Một số bất đẳng thức so sánh về moment giữa các biến ngẫu nhiên liên kết âm và các biến ngẫu nhiên độc lập

1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương 1.Một số bất đẳng thức so sánh moment biến ngẫu nhiên liên kết âm biến ngẫu nhiên độc lập 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Một số bất đẳng thức so sánh moment biến ngẫu nhiên liên kết âm biến ngẫu nhiên độc lập Chương 2.Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm 18 2.1 Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm 18 2.2 Nhận xét ví dụ 27 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết xác suất cổ điển, khái niệm độc lập chiếm vị trí trung tâm Tuy nhiên vật tượng đời sống có quan hệ phụ thuộc với nhau, việc mở rộng khái niệm độc lập điều cần thiết Gần xuất nhiều hướng mở rộng khái niệm thu nhiều kết quan trọng Trong luận văn này, nghiên cứu kiểu phụ thuộc biến ngẫu nhiên liên kết âm Khái niệm liên kết âm quan tâm nhà nghiên cứu có nhiều ứng dụng thống kê tốn học Có nhiều định lý giới hạn thiết lập cho biến ngẫu nhiên liên kết âm Trên sở đọc tìm tài liệu tham khảo, nghiên cứu đề tài:" Một số bất đẳng thức so sánh moment biến ngẫu nhiên liên kết âm biến ngẫu nhiên độc lập" Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Một số bất đẳng thức so sánh moment biến ngẫu nhiên liên kết âm biến ngẫu nhiên độc lập Chương bao gồm hai mục Mục 1.1 trình bày kiến thức chuẩn bị Mục 1.2 chúng tơi trình bày cách chi tiết kết Shao [6] thiết lập bất đẳng thức tổng biến ngẫu nhiên liên kết âm nằm Định lý 1.2.1, Định lý 1.2.3, Định lý 1.2.6 Từ bất đẳng thức ba định lý vừa nêu dùng để thiết lập định lý hội tụ tổng biến ngẫu nhiên liên kết âm sử dụng chương Chương 2: Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Chương bao gồm hai mục Mục 2.1 nội dung trình bày hội tụ dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Định lý 2.1.3 kết tương tự Định lý 2.1 A Gut v U Stadtmă uller [4] Mc 2.2 nờu nhn xột lấy ví dụ minh họa Vì khả thân cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý thầy bạn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo TS Lê Văn Thành, giúp đỡ thầy cô giáo Tổ Xác suất thống kê Toán ứng dụng, khoa Toán-Trường Đại học Vinh với gia đình bạn bè Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Lê Văn Thành-người dành cho tác giả quan tâm giúp đỡ nhiệt tình suốt tình nghiên cứu hồn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa, thầy khoa Tốn-Trường Đại học Vinh trang bị kiến thức kinh nghiệm bổ ích cho tác giả thời gian học, xin cảm ơn tập thể cao học 18-Lý thuyết Xác suất thống kê Toán học tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Vinh, năm 2012 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SO