BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————————— NGUYỄN THỊ MINH HIỆP MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định, 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————————— NGUYỄN THỊ MINH HIỆP MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định, 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————————— NGUYỄN THỊ MINH HIỆP MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành : Mã số : Phương pháp Toán sơ cấp 46 01 13 Người hướng dẫn: TS MAI THÀNH TẤN Bình Định, 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung luận văn " Một số bất đẳng thức đối xứng ba biến áp dụng" thân thực theo logic riêng hướng dẫn TS Mai Thành Tấn Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc rõ ràng Bình Định, tháng năm 2022 Tác giả Nguyễn Thị Minh Hiệp Mục lục MỞ ĐẦU Một số ký hiệu Một số kiến thức sở 1.1 1.2 Một số bất đẳng thức thường dùng 1.1.1 [3] Bất đẳng thức sơ cấp 1.1.2 Bất đẳng thức AM-GM 1.1.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 1.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev 1.1.5 Bất đẳng thức Muirhead cho ba số 1.1.6 Bất đẳng thức Schur Bất đẳng thức đối xứng ba biến Bất đẳng thức đối xứng ba biến không âm 12 2.1 Phương pháp đổi biến p, q, r 12 2.2 Bài toán liên quan 25 Bất đẳng thức đối xứng ba biến R 27 3.1 Phương pháp sử dụng đạo hàm 27 3.2 Phương pháp đổi biến với tổng cho trước 35 3.3 Bài toán liên quan 43 Phương pháp ABC (ABstract Concreteness) 45 4.1 Phương pháp ABC 45 4.2 Mở rộng phương pháp ABC 4.3 Bài toán liên quan 62 58 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức vấn đề cổ điển Toán học ngày phát triển Ngay từ đời bất đẳng thức đặt dấu ấn quan trọng có sức hút nhiều đối tượng u tốn Đây chun đề khó chương trình Tốn học phổ thơng Các tốn chứng minh bất đẳng thức thường hay xuất kì thi tuyển sinh đặc biệt kì thi học sinh giỏi nước quốc tế, Olympic, IMO, Thông qua việc giải bất đẳng thức giúp phát triển tư sáng tạo, biết tìm tịi nâng cao tinh thần ham học hỏi biết áp dụng Ngoài bất đẳng thức cịn có nhiều ứng dụng mơn khoa học khác thực tế Chính Tốn học sơ cấp có nhiều tốn bất đẳng thức khó, chí khó ln giải từ kiến thức sở, từ bất đẳng thức sở Trong khơng thể nhắc đến bất đẳng thức chứa nhiều biến số mà thường gặp biến số có vai trò gọi bất đẳng thức đối xứng Bất đẳng thức đối xứng hai biến, ba biến mở rộng n biến phần quan trọng bất đẳng thức sơ cấp dạng tốn quen thuộc kì thi Đây dạng bất đẳng thức hấp dẫn, giải theo hướng đơn giản sáng tạo nên bất đẳng thức Bất đẳng thức vơ rộng lớn, tơi tìm hiểu lĩnh vực nhỏ Dưới hướng dẫn TS Mai Thành Tấn, tơi hồn thành luận văn với đề tài " Một số bất đẳng thức đối xứng ba biến áp dụng" Luận văn chia làm bốn chương: • Chương 1: Một số kiến thức sở • Chương 2: Bất đẳng thức đối xứng ba biến khơng âm • Chương 3: Bất đẳng thức đối xứng ba biến R • Chương 4: Phương pháp ABC Mặc dù có nhiều cố gắng trình độ cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Qua muốn dành lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến TS Mai Thành Tấn - giảng viên hướng dẫn tơi thực luận văn Thầy người định hướng, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi nhận xét để hồn thành luận văn với hiệu cao Tôi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Phương pháp toán sơ cấp trường Đại học Quy Nhơn tồn thể thầy Khoa Toán - Thống kê, nhứng người giảng dạy cho kiến thức, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi trình học tập đặc biệt gia đoạn dịch đầy khó khăn Cuối tơi xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm, giúp đỡ động viên suốt hành trình vừa qua tơi Một số ký hiệu N Z R R+ degϕ(abc) deg(f ) tập số tự nhiên tập số nguyên tập số thực tập số thực không âm bậc đa thức theo biến abc bậc đa thức f Chương Một số kiến thức sở Trong phần này, tơi trình bày số định nghĩa, định lý, hệ số bất đẳng thức quen thuộc AM-GM, Cauchy - Schwarz, Chebyshev, Muirhead, Schur bất đẳng thức đối xứng ba biến Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] [6] 1.1 1.1.1 Một số bất đẳng thức thường dùng [3] Bất đẳng thức sơ cấp Nếu x ≥ y y ≥ z x ≥ z , ∀x, y, z ∈ R Nếu x ≥ y a ≥ b x + a ≥ y + b, ∀x, y, a, b ∈ R Nếu x ≥ y a ≥ b xa ≥ yb, ∀x, y ∈ R+ ∀a, b ∈ R+ Nếu x ∈ R x2 ≥ 0, đẳng thức xảy x = Tổng quát hơn, với Ai ∈ R+ xi ∈ R, i = 1; 2; ; n A1 x21 + A2 x22 + + An x2n ≥ Đẳng thức xảy x1 = x2 = = xn = 1.1.2 Bất đẳng thức AM-GM Định lý 1.1.1 [3] Với n số thực không âm a1 , a2 , a3 , , an ta có bất đẳng thức √ a1 + a2 + + an ≥ n a1 a2 .an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Định lý gọi bất đẳng thức AM - GM bất đẳng thức so sánh trung bình cộng trung bình nhân n số thực khơng âm Trong bất đẳng thức đối xứng ba biến, ta có số trường hợp đặc biêt hệ áp dụng từ định lý sau: với a, b, c khơng âm ta có, √ (i) a + b + c ≥ abc, a+b+c ≥ abc, (ii) (iii) (a + b + c)2 ≥ (ab + bc + ca), (iv) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 , (v) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc (a + b + c) Hệ 1.1.2 [3] Với n số thực dương a1 , a2 , , an ta có: 1 + + + (a1 + a2 + + an ) ≥ n2 a1 a2 an Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an 1.1.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Định lý 1.1.3 [2] (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Với hai dãy n số thực tuỳ ý (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) ta có bất đẳng thức (a21 + a22 + + a2n )(b21 + b22 + + b2n ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 ... " Một số bất đẳng thức đối xứng ba biến áp dụng" Luận văn chia làm bốn chương: • Chương 1: Một số kiến thức sở • Chương 2: Bất đẳng thức đối xứng ba biến không âm • Chương 3: Bất đẳng thức đối. .. nhắc đến bất đẳng thức chứa nhiều biến số mà thường gặp biến số có vai trị gọi bất đẳng thức đối xứng Bất đẳng thức đối xứng hai biến, ba biến mở rộng n biến phần quan trọng bất đẳng thức sơ cấp... ĐẦU Một số ký hiệu Một số kiến thức sở 1.1 1.2 Một số bất đẳng thức thường dùng 1.1.1 [3] Bất đẳng thức sơ cấp 1.1.2 Bất đẳng thức AM-GM 1.1.3 Bất đẳng