Một số vấn đề về bất đẳng thức đối xứng ba biến

Tài liệu tham khảo:Một số vấn đề về bất đẳng thức đối xứng ba biến

LỜI CẢM ƠN

Em xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, trường ĐHSP HàNội 2, các thầy cô giáo tổ Đại số đã tạo điều kiện thuận lợi để giúp em hoànthành khoá luận tốt nghiệp này

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo hướng dẫn:Thạc sĩ Phạm Lương Bằng đã quan tâm hướng dẫn và chỉnh sửa khoá luậncho em

Mặc dù đã cố gắng nhưng bản thân em mới làm quen với công tácnghiên cứu khoa học nên không thể tránh khỏi những thiếu sót Em hi vọng sẽnhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô và các bạn để khoá luận của

em hoàn chỉnh hơn

Sinh viên

Nguyễn Thị Phương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan:

Khoá luận tốt nghiệp là kết quả của sự lỗ lực tự bản thân tôi và sựhướng dẫn của thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phạm Lương Bằng

Nội dung khoá luận không trùng lặp với công trình nghiên cứu của cáctác giả trước đã công bố

Sinh viên

Nguyễn Thị Phương

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: LÍ THUYẾT CHUNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 3

1.1 SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 3

1.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 6

1.2.1 Bất đẳng thức AM-GM 6

1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz – Holder 9

1.2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz : 9

1.2.2.2 Bất đẳng thức Holder: 12

1.2.3 Bất đẳng thức Chebyshev 14

1.2.4 Bất đẳng thức Jensen 17

1.2.5 Bất đẳng thức Schur 18

CHƯƠNG 2 22

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 22

2.1 BẤT ĐẲNG THỨC CỦA CÁC DÃY SỐ ĐỒNG THỨ TỰ 22

2.2 LỚP HÀM ĐỐI XỨNG SƠ CẤP BA BIẾN 25

2.3 MỘT SỐ TIÊU CHUẨN VỀ S.O.S 29

2.4 HAI DẠNG CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN 33 2.4.1 Bất đẳng thức dạng thuần nhất bậc 33

2.4.2 Đồng bậc hoá bất đẳng thức 36

2.4.3 Bất đẳng thức đối xứng ba biến thuần nhất không có điều kiện 39

2.4.4 Bất đẳng thức đối xứng ba biến thuần nhất có điều kiện 44

CHƯƠNG 3: HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 50

3.1 HỆ THỐNG BÀI TẬP 50

3.2 HƯỚNG DẪN GIẢI 53

KẾT LUẬN 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong kỷ nguyên công nghệ thông tin, sự biến đổi các ngành trong cáclĩnh vực khoa học tự nhiên hay khoa học xã hội luôn diễn ra với tốc độ chóngmặt Nhờ internet và các phương tiện truyền thông mà các quốc gia đã xích lạigần nhau trong một thế giới hội nhập toàn cầu hoá Ở một phạm vi hẹp chúng

ta có thể thấy sự phát triển của các webside Toán học đã làm cho những ngườiđam mê Toán học trên thế giới có thể dễ dàng nhanh chóng tiếp cận và traođổi thông tin vô cùng phong phú Một điều mà mọi người dễ thống nhất vớinhau là bất đẳng thức luôn chiếm vị trí quan trọng đối với toán học phổ thôngcũng như trên các webside Toán học

Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển của Toán học sơ cấp đangngày càng phát triển, đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp vàthú vị nhất, vì thế luôn cuốn hút rất nhiều đối tượng bạn đọc quan tâm Điểmđặc biệt, ấn tượng nhất của bất đẳng thức trong toán sơ cấp, đó là có rất nhiềunhững bài toán khó, thậm chí là rất khó, luôn có thể giải được bằng nhữngkiến thức rất cơ sở và việc hoàn thành được chứng minh là niềm vui thực sự

Bất đẳng thức đối xứng là một trong các phần quan trọng nhất của bấtđẳng thức sơ cấp, cũng là dạng bài quen thuộc trong các kì thi học sinh giỏiquốc gia và quốc tế Đây là dạng bất đẳng thức rất được yêu thích không chỉvới các bạn đã thành thạo mà còn hấp dẫn với cả những bạn mới bắt đầu

Xuất phát từ cơ sở lí luận và thực tiễn đó mà em đã quyết định chọn đề

tài: “Một số vấn đề về bất đẳng thức đối xứng ba biến” làm đề tài nghiên cứu

cho mình

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Nắm được những kiến thức cơ bản và độc đáo về bất đẳng thức đốixứng ba biến, từ đó có phương pháp giải phù hợp và bước đầu hình thành khảnăng tự sáng tạo bất đẳng thức

3 Đối tượng nghiên cứu

Các bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thức của các dãy số đồng thứ tự, lớphàm đối xứng ba biến, tiêu chuẩn S.O.S, bất đẳng thức dạng đồng bậc, bấtđẳng thức thuần nhất đối xứng có điều kiện và không có điều kiện

Một số bài toán bất đẳng thức đối xứng ba biến

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc, nghiên cứu tài liệu

So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức

Tổng hợp, sắp xếp, giải bài tập

CHƯƠNG 1

LÍ THUYẾT CHUNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

ĐỐI XỨNG BA BIẾN

1.1 SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN

Nói chung, các bất đẳng thức đối xứng ba biến ở dạng tổng quát luôn

có biểu diễn dưới dạng sau:

Bài toán được giải quyết.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Cho a = b = 2, c = 0 thì hiển nhiên a + b + c = ab + bc + ca, và ta thu

được k 1.Ta sẽ chỉ ra rằng 1 cũng là giá trị lớn nhất có thể của k, tức là:

Bất đẳng thức này đúng, ta suy ra điều phải chứng minh.

1.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1a2  a n

Những trường hợp đặc biệt và hệ quả hay được áp dụng cho bất đẳngthức đối xứng ba biến

Với mọi a, b, c không âm ta có

33

a b c   abc ;3

Đặt x = (a+b)(b-c), y = (b+c)(c-a), z = (c+a)(a-b)

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về dạng:

x  y  z  x  y  z  (do x + y + z = 1)

Vậy (2) đúng, tức là (1) đúng Ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.

Bằng cách này ta chứng minh được bất đẳng thức còn mạnh hơn bấtđẳng thức ban đầu

1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz – Holder

1.2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz :

Với hai dãy số thực tuỳ ý a a1, , ,2 a và n b b1, , ,2 b ta luôn có bất đẳng thức n

Ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 3 2 5  15 6

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2

b c c a a b

a b    ba b Hoàn toàn tương tự, ta cũng có

Với m dãy số dương (a a1.1, 1.2, ,a1.n), (a a2.1, 2.2, ,a2.n), ,(a m.1,a m.2, ,a m n. )

Khi m = 2, bất đẳng thức Holder trở thành Cauchy Schwarz.

Ngoài trường hợp này, trường hợp đặc biệt hay được sử dụng nhất của

bất đẳng thức Holder là n = m = 3, khi đó ta có thể phát biểu nó như sau:

Với mọi số thực không âm a, b, c, x, y, z, m, n, p, ta có:

2 2 2

c a b a b c b c a

       (đúng với mọi số dương a, b, c).

Bài toán 14:

Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn không có hai số nào đồng

thời bằng 0 Chứng minh bất đẳng thức sau

n

Nếu b1b2   b n thì

1 n n ( n)( n)

Tính chất: Cho f   : là một hàm số có đạo hàm, khi đó f là hàm

lồi nếu và chỉ nếu f  0

Bất đẳng thức Jensen: Nếu f   : là hàm lồi trên  thì với mọi

ln ln lnln

Trường hợp k =1 thường được biết đến với tên gọi là bất đẳng thức

Schur bậc ba, nó có các dạng tương đương là:

a b c  abc ab a b  bc b c ca c a

3(a b c  ) 9abc4(a b c ab bc ca  )(   );

Trường hợp k = 2 thường được biết đến với tên gọi là bất đẳng thức

Schur bậc bốn, nó có các dạng tương đương là:

4 4 4 ( ) ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)

a b c abc a b c  ab a b bc b c ca c a ;

2 2 2 2 2 2

6abc a b c(   ) (2 ab2bc2ca a  b  c )(a b c ab bc ca  )

Bất đẳng thức Schur suy rộng: Cho các số dương a, b, c, x, y, z sao

cho (a, b, c) và (x, y, z) đều là các bộ đơn điệu Khi đó bất đẳng thức sau luôn thoả mãn

Ta sẽ dùng phương pháp phản chứng để chứng minh bài toán này

Giả sử rằng tồn tại a, b, c dương sao cho

9 [

2 2 2 2 2 2 4 4 42(x y y z z x ) ( x  y z )](x2 y2 z2)

Mà theo bất đẳng thức Schur bậc ba thì

[2(x y2 2 y z2 2 z x2 2) ( x4  y4z4)](x2 y2 z2) 9x y z2 2 2

Kết hợp lại ta được 53 2 2 2x y z VP VT 53 2 2 2x y z (vô lí)

Điều này chứng tỏ giả sử sai, hay nói cách khác với mọi a, b, c dương

Bài toán được chứng minh xong.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN

2.1 BẤT ĐẲNG THỨC CỦA CÁC DÃY SỐ ĐỒNG THỨ TỰ

Như đã nói ở trên, tính chất quan trọng nhất của các biểu thức đối xứng

ba biến là vai trò bình đẳng giữa các biến, và do đó ta có thể sắp xếp lại theomột trật tự tuỳ ý giá trị các biến số đó trong chứng minh Việc giải các bàitoán bất đẳng thức có những biến số được sắp xếp theo một thứ tự nào đó làrất thuận tiện và có thể tổng quát hoá được Trong mục này, ta nghiên cứuviệc chứng minh bất đẳng thức đối xứng ba biến với kĩ thuật tạo ra các bộ ba

số đồng thứ tự

Định nghĩa: Hai bộ ba số  ( , , )a a a1 2 3 và  ( , , )b b b1 2 3 gọi là đồng thứ tự nếu chúng thoả mãn đồng thời a1a2 a3 và b1b2 b3 hoặc đồng thời a1a2 a3 và b1b2 b3 Hai bộ ba số  ( , , )a a a1 2 3 và  ( , , )b b b1 2 3

gọi là nghịch đảo thứ tự nếu chúng thoả mãn đồng thời a1a2 a3 và

1 2 3

b b b hoặc đồng thời a1a2 a3 và b1b2 b3.

Ví dụ:

Cho ba số nguyên dương a, b, c bất kì thì ta có thể sắp xếp chúng theo

thứ tự a b c  (hoặc a b c  ), khi đó hai bộ ba số ( , , )a b c và ( , , )a b c là3 3 3

S a b a b a b , ở đây ( , , )i i i là hoán vị của (1, 2, 3) Khi đó1 2 3

(i) Nếu hai bộ ba số là đồng thứ tự thì các bất đẳng thức sau đúng

1 2 3

(1,2,3) ( , , )i i i (3,2,1)

S S S

(ii) Nếu hai bộ ba số là nghịch đảo thứ tự thì các bất đẳng thức sau đúng

( , , )i i i = (1, 2, 3) (đối với các bất đẳng thức vế trái) và ( , , )i i i = (3, 2, 1)1 2 3

(đối với các bất đẳng thức vế phải)

Do tính đối xứng của các biến trong bất đẳng thức, ta có thể giả sử

a b c  Khi đó bộ ba ( , , )a b c và 4 4 4 ( , ,bc ca ab) là nghịch đảo thứ tự Theo

Giả sử a b c  thế thì 1 1 1

a b c Hai bộ ba ( , , )a b c và

1 1 1, ,

a b c

  lànghịch đảo thứ tự, theo mệnh đề trên ta có

2.2 LỚP HÀM ĐỐI XỨNG SƠ CẤP BA BIẾN

Việc nghiên cứu các biểu thức đối xứng có thể được quy về bằng việcnghiên cứu các đa thức đối xứng được chứng minh qua định lí sau

Định lí cơ bản của đại số: Mọi đa thức đối xứng luôn có thể biểu diễn

qua các đa thức đối xứng sơ cấp.

Như vậy tất cả các bất đẳng thức đối xứng ba biến số đều có thể quy vềcác hàm đối xứng cơ bản của

minh theo p, q, r, ta chỉ cần khảo sát bất đẳng thức này theo ba biến mới p, q,

r Điểm mạnh nhất của phương pháp này là xử lý được những bất đẳng thức

đối xứng ba biến, chặt và khó, vì ta không thực hiện nhiều phép ước lượngtrung gian thô và điều đó cũng có nghĩa là ta phải làm việc với nhiều bướctính toán nhất là trong bài toán dạng phân thức hoặc bậc cao

Chúng ta dễ dàng kiểm tra các kết quả cơ bản sau

Một vấn đề nữa cần đặt ra là thứ tự so sánh giữa các bộ p, q, r như thế

nào Một nguyên tắc là phải đảm bảo tính đồng bậc

Trước tiên, ta hãy quan sát các bất đẳng thức liên quan đến p, q, r Mở

ngay trong trường hợp t = 1 và t = 2 của bất đẳng thức Schur có thể viết lại

dưới dạng tương đương là

2 81

f a a a  và f có thể chứa căn thức, phân thức của a, b, c luôn luôn có

biểu diễn dưới dạng chính tắc S.O.S mhư vậy

Trước khi vào một số ví dụ cụ thể của phương pháp này chúng ta chú ýmột số đẳng thức thường được sử dụng trong quá trình phân tích

1 a2 b2  2ab(a b )2

2

2( )2

Trong các biểu thức ba biến chúng ta nên chú ý tới các đại lượng a – b,

b – c, c – a Việc nhóm các đại lượng này một cách hợp lí sẽ rút ra được hạng

Do tính đối xứng nên ta có thể giả sử rằng a b c  , khi đó dễ thấy

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng tức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng do ab(a c b c )(  ) Ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc abc = 0.

2.4 HAI DẠNG CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN

2.4.1 Bất đẳng thức dạng thuần nhất bậc

Tính thuần nhất bậc (đồng bậc, thuần nhất) là một tiêu chuẩn đầu tiên

phải tính đến khi so sánh các đại lượng Các bất đẳng thức cổ điển ta đã biết

như bất đẳng thức AM-GM, Cauchy Schwarz, Holder, Chebyshev, Schur,…,

đều là các bất đẳng thức dạng đồng bậc

Hàm số f x x( , , , )1 2 x của các biến số thực n x x1, , ,2 x được gọi là n

hàm thuần nhất bậc m nếu với mọi số thực t ta có

được gọi là bất đẳng thức thuần nhất ( bậc m ) Khái niệm bất đẳng thức đồng

bậc liên quan chặt chẽ với đa thức đồng bậc Trong phạm vi của một đa thức

thì một đa thức là thuần nhất bậc nếu nó là tổng của các đơn thức đồng bậc

Ví dụ về các đa thức đồng bậc

3 2( , , ) 3 5

f x y z x  x y xyz;

3 3 3 2 2 2

g a b c a b c  a b b c c a abc

Dựa trên tính đồng bậc, tính bình đẳng giữa các biến số, ta sẽ sắp thứ tự

và chọn phần tử lớn nhất hoặc nhỏ nhất, từ đó giảm biến số Với cách làm này

ta giải quyết được một lớp các bất đẳng thức bốn biến số, để dưa về việcchứng minh bất đẳng thức đối xứng ba biến số

Nếu một trong bốn số bằng 0 thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển

nhiên đúng Xét trường hợp a, b, c, d > 0, vì tính đồng bậc nên ta có thể chọn

hệ thức liên hệ giữa các biến số Từ giả thiết đã cho ta có thể viết bất đẳngthức cần chứng minh dưới dạng thuần nhất bậc.

Để bỏ số mũ dạng hữu tỉ, ta đưa ra biến mới như sau

Đặt x a 1 3; y b 1 3; z c 1 3

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về dạng

4 4 4 4 4 4

x  y z x  y z

với điều kiện x2 y2 z2 3

Sử dụng giả thiết ta viết được bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạngthần nhất tương đương là

a a b c b a b c c a b c 2 abc abc abc2

3(a b c  ) 9abc

Do đó ta chỉ cần chứng minh được

3(a b c  ) 9abc4(a b c ab bc ca  )(   )

Đây chính là bất đẳng thức Schur ở dạng bậc ba nên nó hiển nhiênđúng Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

Vậy ta có điều phải chứng minh

2.4.3 Bất đẳng thức đối xứng ba biến thuần nhất không có điều kiện

Về cơ bản thì việc chứng minh một bất đẳng thức đối xứng ba biếnthuần nhất không có điều kiện giống như việc chứng minh một bất đẳng thức

đối xứng ba biến, ngoài các cách chứng minh bất đẳng thức thông thường tacòn có các cách độc đáo riêng bởi tính đối xứng của nó như đưa về bất đẳngthức của các dãy số đồng thứ tự, hay đưa về bất đẳng thức mới thông qua các

đa thức đối xứng sơ cấp ba biến, hoặc phân tích bình phương S.O.S

Việc giải được một bài toán hay và khó thực sự là điều rất thú vị, songnếu chúng ta có thể tự mình sáng tạo ra các bất đẳng thức như vậy thì niềmvui còn tăng lên rất nhiều lần, đó cũng là một việc đáng quan tâm và nhiều ýnghĩa Trong mục này chúng ta sẽ bước đầu làm quen với việc sáng tạo bấtđẳng thức nói chung và bất đẳng thức đối xứng ba biến nói riêng

Mở đầu về bất đẳng thức đối xứng ba biến thuần nhất là bất đẳng thứccực kì nổi tiếng và có nhiều ứng dụng, đó là bất đẳng thức Schur

a a b a c  b b c b a  c c a c b  

Chứng minh:

Ta xem một cách chứng minh rất đơn giản và ngắn gọn

Do tính đối xứng của bất đẳng thức ta có thể giả sử a b c 

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì các biến c, x, y đều không âm.

Vậy bài toán được chứng minh

Ta đã biết bất đẳng thức trên thường được phát biểu dưới dạng quenthuộc hơn như

Bất đẳng thức trên không phải luôn đúng.

Thật vậy, cho b = c = x thì bất đẳng thức trên tương đương với

6 2 6 3 2 4 2 5 2 5 2 6

a  x  a x  a x x a x

 a6 3a x2 4 2a x5 2x a5

 a53ax4 2a x4 2x5 (*)

Chọn a = 0 khi đó (*)  0 2x 5, bất đẳng thức này không phải luôn đúng

Ta tiếp tục mở rộng bất đẳng thức trên theo hướng khác

Cả hai kết quả thử nghiệm trên đều dẫn đến một kết quả phủ định Ta

có thể tìm ra một bất đẳng thức đúng được không? Chúng ta cùng nhìn lại bàitoán sau:

Bài toán 37:

Với mọi số thực không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức