), tỷ lệ với (qsr) tức là khi(a), (b), tỷ lệ Vì S dương (trừ trường hợp tầm thường khi tất cả các dãy làdãy không) nên từ (1.30) suy ra (1.27)

Hơn nữa giả sử 0 < r < 1 Nếu không phải tất cả các dãy (a), (b), làdãy không thì si > 0 với i nào đó Nếu si = 0 với một giá trị riêng biệt nào đócủa i thì ai = bi = = li = 0 và ta có thể loại giá trị i ấy Vậy có thể xem tất

cả si > 0 , với giả thiết này thì từ bất đẳng thức

Cuối cùng, giả sử r < 0 Nếu một si nào đó bằng 0 thì tất cả trung bìnhbằng không Vì vậy, ta có thể giả sử si > 0 với mọi i Nếu một ai nào đó bằngkhông thì Mr(a) = 0 và ta có thể bỏ chữ a Do đó, ta có quyền giả sử mọi

ai, bi, dương và khi đó kết luận của định lý của được suy ra từ bất đẳng thức

Bất đẳng thức (1.32) thường được gọi là bất đẳng thức Minkowski Định

lý 1.2.4 có vẻ như tổng quát hơn Định lý 1.2.5, nhưng thực ra, nó có thể suy ra

Bất đẳng thức này thuần nhất theo q, do đó ta có thể giả sử

Chương 2 Sắp thứ tự dãy các đại

lượng trung bình tổng quát

Chương này trình bày một số mở rộng các dạng trung bình sinh bởi các

đa thức đối xứng Mục 2.1 giới thiệu về sắp thứ tự các trung bình của bộ sốvới trọng Mục 2.2 trình bày sắp thứ tự các tổng của bộ số theo bậc của chúng.Kiến thức của chương được tổng hợp từ các tài liệu [2] và [3]

2.1 Sắp thứ tự các trung bình của bộ số với trọng

Như đã biết bất đẳng thức giữa giá trị trung bình cộng và trung bình nhânchỉ là sự sắp được của hai phần tử trong một dãy biểu thức sắp được thứ tự.Các biểu thức này chính là những hàm đối xứng sơ cấp

Trong mục này ta xét một số mở rộng các dạng trung bình sinh bởi các đathức đối xứng Các mở rộng này dựa trên các tính chất của hàm số như tínhđơn điệu (tựa đơn điệu) để so sánh, tính lồi, lõm (tựa lồi, lõm) để sắp thứ tựtheo các đặc trưng cho trước

Ta xét bộ n số dương tùy ý (đã được đề cập ở Chương 1)

Định lý 2.1.1 Với mỗi bộ n số dương (x) và trọng (α), ta đều có

tức là, giới hạn là một trung bình nhân suy rộng

Chứng minh Trước hết, ta tính giới hạn

Định lý 2.1.2 Với mỗi bộ n số dương (x) trọng (α), ta đều có

lim

h→+∞Mh(x, α) = max{xi; i = 1, 2, , n} (2.2)Chứng minh Thật vậy, nếu đặt

xs = max{xi; i = 1, 2, , n},thì với mọi h > 0, ta có

α

1 h

sxs 6 Mh(x, α) 6 xs

Hoàn toàn tương tự, bằng cách chuyển qua giới hạn khi h → −∞, ta cóđịnh lý sau đây

Định lý 2.1.3 Với mỗi bộ n số dương (x) trọng (α), ta đều có

lim

h→−∞Mh(x, α) = min{xi; i = 1, 2, , n} (2.3)Chứng minh Thật vậy, để ý rằng

Từ các kết quả trên, ta quy ước:

−∞, 0, + ∞

Bây giờ ta có thể chứng minh một kết quả mạnh hơn rằng, dãy Mh(x, α)

là sắp được theo h như là một hàm đồng biến của hàm số biến h ∈ R

Định lý 2.1.4 Với mỗi bộ n số dương (x) trọng (α), ta đều có

dMh(x, α)

dh > 0, ∀h ∈ R \ {0}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn

Định lý 2.1.5 Với mỗi bộ n số dương (x) trọng (α), ta đều có

f (h) = hln Mh(x, α)

là một hàm lồi trên R

Chứng minh Vì f (h) là hàm khả vi, nên ta kiểm tra tính lồi trực tiếp thôngqua tính đạo hàm của hàm số

Từ đây, ta nhận được kết quả của một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất liênquan đến dạng trung bình bậc h có trọng

Bài toán 2.1.1 Với mỗi bộ n số dương (x) trọng (α), xét bộ các số (h) với tổng

là hàm lồi khả vi bậc hai Thật vậy, vì f (h) là hàm khả vi, nên ta kiểm tra tínhlồi trực tiếp thông qua tính đạo hàm của hàm số

Trong bất đẳng thức trên thay xi bởi hi, từ đó ta có ngay (2.6), điều phải chứng

2.2 Sắp thứ tự các tổng của bộ số theo bậc của chúng

Xét bộ n số dương tùy ý (x) := (x1, x2, , xn) Cũng tương tự như đối vớitrung bình Mh(x, α) trong mục trước, ta xét tổng bậc h đối với bộ (x)

Định nghĩa 2.2.1 Xét các số thực h 6= 0 Khi đó tổng Sh(x) xác định theocông thức

được gọi là tổng bậc h của bộ số (x).

Tính đơn điệu của tổng Sh(x) dạng (2.7) được phát biểu dưới dạng sau.Định lý 2.2.1 Với mỗi bộ n số dương (x), tổng Sh(x) nghịch biến trong (−∞, 0)

và trong (0, +∞) Ngoài ra,

Chứng minh Chứng minh được suy ra từ tính chất lồi của hàm số F (h) :=

Tương tự, dễ dàng kiểm tra tính lồi của các hàm số g1(h) := Sh(x) và

g2(h) := ln Sh(x) trong (0, +∞)

Từ đây, ta thu được hệ quả sau

Hệ quả 2.2.1 Với mỗi bộ n số dương (x) và bộ số dương (α), xét bộ số (h) =(h1, h2, , hn) sao cho tổng

Hệ quả 2.2.2 Với mỗi bộ n số dương (x) và bộ số dương (α), xét bộ số (h) =(h1, h2, , hn) sao cho tổng

Chương 3 Các dạng toán liên quan

Nội dung của chương nhằm giới thiệu các dạng toán liên quan đến sắp thứ

tự các đại lượng trung bình tổng quát Mục 3.1 trình bày sắp thứ tự một số đạilượng sinh bởi lớp hàm đơn điệu Mục 3.2 giới thiệu điều chỉnh các bộ số theothứ tự gần đều Mục 3.3 trình bày một số mở rộng của định lý Jensen Mục 3.4giới thiệu một số bài toán trong đề thi Olympic quốc gia và quốc tế Kiến thứccủa chương này được tổng hợp từ các tài liệu [1]–[6]

3.1 Sắp thứ tự một số đại lượng sinh bởi lớp hàm đơn điệu

Ta nhận thấy rằng ứng với a, b, c, α, β là các số dương, α > β thì ta luôncó

ab

α

+bc

α

+ca

α

> ab

β

+bc

β

+ca

x

+

bc

x

+

ca

x

đồng biến trong [0, ∞)

Vậy câu hỏi tự nhiên nảy sinh là ta có thể thiết lập được hay không cáchàm tương tự đối với các bất đẳng thức dạng khác khi đã tường minh cáchchứng minh cho trường hợp đơn lẻ và cụ thể? Ta thu được bài toán nội suy bấtđẳng thức, tức là từ một bất đẳng thức đã cho, ta xét hai vế của nó như là giátrị của một hàm cần tìm tại hai điểm cho trước

