1147 một số vấn đề về bài toán nội suy và ứng dụng luận văn tốt nghiệp

BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯỜNGĐẠIHỌC QU Y N HƠN TRẦNTHÚYHƯỜNG MỘTSỐVẤNĐỀVỀBÀITOÁNNỘIS UYVÀỨNGDỤNG CHUYÊNN G À N H : PHƯƠNGPHÁPTỐNSƠCẤPMÃSỐ: 60460113 LUẬNVĂNTHẠCSĨTỐNHỌC Ngườihướngdẫn:TS.NGUYỄNVĂNVŨ BÌNHĐỊNH-2021 Mụcl ụ c Mởđầu 1 Một sốk i ế n t h f í c c h u ẩ n b ị 1.1 Phép tínhviphânhàmmộtbiến 1.2 Phéptínhtíchphânhàmmộtbiến 1.3 Đathứcvàmộtvàitínhchấtsơcấp 1.4 Mộtsốlớpđathứcđặcbiệt Một sốb i t o n n ộ i s u y c ổ đ i ể n 2.1 KhaitriểnTaylorvàmộtsốbàitoánnộisuyTaylor 2.1.1 BàitoánnộisuyTaylor 2.1.2 Mộtsốminhhọa 9 10 2.2 KhaitriểnLagrangevàbàitoánnộisuyLagrange 11 2.3 NộisuyNewton 14 2.3.1 Mộtsốminhhọa 2.4 Đathứcnộisuycủamộthàmvàđánhgiásaisố Nội suyLidstone 15 16 18 3.1 Tổngquan 18 3.2 ĐathứcLidstone 19 3.3 Biểudiễnđathứcnộisuy 36 3.4 Biểudiễnsaisố 39 3.5 Ướclượngsaisố 41 Ứngd ụ n g b i t o n n ộ i s u y t r o n g g i ả i t o n T H P T 43 Kếtluận 55 Mởđ ầ u Trong nhiều tình định, ta cần phải xác định giá trị (gần đúng) mộthàm sốf(x)tại mộthọ điểm cho trước, với điều kiện ban đầu phù hợp (chẳnghạn,b i ế t m ộ t s ố g i t r ị r i r c c ủ a h m s ố v c ủ a c c đ o h m c ủ a n ó đ ế n c ấ p n o số điểmx1, x2, , xk) Ngay biểu thức xác định hàm số chotường minh, việc tính tốn xác giá trị hàm theo công thức mộtcông việc tương đối phức tạp Bởi vậy, việc tìm kiếm cơng cụ tính tốn xấp xỉcó hiệu vấn đề có nhiều ý nghĩa Nghiên cứu phép xấp xỉ lànộidungcủabàitốnnội suy,mộttrườnghợpriêngcủa lýthuyếtxấpxỉtrongGiả itíchsố Các tốn nội suy cổ điển đời từ sớm đóng vai trò quan trọng trongnhiều lĩnh vực, phần quan trọng đại số giải tích Tốn học Chúng khơngchỉlàđốitượngnghiêncứumàcịnđóngvaitrịnhưlàmộtcơngcụđắclựccủacá cmơ hình liên tục mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phươngtrình,lýthuyếtxấpxỉ,lýthuyếtbiểudiễn, Trong chương trình tốn phổ thơng, lý thuyết nội suy chưa đề cập đầy đủ,nhưngđơikhitavẫnbắtgặpnhữngứngdụngsơcấpcủanó(thường ẩnsaucácđịnhlý, nhữngbàitốnliênhệvớiđathức).Trongcáckìthichọnhọcsinhgiỏicáccấp,cácbàitốnliênquanđếnbàitốnnộisuyhayxuấthiệndưới dạngcácbàitoánxácđịnhđa thức; toán khai triển, đồng thức; ước lượng tính giá trị cáctổng,tích;cácbàitốnxácđịnhgiớihạncủamộtbiểuthứcchotrước; Đâythường tốn khó, nhiều địi hỏi kỹ thuật phức tạp Trong tình huốngnhưvậy,việcvậndụnglýthuyếtvềcácbàitốnnộisuydướigócđộtốnphổthơnglà