Bất đẳng thức hajeck renyi cho các biến ngẫu nhiên liên kết âm và ứng dụng

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xác suất 1.2 Biến ngẫu nhiên 1.3 Một số dạng hội tụ 1.4 Luật số lớn Bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho biến ngẫu nhiên liên kết âm ứng dụng 10 2.1 Biến ngẫu nhiên liên kết âm 10 2.2 Bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho biến ngẫu nhiên liên kết âm 12 2.3 Luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên liên kết âm Kết luận Tài liệu tham khảo 15 23 24 MỞ ĐẦU Trong lý thuyết xác suất thống kê tốn học, tính độc lập biến ngẫu nhiên tính chất mạnh Đa số tượng ngẫu nhiên xảy đời sống thực thường phụ thuộc với theo kiểu phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc theo khối, phụ thuộc âm phụ thuộc dương Trong luận văn này, nghiên cứu kiểu phụ thuộc biến ngẫu nhiên liên kết âm (negative association) Khái niệm liên kết âm đưa Alam Saxena [3] năm 1981 Từ đến nay, khái niệm liên kết âm thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu có nhiều ứng dụng thống kê tốn học Có nhiều định lý giới hạn thiết lập cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Trong phải kể hội tụ hầu chắn cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm (Newman (1984)); định lý hội tụ Kolmogorov-Khintchin (Matula [4]); hội tụ đầy đủ, bất đẳng thức mômen, luật yếu số lớn số luật mạnh số lớn (Su Chun (1996), Su Chun Qing Yongshong (1997)) Bất đẳng thức Hájeck-Rényi (1955) phát biểu cho biến ngẫu nhiên độc lập, bất đẳng thức quan trọng có nhiều ứng dụng việc thiết lập luật số lớn Kể từ công bố đến nay, bất đẳng thức thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả Một số cơng trình gần đưa Gan Shixin [6, 7] Dưới hướng dẫn Thầy giáo, PGS TS Nguyễn Văn Quảng, chọn đề tài: Bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho biến ngẫu nhiên liên kết âm ứng dụng Trong luận văn này, thông qua tài liệu tham khảo tài liệu [4, 5], chúng tơi trình bày mở rộng bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho biến ngẫu nhiên liên kết âm sử dụng bất đẳng thức để chứng minh luật mạnh số lớn Marcinkiewicz tính khả tích supremum biến ngẫu nhiên liên kết âm Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày kiến thức sở làm tảng cho nội dung chương Chương Bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho biến ngẫu nhiên liên kết âm ứng dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm biến ngẫu nhiên liên kết âm, bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho biến ngẫu nhiên liên kết âm ứng dụng thiết lập số luật mạnh số lớn Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy Cô giáo tổ Xác suất thống kê Toán ứng dụng Khoa Toán - Trường Đại học Vinh tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến q Thầy Cơ giáo Phịng Sau đại học - Trường