Bài toán 3.1.1 Cho a, b, c, α, β là các số dương, α > β Chứng minh rằng

b + c

2a

α

+c + a2b

α

+a + b2c

α

> b + c2a

β

+c + a2b

β

+a + b2c

β

(3.1)

Lời giải Xét hàm số

F (t) =

b + c2a

t

+

c + a2b

t

+

a + b2c

t2

+

a + b2c

t2

>

b + c2a

t1

+

c + a2b

t1

+

a + b2c

t1

Áp dụng bất đẳng thức Becnoulli, ta có:

b + c2a

t1

,

c + a2b

t 1

,

a + b2c

t 1

+

a + b2c

t 2

+

c + a2b

t 2

+

a + b2c

t 2

>

b + c2a

t 1

+

c + a2b

t 1

+

a + b2c

t 1

, ∀t2 > t1 > 0

Suy ra F (t) là hàm số đồng biến trên (0, +∞) Khi đó với mọi α > β ta luôn có

b + c2a

α

+

c + a2b

α

+

a + b2c

α

> b + c2a

β

+c + a2b

β

+a + b2c

Từ đây ta thu được điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

b2c + 2a − b +

c2a + 2b − c > 1 (3.5)hay

2b + 2c − a +

3b2c + 2a − b +

3c2a + 2b − c

3b2c + 2a − b =

3c2a + 2b − c = 1 ⇒ a = b = c.

Ta chứng minh F (t) là hàm số đồng biến trên [1, +∞) hay với mọi t1, t2 ∈[1, +∞), t1 < t2 ta cần chứng minh F (t1) 6 F (t2), hay

Bài toán 3.1.4 Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác, α > β > 1 Chứng minhrằng

 3a

2b + c

α

+ 3b2c + a

α

+ 3c2a + b

α

>

 3a2b + c

β

+ 3b2c + a

β

+ 3c2a + b

β

.(3.7)Lời giải Để ý rằng, với a, b, c là 3 số dương bất kỳ, t> 1 thì

 3a2b + c

t

+ 3b2c + a

t

+ 3c2a + b

t

Thật vậy, ta có

a2b + c +

b2c + a +

c

Xét trường hợp t > 1 Theo bất đẳng thức Becnoulli, ta có:

 3a2b + c

t

+ t − 1 > t

 3a2b + c

,

 3b2c + a

t

+ t − 1 > t 3b

2c + a

,

 3c2a + b

t

+ t − 1 > t

 3c2a + b

,

(t − 1)h 3a

2b + c +

3b2c + a +

3c2a + b

i

> 3(t − 1)

Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ta thu được

( 3a2b + c)

t

+ ( 3b2c + a)

t

+ ( 3c2a + b)

t

> 3, ∀t > 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3a2b + c =

3b2c + a =

3c2a + b = 1 ⇒ a = b = c.

Tiếp theo, xét hàm số

F (t) =

 3a2b + c

t

+

 3b2c + a

t

+

 3c2a + b

t 2

>  3a2b + c

t 1

+ 3b2c + a

t 1

+ 3c2a + b

t 1

+ 3b2c + a

t 1

+ 3c2a + b

t 1i

> 3t2

t1 − 1

Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ta thu được điều phải chứng minh Vậy F (t)

là hàm số đồng biến trên [1, +∞) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.Bài toán 3.1.5 Cho a, b, c, α, β là các số dương, α > β Chứng minh rằng

a2bc

α

+

b2ac

α

+

c2ab

α

>

a2bc

β

+

b2ac

β

+

c2ab

β

(3.10)Lời giải Xét hàm số

F (t) =

a2bc

t

+

b2ac

t

+

c2ab

t 1

,

b2ac

b2ac

c2ab

t 1

= 3

t2

t1 − 1.Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ta thu được

Bài toán 3.1.6 Cho a, b, c là các số dương, m, n ∈ N, m > n > 0 Chứng minhrằng