cầnthiết,thậmchíchoranhữnglờigiảigọngànghơn Luậnvănnàyhướngđếnmụctiêutiếpcậnnhữngvấnđềnhưvậy.Mụctiêuchủyếucủađềtài nhằmtiếpcậnmộtsốvấnđềliênquanđếnbàitốnnộisuyđathứcvàvậndụngchúngvàomộtsốbàit ốncónộidungliênquanởchươngtrìnhbậctrunghọcphổthơng NgồiphầnMởđầu,KếtluậnvàTàiliệuthamkhảoluậnvăngồmcóbốnchương Chương1:Mộtsốkiếnthfíc sở, trình bày số kiến thức phép tính viphânh m m ộ t b i ế n ; đ a t h ứ c v m ộ t v i t í n h c h ấ t s c ấ p , c c l p đ a t h ứ c đ a t h ứ c Euler,đathứcBernoulli Chương 2: Một số toán nội suy cổ điển, khảo sát số lớp toán nội suycổ điển như: khai triển Taylor, khai triển Lagrange, nội suy Newton; đồng thời trìnhbàysơbộlýthuyếtướclượngsaisốtrongbàitốnnộisuy Chương 3: Nội suy Lidstone, dành cho việc nghiên cứu số vấn đề đa thứcLidstone,biểudiễncủađathứcnộisuyLidstonevàbiểudiễnsaisốtươngứng Chương 4: Ứng dụng, giới thiệu số tốn bậc trung học phổ thơng mà cóthểứngdụngđượcđathứcnộisuy Luậnvă n đ ợ c ho n t hà nh dư i h n gd ẫ n củ at h ầ y h ướ n g d ẫ n N gu yễ n Vă n Vũ,Trườ ngĐạihọcQuyNhơn.TácgiảbàytỏlịngbiếtơnsâusắcđếnThầyvìđãtận tìnhgiúpđỡtơitrongsuốtqtrìnhthựchiệnluậnvăn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, PhịngĐào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê quý thầy cô giáo giảng dạy lớpCaoh ọ c P h n g p h p t o n s c ấ p K h ó a 2 đ ã d y c ô n g g i ả n g d y t r o n g s u ố t k h ó a học,tạođiềukiệnthuậnlợichotơitrongqtrìnhhọctậpvàthựchiệnđềtài Cuốic ù n g, t c g i ảc ả m n h ỗ t r ợ v ề m ặ t t i n h t h ầ n c ủ a g i a đì n h v b n bè đ ã l ntạomọiđiềukiệngiúpđỡđểtơihồnthànhtốtkhóahọcvàluậnvănnày Mặcdùtá cgiả đãc ốgắngnỗlựchế t m ìn h n hưnglu ận vă n k hôn g t rá nh kh ỏi có ch ỗthiếusótcũngnhưhạnchếnhấtđịnh.Tácgiảrấtmongnhậnđượcnhữnggópýcủaqu ýThầyCơcùngbạnbèvàđồngnghiệpđểluậnvănđượchồnthiệnhơn Tơixinchânthànhcảmơn Chương1 Mộtsố kiến thfíc chuẩnbị Trong chương chúng tơi hệ thống hóa số kiến thức chuẩn bị cần thiết vềsau.Chúngđượcthamkhảotừcáctàiliệu[11],[14],[1], [16].Dođiềukiệncóhạn,tácgiảsẽchỉtậptrungđềcậpđếnnhững kháiniệmquantrọngn hất,phầncịnlạiđượccoinhưlàquenthuộc,hoặccóthểtìmthấytừnhữngtàiliệuđãdẫ nra 1.1 Phépt í n h v i p h â n h m m ộ t b i ế n Trong nhiều nội dung sau luận văn thường xuyên đề cập đến cơngcụ từ giải tích hàm biến Mục nhắc lại vài đối tượng thường xuất hiệnnhấttrongnhữnglậpluậnhoặc tínhtốn.Vớimộtdãysốthực(an)chotrướcng ườitanóialàgiớihạncủadãy(haydãy(an)hộitụvềa)nếu ∀ϵ>0,∃n0∈Ns a o cho: n≥n0⇒ a n−a< ϵ Trong trường hợp ngược lại dãy(an)là phân kỳ Về mặt ký hiệu, giống thơng lệ ởcác giáo trình giải tích, chúng tơi viếtlimn→∞an=a(hayan→a) kiệndãy(an)hộitụvềa Bây giờ, xéthàm sốf:D→RvớiDlà tập R vàalà điểm tụ tậpD.SốLsẽgọilàgiớihạncủafkhixdầnđếnanếu ∀(xn )⊂D,xn̸=a,xn→a⇒f(xn )→L Ngườitađịnhnghĩahàmflàliêntụctạiđiểmatrênmiềnxácđịnhnếucóđẳngthức limf(x)=f(a) x→a NếuDlàmộtkhoảngvàfliêntụctạimọiđiểmcủanóthìtanóihàmflàliêntụctrênD Hàms ố f x c đ ị n h t r ê n m ộ t k h o ả n g ( a,b)g ọ i l k h ả v i x 0∈ (a,b)n ế u g i i h n limf h→0 (x0+h)−f(x0) h tồn hữu hạn Giá trị giới hạn đạo hàm hàmftạix0hay kí hiệulàf′(x0) Ta nóifkhả vi khoảng(a, b)nếu khả vi điểm Lúcnày,đạohàmf ′l mộthàmsốxácđịnhtrêntồnbộ(a,b) Bằngquynạp,ngườitađịnhnghĩacácđạohàmcấpcaocủaf.Theođó,đạohàmcấp kc ủ a h m s ố f tạix ,k ý h i ệ u f (k) (x)đ ợ c x c đ ị n h n h l đ o h m t i x c ủ a h m đạohàmcấp(k−1) f(k)(x)=f(k−1)′(x) Hàmfs ẽ gọilàkhảviliêntụcđếncấpk,haythuộclớpC k ,nếuđạohàmf (k)t n tạivàlàhà msốliêntục Víd ụ1 1.1 V í dụnàyminhhọachomộtlớphàmkhảviđếncấptùtrêntậpxácđịnh.Xé thàmsốy=f(x)=1 , n ∈N∗.Tacó x+ 1! y′= (−1)1 = (−1)1 , (x+3) (x+3) 2! y′′=(−1)2 =(−1)2 (x+3) (x+3) Từđâycódựđốn y(n)=(1 ) n − n! (x+3)n+1 (1.1) Chứngminh(1.1)bằngquynạp.Vớin=1thì(1.1)hiểnnhiênđúng.Giảsử1.1đúngvớin=k ≥1,,tứclà y(k)=(1−) k k! (x+3)k+1 Tacầnchứngminh1.1đúngvớin=k+1.Thậtvậy,theođịnhnghĩa k! ′ ′=(1 ) k+1 y(k+1)= y (k) = ( ) k (x+3)k+1 − − k! (x+3)k+1 (x+3)k+1′ !(k+1) ( k+1)! =(−1)k+1k = (−1)k+1 , k+ (x+3) (x+3)k+ tứclà(1.1)đúngvớin=k+1 Cácđịnhlýgiátrịtrungbìnhsauđâysẽlàđốitượngcóíchtrongmộtsốlậpluận phíasau Địnhlý (Ro lle, [14]).C h o fl hàmliêntụctrênđoạn [a,b]vàcóđạohàmtrong (a,b).Nếuf(a)=f(b)thìtồntạiđiểmc∈(a,b)saochof ′(c)=0 Địnhl ý 1.1.3( L a g r a n g e , [ ] ) N ế u f làh m s ố l i ê n t ụ c t r ê n [ a,b]v c ó đ o h m trong(a,b)thìtồntạic∈ (a,b)saocho f′(c)=f 1.2 (b)−f(a) b−a Phépt í n h t í c h p h â n h m m ộ t b i ế n Bêncạnhkháiniệmviphân,tích phânxácđịnhcũngsẽlàđối tượngquantrọngc hoviệctrìnhbàynộidungvềsau.Chúngtơinhắclạisơbộmộtvàitínhchấtcơsởcủakh áiniệmnày.Xétmộthàmsốfxácđịnhvàbịchặntrên[a,b].Chiamộtcáchtùy ý đoạn[a, b]bởi điểm chiaa=x0< x1< x2< < xn−1< xn=b Trên mỗiđoạn[xi,xi+1],lấymộtđiểmξ ivàlậptổngtíchphân In=f(ξ0)△x0+f(ξ1)△x1+f(ξ2)△x2+ +f(ξn−1)△xn−1= n−1 Σ f(ξi)△xi i=0 Nếu tồn giới hạncủaInkhi△xi→0không phụ thuộc vào cách chia đoạn[a, b]vàcách chọn điểmξitrong đoạn[xi, xi+1], ta nói hàmfkhả tích đoạn[a, b]và gọigiới hạn nói tích phân xác định hàm sốftrên đoạn[a, b] Nói riêng,mọihàmsốl i ê nt ục đề u k t íc h tr ê nđo nc on ba o h m tr on gm i ền xá c đị nh c n ó Mộtsốtínhchấtcơbảncủatíchphânxácđịnhđãđượctrìnhbàytrongtàiliệu[14 ] Đểkế t th úc m ụ cn ày , ch ún gt ôi nh ắc l i k ế t q u ả sa u đâ yv ề đ ị n h l ýg i t r ị t run g b ìnhtíchphân Địnhl ý N ế u h m s ố f k h ả t í c h t r ê n đ o n [ a,b]v m ≤ f(x)≤ M,v i m ọ i x∈[a;b]t h ì t n t i m ộ t s ố m ≤µ≤Ms a o c h o ∫b a 1.3 f(x)dx=µ(b−a) Đathfícvàmộtvàitínhchấtsơcấp Luậnv ă n n y t ậ p t r u n g v o b i t o n t í n h t o n v c l ợ n g s d ụ n g đ a t h ứ c Nhưđãđềcậpở[11],dạngchínht ắ c c ủ a m ộ t đ a t h ứ c đ i s ố P (x)b ậ c n ( k í h i ệ u degP(x)=n)là P(x)=p0 xn+p1 xn−1+ +pn ,p0≠ Đa thức dạng tắc đa thức viết theo thứ tự giảm dần lũy thừa Tuynhiên, để thuận tiện nhiều trường hợp, ta thường sử dụng cách viết đa thứcP(x)dướidạngsốmũtăngdần P(x)=b 0+b1x+b2X2+ +bnxn (1.2) Nhậnxétrằng,đathức(1.2)cótínhchất P(k)(0)=k!bk,k =0,1, ,n P(k)(0)=0,k =n+1,n+2, Vìthếđathức(1.2)thườngđượcviếtdướidạng a 1x a 2x an + + + xn P(x)=a + 1! 2! n! (1.3) Vớicáchviết1.3tathuđượccơngthứctínhhệsố a k(k=0,1,2, ,n)củađathức P(x),đóchính làgiátrịcủađạohàm cấpkc ủ a đathứctạix=0 ak=P (k)(0)k=0,1,2, ,n Nóicáchkháctacóđồngnhấtthức P′(0) P(x)=P0+ 1! P(2)(0)2 x+ + x+ 2! P(n)(0)n x n! (1.4) 1.4 Mộts ố l p đ a t h f í c đ ặ c b i ệ t Cácđ a t h ứ c c ó v a i t r ò r ấ t q u a n t r ọ n g t r o n g n h i ề u l ĩ n h v ự c , n h ấ t l g i ả i t í c h s ố Có nhiều lớp hàm đặc biệt đa thức sử dụng vào nhiều mục đíchkhác (chẳng hạn, xem[16]).Trong khuôn khổ luận văn sử dụngnhiềumộtvàitrongsốđó ĐathứcChebyshevloại1:Vớimọin∈N,tồntạiduynhấtđathứcT n(x)thỏamã n: Tn (cosx)=cosnx ∀x∈R Mộtvàiđathứcđầutiênlà: T0(x)=1,T1(x)=x T2(x) = 2x2−1,T3(x)=4x3 −3x, T4(x)=8x4−8x2+1,T5(x) =16x5−20x3+5x ĐathứcChebyshevloại2:Với mọin∈N,tồntạiduy nhấtđathứcU n(x)s aoch o: U(cosx)= sin(n+1)x ∀x̸=kπ,k∈Z sinx MộtsốđathứcđầutiêncủaUl : U0(x)=0,U1(x)=1 U2(x) = 4x2−1,U3(x)=8x3 −4x, U4(x) = 16x4−12x2+ 1,U5(x)=32x5−32x3+6 x ĐathứcBernoullibậcm,kýhiệ uB m(x)l àđathức m Bm(x)=x + m m B1xm−1 m 1+ B2x m−2 + + m Bm m= Σk=0 m Bkxm −k ,