Đại học Vinh, ban lãnh đạo trường Đại học Vinh, bạn bè đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hồn thành khóa học thực luận văn Mặc dù tác giả cố gắng nhiều hạn chế lực, kiến thức thời gian nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong ý kiến đóng góp quý báu để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian xác suất Giả sử Ω = ∅ P(Ω) họ tất tập Ω Mỗi họ C ⊂ P(Ω) gọi lớp 1.1.1 Định nghĩa Lớp A ⊂ P(Ω) gọi đại số điều kiện sau thỏa mãn: (i) Ω ∈ A; (ii) A ∈ A Ac = Ω \ A ∈ A; (iii) A, B ∈ A A ∪ B ∈ A 1.1.2 Định nghĩa Lớp F ⊂ P(Ω) gọi σ-đại số điều kiện sau thỏa mãn: (i) Ω ∈ F; (ii) A ∈ F Ac = Ω \ A ∈ F; ∞ (iii’) An ∈ F với n = 1, 2, ∈ F n=1 1.1.3 Định nghĩa Giả sử C ⊂ P(Ω) Khi đó, đại số (t.ư σ-đại số) bé chứa C gọi đại số (t.ư σ-đại số ) sinh C, ký hiệu A(C) (t.ư σ(C)) 1.1.4 Định nghĩa Giả sử (X, T ) không gian tôpô Khi σ-đại số bé chứa T gọi σ-đại số Borel ký hiệu B(X) Điều nghĩa B(X) = σ(T ) 1.1.5 Định nghĩa Cho F σ-đại số tập Ω Khi cặp (Ω, F) gọi không gian đo 5 1.1.6 Định nghĩa Giả sử (Ω, F) không gian đo Một ánh xạ P : F → R gọi độ đo xác suất F thỏa mãn điều kiện sau: (i) P(A) với A ∈ F (tính khơng âm); (ii) P(Ω) = (tính chuẩn hóa); (iii) An ∈ F với n = 1, 2, Ai ∩ Aj = ∅ (i = j), ∞ ∞ An = P n=1 P(An ) (tính cộng tính đếm được) n=1 Khi đó: Bộ (Ω, F, P) gọi không gian xác suất; Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp; σ-đại số F gọi σ-đại số biến cố; Biến cố Ω ∈ F gọi biến cố chắn; Biến cố ∅ ∈ F gọi biến cố có; Biến cố A = Ω \ A gọi biến cố đối lập biến cố A; Nếu A ∩ B := AB = ∅ A, B gọi biến cố xung khắc; Không gian (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất không biến cố 1.2 Biến ngẫu nhiên 1.2.1 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, G σ-đại số σ-đại số F Khi ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên G-đo ánh xạ G/B(R) đo (tức với B ∈ B(R) X −1 (B) ∈ G) Nếu X biến ngẫu nhiên F-đo ta gọi X biến ngẫu nhiên, hay đại lượng ngẫu nhiên Nếu biến ngẫu nhiên X nhận hữu hạn giá trị gọi biến ngẫu nhiên đơn giản Mặt khác, ta thấy X biến ngẫu nhiên họ σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)} lập thành σ-đại số σ-đại số F, σ-đại số gọi σ-đại số sinh X Đó σ-đại số bé X đo Từ suy X biến ngẫu nhiên G-đo σ(X) ⊂ G Sau số tính chất biến ngẫu nhiên 1.2.2 Mệnh đề X biến ngẫu nhiên điều kiện sau thỏa mãn: (i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với a ∈ R; (ii) (X a) := (ω : X(ω) a) ∈ F với a ∈ R; (iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với a ∈ R; (iv) (X a) := (ω : X(ω) a) ∈ F với a ∈ R Chứng minh Từ tính chất B(R) = σ{(−∞, a) : a ∈ R} = σ{(−∞, a] : a ∈ R} = σ{(a, +∞) : a ∈ R} = σ{[a, +∞) : a ∈ R}, ta suy trực tiếp mệnh đề 1.2.3 Định nghĩa Cho X biến ngẫu nhiên Khi hàm số F (x) = P (X < x), x ∈ R gọi hàm phân phối xác suất X Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X có tính chất sau: Khơng giảm: x1 ≤ x2 F (x1 ) ≤ F (x2 ) Liên tục trái: với x0 ∈ R, F (x0 ) = lim− F (x) x→x0 lim F (x) = 0, lim F (x) = x→−∞ x→+∞ 1.2.4 Định nghĩa Hai biến ngẫu nhiên X1 X2 gọi độc lập với a1 , a2 ∈ R ta có P ((X1 < a1 ) ∩ (X2 < a2 )) = P (X1 < a1 )P (X2 < a2 ) Họ n (n ≥ 2) biến ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn gọi độc lập với a1 , a2 , , an ∈ R ta có n P( n (Xk < ak )) = k=1 P (Xk < ak ) k=1 Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi độc lập đôi biến ngẫu nhiên dãy độc lập Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi độc lập tập hữu hạn biến ngẫu nhiên dãy độc lập Khái niệm kỳ vọng Kí hiệu L1 tập tất đại lượng ngẫu nhiên X : Ω → R khả tích Lebesgue, tức |X|dP < ∞ Ω Nếu biến ngẫu nhiên X ∈ L1 ta gọi số EX = XdP Ω kỳ vọng X Các tính chất kì vọng Nếu C số EC = C Nếu a, b ∈ R X, Y ∈ L1 E(aX + bY ) = aEX + bEY Nếu X, Y ∈ L1 X ≤ Y (h.c.c.) EX ≤ EY Nếu X ∈ L1 |EX| ≤ E|X| Nếu |X| ≤ Y (h.c.c.) Y ∈ L1 X ∈ L1 Nếu {Xn , n ≥ 1} ⊂ L1 X ∈ L1 thỏa mãn ≤ Xn ↑ X EXn ↑ EX Nếu X X độc lập X, Y ∈ L1 E(XY ) = EX.EY 1.2.5 Mệnh đề Nếu đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối F (x) +∞ EX = xdF (x) −∞ Tổng quát hơn, g : R → R hàm Borel cho g(X) khả tích Lebesgue +∞ Eg(X) = g(x)dF (x) −∞ 1.2.6 Định nghĩa Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên Khi đó, covariance X Y , ký hiệu Cov(X, Y ) định nghĩa Cov(X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY ) Rõ ràng X Y độc lập Cov(X, Y ) = 1.3 Một số dạng hội tụ Phần chúng tơi trình bày số dạng hội tụ thường gặp lý thuyết xác suất hội tụ hầu chắn, hội tụ theo xác suất, hội tụ yếu, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo trung bình nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu chứng minh kết chương 1.3.1 Định nghĩa Ta nói dãy biến ngẫu nhiên (Xn , n ≥ 1) hội tụ đến biến ngẫu nhiên X (khi n → ∞) • Hầu chắn, P h.c.c lim |Xn − X| = = Ký hiệu Xn −−→ X n→∞ • Theo xác suất, với ε > lim P (|Xn − X| > ε) = Ký n→∞ P → X hiệu Xn − • Đầy đủ, với ε > ∞ n=1 P (|Xn − X| > ε) < ∞ Ký hiệu c → X Xn − • Theo trung bình cấp p, (p > 0) lim E|Xn − X|p = Ký hiệu n→∞ Lp Xn −→ X • Yếu (theo phân phối), limn→∞ Fn (x) = F (x), ∀x ∈ C(F ) Ký hiệu D Xn − → X Trong Fn (x) F (x) tương ứng hàm phân phối biến ngẫu nhiên Xn X; C(F ) tập hợp điểm mà F (x) liên tục Mệnh đề sau cho ta số mối quan hệ dạng hội tụ trên: h.c.c 1.3.2 Mệnh đề Xn −−→ X với ε > lim P n→∞ sup |Xm − X| > ε m≥n = 9 c h.c.c Nếu Xn − → X Xn −−→ X L h.c.c P r Nếu Xn −−→ X Xn −→ X Xn − → X P D Nếu Xn − → X Xn − → X D P Nếu Xn − → X P (X = C) = 1, Xn − → X 1.4 Luật số lớn Cho dãy X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên có kỳ vọng EXi = (i = 1, 2, ) Dãy {Xn , n ≥ 1} gọi tuân theo luật yếu số lớn X1 + · · · + Xn a1 + · · · + an P − − → (khi n → ∞) n n Dãy {Xn , n ≥ 1} gọi tuân theo luật yếu số lớn tổng quát tồn dãy số (bn ), < bn ↑ ∞ cho X1 + · · · + Xn a1 + · · · + an P − − →0 bn bn (khi n → ∞) Nếu định nghĩa trên, hội tụ theo xác suất thay hội tụ hầu chắn dãy {Xn , n ≥ 1} gọi tuân theo luật mạnh số lớn (luật mạnh số lớn tổng quát) Định lý sau luật yếu số lớn Markov 1.4.1 Định lý Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi thoả mãn điều kiện n2 n DXi → (khi n → ∞) i=1 {Xn , n ≥ 1} tuân theo luật yếu số lớn 10 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC HÁJECK-RÉNYI CHO CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM VÀ ỨNG DỤNG Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm biến ngẫu nhiên liên kết âm, bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho biến ngẫu nhiên liên kết âm ứng dụng vào việc thiết lập luật số lớn 2.1 Biến ngẫu nhiên liên kết âm Trong mục trình bày khái niệm biến ngẫu nhiên liên kết âm số tính chất để phục vụ cho việc chứng minh bất đẳng thức Hájeck-Rényi luật số lớn mục sau 2.1.1 Định nghĩa Dãy hữu hạn biến ngẫu nhiên {Xi , ≤ i ≤ n} gọi liên kết âm Cov{f (Xi , i ∈ A), g(Xj , j ∈ B)} ≤ (2.1) với cặp tập rời A, B tập {1, , n} với hàm không giảm theo tọa độ f : R|A| → R, g : R|B| → R cho covariance công thức (2.1) tồn Một dãy vô hạn biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} gọi liên kết âm với n ≥ 1, dãy hữu hạn {Xi , ≤ i ≤ n} liên kết âm Ngoài ra, đề cập đến khái niệm yếu khái niệm liên kết âm, khái niệm biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm Nó phát biểu sau: Hai biến ngẫu nhiên X, Y gọi phụ thuộc âm P (X > x, Y > y) ≤ P (X > x)P (Y > y), với x, y ∈ R 11 Khi đó, hai biến ngẫu nhiên lien kết âm phụ thuộc âm Thật vậy, giả sử X, Y hai biến ngẫu nhiên liên kết âm, x, y ∈ R cố định Từ bất đẳng thức (2.1), ta chọn hàm f (a) = I(a > x) = a > x a ≤ x, g(b) = I(b > y) = b > y b ≤ y hàm Khi đó, hàm f, g khơng giảm R Từ bất đẳng thức (2.1) ta có ≥ Cov(f (X), g(Y )) = E(f (X) − Ef (X))(g(Y ) − Eg(Y )) = E(I(X > x) − P (X > x))(I(Y > y) − P (Y > y)) = E(I(X > x)I(Y > y)) − P (X > x)P (Y > y) = P (X > x, Y > y) − P (X > x)P (Y > y) Điều dẫn đến P (X > x, Y > y) ≤ P (X > x)P (Y > y), hay X, Y biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi phụ thuộc âm đôi hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm Từ lập luận trên, ta thấy dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi Các tính chất sau Matula [4] phát biểu cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi một, cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm 2.1.2 Mệnh đề (Matula [4], Bổ đề 1) Cho {An , n ≥ 1} dãy biến cố 1) Nếu 2) Nếu ∞ n=1 P (An ) < ∞ P (lim sup An ) ∞ n=1 P (An ) = ∞ P (Ak Am ) ≤ = P (Ak )P (Am ) với k = m, P (lim sup An ) = 2.1.3 Mệnh đề (Matula [4], Bổ đề 2) Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi (t.