SÁNH VỀ MOMENT GIỮA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM VÀ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP Trong toàn luân văn này, giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất đầy đủ cố định 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Định nghĩa [2] Họ hữu hạn {Fi , i ∈ I} σ -đại số F gọi độc lập Ai ) = P( i∈I P(Ai ) i∈I Ai ∈ Fi , (i ∈ I) Họ vô hạn {Fi , i ∈ I} σ -đại số F gọi độc lập họ độc lập Họ biến ngẫu nhiên Xi , i ∈ I gọi độc lập họ σ -đại số sinh chúng {F(Xi ), i ∈ I} độc lập Họ biến cố {Ai , i ∈ I} ⊂ F gọi độc lập họ biến ngẫu nhiên {IAi , i ∈ I} độc lập 1.1.2 Covariance Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên Khi đó, covariance X Y , ký hiệu cov(X, Y ), định nghĩa cov(X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY ) Rõ ràng X Y độc lập cov(X, Y ) = 1.1.3 Bất đẳng thức Markov [2] Giả sử X biến ngẫu nhiên không âm Khi đó, với ε > ta có P(X ≥ ε) ≤ EX ε 1.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev [1] Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi tồn DX với ε > ta có P(|X − EX| ≥ ε) ≤ DX ε2 1.1.5 Định nghĩa [6] Dãy hữu hạn biến ngẫu nhiên {Xi , ≤ i ≤ n} gọi liên kết âm cov{f (Xi , i ∈ A), g(Xj , j ∈ B)} ≤ (1.1) với cặp tập rời A, B tập {1, , n} với hàm không giảm theo tọa độ f : R|A| → R, g : R|B| → R cho covariance công thức (1.1) tồn Một dãy vô hạn biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} gọi liên kết âm với n ≥ 1, dãy hữu hạn {Xi , ≤ i ≤ n} liên kết âm Dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm có tính chất quan trọng sau Tính chất chứng minh Joag-Dev Proschan [5] 1.1.6 Bổ đề [5] (Joag-Dev Proschan) Giả sử {Xi , i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm, {Ai , i ≥ 1} dãy tập đôi rời tập {1, 2, }, fi : R|Ai | → R, i ≥ 1, hàm khơng giảm theo tọa độ Khi dãy {fi (Xj , j ∈ Ai ), i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Để bước sang phần trình bày kết chương 1, chúng tơi đưa bốn tính chất giải tích cổ điển 1.1.7 Bổ đề [6] Với hàm lồi f , đạo hàm phải f+ ln tồn khơng giảm Hơn nữa, ta có b f (b) − f (a) = f+ (t)dt a với số thực a, b 1.1.8 Bổ đề [6] Với < p ≤ với số thực x ta có |1 + x|p ≤ + px + 22−p |x| 1.1.9 Bổ đề [6] Với số thực x ≥ ta có x2 x + ln(1 + x) + ln(1 + x) ≥ + x 2(1 + x)2 1.1.10 Bổ đề (Kronecker) Giả sử {xn , n ≥ 1} dãy số thực {bn , n ≥ 1} dãy số dương không giảm đến +∞: < b1 < b2 < < ∞ x n n xk → n → ∞ hội tụ bn → ∞ Khi đó, bn k=1 n=1 bn 1.2 Một số bất đẳng thức so sánh moment biến ngẫu nhiên liên kết âm biến ngẫu nhiên độc lập Bất đẳng thức so sánh moment công cụ có ích việc thiết lập định lý giới hạn Trong phép chứng minh kết mục này, khơng nói thêm, ta ln hiểu biến ngẫu nhiên với ký hiệu có dấu ∗ biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với biến ngẫu nhiên ban đầu Ví dụ, X1∗ , X2∗ , , Xn∗ biến ngẫu nhiên độc lập, Xi∗ có phân phối với Xi với i 1.2.1 Định lý Giả sử {Xi , ≤ i ≤ n} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm, {Xi∗ , ≤ i ≤ n} dãy biến ngẫu nhiên độc lập cho với ≤ i ≤ n, Xi∗ Xi phân phối Khi n n Xi∗ Xi ≤ Ef Ef i=1 i=1 (1.2) với hàm lồi f Nếu f hàm lồi khơng giảm, k Ef Xi ≤ Ef max 1≤k≤n k Xi∗ max 1≤k≤n i=1 (1.3) i=1 Chứng minh Chúng ta chứng minh (1.2) phương pháp quy nạp theo n Giả sử Y1 , Y2 hai biến ngẫu nhiên độc lập, (Y1 , Y2 ) độc lập phân phối với (X1 , X2 ) Khi đó, theo Bổ đề 1.1.7, ta có f (X1 + X2 ) + f (Y1 + Y2 ) − f (X1 + Y2 ) − f (Y1 + X2 ) Y2 (f+ (Y1 + t) − f+ (X1 + t))dt = X2 ∞ = −∞ (f+ (Y1 + t) − f+ (X1 + t))(I(Y2 > t) − I(X2 > t))dt Vì f+ (x+t) I(x > t) hàm không giảm theo x với t, nên f+ (X1 +t) I(X2 > t) liên kết âm Theo định lý Fubini, ta có 2(Ef (X1 + X2 ) − Ef (X1∗ + X2∗ )) = E(f (X1 + X2 ) + f (Y1 + Y2 ) − f (X1 + Y2 ) − f (Y1 + X2 )) ∞ = −∞ Cov(f+ (X1 + t), I(X2 > t))dt ≤ (1.4) Điều chứng minh (1.2) cho trường hợp n = Giả sử (1.2) với n − ≥ Ta đặt k Xi , k ≥ 1, Sk = i=1 g(x) = Ef (x + Sn−1 ) Theo giả thiết quy nạp, ta có n−1 Xi∗ ) g(x) ≤ Ef (x + i=1 (1.5) Theo Bổ đề 1.1.6, ta có Sn−1 Xn hai biến ngẫu nhiên liên kết âm Do đó, theo (1.5) ta suy ∗ Ef (Sn ) ≤ Ef (Xn∗ + Sn−1 ) = Eg(Xn∗ ) n−1 ≤ Ef (Xn∗ Xi∗ ) + i=1 Điều chứng tỏ (1.2) với n Để chứng minh (1.3), ta ký hiệu k Xi∗ , Mk = max Si , Mk = max Si Sk = i=1 1≤i≤k 1≤i≤k Chúng ta cần chứng minh với n với số thực a b Ef (max(a, b + max(0, Mn ))) ≤ Ef (max(a, b + max(0, Mn ))) (1.6) Thật vậy, giả sử (1.6) Khi đó, ta ký hiệu g1 (x) = Ef max{x, x + max{0, max (Sk − X1 )}} 2≤k≤n Điều kéo theo g1 (x) ≤ Ef max{x, x + max{0, max (Sk − X1∗ )}} 2≤k≤n (1.7) Bổ đề 1.1.6 kéo theo X1 max{0, max2≤k≤n (Sk − X1 )} liên kết âm Do Ef ( max Si ) = Ef X1 + max{0, max (Sk − X1 )} 1≤i≤n 2≤k≤n ≤ Ef X1∗ + (max{0, max (Sk − X1 )})∗ (theo (1.2)) 2≤k≤n = E E f (X1∗ + (max{0, max (Sk − X1 )})∗ )|X1∗ 2≤k≤n = E f (X1∗ + max{0, max (Sk − X1 )}) 2≤k≤n = Eg1 (X1∗ ) ≤ Ef max{X1∗ , X1∗ + max{0, max (Sk − X1∗ )}} (theo (1.6)) 2≤k≤n = Ef (Mi ) Điều có nghĩa (1.3) Bây ta chứng minh (1.6) phương pháp quy nạp theo n Dễ thấy X1 max(0, X2 ) liên kết âm, M2 = X1 + max(0, X2 ), h(x) := f (max(a, b + max(0, x))) = f (max(a, b, b + x)) = max(f (max(a, b)), f (b + x)) hàm lồi Theo (1.2) ta có Ef (max(a, b + max(0, M1 ))) = Eh(X1 + max(0, X2 )) ≤ Eh(X1∗ + (max(0, X2 ))∗ ) = Eh(X1∗ + max(0, X2∗ )) = Ef (max(a, b + max(0, M2 ))) Điều chứng minh(1.6) cho trường hợp n = Giả sử (1.6) n − ≥ Đặt M1 (n − 1) = max (Si+1 − X1 ), 1≤i≤n−1 M1 (n − 