1180 một số bất đẳng thức đối xứng ba biến và áp dụng luận văn tốt nghiệp

B®GIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯÍNGĐ Ạ I H O C Q U Y N H Ơ N —————————————— NGUYENT H ± M I N H H I › P MËTSOBATĐANGTHỨCĐOIXỨNG BA B IE N VÀÁP DỤNG LUŠNVĂNTHẠCSĨTỐNHOC BìnhĐịnh,2022 B®GIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯÍNGĐ Ạ I H O C Q U Y N H Ơ N —————————————— NGUYENT H ± M I N H H I › P MËTSOBATĐANGTHỨCĐOIXỨNG BA B IE N VÀÁP DỤNG Chuyênngành : PhươngphápTốnsơcapMãso : 8460113 Ngưíih ỵ n g d ȁ n : T S M AI T H À N H T A N BìnhĐịnh,2022 LÍICAMĐOAN Tơi xin cam oan nđi dung luên "Mởtsobat ang thfớcoixfớng ba bien áp dnng" thân thực hi»n theo logicriêngd i s ự h n g d an c ủ a T S M a i T h n h T a n C c n ® i d u n g v k e t quảsảdụngtrongluªnvănđeucótríchdanvàchúthíchnguongocrõràng BìnhĐ n h , t h n g n ă m 2 Tácgiả NguyenThịMinhHi»p Mnclnc MÐĐAU Mëtsokjhi»u Mëtsokienthfíccơsð 1.1 1.2 M®tsobatđȁngthácthườngdùng 1.1.1 [3]Batđȁngthácsơcap 1.1.2 BatđȁngthácAM-GM 1.1.3 BatđȁngthácCauchy-Schwarz .5 1.1.4 BatđȁngthácChebyshev .6 1.1.5 BatđȁngthácMuirheadchob®baso 1.1.6 BatđȁngthácSchur Batđȁngthácđoixángbabien Batđ a n gt h f í c đ o i x f í n g b a b i e n k h ô n g â m 12 2.1 Phươngphápđőibienp,q,r 12 2.2 Bàitoánliênquan 25 Batđ a n gt h f í c đ o i x fí n g b a b i e n t r ê n R 27 3.1 Phươngphápsảdụngđạohàm 27 3.2 Phươngphápđőibienvớitőngchotrước 35 3.3 Bàitoánliênquan 43 PhươngphápABC(ABstractConcreteness) 4.1 PhươngphápABC 45 4.2 Mởr®ngphươngphápABC 58 4.3 Bàitoánliênquan 62 Ket luªn 65 45 Tàili»uthamkhảo 66 MÐĐAU Bat đȁng thác m®t van đe cő đien Tốn hoc ngày càngphátt r i e n N g a y t k h i r a đ i b a t đ ȁ n g t h c đ ã đ ° t d a u a n q u a n t r o n g vàcósáchútđoivớiratnhieuđoitượngutốn.Đâylàchunđekhónhat chương trình Tốn hoc phő thơng Các tốn cháng minhbatđ ȁ n g t h c t h n g r a t h a y v x u a t h i » n t r o n g c c k ì t h i t u y e n s i n h đ°cb i » t l k ì t h i h o c s i n h g i ỏ i t r o n g n c v q u o c t e , O l y m p i c , I M O , Thôngq u a v i » c g i ả i b a t đ ȁ n g t h c g i ú p c h ú n g t a p h t t r i e n t d u y s n g tạo,bi et tì mt ị in ân g ca o ti nh th a nh am h o c h ỏ i v bi e tá pd ụ n g N g o i rabatđȁngtháccịncóratnhiengdụngtrongcácmơnkhoahockhácvà thực te Chính the Tốn hoc sơ cap có rat nhieu tốnbatđ ȁ n g t h c k h ó , t h ª m c h í l r a t k h ó n h n g l u ô n c ó t h e g i ả i đ ợ c t nhǎng kien thác rat sở, tà bat đȁng thác sở Trong khơngthen h a c đ e n b a t đ ȁ n g t h c c h a n h i e u b i e n s o m t h n g g ° p c c b i e n socóvaitrịnhưnhaugoilàbatđȁngthácđoixáng.Batđȁngthácđoixáng hai bien, ba bien mở r®ng ranbien m®t phan quantrong nhat bat đȁng thác sơ cap dạng toán quen thu®ctrong kì thi Đây dạng bat đȁng thác hap dan, có the giải đượctheohướngđơngiảnhơnvàcóthesángtạonêncácbatđȁngthácmới Batđ ȁ n g t h c v ô c ù n g r ® n g l n , t i c h ỉ t ì m h i e u m ® t l ĩ n h v ự c n h ỏ trongđ ó D i s ự h n g d a n c ủ a T S M a i T h n h T a n , t ô i đ ã h o n t h n h luªnvănvớiđetài" Mët so bat thGc oi xGng ba bien v ỏpding" Luênvncchialmbonchng: ã Chng1:Mđtsokienthỏccs • Chương2:Batđȁngthácđoixángbabienkhơngâm • Chương3:BatđȁngthácđoixángbabientrênR • Chương4:PhươngphápABC M°c dù có nhieu co gang nhng trỡnh đ cũn hn che nờn luên văn khótránh khỏi nhǎng thieu sót Vì vªy, tơi mong nhªn góp ý qthaycơvàcácbạnđeluªnvănđượchồnthi»nhơn Qua tơi muon dành lời cảm ơn chân thành sâu sac đen TS MaiThành Tan - giảng viên hướng dan thực hi»n luªn văn Thay chínhlàn g i đ ã đ ị n h h n g , t o đ i e u k i » n t h u ª n l ợ i v c h o t ô i n h ª n x é t đ e hồnthànhluªnvănvớihi»uquảcaonhat Tôi xin phép gải lời cảm ơn chân thành đen q thay giảngdạy lớp Phương pháp tốn sơ cap trường Đại hoc Quy Nhơn nhưtoàn the thay Khoa Tốn - Thong kê, nháng người giảng dạy chotơikienthác,giúpđơvàtạođieuki»nthuªnlợinhattrongqtrìnhhoctªpđ°cbi »tlàtronggiađoạndịchđaykhókhăn Cuoi tơi xin phép gải lời cảm ơn đen gia đình nhǎng người bạnlnquantâm,giúpđơvàđ®ngviêntrongsuothànhtrìnhvàaquacùngtơi Mëtsokjhi»u N Z R tªpcácsotựnhiên tªp cácso nguyên tªpcácsothực R+ tªp so thực khơng âmdegϕ(abc) bªc củađa thác theobienabcdeg(f) bªccủađathácf Chương1 Mëtsokienthfíccơsð Trong phan này, tơi trình bày m®t so định nghĩa, định lý, h» m®tsobatđȁngthácquenthu®cnhưAM-GM,CauchySchwarz,Chebyshev,Muirhead, Schur bat đȁng thác đoi xáng ba bien Các ket trongchươngnàyđượcthamkhảotàtàili»u[1],[2],[3],[4],[5]và[6] 1.1 1.1.1 Mëts o b a t đ a n g t h f í c t h í n g d ù n g [3]B a t đ a n g t h f í c s c a p Neux≥yvà y≥zt h ì x≥z,∀x,y,z∈R Neux ≥yv a ≥bt h ì x+a≥y+b,∀ x,y,a,b∈R Neux≥yv a≥bthìxa≥yb,∀x,y∈R+ ∀a,b∈R+ Neux∈Rthìx2≥0,đȁngthácxảyrakhivàchỉkhix= 0.Tőngquáthơn,vớiA i∈R+vàx i∈R,i=1;2; ;nthì A1x2+A2x2+ +Anx2 ≥0 n Đȁngthácxảyrakhivàchỉkhix 1=x2= =xn= 1.1.2 BatđangthfícAM-GM Địnhl j [ 3]Váinsothựckhơngâma 1,a2,a3, ,antacóbatđȁngthúc a1+a2+ +an √na a .an ≥ n Đȁngthúcxáyrakhivàchíkhia1=a2= =an Định lý goi bat đȁng thác AM - GM bat đȁng thác sosánhgiǎatrungbìnhc®ngvàtrungbìnhnhâncủansothựckhơngâm Trongb a t đ ȁ n g t h c đ o i x n g b a b i e n , t a c ó m ® t s o t r n g h ợ p đ ° c biêtvàh»quảápdụngtàđịnhlýtrênnhưsau:vớimoia,b,ckhơngâmtacó, √3abc (i) a+b+c≥3 , (ii) a +b+c ≥abc , (iii)( a+b+c) ≥3(ab+bc+ca), (iv)a 2+b2+c2 ≥ (a+b+c)2, (v)( ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c) H»q u ả [ 3]Váinsothựcdươnga 1,a2, ,antacó: + a1 a2 + + an (a1 +a + +an )≥n2 Đȁngthúcxáyrakhivàchíkhia1=a2= =an 1.1.3 BatđangthfícCauchy-Schwarz Địnhlj1.1.3.[2](BatđȁngthúcCauchySchwarz)Váihaidãynsothựctuỳý(a1,a2, ,an)và(b1,b2, ,bn)tacóbatđȁngthú c 2 2 (a12+a22+ +a2)(b +b + +b )≥(a 1b1+a2b2+ +anbn) n n