ư liên kết âm), {fn , n ≥ 1} dãy 12 biến ngẫu nhiên không giảm fn : R → R, {fn (Xn ), n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi (t.ư liên kết âm) 2.2 Bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho biến ngẫu nhiên liên kết âm Sự mở rộng cho bất đẳng thức Hájeck-Rényi cổ điển từ trường hợp biến ngẫu nhiên độc lập sang biến ngẫu nhiên liên kết âm chúng tơi trình bày tiết Bất đẳng thức Hájeck-Rényi cổ điển cho biến ngẫu nhiên độc lập phát biểu sau: 2.2.1 Mệnh đề Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập với EXn = 0, EXn2 < ∞, n ≥ 1, {bn , n ≥ 1} dãy số dương khơng giảm Khi đó, với P > với số nguyên m < n, ta có j i=1 Xi max m≤j≤n bj n ≥ ≤ EXj2 + b j j=m+1 −2 m j=1 EXj2 b2m 2.2.2 Mệnh đề (Matula [4], 1992) Cho (Xn )n≥1 dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm với EXi = 0, EXi2 < ∞, i ≥ Khi đó, với P max(|S1 |, , |Sn |) > ≤ >0 n EXk2 k=1 Chứng minh Ta có max(|S1 |, , |Sn |) ≤ max(0, S1 , , Sn ) + max(0, −S1 , , −Sn ), P max(|S1 |, , |Sn |) > ≤ P max(0, S1 , , Sn ) > + P max(0, −S1 , , −Sn ) > 2 −2 −2 ≤ E(max(0, S1 , , Sn )) + E(max(0, −S1 , , −Sn ))2 ≤4 −2 E(max(S1 , , Sn ))2 + −2 E(max(−S1 , , −Sn ))2 (2.2) 13 Ta thấy Mn := max(S1 , , Sn ) = X1 + max(0, X2 , X2 + X3 , , X2 + + Xn ), X1 với max(0, X2 , X2 + X3 , , X2 + + Xn ) biến ngẫu nhiên liên kết âm Điều dẫn đến EMn2 = EX12 + 2EX1 max(0, X2 , X2 + X3 , , X2 + + Xn ) + E(max(0, X2 , X2 + X3 , , X2 + + Xn ))2 ≤ EX12 + 2EX1 E max(0, X2 , X2 + X3 , , X2 + + Xn ) + E(max(0, X2 , X2 + X3 , , X2 + + Xn ))2 ≤ EX12 + E(max(X2 , X2 + X3 , , X2 + + Xn ))2 Tiếp tục chứng minh quy nạp ta có n EMn2 EXk2 ≤ k=1 Thay vai trò Xn −Xn , lập luận tương tự ta thu n EXk2 , E(max(−S1 , , −Sn )) ≤ k=1 kết hợp với (2.2) ta thu điều phải chứng minh 2.2.3 Định lý Cho {Xn , n ≥ 1} biến ngẫu nhiên liên kết âm với EXn2 < ∞, n ≥ {bn , n ≥ 1} dãy không giảm số thực dương, với > 0, P max k≤n bk k n (Xi − EXi ) ≥ ≤ 32 −2 i=1 j=1 σj2 , b2j σj2 = DXj Chứng minh Đặt Sn = n j=1 (Xj − EXj ), n ≥ Khơng tính tổng quát, đặt b0 = 0, ta có k Xj − EXj Sk = bj = b j j=1 k (bi − bi−1 ) = i=1 i≤j≤k k j (bi − bi−1 ) j=1 i=1 Xj − EXj bj Xj − EXj bj 14 Chú ý bk Do Sk ≥ bk ⊂ k (bj − bj−1 ) = j=1     max 1≤i≤k i≤j≤k Xj − EXj ≥  bj Vì Sk ≥ 1≤k≤n bk max ⊂   max max   Xj − EXj ≥  bj 1≤k≤n 1≤i≤k i≤j≤k   Xj − EXj max = − 1≤i≤k≤n bj   j với số nguyên m < n, ta có k i=1 (Xi − EXi ) bk n ≥ ≤ 128 −2 σj2 + b j=m+1 j m j=1 σj2 b2m 15 2.3 Luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên liên kết âm Trong mục này, chúng tơi trình bày số ứng dụng bất đẳng thức Hájeck-Rényi vào việc thiết lập luật mạnh số lớn luật mạnh số lớn dạng Marcinkiewicz tính khả tích supremum biến ngẫu nhiên liên kết âm Đầu tiên ta nhắc lại Bổ đề Kronecker mà sử