1) = max (Si+1 − X1∗ ), 1≤i≤n−1 u(x) = Ef max a, b + max{0, x + max{0, M1 (n − 1)}} Theo giả thiết quy nạp, ta có u(x) ≤ Ef max a, b + max{0, x + max{0, M1 (n − 1)}} (1.8) 10 Theo Bổ đề 1.1.6, ta suy X1 M1 (n − 1) liên kết âm Do Ef (max{a, b + max{0, Mn }}) = Ef max{a, b + max{0, X1 + max{0, M1 (n − 1)}}} ≤ Ef max{a, b + max{0, X1∗ + max{0, M1 (n − 1)∗ }}} (theo (1.2)) = Eu(X1∗ ) ≤ Ef max{a, b + max{0, X1∗ + max{0, M1 (n − 1)}}} (theo(1.8)) = Ef max{a, b + max{0, Mn }} Điều chứng tỏ (1.6) với n Định lý hoàn toàn chứng minh Định lý chứng tỏ phần lớn bất đẳng thức quen thuộc tổng biến ngẫu nhiên độc lập với tổng biến ngẫu nhiên liên kết âm 1.2.2 Bổ đề [3] Giả sử f (.) hàm lồi không giảm [0, ∞), với n ≥ a ∈ R Ef ((Mn − a)+ ) ≤ 2Ef ((Sn − a)+ ) − f (0) S0 = 0, Sk = k i=1 Xi , Mn = max Sk 0≤k≤n Kết dùng để chứng minh Định lý 1.2.3 với f (x) = x, x ∈ [0, ∞), a = 0, n ≥ nên Ef (Mn+ ) ≤ 2Ef (Sn+ ) 1.2.3 Định lý Giả sử ≤ p ≤ 2, {Xi , ≤ i ≤ n} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm thỏa mãn EXi = 0, E|Xi |p < ∞ với i, {Xi∗ , ≤ i ≤ n} dãy biến ngẫu nhiên độc lập cho với ≤ i ≤ n, Xi∗ Xi phân phối Khi n E p Xi i=1 n p Xi∗ , ≤E i=1 (1.9) 16 Mặt khác {Ti , ≤ i ≤ n} dãy martingale Từ Bổ đề 1.1.9 xa x − Bn a xa xa Bn Bn xa + xa 1+ + Bn Bn (xa + Bn )a−2 ln + ≥ xa + Bn a2 xa ln + Bn 1+ − x a (1.22) −2 = (xa + Bn )a xa (xa)2 xa + + ln + xa + Bn 2(xa + Bn )2 Bn x (xa)2 xa + + ln + a 2(xa + Bn ) Bn 2 xa x + ln + = 2(xa + Bn ) Bn = − − x a x a (1.23) Do tα max Ui J1 = e−tαx Ee 1≤i≤n t max Ui α = etαx E e 1≤i≤n = e−tαx E max Ti e(e ta −1−ta)a−2 Bi α 1≤i≤n ≤ e−tαx e(e ta −1−ta)a−2 Bn α E max Ti 1≤i≤n ta (Vì Bi < Bn ) −2 = exp − tαx + α(e − − ta)a Bn E max Ti α 1≤i≤n ≤ (1 − α)−1 exp − tαx + α(eta − − ta)a−2 Bn (do Bổ đề 1.2.5) = (1 − α)−1 exp (do (1.20)) − α a−1 x ln + xa xa xa − − ln + Bn Bn Bn a−2 Bn 17 xa xa x xa ln + − ln + − a Bn Bn Bn = (1 − α)−1 exp −α = (1 − α)−1 exp − α (xa + Bn )a−2 ln + ≤ (1 − α)−1 exp − Bn a2 xa x − Bn a αx2 xa + ln + 2(xa + Bn ) Bn (do (1.23)) (1.24) Từ (1.21) (1.24) chứng minh (1.17) Do định lý chứng minh 18 CHƯƠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM 2.1 Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Trong chương trình bày hội tụ hầu chắn (h.c.c.) tổng biến ngẫu nhiên liên kết âm Trong chương 2, Định lý 2.1.3 kết tương tự nh nh lý 2.1 ca A Gut v U Stadtmă uller [4] Ký hiệu C số dương, số khơng thiết phải giống lần xuất chương Giả sử {Xn , n > 1} dãy biến ngẫu nhiên Khi đó, dễ chứng minh tập A = {ω : Xn (ω) hội tụ} tập đo Ta nói, dãy {Xn , n > 1} hội tụ hầu chắn P(A) = P{ω : Xn (ω) hội tụ} = Đặt X(ω) = lim Xn (ω) n→∞ ω ∈ A, ω ∈ A Khi X biến ngẫu nhiên ta ký hiệu hội tụ hầu chắn dãy {Xn , n > 1} 19 Xn −→ X h.c.c., lim Xn = X h.c.c n→∞ 2.1.1 Bổ đề (Bổ đề Borel- Cantelli [1]) Giả sử (An ) dãy biến cố (i) Nếu ∞ P(An ) < ∞, n=1 P(lim sup An ) = n (ii) Nếu ∞ P(An ) = ∞ n=1 (An ) độc lập, P(lim sup An ) = n 2.1.2 Định lý Giả sử 1/2 < r ≤ 1, pr ≥ 1, p ≥ Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm, phân phối với EXn = 0, E|Xn |p < ∞ Khi với ∀ε > 0, j ∞ n rp−2 n=1 Xi | > εnr < ∞ P max | 1≤j≤n i=1 Chứng minh Ta ký hiệu Xn = Xn I(|Xn | ≤ nr )+Xn I(|Xn | > nr ) Theo giả thiết {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Với ∀ε > 0, j ∞ n n=1 rp−2 r P max | 1≤j≤n Xi | > εn i=1 ≤ ε j ∞ pr−2−2r n n=1 E max | 1≤j≤n Xi | i=1 (theo bất đẳng thức Chebyshev) (2.1) 20 ∞ n ≤C n pr−2−2r n=1 E(Xi − EXi )2 i=1 (theo Định lý 1.2.3) ∞ n ≤C n pr−2−2r n=1 Đặt EXi2 (2.2) i=1 ∞ npr−2−2r E Xn I |Xn | ≤ nr R1 := C n=1 ∞ npr−1−2r E Xn I |Xn | ≤ nr ≤C n=1 ∞ n pr−1−2r =C EXn2 I (i − 1)r < |Xn | ≤ ir n n=1 ∞ ∞ i=1 npr−1−2r EXn2 I (i − 1)r < |Xn | ≤ ir =C ≤C i=1 i=n ∞ pr−2r i EXn2 I (i − 1)r < |Xn | ≤ ir i=1 ∞ ipr P (i − 1)r < |Xn | ≤ ir ≤C i=1 ≤ CE|Xn |p < ∞ Và ∞ R2 := C n n pr−2−2r n=1 ∞ i=1 n npr−2 =C n=1 ∞ n2r P |Xi | > nr P |Xi | > nr i=1 npr−1 P |Xi | > nr ≤C n=1 21 ∞ ∞ pr−1 = P ir < |Xn | ≤ (i + 1)r n n=1 ∞ i=n i npr−1 P ir < |Xn | ≤ (i + 1)r = i=1 n=1 ∞ pr i P ir < |Xn | ≤ (i + 1)r ≤C i=1 = CE|Xn |p < ∞ Vậy từ (2.2) ∀ε > 0, j ∞ rp−2 n n=1 Xi | > εnr ≤ R1 + R2 ≤ 2CE|Xn |p < ∞ P max | 1≤j≤n i=1 Định lý chứng minh Sau đây, chúng tơi trình bày kết tương tự A Gut U Stadtmă uller [4] trng hp bin ngu nhiờn liờn kết âm với hàm cụ thể L(n) = log n 2.1.3 Định lý Cho {X, Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm, dừng ngặt, đối xứng đặt n+k Tn,n+k = Xj j=n+1 Khi Tn,n+ logn n n log n → h.c.c n → ∞ E(|X| log+ (|X|)) < ∞ Chứng minh Giả sử E(|X| log+ (|X|)) < ∞, biến ngẫu nhiên liên kết âm đối xứng nên EX = Ta ký hiệu an = an }, Xn" = Xn I{|Xn | > an } Tn,n+an = n+an j=n+1 n log n , Xn = Xn I{|Xn | ≤ " Xj , Tn,n+a = n n+an j=n+1 Xj" , 22 n Sn = i=1 Xi Khi Xn = Xn + Xn" Theo ký hiệu an = n log n ν ≤ an ⇐⇒ n ≥ (1 + o(1))ν log+ ν) (2.3) log n log k ∼ k → ∞ n2 k n≥k (2.4) Với t > hàm t ϕ(t) = 1 log u du = (log t)2 u hàm không giảm nên ψ(t) = ϕ−1 (t) hàm không giảm √ Chọn dãy số {nk = exp( 2k), k ≥ 1}, nk ∞ k → ∞ đặt nk = ψ(k) Do hàm L(n) = log n hàm tới hạn không giảm đến +∞ nk+1 nk →1 k → ∞ nên với η > 0, có an k = nk nk+1 ≤ nk+1 − nk ≤ ≤ (1 + η)ank log nk log(k + 1) Sau với k nguyên có log nk nk ≥ log l l ( hay ψ(k+1) ψ(k) (2.5) −→ k −→ ∞) nên nk + ≤ l ≤ nk+1 ⇐⇒ ϕ(l) − ≤ k ≤ ϕ(l − 1) (2.6) Đầu tiên chứng minh Tnk ,nk +an dãy Tn,n+an hội tụ hầu k + chắn E(|X| log (|X|)) < ∞, tức η > 0, ∞ P(|Tnk ,nk +an | > ηank ) < ∞ k k=1 23 Xét dãy chặt cụt sau ∞ E(Tnk ,nk +an )2 ∞ P(|Tnk ,nk +an | > ηank ) ≤ η −2 k a2nk k k=k0 k=k0 (theo bất đẳng thức Chebyshev) ∞ =η −2 nk +ak −2 Xl )2 ank E( k=k0 l=nk +1 (do tính đối xứng biến ngẫu nhiên liên kết âm) nk+1 ∞ a−2 nk ≤C k=k0 EX I{|X| ≤ al } l=nk +1 (theo(2.6)) nk+1 ∞ a−2 l EX I{|X| ≤ al } ≤C ≤C ≤C ≤C ≤C k=k0 l=nk +1 ∞ a−2 l EX I{|X| ≤ al } l=1 al ∞ −2 al EX I{ν − < |X| ≤ ν} ν=1 l=1 al ∞ −2 al ν P{ν − < |X| ≤ ν} ν=1 l=1 ∞ ν2 a−2 P{ν − < |X| ≤ l ν=1 {l:al ≥ν} ν} (theo(2.3)) ∞ a−2 P{ν − < |X| ≤ ν} l ν2 ≤C l≥ν log+ (ν) ν=1 (theo(2.3)) ∞ ≤C ν log+ (ν)))2 P{ν − < |X| ≤ ν} ν log+ (ν) (log(ν ν=1 (theo(2.4)) ∞ ν log+ (ν)P{ν − < |X| ≤ ν} ≤C ν=1 ≤ CE(|X| log+ (|X|)) < ∞ 24 Bên cạnh " P lim sup(|Tn,n+a | > ηan ) ≤ P lim sup(|Xn" | = 0) n Bây ta chứng minh ∞ ∞ P(|Xn" | P(|Xn | > an ) = 0) = n=1 n=1 ∞ = P(|X| > an ) n=1 ∞ P(|X| log+ (|X|) > n(1 + o(1)) < ∞ = n=1 Do E(|X| log+ (|X|)) < ∞ nên áp dụng Bổ đề Borel- Cantelli " " Tn,n+ n Tn,n+a log n n −→ h.c.c n → ∞ = n an log n (2.7) Giả sử < η < 1, ta đặt n ˜ k = nk + ank Từ (2.5), với k đủ lớn ta có nk ≤ n ˜ k := nk (1 + ) ≤ nk (1 + η), log nk ank ≤ an˜ k ≤ ank (1+η) ≤ (1 + η)ank , n ˜ k+1 − n ˜ k ≤ (nk+1 − nk )(1 + ) ≤ (1 + η)(1 + η)ank ≤ (1 + 3η)ank log nk (2.8) Với δ > 0, P max nk ≤n≤nk+1 Sn+an − Sn > 3δ ≤ P( max |Sn+an − Snk +ank | > δank ) nk ≤n≤nk+1 an + P( max | − Sn + Snk | > δank ) nk ≤n≤nk+1 + P( max nk ≤n≤nk+1 |Snk +ank − Snk | > δank ) (2.9) 25 ≤ P( max |Sn − Sn˜ k | > δank ) + P( max | − Sn + Snk | > δank ) n ˜ k ≤n≤˜ nk+1 nk ≤n≤nk+1 + P(|Snk +ank − Snk | > δank ) (theo(2.8)) ≤ P( |Sn − Sn˜ k | > δank ) max n ˜ k ≤n≤˜ nk+(1+3η)an + P( | − Sn + Snk | > δank ) max nk ≤n≤nk+(1+η)an k k + P(|Snk +ank − Snk | > δank ) := R1 + R2 + R3 Từ bất đẳng thức Markov, E( R1 ≤ |Sn − Sn˜ k |) max n ˜ k ≤n≤˜ nk+(1+3η)an δ2a k nk ≤ E|Sn − Sn˜ k | δank (theo Định lý 1.2.3) C ≤ an k n˜k +(1+3η)ank E Xi i=n˜k +1 ≤ C(1 + 3η)E|Xn˜k +1 | < ∞, E( R2 ≤ | − Sn + Snk |) max nk ≤n≤nk+(1+η)an k δank ( theobất đẳng thức Markov) ≤ E| − Sn + Snk | δank C ≤ ank nk +(1+η)ank E Xj j=nk +1 (theo Định lý 1.2.3) ≤ C(1 + η)E|Xnk +1 | < ∞, 26 tương tự R1 R2 ta thu R3 ≤ CE|Xnk +1 | < ∞ Do với δ > 0, P max nk ≤n≤nk+1 Sn+an − Sn > 3δ ≤:= R1 + R2 + R3 < ∞ an Theo Bổ đề Borel-Cantelli (i) cho số hữu hạn nên ∞ P(|Tnk ,nk +an | > ηank ) < ∞ k k=1 với η > ta hoàn tất việc chứng minh Tn,n+ n Tn,n+an log n = −→ h.c.c n → ∞ n an log n (2.10) Từ (2.6) (2.8) suy Tn,n+ logn n n log n → h.c.c n → ∞ Đảo lại, giả sử Tn,n+ logn n n log n → h.c.c n → ∞ nên lim sup n→∞ Xn Xn = lim sup n → h.c.c n → ∞ an n→∞ log n với xác suất có số hữu hạn biến cố (|Xn | > đối xứng dừng ngặt xảy Theo Bổ đề Borel-Cantelli (ii) ∞ n P(|Xn | > )= log n n=1 ∞ P(|X| > n=1 điều chứng tỏ E(|X| log+ (|X|)) < ∞ Định lý chứng minh n ) < ∞, log n n log n ) 27 2.2 Nhận xét ví dụ Định lý mở rộng cho hàm biến đổi chậm với biến ngẫu nhiên liên kết âm Ví dụ 1: Hàm biến đổi chậm L(n) = log log n, n Tn,n+ log log n n log log n → h.c.c n → ∞ E(|X| log+ log+ (|X|)) < ∞ EX = Ví dụ 2: Hàm biến đổi chậm L(x) = exp{(log x)α } với < α < 2/3, n Tn,n+ exp{(log x)α } n exp{(log x)α } → h.c.c n → ∞ E(|X|{(log+ |X|)α + α(log+ |X|)2α−1 } < ∞ EX = 28 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau: Đề tài nghiên cứu số bất đẳng thức so sánh moment biến ngẫu nhiên liên kết âm biến ngẫu nhiên độc lập thơng qua trình bày chi tiết nằm Định lý 1.2.1, Định lý 1.2.3, Định lý 1.2.6 Định lý 2.1.3 kết tương tự Định lý 2.1 A Gut U Stadtmă uller (2010) Cỏc hng phỏt trin lun vn: M rộng kết đạt Mục 2.1.3 cho trường hợp hàm biến đổi chậm với biến ngẫu nhiên liên kết âm 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết Xác suất, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội tiếng anh [3] Choi, K P., and Klass, M J (1997), Some best possible prophet inequalities for convex functions of sums of independent variables and unordered martingale difference sequences, Ann Probab, 25, 803-811 [4] A Gut v U Stadtmă uller (2010), On the strong law of large numbers for delayed sums and random fields, Acta Math Hungar, 129, 182-203 [5] Joag-Dev, K., and Proschan, F (1983), Negative association of random variables with applications, Ann Statist, 11, 286-295 [6] Qi-Man Shao (2000), A comparion theorem on the moment inequalities between negatively associated and independent random variables, Journal of Theoretical Probability, Vol 13 No.2 [7] Stout, W F (1974) Almost Sure Convergence, Academic Press, New York [8] Su, C., and Wang, Y B (1995), A moment inequality of negatively associated sequence with its applications, Manuscript 30 [9] Su, C., Zhao, L C., and Wang, Y B (1997), Moment inequalities and weak convergence for negatively associated sequences, Science in China (A), 40, 172-182 ... tài:" Một số bất đẳng thức so sánh moment biến ngẫu nhiên liên kết âm biến ngẫu nhiên độc lập" Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Một số bất đẳng thức so sánh moment biến ngẫu nhiên liên kết âm biến. .. thành luận văn Vinh, năm 2012 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SO SÁNH VỀ MOMENT GIỮA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM VÀ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP Trong tồn ln văn này, chúng tơi giả sử (Ω,... số dương không giảm đến +∞: < b1 < b2 < < ∞ x n n xk → n → ∞ hội tụ bn → ∞ Khi đó, bn k=1 n=1 bn 1.2 Một số bất đẳng thức so sánh moment biến ngẫu nhiên liên kết âm biến ngẫu nhiên độc lập Bất