1145 một số vấn đề về căn nguyên thủy và ứng dụng luận văn tốt nghiệp

B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯÍNG ĐẠI HOC QUY NHƠN NGUYEN THIÊN THỦY MËT SO VAN ĐE VE CĂN NGUYÊN THỦY VÀ ỨNG DỤNG LUŠN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP Bình Định - 2021 B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯÍNG ĐẠI HOC QUY NHƠN NGUYEN THIÊN THỦY MËT SO VAN ĐE VE CĂN NGUYÊN THỦY VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cap Mã so 8460113 : Người hướng dan: TS TRAN ĐÌNH LƯƠNG i Líi cam đoan Tơi xin cam đoan moi ket đe tài “MËT SO VAN ĐE VE CĂN NGUYÊN THỦY VÀ ỨNG DỤNG ” công trình nghiên cáu tơi hướng dan TS Tran Đình Lương chưa tàng cơng bo bat cá cơng trình khoa hoc khác thời điem Các n®i dung ket sả dụng luªn văn đeu có trích dan thích nguon goc Neu có đieu gian lªn, tơi xin chịu trách nhi»m ve luªn văn Bình Định, ngày 26 tháng 07 năm 2021 Hoc viên thfic hi»n đe tài Nguyen Thiên Thủy i Mnc lnc Mð đau 1 KIEN THỨC CHUAN B± 1.1 M®t so kien thác ve so hoc 1.2 M®t so ket chuȁn bị CĂN NGUYÊN THỦY 12 2.1 Cap phan tả 12 2.2 Căn nguyên thủy theo môđun m .14 2.3 So nguyên to với so nguyên thủy cho trước .19 2.4 Moi liên h» giǎa th°ng dư bªc hai với nguyên thủy 27 2.5 Đieu ki»n đe m®t so nguyên thủy 31 2.6 Thuªt tốn tìm nguyên thủy 33 MËT SO ỨNG DỤNG CỦA CĂN NGUYÊN THỦY 36 3.1 Chỉ so .36 3.2 Đieu ki»n đe mđt so l thng d bêc k 37 3.3 Trao đői khóa Diffie - Hellman 39 3.4 M®t so tốn .42 Ket luªn 60 Danh mnc tài li»u tham khảo i 60 Mð đau Vào năm 1801, nhà toán hoc người Đác Carl Friedrich Gauss đưa khái ni»m nguyên thủy cuon sách Nhũng nghiên cúu so hoc, tên tieng Latinh Disquisitiones Arithmeticae, Đe mục so 57 Đây phan mà ơng đúc ket phát trien tà m®t so ket nghiên cáu nhà toán hoc L Euler thân Tà Đe mục so 56, ơng nói rang hai nhà toán hoc J H Lambert L Euler đeu biet đen nguyên thủy, ông người đau tiên đưa bang cháng ch°t chě ve ton nguyên thủy theo môđun nguyên to n Khái ni»m nguyên thủy phải trải qua m®t qng đường dài hình thành Mở đau xuat hi»n Định lý Fermat nhỏ, tiep Định lý Euler đưa ra, tőng quát cho Định lý Fermat nhỏ trước Tà đây, nhờ có ton hàm phi Euler, khái ni»m cap phan tả hình thành Cuoi cùng, dựa moi tương quan giǎa cap phan tả hàm phi Euler, định nghĩa ve nguyên thủy thác xây dựng Sự xuat hi»n nguyên thủy đóng góp vơ lớn khơng cho tốn hoc mà dụng vào thực tien, đ°c bi»t lĩnh vực mªt mã hoc Luªn văn nham nghiên cáu m®t so van đe ve nguyên thủy như: so nguyên to với so nguyên thủy cho trước, moi liên h» giǎa th°ng dư bªc hai với nguyên thủy, đieu ki»n đe m®t so ngun thủy thuªt tốn tìm ngun thủy Bên cnh ú, luên cũn a mđt so ỏng dụng nguyên thủy vào vi»c nghiên cáu phương trình đong dư bªc cao van đe mã khóa cơng khai Ngồi ra, luªn văn trình bày lời giải m®t so tốn so hoc xuat hi»n đe thi hoc sinh giỏi bang cách s dng cn nguyờn thy Luên "Mđt so van đe ve nguyên thủy dụng" bao gom: M au, Nđi dung, Ket luên v Ti liằu tham kho Nđi dung ca luên gom ba chng Chng 1: Kien thfíc chuan bị Chương trình bày m®t so kien thác ve so hoc như: quan h» chia het, đong dư thác m®t so ket chuȁn bị dùng luªn văn Chương 2: Căn ngun thủy Chương trình bày m®t so van đe ve ngun thủy theo mơđun m®t so nguyên dương như: tính chat bản, đieu ki»n ton nguyên thủy, van đe so nguyên thủy, moi liên h» giǎa th°ng dư bªc hai nguyên thủy, đieu ki»n đe m®t so cho trước ngun thủy theo mơđun m®t so ngun to Trong chng ny cng trỡnh by mđt thuêt toỏn tìm ngun thủy theo mơđun m®t so ngun dương cho trước Chương 3: Mët so fíng dnng nguyên thủy Chương trình bày dụng nguyên thủy vào vi»c nghiên cáu phương trình đong dư bªc cao, dụng nguyên thủy vào van đe mã khóa cơng khai Trong chương trình bày lời giải m®t so tốn so hoc xuat hi»n đe thi hoc sinh giỏi bang cách sả dụng nguyên thủy Luªn văn hồn thành nhờ hướng dan giúp tªn tình thay hướng dan TS Tran Đình Lương, Trường Đại hoc Quy Nhơn Nhân dịp xin bày tỏ kính lịng biet ơn sâu sac đen Thay giúp suot trình hoc tªp thực hi»n luªn văn Chúng tơi xin gải lời cảm ơn đen quý Ban lãnh đạo Trường Đại hoc Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại hoc, Khoa Tốn Thong kê q Thay Cơ giáo giảng dạy lớp Cao hoc Phương pháp toán sơ cap Khóa 22 dày cơng giảng dạy suot khóa hoc, tạo đieu ki»n thuªn lợi cho tơi q trình hoc tªp thực hi»n đe tài Nhân xin chân thành cảm ơn ho trợ ve m°t tinh than gia đình, bạn bè tạo moi đieu ki»n giúp đe tơi hồn thành tot khóa hoc luªn văn M°c dù luªn văn thực hi»n với no lực co gang het sác thân, đieu ki»n thời gian có hạn, trình đ® kien thác kinh nghi»m nghiên cáu cịn hạn che nên luªn văn khó tránh khỏi nhǎng thieu sót Chúng tơi rat mong nhªn nhǎng góp ý q Thay Cơ đe luªn văn hồn thi»n Chương KIEN THỨC CHUAN B± Chương trình bày m®t so kien thác ve so hoc như: quan h» chia het, đong dư thác m®t so ket chuȁn bị dùng luªn văn 1.1 Mët so kien thfíc ve so hoc Mục trình bày m®t so kien thác ve so hoc Các ket mục tham khảo tà tài li»u [1], [2], [4] Định lý 1.1.1 Cho a b hai so nguyên với b /= Khi ton nhat so nguyên q r cho a = bq + r ≤ r < |b| So r định lý goi phan dư phép chia a cho b Neu r = ta nói b m®t ước a, ký hi»u b | a Cho a b hai so nguyên So nguyên d goi m®t ước chung lớn nhat a b neu d m®t ước chung a b, với dJ m®t ước chung bat kỳ a b dJ | d Ta quy ước dùng ký hi»u (a, b) đe ước chung lớn nhat dương a b M»nh đe 1.1.2 Cho a, b, c so nguyên khác (i) Neu b | a, c | b c | a (ii) Neu b | a, c | a (b, c) = bc | a (iii) Neu c | ab (b, c) = c | a (iv) Neu c | a c | b c | a ± b M»nh đe 1.1.3 Cho u v so nguyên Neu d = (u, v) ton so nguyên x y cho d = xu + yv So tự nhiên p /= goi so nguyên to neu có hai ước Định lý 1.1.4 (Đành lý so hoc.) Moi so tự nhiên lớn đeu có the phân tích thành m®t tích so nguyên to, phân tích nhat neu không ke đen thú tự nhân tủ Theo Định lý so hoc moi so nguyên n > đeu có the bieu dien dạng n = pα1 pα2 · · · pαk k p1, p2, , pk so nguyên to phân bi»t, α1, α2, , αk so nguyên dương Bieu dien goi bieu dien tac n Định nghĩa 1.1.5 Cho m m®t so nguyên dương Hai so nguyên a b goi đong dư với theo môđun m, ký hi»u a ≡ b (mod m), neu a − b chia het cho m Tính chat 1.1.6 Cho a, b, c, d, m, n so nguyên dương Neu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) thì: (i) a ± c ≡ b ± d (mod m) (ii) ac ≡ bd (mod m) (iii) an ≡ bn (mod m) (iv) (a + b)n ≡ bn (mod m) (v) Neu d m®t ước chung a, b m a d ≡ b d m (mod d )