dụng 2.3.1 Bổ đề (Bổ đề Kronecker) Giả sử {xn , n ≥ 1} dãy số thực {bn , n ≥ 1} dãy số dương tăng ngặt đến +∞: < b1 < b2 < < ∞ x n n xk → n → ∞ hội tụ bn → ∞ Khi đó, bn k=1 n=1 bn 2.3.2 Định lý Cho {bn , n ≥ 1} dãy số thực dương không giảm {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm với n i=1 (Xi σn2 = DXn , n ≥ Đặt Sn = < r < 2, ta có ∞ 2 n=1 σn /bn − EXi ), n ≥ 1, đó, với r |Sn | 1) E sup bn n < ∞; 2) Giả sử < bn ↑ ∞, Sn /bn → h.c.c n → ∞ Chứng minh 1) Ta ý |Sn | E sup bn n r t1/r dt < ∞ bn Theo bất đẳng thức Hájeck-Rényi, ta có ∞ P |Sn | sup > t1/r dt ≤ 32 bn n ∞ ∞ −2/r t = 32 σn2 dt b2n n=1 ∞ −2/r ∞ σn2 b2 n=1 n < ∞, t dt < ∞ 16 2) Theo bất đẳng thức Hájeck-Rényi, ta có P max m≤k≤n bk n k (Xi − EXi ) ≥ ≤ 128 σj2 + b j=m+1 j −2 i=1 m j=1 σj2 b2m Điều dẫn đến P sup n≥m bn n (Xi − EXi ) ≥ = lim P n→∞ i=1 max m≤j≤n bj j (Xi − EXi ) ≥ i=1 ∞ ≤ 128 −2 σj2 b2 j=m+1 j m + j=1 σj2 b2m Cho m → ∞ áp dụng Bổ đề Kronecker ta có lim P m→∞ sup n≥m bn n (Xi − EXi ) ≥ = i=1 Từ đây, 2) chứng minh 2.3.3 Chú ý Trong trường hợp đặc biệt, cho bn = 1, ta thu Định lý Matula [4] 2.3.4 Hệ Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm, số thực dương t ∈ (0; 2), |Sj | P sup 1/t ≥ ≤ 128 j≥m j với ∀ > 0, m ≥ Sn = n j=1 (Xj −2 sup σn2 · m(t−2)/t , 2−t n − EXj ), σn2 = DXn , n ≥ Chứng minh Áp dụng Định lý 2.2.4, với bj = j 1/t ta có P sup j≥m Sj ≥ j 1/t = lim P n→∞ max m≤j≤n Sj ≥ j 1/t ∞ ≤ 128 −2 σj2 + 2/t j j=m+1 ∞ ≤ 128 ≤ 128 −2 −2 sup σn2 n n m j=1 j=m+1 ∞ sup σn2 m j 2/t σj2 m2/t m + j=1 m2/t dx + m(t−2)/t 2/t x = 128 −2 sup σn2 · m(t−2)/t 2−t n 17 2.3.5 Hệ Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm với supn σn2 = C < ∞, < t < 2, Sn → h.c.c n → ∞ n1/t r |Sn | E sup < ∞ với < r < 2, Sn = n1/t n n (Xi − EXi ), n ≥ i=1 Chứng minh Áp dụng Hệ 2.3.4 ta có P sup j≥n |Sj | ≥ j 1/t sup σn2 · n(t−2)/t 2−t n 2C · n(t−2)/t → n → ∞ = 128 −2 2−t ≤ 128 −2 Kết hợp với Mệnh đề 1.3.2 (1) ta suy Sn → h.c.c n → ∞ n1/t Ta ý |Sn | E sup n1/r n r t1/r dt < ∞ 1/r n Theo bất đẳng thức Hájeck-Rényi, ta có ∞ P |Sn | sup 1/r > t1/r dt ≤ 32 n n ∞ ∞ −2/r t ∞ ≤ 32C n=1 n2/r σn2 dt n2/r n=1 ∞ t−2/r dt < ∞ Hệ hoàn toàn chứng minh Các kết sau thuộc Matula [4], chúng phát biểu cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi một, tất nhiên cho biến ngẫu nhiên liên kết âm 18 2.3.6 Mệnh đề (Matula [4], Bổ đề 3) Cho {Xn , ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi {an , n ≥ 1} dãy số nguyên dương Đặt Sn = n i=1 Xn Nếu Sn an−1 → h.c.c sup ≤ M < ∞ với M ∈ R, an n≥1 an ∞ n=1 P (|Xn | ≥ an ) < ∞ Chứng minh Từ Sn /an → h.c.c giả thiết dãy an ta suy Sn an−1 Sn−1 Xn = − → h.c.c an an an an−1 Đặt Xn+ = max(0, Xn ), Xn− = max(0, −Xn ), ta thấy Xn+ /an → h.c.c Xn− /an → h.c.c Từ Mệnh đề 2.1.3 ta suy {Xn+ , n ≥ 1} {Xn− , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi Đặt An = (Xn+ > an /3), Bn = (Xn− > an /3), n ∈ N Ta có P (Ak Am ) ≤ P (Ak )P (Am ) với k = m P (Bk Bm ) ≤ P (Bk )P (Bm ) với k = m ∞ + n=1 P (Xn Theo Mệnh đề 2.1.2, > an /3) = ∞, P (lim sup An ) = 1, điều mâu thuẫn với Xn+ /an → h.c.c., Tương tự, ∞ − n=1 P (Xn ∞ + n=1 P (Xn > an /3) < ∞ ≥ an /3) < ∞ Ta có ∞ ∞ P (Xn+ + Xn− ≥ an ) P (|Xn | ≥ an ) = n=1 n=1 ∞ ∞ P (Xn+ ≤ n=1 P (Xn− > an /3) < ∞ > an /3) + n=1 Mệnh đề chứng minh 2.3.7 Mệnh đề (Matula [4], Định lý 1) Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi phân phối Khi đó, Sn /an → a h.c.c với số a ∈ R, E|X1 | < ∞ Nếu E|X1 | < ∞ a = EX1 19 Sử dụng Định lý 2.3.2, ta thu luật mạnh số lớn dạng Marcinkiewicz cho biến ngẫu nhiên liên kết âm sau đây: 2.3.8 Định lý Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm phân phối 1) Nếu E|X1 |t < ∞ với t ∈ (0; 1) đó, n i=1 Xi n1/t → h.c.c 2) Nếu E|X1 |t < ∞ với t ∈ [1; 2) đó, n i=1 (Xi − n1/t EXi ) → h.c.c 3) Ngược lại, mệnh đề 1) 2) đúng, E|X1 |t < ∞ với t ∈ (0; 2) Chứng minh Phương pháp chứng minh tương tự phương pháp chứng minh luật mạnh số lớn Marcinkiewicz cổ điển cho biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Do đó, chúng tơi nêu ý chứng minh mà khơng vào chi tiết Chứng minh khẳng định 1) 2): Khi t = 1, ta thu luật mạnh số lớn Kolmogorov (xem Định lý Matula [4] Mệnh đề 2.3.7) Do ta chứng minh khẳng định 2) t > Giả sử E|X1 |t < ∞ với < t < t = Để chứng minh khẳng định 1), ta cần chứng minh n + i=1 Xi n1/t → h.c.c (2.3) n − i=1 Xi n1/t → h.c.c (2.4) đủ Để chứng minh khẳng định 2), ta cần chứng minh n + i=1 (Xi − n1/t EXi+ ) → h.c.c (2.5) 20 n − i=1 (Xi − n1/t EXi− ) → h.c.c (2.6) đủ, Xi+ = max(Xi , 0), Xi− = max(−Xi , 0) Chú ý {Xi+ , i ≥ 1}, {Xi− , i ≥ 1} biến ngẫu nhiên liên kết âm (xem Mệnh đề 2.1.3), ta cần chứng minh cho (2.3) (2.5), (2.4) (2.6) tương tự Đặt Yi = Xi+ ∧ n1/t , i = 1, , n Theo Mệnh đề 2.1.3 {Yi , ≤ i ≤ n} biến ngẫu nhiên liên kết âm phân phối Chú ý E|X1 |t < ∞ kéo theo ∞ n=1 P (|X1 | > n1/t ) < ∞, mặt khác P (Yi = Xi+ ) = P (Xi+ ∧ n1/t = Xi+ ) = P (Xi+ > n1/t ) = P (X1+ > n1/t ) ≤ P (|X1 | > n1/t ) Vì ∞ P (Yi = Xi+ ) < ∞, i=1 P (Yi = Xi+ i.o.) = (2.7) Đầu tiên ta chứng minh n i=1 EYi n1/t → với < t < (2.8) 21 Thật vậy, ta có ∞ n=1 EYn = n1/t ∞ n−1/t EX1+ I(X1+ ≤ n1/t ) + n1/t P (X1+ > n1/t ) n=1 ∞ = ∞ n −1/t n=1 ∞ ≤ EX1+ I(X1+ 1/t P (X1+ > n1/t ) ≤n )+ n=1 ∞ n n −1/t n=1 ∞ EX1+ I((k 1/t − 1) < X1+ ≤k P (|X1 | > n1/t ) )+ n=1 k=1 ∞ n−1/t + E|X1 |t EX1+ I((k − 1)1/t < X1+ ≤ k 1/t ) ≤ 1/t n=k k=1 ∞ k 1−1/t EX1+ I((k − 1)1/t < X1+ ≤ k 1/t ) + E|X1 |t ≤C k=1 ∞ E(X1+ )t I((k − 1)1/t < X1+ ≤ k 1/t ) + E|X1 |t ≤C k=1 ≤ CE|X1 |t < ∞ Theo Bổ đề Kronecker, ta thu (2.8) Tiếp theo ta có |EXn+ − EYn | ≤ EXn+ I(Xn+ > n1/t ) + n1/t P (Xn+ > n1/t ), tương tự trên, ta chứng minh ∞ n−1/t |EXn+ − EYn | < ∞ n=1 Theo Bổ đề Kronecker ta có n + i=1 (EXi n1/t − EYi ) → với < t < (2.9) Từ (2.7), (2.8) (2.9), ta phải chứng minh n i=1 (Yi − n1/t EYi ) → h.c.c (2.10) 22 đủ Từ Định lý 2.3.2, cho bn = n1/t , ta có ∞ ∞ n −2/t E|Yn − EYn | ≤ C n=1 ∞ n −2/t EYn2 n−2/t E(X1+ ∧ n1/t )2 =C n=1 n=1 ∞ ∞ n−2/t E(X1+ )2 I(X1+ ≤ n1/t ) + ≤C n=1 ∞ n=1 n n−2/t ≤C n=1 ∞ E(X1+ )2 I((k − 1)1/t < X1+ ≤ k 1/t ) + E|X1 |t k=1 ∞ E(X1+ )2 I((k =C P (X1+ > n1/t ) 1/t − 1) < X1+ ≤k 1/t n−2/t + E|X1 |t ) k=1 ∞ n=k k 1−2/t E(X1+ )2 I((k − 1)1/t < X1+ ≤ k 1/t ) + E|X1 |t ≤C k=1 ∞ k 1−2/t · k −1+2/t E(X1+ )t I((k − 1)1/t < X1+ ≤ k 1/t ) + E|X1 |t ≤C k=1 ≤ CE|X1 |t < ∞ Điều kết thúc chứng minh khẳng định 1) 2) Chứng minh khẳng định 3): Cho an = n1/t , áp dụng Mệnh đề 2.3.6 ta có ∞ P (|Xn | ≥ n1/t ) < ∞, n=1 kết hợp với {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phân phối ta suy ∞ P (|X1 |t ≥ n) < ∞, n=1 điều dẫn đến E|X1 |t < ∞ 23 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau: Trình bày lại số kiến thức xác suất biến ngẫu nhiên thực Trình bày khái niệm biến ngẫu nhiên liên kết âm, phụ thuộc âm tính chất Trình bày chứng minh bất đẳng thức Háeck-Rényi cho biến ngẫu nhiên liên kết âm ứng dụng việc chứng minh luật mạnh số lớn Marcinkiewicz 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Đình Hữu (2011), Các bất đẳng thức tổng biến ngẫu nhiên liên kết âm ứng dụng, LV Thạc sĩ Toán học, ĐH Vinh [3] K Alam, K.M Saxena (1981), Positive dependence in multivariate distributions, Comm Statist A Theory Methods, 10 (12), 1183-1196 [4] P Matula (1992), A note on the almost sure convergence of sums of negatively dependent random variables, Statist Probab Lett., 15(3), 209-213 [5] J Liu, S Gan and P Chen (1999), The Hájeck-Rényi inequality for the NA random variables and its application, Statist Probab Lett., 43, 99-105 [6] Gan Shixin (1997), The Hájeck-Rényi inequality for Banach space valued martingales and the p-smoothness of Banach space, Statist Probab Lett., 32, 245-248 [7] Gan Shixin (1997), The Hájeck-Rényi inequality for Banach space valued random variables sequences and its application, Wuhan Uni J Natural Sci., 2, 13-18  ... DỤNG Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm biến ngẫu nhiên liên kết âm, bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho biến ngẫu nhiên liên kết âm ứng dụng vào việc thiết lập luật số lớn 2.1 Biến ngẫu nhiên. .. âm) 2.2 Bất đẳng thức Hájeck-Rényi cho biến ngẫu nhiên liên kết âm Sự mở rộng cho bất đẳng thức Hájeck-Rényi cổ điển từ trường hợp biến ngẫu nhiên độc lập sang biến ngẫu nhiên liên kết âm chúng... Y biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi phụ thuộc âm đôi hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm Từ lập luận trên, ta thấy dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm dãy biến ngẫu nhiên