Các đại lượng trung bình của các số không âm

CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH CỦA CÁC SỐ KHÔNG ÂM BẤT ĐẲNG THỨC AM − GM... Đây là một cách gọi sai lầm vì bất đẳng thức này không phải do Cauchy phát hiện ra mà thực ra ông chỉ là người đưa

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH CỦA HAI SỐ KHÔNG ÂM

• Với hai số không âm a, b Kí hiệu:



2

a b

A= +

là trung bình cộng của hai số a, b.

 G= ab là trung bình nhân của hai số a, b.

Dấu “=” trong các bất đẳng thức này đều xảy ra khi a = b.

• Mở rộng ra cho n số không âm a a a1 , , , , 2 3 a n ta cũng có:

=

+ + + ×××+ là trung bình điều hòa của n số dương a a a1 , , , , 2 3 a n

Ta cũng có bất đẳng thức Q ≥ A ≥ G ≥ H.

Dấu “=” xảy ra khi a1 =a2 =a3 = = a n .

CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH CỦA CÁC SỐ KHÔNG ÂM

BẤT ĐẲNG THỨC AM − GM

Chú ý:

 A, G, Q, H theo thứ tự là viết tắt của các từ arithmetic mean (trung bình cộng), geometric mean (trung bình nhân), quadratic mean (trung bình toàn phương) và harmonic mean (trung bình điều hòa).

phổ biến ở nước ngoài, nhất là ở các nước Âu, Mỹ Ở Việt Nam, người ta vẫn

quen gọi là bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) Đây là một cách gọi sai lầm vì bất

đẳng thức này không phải do Cauchy phát hiện ra mà thực ra ông chỉ là người

đưa ra phép chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp kiểu Cauchy Cách chứng minh này rất hay và nổi tiếng, đến nỗi nhiều người lầm

tưởng Cauchy là người phát hiện ra bất đẳng thức này.

• Nội dung của bất đẳng thức này như sau:

Với n số không âm a a a1 , , , , 2 3 a n ta có: 1 2 3

Mở rộng ra ta thu được kết quả với 2 bộ n số thực (a a1 , , , 2 a n) và

 Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) là nhà toán học người Pháp, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1804 - 1889) là nhà toán học Nga và Hermann Amandus Schwarz (1843 - 1921), nhà toán học Đức Năm

1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vectơ thực hữu hạn chiều, đến năm 1859, học trò của Cauchy là Bunyakovsky thu được dạng tích phân của bất đẳng thức, kết quả tổng quát được Schwarz chứng minh năm 1885.

B CÁC ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC AM − GM

 Chứng minh bất đẳng thức

 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong bài toán hình học

 Các ứng dụng khác (giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh các mệnh đề toán học…)

I CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

• VÍ DỤ 1 Hãy chứng minh các hệ quả nêu trên của bất đẳng thức AM-GM.

Dấu “=” xảy ra 2

1 1

0

a a

a a

a a

a b c+ + ≥ abc Cứ tiếp tục như vậy, chúng ta sẽ tìm tòi được nhiều bài

toán mới, hay hơn, tổng quát hơn… Đây chính là cách suy nghĩ trên những bài toán giúp ta nắm vững kiến thức, cũng như một cách rèn luyện tư duy, từ đó hình thành một thói quen học toán tốt

• VÍ DỤ 3 Chứng minh rằng ∀a b c, , > 0ta có bất đẳng thức sau:

3 2

Chú ý: Bất đẳng thức (**) chính là bất đẳng thức Nesbitt (Ne-xbít) cho 3

số dương Ngoài ra, còn rất nhiều cách khác để chứng minh bất đẳng thức này

1 4

2

y x x

x y

y y

a Nếu hai số không âm có tổng là hằng số S không đổi thì tích của

chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

b Nếu hai số không âm có tích là hằng số P không đổi thì tổng của

chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

 Giải: Gọi a, b là hai số không âm bất kì.

