Phép tínhviphânhàmmộtbiến
Trong nhiều nội dung chính về sau luận văn sẽ thường xuyên đề cập đến các côngcụ từ giải tích hàm một biến Mục này sẽ nhắc lại một vài đối tượng thường xuất hiệnnhấttrongnhữnglậpluậnhoặctínhtoán.Vớimộtdãysốthực(a n )chotrướcng ườitanóialàgiớihạncủadãy(haydãy(a n )hộitụvềa)nếu
Trong trường hợp ngược lại dãy(a n )là phân kỳ Về mặt ký hiệu, giống như thông lệ ởcác giáo trình giải tích, chúng tôi viếtlim n→∞ a n =a(haya n →a) để chỉ cho sự kiệndãy(a n )hộitụvềa.
Bây giờ, xéthàm sốf:D→RvớiDlà một tập trong R vàalà điểm tụ của tậpD.SốLsẽgọilàgiớihạncủafkhixdầnđếnanếu
NếuDlàmộtkhoảngvàfliêntụctạimọiđiểmcủanóthìtanóihàmflàliêntụctrênD. Hàms ốf x á cđ ị n h t r ê n m ộ t k h o ả n g(a,b)g ọ il à k h ả v ix 0∈ (a,b)n ế ug i ớ i h ạ n limf ( x 0+ h ) − f ( x 0) h→0 h tồn tại và hữu hạn Giá trị của giới hạn đó là đạo hàm của hàmftạix 0hay kí hiệulàf ′ (x 0) Ta nóifkhả vi trên khoảng(a, b)nếu nó khả vi tại mọi điểm trong đó. Lúcnày,đạohàmf ′ l àmộthàmsốxácđịnhtrêntoànbộ(a,b).
Bằngquynạp,ngườitađịnhnghĩacácđạohàmcấpcaocủaf.Theođó,đạohàmcấp kc ủ ah à m s ốf tạix,k ý h i ệ uf (k)
Hàmfs ẽgọilàkhảviliêntụcđếncấpk,haythuộclớpC k ,nếuđạohàmf (k) tồntạivàlàhà msốliêntục.
Víd ụ1 1.1 V ídụnàyminhhọachomộtlớphàmkhảviđếncấptùyýtrêntậpxácđịnh.Xé thàmsốy=f(x)= 1 , n∈N ∗ Tacó y ′ = (−1) 1 1
(x+3) n+1 Chứngminh(1.1)bằngquynạp.Vớin=1thì(1.1)hiểnnhiênđúng.Giảsử1.1đúngvớin=k
Cácđịnhlýgiátrịtrungbìnhsauđâysẽlàđốitượngcóíchtrongmộtsốlậpluậnphíasau. Địnhlý 1 1 2 (Rolle,[14]) C h ofl à hàmliêntụctrênđoạn[a,b]vàcóđạohàmtrong
[ 1 4 ] ) N ế uf làh à m s ố l i ê n t ụ c t r ê n[a,b]v àc ó đ ạ o h à m trong(a,b)thìtồntạic∈
Phéptínhtíchphânhàmmộtbiến
Bêncạnhkháiniệmviphân,tíchphânxácđịnhcũngsẽlàđối tượngquantrọngc hoviệctrìnhbàynộidungvềsau.Chúngtôinhắclạisơbộmộtvàitínhchấtcơsởcủakh áiniệmnày.Xétmộthàmsốfxácđịnhvàbịchặntrên[a,b].Chiamộtcáchtùy ý đoạn[a, b]bởi các điểm chiaa=x 0 < x 1 < x2< < x n−1 < x n =b Trên mỗiđoạn[x i ,x i+1],lấymộtđiểmξ i vàlậptổngtíchphân n−1
Nếu tồn tại giới hạncủaI n khi△x i →0không phụ thuộc vào cách chia đoạn[a, b]vàcách chọn điểmξ i trong đoạn[x i , x i+1], thì ta nói hàmfkhả tích trên đoạn[a, b]và gọigiới hạn nói trên là tích phân xác định của hàm sốftrên đoạn[a, b] Nói riêng,mọihàmsốliêntụcđềulà k hảtíchtrênđoạnconbao h àmtrongmiềnxácđịnh củan ó.Mộtsốtínhchấtcơbảncủatíchphânxácđịnhđãđượctrìnhbàytrongtàiliệu[14 ].
2 a f(x)dx=à(b−a). Đểkếtthúc mụ cn ày, ch ún gtôi nhắclạikếtquả sauđâ yv ềđịnh lýgiátr ịtrungb ìnhtíchphân. Địnhl ý 1 2 1 N ế uh à m s ố f k h ả t í c h t r ê n đ o ạ n[a,b]v àm≤ f(x)≤M,v ớ i m ọ i x∈[a;b]thỡt ồ n t ạ i m ộ t s ố m≤à≤Ms a o c h o
Luậnv ă n n à y t ậ p t r u n g v à o b à i t o á n t í n h t o á n v à ư ớ c l ư ợ n g s ử d ụ n g đ a t h ứ c Nhưđãđềcậpở[11],dạngchínht ắ c c ủ a m ộ t đ a t h ứ c đ ạ i s ốP(x)b ậ cn ( k íh i ệ u degP(x)=n)là
P(x)=p 0 x n +p 1 x n−1 + +p n ,p 0≠ 0. Đa thức dạng chính tắc là đa thức được viết theo thứ tự giảm dần của lũy thừa. Tuynhiên, để thuận tiện trong nhiều trường hợp, ta cũng thường sử dụng cách viết đa thứcP(x)dướidạngsốmũtăngdần
Cácđ a t h ứ c c ó v a i t r ò r ấ t q u a n t r ọ n g t r o n g n h i ề u l ĩ n h v ự c , n h ấ t l à g i ả i t í c h s ố Có rất nhiều lớp các hàm đặc biệt là những đa thức được sử dụng vào nhiều mục đíchkhác nhau (chẳng hạn, xem[16]).Trong khuôn khổ luận văn này chúng tôi sẽ sử dụngnhiềumộtvàitrongsốđó
2 ởđ ó m làc á c h ệ s ố n h ị t h ứ c , v àB k l às ố B e r n o u l l i t h ứk.M ộ t v à i đ a t h ứ c Bernoulliđầ utiênđượcliệtkêdướiđây
Nội dung của chương này tập trung vào bài toán nội suy cổ điển đã được giới thiệuchi tiết trong chuyên khảo[11].Đầu tiên trong Phần2.1,chúng tôi sơ lược một số vấnđề liên quan đến bài toán nội suy Taylor cùng với ví dụ minh họa ứng dụng của lớp bàitoán này Tiếp theo, trong Phần2.2chúng tôi xem xét bài toán nội suy Lagrange vàmột số vấn đề liên quan Phần2.3dành cho khảo sát bài toán nội suy Newton Phầncuối cùng của chương chúng tôi trình bày một số vấn đề về việc đánh giá sai số trongphépnộisuyđathức.
Chox 0 ,a k ∈Rv ớ ik=0,1,2, ,N−1.H ã y x á c đ ị n h h à m s ốT(x)c ób ậ c k h ô n g quáN
− k= 0 cóbậcdegT(x)≤N−1.Bâygiờtacầnxácđịnh cáchệsốα k ∈RsaochoT(x)thỏađiềuki ện
T (k) (x 0)=a k ,∀k=0,1,2, ,N−1. Ứngv ớ i m ỗ ik=0,1,2, ,N−1l ấ yđ ạ o h à m h a i v ế ( 2 1 ) đ ế n c ấ p t h ứk v às ử d ụ n g đẳ ngthứcT (k) (x 0)=a k tasuyra α=a k k k!
Khi các dữ kiệna k trong bài toán nội suy Taylor trùng với đạo hàm cấpkcủa mộthàm số thì đa thứcT(x)còn được gọi là đa thức nội suy Taylor
Nhậnxét2.1.3.T r o n gtrườnghợpT(x)làđathứcnộisuyTaylorbậcnứngvớihàmfnào đó (chẳng hạnf(x) = sinxở ví dụ trên) tại một điểmx 0đã cho người ta chứngminhđượcbiểudiễnsauđây f(x)=T(x)+R n+1(f;x), trong đóR n+1(f;x)là phần dư của khai triển Taylor Một số dạng công thức tườngminhchoR n+1(f;x)đãđượctrìnhbàytrong[14].
L a - grange Định lý 2.2.1(Đồng nhất thức Lagrange) Nếu x 1 , x 2 , , x m là m giá trị tùy ý, đôimộtk h á c n h a u v à T(x)l àđ a t h ứ c c ó b ậ c n h ỏ t h u a m t h ì t a c ó đ ồ n g n h ấ t t h ứ c s a u
Chứngminh.T h a mkhảophépchứngminhđầyđủtrongchuyênkhảo[11]. ĐồngnhấtthứcLagrangechophépđưaralờigiảibàitoánnộisuyLagrangesauđ ây:Chox i ,a i ∈Rvớix i ̸=x j ∀i̸=j,(i,j=1,2, ,N).HãyxácđịnhđathứcL(x) cóbậcdegL(x)≤N−1thỏamãn cá cđ iề u kiện
Vídụ 2 2 2 C h ocácđathứcA(x)=x 81 +x 49 +x 25 +x 9 +x+1vàB(x)=x 3 −x.Tì mđathứcdưtrongphépchiađathứcA(x)choB(x).
(x)choB(x).Khiđó,tacódegR0.Khiđó
Bàit o á n 4 7 ( U S A M O2 0 0 2 ).C h ứ n gm i n h r ằ n g b ấ t k ì đ a t hứ c m o n ic n à o ( l à m ô t đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng 1) có bậcnvới hệ số thực đều là trung bình cộngcủahaiđathứcmoniccóbậcnvớinnghiệmthực.
Theoc ô n g t h ứ c n ộ i s u y L a g r a n g e , c ó m ộ t đ a t h ứ cP(x)b ậ cn h ỏ h ơ n h o ặ c b ằ n gn−1 thỏamãnP(i)=y i vớii=1,2, ,n.Đặt
H(x)=2F(x)−G(x), thìG(x)vàH(x)là các đa thức monic thực có bậcnvà trung bình cộng của chúngbằngF(x).Doy 2i−1 0nênG(i)=y i vàG(i+1)=y i+1tráidấuvớim ọii= 1,2, , n.Do đóG(x)có ít nhấtn−1nghiệm thực Mà đa thứcG(x)có bậcnnênG(x)cónnghiệmthực.
Bàit o á n 4 8 ( Đ ềthiđềnghịIMO1977củaViệtNam 2 ).C h ocácsốnguyênđược sắpxếptheothứtựtăngdần x 0