1146 một số vấn đề về bất đẳng thức ostrowski và áp dụng luận văn tốt nghiệp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHÙNG THỊ HỒNG DIỄM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC OSTROWSKI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHÙNG THỊ HỒNG DIỄM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC OSTROWSKI VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS ĐINH THANH ĐỨC Bình Định - Năm 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung luận văn "Một số vấn đề bất đẳng thfíc Ostrowski áp dụng " thân thực theo logic riêng hướng dẫn PSG.TS Đinh Thanh Đức Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc rõ ràng Bình Định, tháng năm 2022 Tác giả Phùng Thị Hồng Diễm i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thfíc chuẩn bị 1.1 Hàm lồi, hàm tựa lồi hàm Lipschitz 1.2 Một số bất đẳng thức .5 1.3 Hàm liên tục tuyệt đối, biến phân biến phân toàn phần 1.4 Xác suất, kỳ vọng hàm phân phối xác suất Một số dạng mở rộng bất đẳng thfíc Ostrowski áp dụng 11 2.1 Bất đẳng thức Ostrowski 11 2.2 Dạng bất đẳng thức Ostrowski với hàm liên tục tuyệt đối 13 2.3 Dạng bất đẳng thức Ostrowski với hàm có biến phân bị chặn 18 Bất đẳng thfíc kiểu Ostrowski áp dụng 26 3.1 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski cho hàm Lipschitz áp dụng 26 3.2 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski cho hàm tựa lồi áp dụng 37 3.3 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski cho hàm phân phối xác suất 55 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 MỞ ĐẦU Trong nhiều thập kỷ qua, bất đẳng thức đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu phát triển cơng trình tốn học, ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học lý thuyết ứng dụng, đặc biệt việc giải toán thực tế Bên cạnh đó, bất đẳng thức cịn chiếm vị trí định việc giảng dạy tốn sơ cấp, đề thi thuộc chương trình tốn THCS THPT Một số bất đẳng thức quan trọng như: bất đẳng thức Ostrowski, Gruss, Hermite-Hadamard, Trong bật bất đẳng thức Ostrowski mang tên nhà toán học người Ukraina Năm 1938, A.M Ostrowski công bố bất đẳng thức:   2 a+b ∫ f (x) − − b   + f (t)dt ⩽  x   M (b − a) (1) → 4  b−a a b−a f : [a, b] R hàm liên tục [a, b] khả vi (a, b) Hằng số đánh giá tốt nhất, khơng thể thay số bé Kể từ xuất hiện, bất đẳng thức Ostrowski nhiều nhà khoa học quan tâm tập trung nghiên cứu chủ yếu vào bất đẳng thức loại ứng dụng chúng Các tài liệu [1-13] chứa kết quan trọng liên quan đến bất đẳng thức Ostrowski Do vậy, nhận thấy việc nghiên cứu, khai thác vấn đề liên quan đến bất đẳng thức Ostrowski cần thiết có ý nghĩa thực tiễn Trong luận văn này, tổng kết số kết mới, đáng lưu ý bất đẳng thức Ostrowski áp dụng cho hàm liên tục tuyệt đối, hàm biến phân bị chặn, hàm tựa lồi hàm phân phối xác suất Luận văn "Một số vấn đề bất đẳng thức Ostrowski áp dụng" gồm chương Chương 1: Một số kiến thfíc chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày định lý, hệ bất đẳng thc c bn: AM-GM, Hăolder, Jensen, Minkowski, Hermite- Hadamard, Dragomir-Agarwal Cùng với số kết biến phân biến phân toàn phần, hàm lồi, hàm Lipschitz tính chất chúng Bên cạnh định nghĩa xác suất, kỳ vọng hàm phân phối xác suất Các kết sử dụng chương chương Chương 2: Một số bất đẳng thfíc Ostrowski áp dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày chi tiết cách chứng minh bất đẳng thức Ostrowski Cùng với giới thiệu bất đẳng thức Ostrowski với hàm biến phân bị chặn Chương 3: Bất đẳng thfíc loại Ostrowski áp dụng Trong phần này, chúng tơi trình bày số bất đẳng thức loại Ostrowski cho ánh xạ Lipschitz, cho hàm tựa lồi, cho hàm phân phối xác xuất áp dụng chúng Luận văn thực trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn PGS.TS Đinh Thanh Đức Qua muốn dành lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến PSG.TS Đinh Thanh Đức – giảng viên hướng dẫn thực đề tài luận văn Thầy người định hướng, tạo điều kiện thuận lợi cho nhận xét quý báu để hồn thành luận văn với hiệu cao Tôi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Phương pháp toán sơ cấp trường Đại học Quy Nhơn tồn thể q thầy Khoa Tốn - Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, người cho tơi kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thời gian thực đề tài Cuối xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm, giúp đỡ động viên suốt quãng đường học tập vừa qua Mặc dù cố gắng học hỏi, tìm tịi nghiên cứu q trình hồn thành luận văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hồn thiện Bình Định, ngày tháng năm 2022 Học viên thực Phùng Thị Hồng Diễm Chương Một số kiến thfíc chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số định lý, h qu ca bt ng thc: AM-GM, Hoălder, Jensen, Minkowski, HermiteHadamard, Dragomir-Agarwal, bt ng thc Gruăss tớch phõn Cựng vi số kết biến phân biến phân toàn phần, hàm lồi, hàm Lipschitz tính chất chúng Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày thêm kiến thức liên quan đến hàm phân phối xác suất Những kiến thức sử dụng chương 1.1 Hàm lồi, hàm tựa lồi hàm Lipschitz Đầu tiên, nhắc lại số định nghĩa, tính chất hàm lồi, hàm tựa lồi hàm Lipschitz a) Hàm lồi Định nghĩa 1.1.1 [3] Hàm số f (x) gọi hàm lồi (lồi dưới) tập [a, b) ⊂ R với x1, x2 ∈ [a, b) với cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta có f (αx1 + βx2) ≤ αf (x1) + βf (x2) (1.1) Dấu đẳng thức (1.1) xảy x1 = x2, ta nói hàm số f (x) hàm lồi thực (chặt) [a, b) b) Hàm tựa lồi Định nghĩa 1.1.2 [3] Một hàm f : [a, b] −→ R gọi tựa lồi đoạn [a, b] nếu: f (λx + (1 − λ)y) ⩽ maxf (x), f (y) với x, y ∈ [a, b] λ ∈ [0, 1] Tính chất 1.1.3 [3] Nếu f khả vi, hàm tựa lồi thoả mãn : ⟨∇f (x), y − x⟩ > ⇒ f (x) ≤ f (y) Tính chất 1.1.4 [3] Nếu f khơng khả vi, tính chất trở thành (Q) ∃x∗ ∈ ∂f (x) : ⟨x∗, y − x⟩ > ⇒ f (x) ≤ f (y) c) Hàm Lipschitz Định nghĩa 1.1.5 [9] Hàm f : [a, b] → R gọi L-Lipschitz [a, b] |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| với x, y ∈ [a, b] L > cho trước Định nghĩa 1.1.6 [6] Cho không gian metric (X, dX), dX metric X, ta viết CL(X, R) để biểu thị không gian cho tất ánh xạ hàm l-Lipschitz từ X vào R (với Lp metric) 1.2 Một số bất đẳng thfíc Trong phần này, giới thiệu định lý, hệ số bất đẳng thức quan trọng Định lý 1.2.1 [2] (Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân) Giả sử x1, x2, , xn số khơng âm Khi x1 + x2 + + √n xn (1.2) ≥ xn x x1 n Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = = xn Bất đẳng thức gọi tắt là: bất đẳng thức AM-GM ngắn gọn bất đẳng thức AG Định lý 1.2.2 [8] (Bt ng thc Hăolder) Vi mi b số không âm (ai ) 1 + = Khi ta có (bi), (i = 1, 2, , n) cặp số dương p, q p q mà bất đẳng thức sau  1 n  1q Σ Σ p Σ n p   i=1bq  i=1 bi ≤ i=1a i i n (1.3) Hệ 1.2.3 [8] Nếu p=q=2 bất đẳng thc Hăolder tr thnh n n 12 Σ Σ Σ n 2  a b ≤ a (1.4) i i  i=1 i=1 i=1 b2  i i Dấu đẳng thức xảy hai số (ai) (bi) tỷ lệ với nhau, tức tồn cặp số thực λ, µ, không đồng thời 0, cho λai + µbi = 0, ∀i = 1, 2, , n Bất đẳng thức (1.4) thường gọi bất đẳng thức Cauchy (đơi cịn gọi bất đẳng thức Bunyakovskii, Cauchy-Schwarz Cauchy- Bunyakovskii) Định lý 1.2.4 [6] (Bất đẳng thc Hăolder dng tớch phõn) Gi s (p,q) l cp số mũ liên hợp, tức thỏa mãn điều kiện p,q > với + = 1, f p q  đoạn [a, b], g hai hàm số liên tục b b 1 p q ∫ b ∫  q  |f (x)g(x)|dx ≤ |f (x)| (1.5)  |g(x)| ∫   p dx  dx   a  a a Dấu "=" xảy tồn hai số thực A B không đồng thời không cho p q A|f (x)| = B|g(x)| , ∀x ∈ [a, b] Định lý 1.2.5 [2] (Bất đẳng thức Jensen) Cho hàm số y = f (x) lồi [a, b], f (x) liên tục [a, b]; số k1, k2, , kn ∈ R+, k1 + k2 + + kn = Khi đó, với xi ∈ [a, b], i = 1, , n, ta ln có  Σ  n n ki xi  (1.6) kif (xi) ≥ f Σ  i=1 i =1 Cho hàm số y = f (x) lõm [a, b], f (x) liên tục [a, b]; số k1, k2, , kn ∈ R+, k1 + k2 + + kn = bất đẳng thức đổi chiều,