Chú ý:

 Đây cũng là một hệ quả khá quan trọng của bất đẳng thức AM-GM, giúp chúng ta nhanh chóng tìm ra giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x2(8 −x2)

Giải: Dễ dàng nhận ra x2 + −(8 x2) = 8 (không đổi).

Do đó theo phần a thì x2(8 −x2) đạt giá trị lớn nhất là 82 16

4 = khi và chỉ khi 2 2 8

⇔ Tam giác đó là tam giác đều

b Áp dụng hệ quả 1 của bất đẳng thức AM-GM:

2 2

Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên

, , 0

0 0 0

8 4 4

4

a a

a

+ + +





 Bạn đọc hãy cùng quan sát lại một lần nữa bất đẳng thức ở phần b

Với điều kiện a b c, , > 0, khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho 0

 Cũng vẫn là bất đẳng thức ở phần b nhưng nếu cho thêm giả thiết

1

khăn hơn khi nhận ra phải sử dụng bất đẳng thức AM-GM để chứng minh bất đẳng thức này

 Một mở rộng khác từ bất đẳng thức b là một bài toán khá hay như

sau: “Cho 2 bộ n số dương a a a1 , , , , 2 3 a n và b b b1 , , , , 2 3 b n thỏa mãn

Cứ như vậy, ta đi đến với kết quả tổng quát:

Với n số không âm a a a1 , , , , 2 3 a n ta có:

• VÍ DỤ 8

a Cho các số không âm a b, Chứng minh: a b+ ≤ a+ b≤ 2(a b+ )

b Cho các số không âm a b c, , Chứng minh:

b Bằng phương pháp biến đổi tương đương như ở phần a và sử dụng

hệ quả 2 của bất đẳng thức AM-GM, ta thu được đccm

Dấu “=” xảy ra ⇔ = = ⇔a b c Tam giác đó là tam giác đều

• VÍ DỤ 9 Cho các số dương a b c d, , , thỏa mãn điều kiện

abcd ≤

 Giải:

Ta nhận ra 3 = 1 + 1 + 1 nên ta sẽ biến đổi điều kiện của đề bài như sau:

Nhận xét: Bằng việc linh hoạt trong phép biến đổi, cộng thêm sử dụng

bất đẳng thức AM-GM, ta đã có một lời giải “nhanh, gọn, đẹp” Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra cho chúng ta sau khi giải, đó là, liệu bất đẳng thức trên có dạng tổng quát hay không, và đó là gì? Nếu có, ta phải chứng minh như thế nào?

Câu trả lời là có Bất đẳng thức tổng quát của nó như sau:

Với n số dương a a a1 , , , , 2 3 a n (n≥ 3) , thỏa mãn điều kiện

(vì a2 + + ≥b2 c2 ab bc ca+ + (∀a b c, , ) theo hệ quả 2 bất đẳng thức AM-GM)

II TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

• VÍ DỤ 11 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 16 ( ) x

x

−

=

−

(Đề thi học sinh giỏi thành phố Yên Bái - tỉnh Yên Bái 2011 - 2012)

 Giải: ĐK: 1 −x2 > ⇔ 0 x2 < ⇔ < ⇔ − < < 1 x 1 1 x 1

Làm tương tự như VÍ DỤ 12 với lưu ý: 5 3 − x= + +(1 x) (4 1 −x)

• VÍ DỤ 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

1

1

x y

y x

minh: dùng hệ thức Vi-ét đảo hoặc thế x= − 1 y vào xy= 1) Vì thế, dấu

đẳng thức ở bất đẳng thức trên không xảy ra Tức là M > 4, nghĩa là cách

giải của các bạn đã sai

Cách giải đúng như sau:

2 16

x y

x y

x y xy

là vì ta có thể dự đoán được giá trị nhỏ nhất của M đạt được khi x= y

Mà theo giả thiết x y+ = 1 Như vậy M đạt giá trị nhỏ nhất khi 1

2

x= =y

Từ đây hình thành cách tách xy hoặc xy1 sao cho khi dấu “=” xảy ra thì

1 2

xy xy

• VÍ DỤ 21 Một tấm nhôm hình vuông có cạnh bằng 30 cm Người ta cắt ở

bốn góc bốn hình vuông bằng nhau rồi gấp tấm nhôm lại (theo đường nét đứt) để được một cái hộp không nắp Tính cạnh các hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất

Vậy thể tích khối hộp đạt giá trị lớn nhất bằng 2000 cm khi cạnh của hình vuông bị cắt bằng 5 cm

• VÍ DỤ 22 Cho tam giác ABC vuông tại A Một điểm M bất kì nằm trong

tam giác Gọi H, I, K thứ tự là hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA,

AB Tìm vị trí của M để MH2 +MI2 +MK2 đạt giá trị nhỏ nhất

• VÍ DỤ 23 Cho tam giác nhọn ABC Trong tất cả các hình chữ nhật MNPQ

nội tiếp tam giác ABC (M, N ∈ BC, P ∈ AC, Q ∈ AB), hãy tìm hình chữ

( )

2

.

S

BC AH BC AH S

khi

2

AH

AH MQ MQ− = ⇔MQ= ⇔ P, Q thứ tự là trung điểm của AC và AB.

• VÍ DỤ 24 Cho hình thang ABCD có diện tích bằng S Biết AC là đường

chéo lớn nhất của hình thang Tìm giá trị nhỏ nhất của AC.

 Giải:

Kẻ AM ⊥ CD, BN ⊥ CD Theo bài ra, AC ≥ BD

Khi đó CM ≥ DN (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Vậy sin sin sin

• VÍ DỤ 27 Tìm các số x y z, , > 0 thỏa mãn điều kiện

Nến dấu “=” ở các bất đẳng thức trên xảy ra

Do đó x= = =y z 2 và đây cũng là bộ số duy nhất thỏa mãn đề bài.

• VÍ DỤ 28 Có hay không những số dương a b c, , nhỏ hơn 1 và thỏa mãn hệ

bất phương trình sau đây?

1 1

2 1 1

4 1 1

Vậy không tồn tại ba số dương a b c, , nào thỏa mãn hệ bất phương trình

• VÍ DỤ 29 Tìm hệ thức liên hệ giữa ba số x y z, , nếu biết ba số đó thỏa mãn

Do đó dấu “=” ở bất đẳng thức (2) xảy ra, cho ta x= =y z

• VÍ DỤ 30 Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, nội tiếp trong

đường tròn bán kính R Biết rằng R b c( + =) a bc Tính số đo các góc của tam giác ABC.

Kết hợp (1) và (2) ta được a= 2R , tam giác ABC vuông tại A.

Dấu “=” ở bất đẳng thức (1) xảy ra nên b c=

Như vậy ∆ABC vuông cân tại A.

2. Chứng minh:

2012 2012

3 2 2

a a

14 Cho ba số a b c, , thỏa mãn a b c+ + = 3 Chứng minh: ab bc ca a b c+ + ≤ + +

15 Cho a b c, , thỏa mãn a2 + + =b2 c2 3 Chứng minh rằng:

6

a b c ab bc ca+ + + + + ≤

16 Chứng minh rằng:

a a4 + + ≥b4 c4 abc a b c( + + ) (∀a b c, , )

23 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Yên Bái 2011 - 2012)

Cho x y z, , là ba số dương thỏa mãn xyz= 1 Chứng minh rằng:

xy xz

2 4

x M

x

= +

34 Cho các số dương x y, thỏa mãn x y+ ≥ 4 Chứng minh:

39 Cho tam giác ABC có diện tích S M là điểm nằm trong tam giác Các tia

AM, BM, CM cắt các cạnh BC, AC, AB ở A, B, C Xác định vị trí của điểm M để

MA +MB +MC đạt giá trị nhỏ nhất.

40 Các đường phân giác của các góc A, B, C của tam giác ABC cắt các cạnh

đối diện của tam giác tại D, E, F Xác định dạng của tam giác ABC để tam giác DEF có diện tích lớn nhất

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ HẾT ~~~~~~~~~~~~~~~~~~

NGUYỄN KHÁNH HÒA - THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH