Các bất đẳng thức đối với tổng các biến ngẫu nhiên liên kết âm và ứng dụng

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Các bất đẳng thức tổng biến ngẫu nhiên liên kết âm 1.1 Biến ngẫu nhiên tính chất liên quan 1.2 Các biến ngẫu nhiên liên kết âm kiến thức chuẩn bị 1.3 Các bất đẳng thức tổng biến ngẫu nhiên liên kết âm Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm 13 2.1 Sự hội tụ hầu chắn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên liên kết âm 14 2.2 Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên liên kết âm 17 Kết luận Tài liệu tham khảo 27 28 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết xác suất thống kê tốn học, tính độc lập biến ngẫu nhiên tính chất mạnh Đa số tượng ngẫu nhiên xảy đời sống thực thường phụ thuộc với theo kiểu phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc theo khối, phụ thuộc âm phụ thuộc dương Trong luận văn này, nghiên cứu kiểu phụ thuộc biến ngẫu nhiên liên kết âm (negative association) Khái niệm liên kết âm đưa Alam Saxena [2] năm 1981 Năm 1983, Joag-Dev Proschan [10] nhiều phân phối quan trọng thống kê có tính chất liên kết âm phân phối đa thức, phân phối nhiều chiều siêu hình học, phân phối Dirichlet, phân phối chuẩn liên kết âm, Joag-Dev Proschan [10] chứng minh nhiều tính chất quan trọng biến ngẫu nhiên liên kết âm Từ đến nay, khái niệm liên kết âm quan tâm nhiều nhà nghiên cứu có nhiều ứng dụng thống kê toán học Năm 2000, Shao [15] chứng minh bất đẳng thức quan trọng biến ngẫu nhiên độc lập bất đẳng thức Rosenthal, bất đẳng thức Kolmogorov, với biến ngẫu nhiên liên kết âm Có nhiều định lý giới hạn thiết lập cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Trong phải kể định lý hội tụ Kolmogorov-Khintchin, định lý hội tụ ba chuỗi (Matula (1992), luật mạnh số lớn (Jing Liang (2008), Ko, Han Kim (2006), Kuczmaszewska (2010)), định lý giới hạn trung tâm (Yuan, Su Hu (2003), Wang, Zhang Dong (2009)), luật logarithm lặp (Shao Su (1999), Huang (2004)), bất đẳng thức Berry-Esseen (Wang Zhang (2007)), Trong luận văn này, tiếp tục hướng nghiên cứu Vì bất đẳng thức dạng bất đẳng thức cực đại Kolmogorov, bất đẳng thức Rosenthal có vai trị quan trọng việc chứng minh định lý giới hạn Do đó, chúng tơi trình bày lại cách chi tiết kết Shao [15] Đây nội dung Chương Trong Chương 2, sử dụng bất đẳng thức trình bày Chương để thiết lập số định lý hội tụ hầu chắn hội tụ đầy đủ tổng biến ngẫu nhiên liên kết âm Các kết Chương Chương gồm có hai mục Trong Mục 2.1, mở rộng định lý hội tụ Loève cho trường hợp biến ngẫu nhiên liên kết âm Kết Mục 2.1 mở rộng kết Matula (1992) Mục 2.2 thiết lập định lý hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên liên kết âm Kết Mục 2.2 dãy trọng số đồng kết Kuczmaszewska (2010), nhiên, để hạn chế tính tốn, chúng tơi xét trường hợp phân phối, thay xét tính bị chặn ngẫu nhiên theo trung bình Kuczmaszewska (2010) Vinh, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI TỔNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm biến ngẫu nhiên liên kết âm số kiến thức liên quan Nội dung Chương bất đẳng thức đối với tổng biến ngẫu nhiên liên kết âm Kết chương trích dẫn từ báo Shao [15] 1.1 Biến ngẫu nhiên tính chất liên quan 1.1.1 Biến ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (Ω, F, P ) ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên X ánh xạ đo được, tức với a ∈ R {ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F 1.1.2 Hàm phân phối xác suất Cho biến ngẫu nhiên X , hàm số F (x) = P (X < x), x ∈ R gọi hàm phân phối xác suất X Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X có tính chất sau: Khơng giảm: x1 ≤ x2 F (x1 ) ≤ F (x2 ) Liên tục trái: với x0 ∈ R, F (x0 ) = lim− F (x) x→x0 lim F (x) = 0, lim F (x) = x→−∞ x→+∞ 1.1.3 Tính độc lập Hai biến ngẫu nhiên X1 X2 gọi độc lập với a1 , a2 ∈ R ta có P ({X1 < a1 } ∩ {X2 < a2 }) = P ({X1 < a1 })P ({X2 < a2 }) n (n ≥ 2) biến ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn gọi độc lập với a1 , a2 , , an ∈ R ta có n n P( P ({Xk < ak }) {Xk < ak }) = k=1 k=1 Dãy biến ngẫu nhiên {Xn n ≥ 1} gọi độc lập đôi biến ngẫu nhiên dãy độc lập Dãy biến ngẫu nhiên {Xn n ≥ 1} gọi độc lập tập hữu hạn biến ngẫu nhiên dãy độc lập 1.1.4 Kỳ vọng Ta khơng nhắc lại cách xây dựng tích phân Lebesgue cho hàm đo khơng âm Kí hiệu L1 tập tất đại lượng ngẫu nhiên X : Ω → R khả tích Lebesgue, tức |X|dP < ∞ Ω Đặt X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0) Khi X = X + − X − Nếu có X + ∈ L1 , X − ∈ L1 , ta gọi số X − dP X + dP − EX = Ω Ω kì vọng (hay giá trị trung bình) X Các tính chất kì vọng Nếu C số EC = C Nếu a, b ∈ R X, Y ∈ L1 E(aX + bY ) = aEX + bEY Nếu X, Y ∈ L1 X ≤ Y (h.c.c.) EX ≤ EY Nếu X ∈ L1 |EX| ≤ E|X| Nếu |X| ≤ Y (h.c.c.) Y ∈ L1 X ∈ L1 Nếu {Xn ; n ≥ 1} ⊂ L1 X ∈ L1 thỏa mãn ≤ Xn ↑ X EXn ↑ EX Nếu X X độc lập X, Y ∈ L1 E(XY ) = EX.EY 1.1.1 Mệnh đề Nếu đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối F (x) +∞ EX = xdF (x) −∞ Tổng quát hơn, g : R → R hàm Borel cho g(X) khả tích Lebesgue +∞ Eg(X) = g(x)dF (x) −∞ 1.1.5 Covariance Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên Khi đó, covariance X Y , ký hiệu Cov(X, Y ) định nghĩa Cov(X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY ) Rõ ràng X Y độc lập Cov(X, Y ) = 1.2 Các biến ngẫu nhiên liên kết âm kiến thức chuẩn bị Tính độc lập tính chất mạnh biến ngẫu nhiên Rất nhiều khái niệm phụ thuộc khác nhà khoa học đưa ra, để phù hợp với tượng ngẫu nhiên thực tế Năm 1981, Alam Saxena [2] đưa khái niệm liên kết âm biến ngẫu nhiên sau 1.2.1 Định nghĩa Dãy hữu hạn biến ngẫu nhiên {Xi , ≤ i ≤ n} gọi liên kết âm cov{f (Xi , i ∈ A), g(Xj , j ∈ B)} ≤ (1.2.1) với cặp tập rời A, B tập {1, , n} với hàm không giảm theo tọa độ f : R|A| → R, g : R|B| → R cho covariance công thức (1.2.1) tồn Một dãy vô hạn biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} gọi liên kết âm với n ≥ 1, dãy hữu hạn {Xi , ≤ i ≤ n} liên kết âm Năm 1983, Joag-Dev Proschan [10] nhiều phân phối quan trọng thống kê có tính chất liên kết âm phân phối đa thức, phân phối nhiều chiều siêu hình học, phân phối Dirichlet, phân phối chuẩn liên kết âm, Dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm có tính chất quan trọng sau Tính chất chứng minh Joag-Dev Proschan [10] 1.2.2 Bổ đề (Joag-Dev Proschan [10]) Giả sử {Xi , i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm, {Ai , i ≥ 1} dãy tập đôi rời tập {1, 2, }, fi : R|Ai | → R, i ≥ 1, hàm khơng giảm theo tọa độ Khi dãy {fi (Xj , j ∈ Ai ), i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Để bước sang phần trình bày kết chương 1, chúng tơi chứng minh bốn tính chất giải tích cổ điển 1.2.3 Bổ đề Với hàm lồi f , đạo hàm phải f+ ln tồn khơng giảm Hơn nữa, ta có b f (b) − f (a) = f+ (t)dt a với số thực a, b 1.2.4 Bổ đề Với < p ≤ với số thực x ta có |1 + x|p ≤ + px + 22−p |x|p Chứng minh Ta cần xét < p < 2, trường hợp p = hiển nhiên Khi x > 0, ta dễ chứng minh với < p < (1 + x)p ≤ xp + px + ≤ 22−p xp + px + Do đó, bổ đề chứng minh cho trường hợp x ≥ Khi x ≤ 0, đặt t = −x ≥ 0, ta cần phải chứng minh f (t) = − pt + 22−p − |1 − t|p ≥ với t ≥ Tính đạo hàm f (t) (tách hai trường hợp t ≥ ≤ t < 1), ta dễ thấy f (t) ≥ với t ≥ Do đó, f (t) ≥ f (0) = với t ≥ Bổ đề hoàn toàn chứng minh 1.2.5 Bổ đề Với số thực x ≥ ta có x x2 ln(1 + x) ≥ + + ln(1 + x) + x 2(1 + x)2 1.2.6 Bổ đề (Bổ đề Kronecker) Giả sử {xn , n ≥ 1} dãy số thực {bn , n ≥ 1} dãy số dương tăng ngặt đến +∞: < b1 < b2 < < ∞ x n n bn → ∞ Khi đó, hội tụ xk → n → ∞ bn k=1 n=1 bn 1.3 Các bất đẳng thức tổng biến ngẫu nhiên liên kết âm Trong mục chúng tơi trình bày kết Chương Định lý sau thiết lập bất đẳng thức so sánh moment biến ngẫu nhiên liên kết âm biến ngẫu nhiên độc lập Bất đẳng thức so sánh moment cơng cụ có ích việc thiết lập định lý giới hạn luật mạnh số lớn, luật logarithm lặp bất đẳng thức BerryEsseen Trong phép chứng minh kết mục này, khơng nói thêm, ta ln hiểu biến ngẫu nhiên với ký hiệu có dấu ∗ biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với biến ngẫu nhiên ban đầu Ví dụ, X1∗ , X2∗ , , Xn∗ biến ngẫu nhiên độc lập, Xi∗ có phân phối với Xi với i 1.3.1 Định lý Giả sử {Xi , ≤ i ≤ n} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm, {Xi∗ , ≤ i ≤ n} dãy biến ngẫu nhiên độc lập cho với ≤ i ≤ n, Xi∗ Xi phân phối Khi n n Xi∗ Xi ≤ Ef Ef i=1 (1.3.1) i=1 với hàm lồi f Nếu f hàm lồi khơng giảm, k Ef Xi ≤ Ef max 1≤k≤n k i=1 Xi∗ max 1≤k≤n (1.3.2) i=1 Chứng minh Chúng ta chứng minh (1.3.1) phương pháp quy nạp theo n Giả sử Y1 , Y2 hai biến ngẫu nhiên độc lập, (Y1 , Y2 ) độc lập phân phối với (X1 , X2 ) Khi đó, theo Bổ đề 1.2.3, ta có f (X1 + X2 ) + f (Y1 + Y2 ) − f (X1 + Y2 ) − f (Y1 + X2 ) Y2 (f+ (Y1 + t) − f+ (X1 + t))dt = X2 ∞ = −∞ (f+ (Y1 + t) − f+ (X1 + t))(I(Y2 > t) − I(X2 > t))dt Vì f+ (x + t) I(x > t) hàm không giảm theo x với t, nên f+ (X1 + t) I(X2 > t) liên kết âm Theo định lý Fubini, ta có 2(Ef (X1 + X2 ) − Ef (X1∗ + X2∗ )) = E(f (X1 + X2 ) + f (Y1 + Y2 ) − f (X1 + Y2 ) − f (Y1 + X2 )) ∞ = −∞ Cov(f+ (X1 + t), I(X2 > t))dt ≤ (1.3.3) Điều chứng minh (1.3.1) cho trường hợp n = Giả sử (1.3.1) với n − ≥ Ta đặt k Xi , k ≥ 1, Sk = i=1 g(x) = Ef (x + Sn−1 ) Theo giả thiết quy nạp, ta có n−1 Xi∗ ) g(x) ≤ Ef (x + (1.3.4) i=1 Theo Bổ đề 1.2.2, ta có Sn−1 Xn hai biến ngẫu nhiên liên kết âm Do đó, theo (1.3.4) ta suy ∗ Ef (Sn ) ≤ Ef (Xn∗ + Sn−1 ) = Eg(Xn∗ ) n−1 ≤ Ef (Xn∗ Xi∗ ) + i=1 Điều chứng tỏ (1.3.1) với n Để chứng minh (1.3.2), ta ký hiệu k Xi∗ , Mk = max Si , Mk = max Si Sk = i=1 1≤i≤k 1≤i≤k Chúng ta cần chứng minh với n với số thực a b Ef (max(a, b + max(0, Mn ))) ≤ Ef (max(a, b + max(0, Mn ))) (1.3.5) 10 Thật vậy, giả sử (1.3.5) Khi đó, ta ký hiệu g1 (x) = Ef max{x, x + max{0, max (Sk − X1 )}} 2≤k≤n Điều kéo theo g1 (x) ≤ Ef max{x, x + max{0, max (Sk − X1∗ )}} 2≤k≤n (1.3.6) Bổ đề 1.2.2 kéo theo X1 max{0, max2≤k≤n (Sk − X1 )} liên kết âm Do Ef ( max Si ) = Ef X1 + max{0, max (Sk − X1 )} 1≤i≤n 2≤k≤n ≤ Ef X1∗ + (max{0, max (Sk − X1 )})∗ (theo (1.3.1)) 2≤k≤n = E E f (X1∗ + (max{0, max (Sk − X1 )})∗ )|X1∗ 2≤k≤n = E f (X1∗ + max{0, max (Sk − X1 )}) 2≤k≤n = Eg1 (X1∗ ) ≤ Ef max{X1∗ , X1∗ + max{0, max (Sk − X1∗ )}} (theo (1.3.5)) 2≤k≤n = Ef (Mi ) Điều có nghĩa (1.3.2) Bây ta chứng minh (1.3.5) phương pháp quy nạp theo n Dễ thấy X1 max(0, X2 ) liên kết âm, M2 = X1 + max(0, X2 ), h(x) := f (max(a, b + max(0, x))) = f (max(a, b, b + x)) = max(f (max(a, b)), f (b + x)) hàm lồi Theo (1.3.1) ta có Ef (max(a, b + max(0, M1 ))) = Eh(X1 + max(0, X2 )) ≤ Eh(X1∗ + (max(0, X2 ))∗ ) = Eh(X1∗ + max(0, X2∗ )) = Ef (max(a, b + max(0, M2 ))) 16 Chứng minh Trước hết, ta giả sử ≤ αi ≤ với i ≥ 1, Xi2 I(|Xi | ≤ 1) + |Xi |I(|Xi | > 1) ≤ |Xi |αi Do đó, từ (2.1.5) ta suy (2.1.1) thỏa mãn Theo Định lý 2.1.2, ta suy điều cần chứng minh Bây ta giả sử < αi < với i ≥ Khi ∞ ∞ E (1) (Xi )2 + (1) |Xi | 2E|Xi |αi < ∞ ≤ i=1 (2.1.6) i=1 Mặt khác, theo bất đẳng thức Markov ta lại có ∞ ∞ E|Xi |αi < ∞ P (|Xi | > 1) ≤ i=1 (2.1.7) i=1 Từ (2.1.6), (2.1.7) Mệnh đề 2.1.1, ta suy kết luận định lý Cuối cùng, ta xét trường hợp tổng quát < αi ≤ với i ≥ Đặt I = {i ≥ : ≤ αi ≤ 2}, J = {i ≥ : < αi < 1} Với i ≥ 1, ta đặt Yi = Xi i ∈ I, i ∈ / I, Zi = Xi i ∈ J, i ∈ / J βi = αi i ∈ I, i ∈ / I, γi = αi 1/2 i ∈ J, i ∈ / J Ngồi ra, ta đặt Khi ≤ βi ≤ 2, < γi < 1, EYi = với i ≥ 1, ∞ E|Yi |βi < ∞, i=1 17 ∞ E|Zi |γi < ∞ i=1 Theo phần chứng minh ban đầu, ta suy hai chuỗi tụ h.c.c Nhưng ∞ ∞ i=1 Yi ∞ i=1 Zi hội ∞ Xi = i=1 (Yi + Zi ), i=1 nên ta suy kết luận định lý Hệ sau luật mạnh số lớn Loève cho trường hợp liên kết âm Khi αi = với i ≥ 1, định lý luật mạnh số lớn Kolmogorov Kết mở rộng Định lý Chow Teicher [5, tr.124] từ trường hợp độc lập sang trường hợp liên kết âm 2.1.4 Hệ Giả sử {bn , n ≥ 1} dãy số dương cho limn→∞ bn = ∞ Giả sử {Xi , ≤ i ≤ n} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm có với số < αi ≤ đó, ∞ i=1 E|Xi |αi < ∞ bαi i (2.1.8) Ngoài ra, ta giả sử EXi = trường hợp ≤ αi ≤ Khi ta thu luật mạnh số lớn n lim n→∞ i=1 Xi = h.c.c bi (2.1.9) Chứng minh Từ (2.1.8), áp dụng định lý 2.1.3, ta suy chuỗi ∞ i=1 Xi bi hội tụ hầu chắn Do đó, áp dụng bổ đề Kronecker, ta thu (2.1.9) 2.2 Sự hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên liên kết âm Sự hội tụ đầy đủ dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm nghiên cứu số tác giả Năm 2010, Kuczmaszewska [12] chứng minh kết sau 18 2.2.1 Định lý Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm X biến ngẫu nhiên thỏa mãn n n P (|Xi | > x) = CP (|X| > x) i=1 với x > 0, với n ≥ (Ta gọi dãy {Xn , n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên trung bình biến ngẫu nhiên X ) Giả sử αp > α > 1/2 Khi p ≥ 1, ta giả sử thêm EXn = với n Khi phát biểu sau tương đương (i) E|X|p < ∞ (ii) j ∞ αp−2 n Xi | > εnα < ∞ max | P 1≤j≤n n=1 i=1 với ε > Trong mục này, nghiên cứu hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên liên kết âm Trước hết, ta cần bổ đề sau 2.2.2 Bổ đề Giả sử α > 0, p ≥ 1, {Xi , i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phân phối E|X1 |p < ∞ Khi α ≤ 1, ta giả sử thêm EX1 = Nếu {ani , ≤ i ≤ n, n ≥ 1} mảng số thỏa mãn n |ani | = O(n), i=1 n −α |E(ani Xni )| = 0, lim n n→∞ i=1 Xni = Xi I(|Xi | ≤ nα ) − nα I(|Xi | < −nα ) + nα I(|Xi | > nα ) (2.2.1) 19 Chứng minh Chú ý với n ≥ 1, ta có n −α |E(ani Xi I(|Xi | ≤ nα ))| n i=1 n −α ani |EXi I(|Xi | ≤ nα )| ≤n i=1 n = n−α ani E(X1 I(|X1 | ≤ nα )) i=1 1−α ≤ Cn E(X1 I(|X1 | ≤ nα )) (2.2.2) Nếu α > 1, ta thấy kết luận bổ đề suy từ (2.2.2) Nếu < α ≤ 1, n1−α E(X1 I(|X1 | ≤ nα )) = n1−α E(X1 I(|X1 | > nα )) (vì EX1 = 0) ≤ n1−α E(|X1 |I(|X1 | > nα )) ≤ E(|X1 |1/α I(|X1 | > nα )) ≤ E(|X1 |p I(|X1 | > nα )) 1/(αp) (vì αp ≥ 1) Bên cạnh đó, ta lại có n −α ani nα P (|Xi | > nα ) n i=1 n ani E(I(|X1 | ≤ nα )) = i=1 ≤ C E(nI(|X1 | ≤ nα )) ≤ E(|X1 |1/α I(|X1 | > nα )) ≤ E(|X1 |p I(|X1 | > nα )) 1/(αp) (vì αp ≥ 1) Vì E|X1 |p < ∞, nên ta có lim E(|X1 |p I(|X1 | > nα )) = n→∞ Bổ đề hoàn toàn chứng minh Định lý sau thiết lập hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên liên kết âm Như phát biểu trên, ani ≡ 1, kết 20 chứng minh Kuczmaszewska [12] Tuy nhiên, Kuczmaszewska [12], điều kiện phân phối mở rộng sang điều kiện bị chặn ngẫu nhiên Để giảm nhẹ tính tốn, xét trường hợp phân phối 2.2.3 Định lý Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm, phân phối Giả sử α > 1/2, ≤ p < 2, αp ≥ 1, EX1 = α ≤ Khi phát biểu sau tương đương (i) E|X1 |p < ∞ (ii) j ∞ αp−2 n P n=1 ani Xi | > εnα < ∞ max | 1≤j≤n i=1 với ε > với mảng số {ani , n ≥ 1, ≤ i ≤ n} thỏa mãn n a2ni = O(n) (2.2.3) i=1 Chứng minh Trước hết ta chứng minh (i) kéo theo (ii) Ta ký hiệu a+ ni = max{ani , 0} a− ni = max{−ani , 0} Khi đó, − ani = a+ ni − ani Do đó, ta cần chứng minh j ∞ n αp−2 P n=1 1≤j≤n i=1 j ∞ n n=1 α a+ εn max | αp−2 P α a− < ∞ ni Xi | > εn max | 1≤j≤n i=1 Như vậy, không tính tổng qt, ta giả sử ani ≥ với n ≥ 1, i ≥ Với n ≥ 1, ta ký hiệu Xni = Xi I(|Xi | ≤ nα ) + nα I(Xi > nα ) − nα I(Xi < −nα ), 21 j Yni = Xni − EXni , Snj = ani Yni i=1 Khi đó, với ε > 0, ta có j P ani Xi | > εnα max | 1≤j≤n i=1 j ≤P ≤P α max |Xj | > n +P 1≤j≤n ani Xni | > εnα max | 1≤j≤n i=1 max |Xj | > nα 1≤j≤n j +P α max |Snj | > εn − max | 1≤j≤n 1≤j≤n E(ani Xni )| (2.2.4) i=1 Bây ta đánh giá số hạng (2.2.4) ∞ nαp−2 P n=1 ∞ max |Xj | > nα 1≤j≤n n αp−2 ≤ P |Xj | > nα n n=1 ∞ j=1 nαp−1 P (|X1 | > nα ) = n=1 ∞ = ∞ n n=1 ∞ αp−1 P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α ) i=n i nαp−1 P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α ) = i=1 n=1 ∞ αp i P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α ) ≤C i=1 ≤ CE|X1 |p < ∞ (2.2.5) Với n ≥ 1, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có n |ani | i=1 n a2ni ≤n i=1 22 Kết hợp điều (2.2.3), ta suy n |ani | = O(n) i=1 Theo Bổ đề 2.2.2, ta có j −α ≤ lim n n→∞ max 1≤j≤n E(ani Xni ) i=1 j ≤ lim n−α max n→∞ 1≤j≤n E(ani Xni ) i=1 n = lim n−α n→∞ E(ani Xni ) = (2.2.6) i=1 Từ (2.2.4)-(2.2.6), để thu (ii), ta cần chứng minh ∞ nαp−2 P n=1 max |Snj | > nα ε/2 < ∞ 1≤j≤n (2.2.7) Theo cách đặt, ta có dãy {ani Xni , ≤ i ≤ n} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Kết luận (2.2.7) suy từ đánh giá sau ∞ nαp−2 P n=1 ≤ ε max |Snj | > nα ε/2 1≤j≤n ∞ nαp−2−2α E max |Snj| 1≤j≤n n=1 ∞ E ani Xni − E(ani Xni ) n n=1 ∞ i=1 n nαp−2−2α ≤C n=1 ∞ E(ani Xni )2 i=1 n nαp−2−2α =C (theo bất đẳng thức Chebyshev) n αp−2−2α ≤C n=1 := R1 + R2 , a2ni E(Xni )2 i=1 (theo Định lý (1.3.2)) 23 ∞ n αp−2−2α R1 = C a2ni E(X1 I(|X1 | ≤ nα ))2 n n=1 ∞ i=1 nαp−1−2α E(X1 I(|X1 | ≤ nα ))2 ≤C n=1 ∞ n αp−1−2α =C n=1 ∞ ∞ i=1 nαp−1−2α E X12 I((i − 1)α < |X1 | ≤ iα ) =C ≤C E X12 I((i − 1)α < |X1 | ≤ iα ) n i=1 n=i ∞ αp−2α i E X12 I((i − 1)α < |X1 | ≤ iα ) i=1 ∞ iαp P ((i − 1)α < |X1 | ≤ iα ) ≤C i=1 ≤ CE|X1 |p < ∞, ∞ n αp−2−2α R2 = C n=1 ∞ i=1 n nαp−2 =C n=1 ∞ a2ni P (|X1 | > nα ) i=1 nαp−1 P (|X1 | > nα ) ≤C = a2ni n2α P (|Xi | > nα ) n n=1 ∞ ∞ αp−1 n n=1 ∞ P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α ) i=n i nαp−1 P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α ) = i=1 n=1 ∞ αp i P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α ) ≤C i=1 ≤ CE|X1 |p < ∞ Như vậy, (ii) hoàn toàn chứng minh Để chứng minh chiều (ii) kéo theo (i), ta cần chọn ani ≡ 1, ứng dụng kết Kuczmaszewska [12] 24 2.2.4 Chú ý (i) Nếu p ≥ 2, Định lý 2.2.2 cịn (2.2.3) thay n E(|Ani |q ) = O(n) với q > 2(αp − 1)/(2α − 1) i=1 (ii) Phương pháp chứng minh Kuczmaszewska [12] yêu cầu αp > trường hợp ≤ p < Do khơng thể xét trường hợp thú vị α = 1/p, thể hệ sau 2.2.5 Hệ Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm, phân phối Giả sử ≤ p < 2, EX1 = 0, E|X1 |p < ∞ Khi n i=1 Xi n1/p lim n→∞ = h.c.c Chứng minh Cho ani ≡ 1, α = 1/p, Tn = n i=1 Xi n1/p Theo Định lý 2.2.3 (phần (i) kéo theo (ii)), với ε > 0, ta có ∞ n−1 P ∞> n=1 max |Tj | > εn1/p 1≤j≤n ∞ 2i+1 −1 n−1 P = i=0 n=2i ∞ ≥ P i=1 max |Tj | > εn1/p 1≤j≤n maxi |Tj | > ε2(i+1)/p 1≤j≤2 Điều có nghĩa max1≤j≤2i |Tj | 2(i+1)/p hội tụ đầy đủ Do đó, theo Bổ đề Borel-Cantelli, ta suy max1≤j≤2i |Tj | = h.c.c i→∞ 2(i+1)/p Với n ≥ 1, ta giả sử 2i−1 < n ≤ 2i Khi lim |Tn | 2/p max1≤j≤2i |Tj | ≤ → h.c.c i → ∞ n1/p 2(i+1)/p Do đó, ta suy kết luận hệ 0≤ 25 2.2.6 Chú ý Trong trường hợp có trọng số, nói chung ta khơng thể nhận luật mạnh số lớn lim n n→∞ ani Xi = h.c.c n1/p (2.2.8) i=1 từ j ∞ −1 n P ani Xi > εn1/p < ∞ max 1≤j≤n n=1 i=1 j i=1 ani Xi dãy {max1≤j≤n (2.2.9) , n ≥ 1} không tăng Chi tiết điều minh họa qua ví dụ sau 2.2.7 Ví dụ Giả sử ≤ p < 2, α = 1/p, xét dãy {Xn , n ≥ 1} biến ngẫu nhiên độc lập, kỳ vọng cho với n ≥ 1, P (Xn = 0) = − 1/n P (Xn = −n1/2 ) = P (Xn = n1/2 ) = 1/(2n) Khi supn≥1 E|Xn |2 = < ∞ Theo Bổ đề 5.2.2 Taylor [18], tồn biến ngẫu nhiên X với E|X|p < ∞ cho dãy {Xn , n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên X Giả sử {ani , n ≥ 1, ≤ i ≤ n} mảng số thỏa mãn ani = với ≤ i < n ann = n1/2 Khi với n ≥ 1, n a2ni = n, i=1 nghĩa (2.2.3) Theo Định lý 2.2.3 (phần (i) kéo theo (ii)), (2.2.9) Bây giờ, ta xét Yn = Xn /n1/2 , n ≥ Khi {Yn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập ∞ ∞ P {|Yn | ≥ 1} = n=1 n=1 = ∞ n 26 Theo Bổ đề Borel-Cantelli, ta có lim sup |Yn | ≥ h.c.c n→∞ Bây giờ, với n ≥ n −1/p Ani Xi = n−1/p Ann Xn n i=1 = n1−1/p |Yn | h.c.c Vì ≤ p < 2, nên từ (2.2.10), ta thấy (2.2.8) không (2.2.10) 27 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau: Mở rộng định lý hội tụ Loève cho trường hợp biến ngẫu nhiên liên kết âm Kết Mục 2.1 mở rộng kết Matula (1992) Thiết lập định lý hội tụ đầy đủ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên liên kết âm Các hướng phát triển luận văn: Nghiên cứu bất đẳng thức cực đại Kolmogorov cho mảng nhiều chiều biến ngẫu nhiên liên kết âm Mở rộng kết đạt Mục 2.2 cho trường hợp mảng nhiều chiều 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Alam, K.; Saxena, K M Lal Positive dependence in multivariate distributions Comm Statist A Theory Methods 10 (1981), no 12, 1183–1196 [3] Baek, J I; Park, S T Convergence of weighted sums for arrays of negatively dependent random variables and its applications J Theoret Probab 23 (2010), no 2, 362–377 [4] Bingham, N H.; Nili Sani, H R Summability methods and negatively associated random variables Stochastic methods and their applications J Appl Probab 41A (2004), 231–238 [5] Chow, Y S; Teicher, H Probability theory Independence, interchangeability, martingales Third edition Springer Texts in Statistics SpringerVerlag, New York, 1997 xxii+488 pp [6] Fu, K A; Hu, L H Moment convergence rates of LIL for negatively associated sequences J Korean Math Soc 47 (2010), no 2, 263–275 [7] Hu, T C; Chiang, C Y; Taylor, R L On complete convergence for arrays of rowwise m-negatively associated random variables Nonlinear Anal 71 (2009), no 12, e1075–e1081 [8] Huang, W A nonclassical law of the iterated logarithm for functions of negatively associated random variables Stochastic Anal Appl 22 (2004), no 3, 657–678 29 [9] Jing, B Y; Liang, H Y Strong limit theorems for weighted sums of negatively associated random variables J Theoret Probab 21 (2008), no 4, 890–909 [10] Joag-Dev, K.; Proschan, F Negative association of random variables, with applications Ann Statist 11 (1983), no 1, 286–295 [11] Ko, Mi-Hwa; Han, Kwang-Hee; Kim, Tae-Sung Strong laws of large numbers for weighted sums of negatively dependent random variables J Korean Math Soc 43 (2006), no 6, 1325–1338 [12] Kuczmaszewska, A On complete convergence in MarcinkiewiczZygmund type SLLN for negatively associated random variables Acta Math Hungar 128 (2010), no 1-2, 116–130 [13] Liang, H Y., Li, D L and Rosalsky, A Complete moment and integral convergence for sums of negatively associated random variables Acta Math Sin (Engl Ser.) 26 (2010), no 3, 419–432 [14] Matula, P A note on the almost sure convergence of sums of negatively dependent random variables Statist Probab Lett 15 (1992), no 3, 209– 213 [15] Shao, Qi-Man A comparison theorem on moment inequalities between negatively associated and independent random variables J Theoret Probab 13 (2000), no 2, 343–356 [16] Shao, Q M and Su, C The law of the iterated logarithm for negatively associated random variables Stochastic Process Appl 86 (1999), 139– 148 [17] Shao, Q M and Yu, H (1996) Weak convergence for weighted empirical processes of dependent sequences Ann Probab 24, 2098–2127 [18] Taylor, R.L Stochastic Convergence of Weighted Sums of Random Elements in Linear Spaces, Lecture Notes in Mathematics; Springer-Verlag: Berlin, 1978; Vol 672 30 [19] Wang, X J., Li, X Q., Hu, S H and Yang, W Z Strong limit theorems for weighted sums of negatively associated random variables Stoch Anal Appl 29 (2011), no 1, 1–14 [20] Wang, J F and Zhang, L X A Berry-Esseen theorem and a law of the iterated logarithm for asymptotically negatively associated sequences Acta Math Sin (Engl Ser.) 23 (2007), no 1, 127–136 [21] Yu, H An strong invariance principle for associated sequences Ann Probab 24 (1996), 2079–2097 [22] Yuan, M., Su, C and Hu, T Z A central limit theorem for random fields of negatively associated processes J Theoret Probab 16 (2003), no 2, 309–323 [23] Zhang, Y Yang, X Y and Dong, Z S An almost sure central limit theorem for products of sums of partial sums under association J Math Anal Appl 355 (2009), no 2, 708–716 [24] Zhang, L X Strassen’s law of the iterated logarithm for negatively associated random vectors Stochastic Process Appl 95 (2001), no 2, 311328 ... THỨC ĐỐI VỚI TỔNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM Trong chương này, trình bày khái niệm biến ngẫu nhiên liên kết âm số kiến thức liên quan Nội dung Chương bất đẳng thức đối với tổng biến ngẫu nhiên. .. bn 1.3 Các bất đẳng thức tổng biến ngẫu nhiên liên kết âm Trong mục chúng tơi trình bày kết Chương Định lý sau thiết lập bất đẳng thức so sánh moment biến ngẫu nhiên liên kết âm biến ngẫu nhiên. .. ngẫu nhiên độc lập bất đẳng thức Rosenthal, bất đẳng thức Kolmogorov, với biến ngẫu nhiên liên kết âm Có nhiều định lý giới hạn thiết lập cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Trong phải kể định