Căn nguyên thủy và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ NGỌC HÀ CĂN NGUYÊN THUỶ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ NGỌC HÀ CĂN NGUYÊN THUỶ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN - 2016 MỤC LỤC Trang Mở đầu CHƯƠNG CĂN NGUYÊN THUỶ 1.1 Định lý Euler 1.2 Căn nguyên thuỷ ứng dụng 1.3 Bài toán tồn nguyên thuỷ 15 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA CĂN NGUYÊN THUỶ TRONG MẬT MÃ 20 2.1 Giới thiệu mật mã học 20 2.2 Giao thức trao đổi Diffie Hellman 23 2.3 Một số ứng dụng nguyên thuỷ mật mã 28 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài luận văn Giả sử m  số tự nhiên, tập hợp tất lớp đồng dư khả nghịch vành m lập thành nhóm nhân hữu hạn cấp   m  , với  hàm số số học Euler Nhóm ký hiệu  m Nhóm nhân  m nhóm xyclic m 2, 4, pk p k với p số nguyên tố lẻ k số nguyên dương Một phần tử sinh nhóm nhân phần tử nguyên thủy  m  m gọi nguyên thủy mod m , hay Căn nguyên thủy modm sử dụng thường xuyên mật mã học, điển hình giao thức trao đổi khoá Diffie-Hellman (Diffie-Hellman Key Exchange) Trao đổi khóa Diffie–Hellman (D-H) phương pháp trao đổi khóa phát minh sớm mật mã học Phương pháp trao đổi khóa Diffie–Hellman cho phép hai bên (người, thực thể giao tiếp) thiết lập khóa bí mật chung để mã hóa liệu sử dụng kênh truyền thơng khơng an tồn mà khơng cần có thỏa thuận trước khóa bí mật hai bên Khóa bí mật tạo sử dụng để mã hóa liệu với phương pháp mã hóa khóa đối xứng Giao thức cơng bố Whitfield Diffie Martin Hellman vào năm 1976, trước vài năm phát minh cách độc lập James H Ellis, Clifford Cocks Malcolm J Williamson giữ bí mật Năm 2002, Hellman đề xuất thuật tốn nên cịn gọi trao đổi khóa Diffie– Hellman–Merkle để ghi nhận đóng góp Ralph Merkle phát minh lĩnh vực mật mã hóa khóa cơng khai Trên sở tham khảo tài liệu [7] số tài liệu khác, chọn đề tài luận văn “CĂN NGUYÊN THUỶ VÀ ỨNG DỤNG” nhằm tìm hiểu sâu kết số học có liên quan đến mật mã học giao thức trao đổi khoá Diffie - Hellman 2 Mục đích nghiên cứu - Đi sâu tìm hiểu nội dung số học: Căn nguyên thuỷ toán tồn nguyên thuỷ - Tìm tịi ứng dụng ngun thuỷ mật mã - Tìm hiểu giao thức trao đổi khố Diffie-Hellman (Diffie-Hellman Key Exchange) nhằm số ứng dụng nguyên thuỷ hệ mật mã Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nhập môn Lý thuyết mật mã; - Giao thức trao đổi khoá Diffie-Hellman; - Ứng dụng Số học hệ mật mã Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng công cụ nguyên thuỷ nghiên cứu mật mã học - Sử dụng phần mềm Maple để tìm ngun thuỷ - Vận dụng thuật tốn số học Ý nghĩa khoa học thực tiễn Trước nguy gia tăng công ngày tinh vi vào hệ thống Internet, mã hố thơng tin phương pháp để bảo vệ giá trị thơng tin điện tử Có thể nói mã hố cơng cụ tự động quan trọng cho an ninh mạng truyền thơng Vì vậy, việc tìm hiểu sở Số học mã hoá giải mã thông tin mà luận văn đặt có ý nghĩa khoa học thực tiễn Tổng quan cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương trình bày nội dung số học có liên quan: Hàm số học số Euler; nhóm nhân phần tử khả nghịch modm; nguyên thuỷ Chương giới thiệu mật mã học; giao thức trao đổi khoá Diffie-Hellman; số ứng dụng nguyên thuỷ mật mã học Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, dành nhiều thời gian cơng sức giúp tơi hồn thành luận văn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Khoa Sư phạm Tốn học, Phịng Đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh tận tình giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ chúng tơi học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn quan cơng tác, gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập sau đại học vừa qua Tuy có nhiều cố gắng, song chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý, bảo q thầy giáo bạn đồng nghiệp TÁC GIẢ CHƯƠNG CĂN NGUYÊN THUỶ 1.1 Định lý Euler 1.1.1 Định nghĩa Cho n số tự nhiên khác không Hàm số Euler  (n) hàm số số học có giá trị n số số tự nhiên khác 0, không vượt n nguyên tố với n :   n   1 m n  n ,m 1 Từ định nghĩa đây, ta có hệ quả: 1)  1  ; 2) Số tự nhiên p  số nguyên tố   p   p  3) Khi m    m   Thật vậy, ta có m    m  1, m   1, m   nên từ tới m có hai số nguyên tố với m ,   m   1.1.2 Định nghĩa Hệ thặng dư đầy đủ môđun n (viết tắt modn) tập hợp gồm n số nguyên đôi không đồng dư với theo modn Ví dụ Các tập hợp 0,1, 2, 3, 4 , 5, 4, 3, 2, 1 hệ thặng dư thu gọn mod5 1.1.3 Định lý Hàm số Euler   n  hàm có tính chất nhân, nghĩa với m n hai số nguyên dương nguyên tố nhau, ta có:   mn     m   n  Chứng minh Ta xếp tất số ngun dương khơng vượt q tích mn thành bảng số sau đây: m  2m  (n  1)m  m  2m  (n  1)m  2 m 2m 3m nm Giả sử r số nguyên dương không vượt m (m, r )  d  Khi đó, hàng thứ r khơng có số ngun tố với mn Vì để tính giá trị   mn  ta xét số hàng thứ r với (m, r )  Các số hàng nguyên tố với m Ngồi ra, số hàng lập thành hệ thặng dư đầy đủ modn, nghĩa có   n  số hàng nguyên tố với n Do đó, hàng có   n  số nguyên tố với mn Có tất   m  hàng Vì vậy, bảng số có   m   n  số nguyên tố với mn , hay   mn     m   n  Định lý chứng minh ▄ 1.1.4 Bổ đề Nếu p số nguyên tố k số nguyên dương ta có:    1  p k  p k  p k 1  p k    p  Chứng minh Theo định nghĩa hàm Euler   n  , ta có ( pk )  1  1  p k  1  p k  1 1 m p k 1 m p k ( m, p k ) 1 ( m, p ) 1 1 m p k ( m, p ) 1 1 m p k m p Ta thấy rằng, số nguyên dương không vượt p k chia hết cho p phải có dạng sp , p  s  p k 1 Do đó, có p k 1 số Vì vậy, ta có    1  p k  p k  p k 1  p k    ▄ p  1.1.5 Cơng thức tính giá trị hàm số Euler Giả sử số tự nhiên n  có dạng phân tích tiêu chuẩn n  p1 p2 pk Khi đó, ta có công thức k    n  n      1   pk        p1  p2  Chứng minh Do hàm Euler có tính chất nhân, nên áp dụng Bổ đề 1.1.4, ta có    n    p1 p2      p  pk k   p11  p2   1   p11  p11   p2  p2   p1  p2         p11 p2 pk k      p1  p2         n         p1  p2   pk   k k   pk k  pk k   pk     1   pk   Ta có cơng thức cần chứng minh ▄ 1.1.6 Hệ thức Gauss Giả sử n số nguyên dương Khi đó, ta có cơng thức sau gọi hệ thức Gauss n    d , tổng lấy theo ước số tự dn nhiên d n Chứng minh Thật vậy, n  cơng thức Nếu n  có dạng phân tích tiêu chuẩn n  p1 p2 pk , áp dụng tính chất nhân hàm số Euler ta k   p   d      0 i  i i 1, , k dn     0 i  i i 1, , k 1 p2 pk k    p1    p2    pk      pi  1   pi2  pi   k i 1 k i      p  k k i 1  i   i i    pii 1  pii   pii  pii 1   pii  n i 1 Như vậy, hệ thức Gauss chứng minh ▄ Ta xét minh hoạ hệ thức Gauss số cụ thể sau:  10       1           10     d  d 10 15       1           15     d  d 15 1.1.7 Định nghĩa Hệ thặng dư thu gọn modn tập hợp gồm   n  số nguyên, đôi không đồng dư với theo modn nguyên tố với n Ví dụ Tập hợp 1, 3, 5,7 hệ thặng dư thu gọn mod8 1.1.8 Định lý Giả sử a số nguyên cho a n nguyên tố Khi đó, r1 , , r ( n ) hệ thặng dư thu gọn modn ar1 , , ar ( n ) hệ thặng dư thu gọn modn Chứng minh Với  i  j  n , giả sử ari  arj  mod n  , từ giả thiết a n nguyên tố ta suy ri  rj  mod n  Điều trái với giả thiết r1 , , r ( n ) hệ thặng dư thu gọn Như vậy, số nguyên hệ ar1 , , ar ( n ) đôi không đồng dư với theo modn Cũng từ giả thiết a n nguyên tố ta suy  ari , n   (ri , n)  (ari , n)  (ri , n)  Vì vậy, hệ ar1 , , ar (n) hệ thặng dư thu gọn modn Định lý chứng minh ▄ 1.1.9 Định lý Euler [4,6] Giả sử a số nguyên n số tự nhiên lớn Khi đó, a n nguyên tố  n a    1 mod n  Chứng minh Giả sử r1 , , r ( n ) hệ thặng dư thu gọn modn Theo Định lý 1.1.8, hệ ar1 , , ar ( n ) hệ thặng dư thu gọn modn Vì thặng dư hệ đồng dư với thặng dư hệ theo modn, nên ta có:  ar  ar   ar   r r Do n rn  mod n  19 Thật vậy, x  (mod p k ) mà x lẻ nên x  (mod 2) từ kết hợp với p nguyên tố ta suy x  (mod p ) Ngược lại, x  (mod p ) theo tính chất đồng dư thức ta có x  (mod p ) Bây ta giả sử g ngun thủy mơđun p k , hai số g , g  p k nguyên thủy lẻ môđun p k , theo chứng minh nguyên thủy theo môđun p k ▄ Từ Bổ đề ta có 1.3.6 Định lý Các số m  2, 4, p k m  p k , p số nguyên tố lẻ k số nguyên dương số có nguyên thủy 20 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA CĂN NGUYÊN THUỶ TRONG MẬT MÃ HỌC 2.1 Giới thiệu mật mã học 2.1.1 Mật mã học Lý thuyết mật mã khoa học nghiên cứu cách viết bí mật, rõ (plain text, clear text) biến đổi thành mã (cipher text, cryptogram) Q trình biến đổi gọi mã hố (encipherment, encryption) Q trình ngược lại biến đổi từ mã thành rõ gọi giải mã (decipherment, decryption) Cả hai trình nói điều khiển (hay nhiều) khoá mật mã Mật mã học lĩnh vực liên quan với kỹ thuật ngôn ngữ tốn học để đảm bảo an tồn thơng tin, cụ thể thông tin liên lạc Về phương diện lịch sử, mật mã học gắn liền với trình mã hóa; điều có nghĩa gắn với cách thức để chuyển đổi thông tin từ dạng sang dạng khác từ dạng thơng thường nhận thức thành dạng khơng thể nhận thức được, làm cho thông tin trở thành dạng khơng thể đọc khơng có kiến thức bí mật Q trình mã hóa sử dụng chủ yếu để đảm bảo tính bí mật thông tin quan trọng, chẳng hạn công tác tình báo, quân hay ngoại giao bí mật kinh tế, thương mại Ngồi ra, người khơng có nhu cầu thiết yếu đặc biệt tính bí mật sử dụng cơng nghệ mật mã hóa, mà thơng thường thiết kế tạo lập sẵn sở hạ tầng công nghệ tính tốn liên lạc viễn thơng Mật mã học lĩnh vực liên ngành, tạo từ số lĩnh vực khác Các dạng cổ mật mã hóa chủ yếu liên quan với kiểu mẫu ngơn ngữ Gần tầm quan trọng thay đổi mật mã hóa sử dụng gắn liền nhiều với toán học, cụ thể toán học rời rạc, bao gồm vấn đề liên quan đến lý thuyết số, lý thuyết thông tin, độ phức tạp tính tốn, thống kê tổ hợp Mật mã hóa 21 coi nhánh cơng nghệ, coi khơng bình thường liên quan đến chống đối ngầm (xem cơng nghệ mật mã hóa cơng nghệ an ninh) Mật mã hóa cơng cụ sử dụng an ninh máy tính mạng 2.1.2 Phá mã Việc nghiên cứu tìm phương thức để phá vỡ việc sử dụng mật mã gọi phân tích mật mã, hay phá mã Mật mã hóa phân tích mật mã đơi nhóm lại tên gọi chung mật mã học, bao gồm toàn chủ đề liên quan đến mật mã Trong thực tế, thuật ngữ mật mã hóa thơng thường sử dụng để nói đến ngành cách tổng thể Mật mã hóa q trình chuyển đổi thông tin thông thường (văn thường hay văn rõ hay văn trơn) thành dạng không đọc trực tiếp được, văn mã hóa Giải mật mã hay giải mã trình ngược lại, phục hồi lại văn thường từ văn mã Mật mã thuật tốn để mật mã hóa giải mật mã Hoạt động xác mật mã thơng thường kiểm sốt khóa - đoạn thơng tin bí mật cho phép tùy biến cách thức tạo văn mã Các giao thức mật mã rõ chi tiết việc mật mã (và tảng mật mã hóa khác) sử dụng để thu nhiệm vụ cụ thể Một giao thức, thuật tốn, cách thức quản lý khóa hành động quy định trước người sử dụng phối hợp chặt chẽ tạo thành hệ thống mật mã Trong cách nói thơng thường, "mã" bí mật thơng thường sử dụng đồng nghĩa với "mật mã" Trong mật mã học, thuật ngữ có ý nghĩa kỹ thuật đặc biệt: Các mã phương pháp lịch sử tham gia vào việc thay đơn vị văn lớn hơn, thơng thường từ hay câu văn (ví dụ, "qua tao" thay cho "tan cong luc rang dong") Ngược lại, mật mã hóa cổ điển thơng thường thay xếp lại chữ riêng biệt (hoặc nhóm nhỏ chữ cái) - ví dụ, "tan cong luc rang dong" trở thành "ubo dpoh mvd sboh epoh" cách thay 2.1.3 Sơ đồ khái quát hệ thống mật mã Trong hệ thống mật mã khái quát có thành phần sau (xem hình vẽ): 22 ● Văn trơn (plaintext), tức thông điệp nguyên gốc chưa mã hóa ● Văn mã hóa (ciphertext), tức thơng điệp mã hóa ● Thuật tốn mã hóa (enciphering algorithm) giao thức hướng dẫn có tác dụng chuyển đổi văn trơn thành văn mã hóa Đối với hệ thống mật mã truyền thống, có người gửi thơng điệp biết thuật tốn mã hóa, nhiên hệ thống dùng mật mã hóa khóa cơng khai (Public key code - PKC), tất người biết thuật tốn mã hóa mà khơng ảnh hưởng tiêu cực đến an ninh hệ thống ● Khóa mã hóa (enciphering key) nhiều đối tượng (thường số hướng dẫn quan trọng đó) dùng việc mã hóa văn trơn Ngoại trừ hệ thống PKC, để đảm bảo bí mật an tồn khóa mã hóa thường người gửi biết ● Thuật toán giải mã (deciphering algorithm) giao thức hướng dẫn có tác dụng chuyển đổi văn mã hóa trở văn trơn Để đảm bảo bí mật, có người nhận thơng điệp biết thuật tốn giải mã ● Khóa giải mã (deciphering key) nhiều đối tượng (thường số hướng dẫn quan trọng đó) dùng việc giải mã văn bị mã hóa Để đảm bảo bí mật, có người nhận thơng điệp biết khóa giải mã ● Sản phẩm mật mã (Cryptography Product) bao gồm hệ thống thiết bị, module, mạch tích hợp chương trình phần mềm mã hố chun dụng có tích hợp thuật tốn mật mã, thiết kế, chế tạo để bảo vệ thông tin giao dịch điện tử lưu trữ dạng số hoá, sử dụng "Thuật tốn mã đối xứng" "Thuật tốn mã khơng đối xứng" 23 2.2 Giao thức trao đổi khố Diffie-Hellman 2.2.1 Trao đổi khóa Diffie – Hellman Trao đổi khóa Diffie – Hellman (D-H) phương pháp trao đổi khóa phát minh sớm mật mã học Phương pháp trao đổi khóa Diffie – Hellman cho phép hai bên (người, thực thể giao tiếp) thiết lập khóa bí mật chung để mã hóa liệu sử dụng kênh truyền thơng khơng an tồn mà khơng cần có thỏa thuận trước khóa bí mật hai bên Khóa bí mật tạo sử dụng để mã hóa liệu với phương pháp mã hóa khóa đối xứng Giao thức công bố Whitfield Diffie Martin Hellman vào năm 1976, trước vài năm phát minh cách độc lập GCHQ, quan tình báo Anh, James H Ellis, Clifford Cocks Malcolm J Williamson giữ bí mật Năm 2002, Hellman đề xuất thuật tốn nên gọi trao đổi khóa Diffie–Hellman–Merkle để ghi nhận đóng góp Ralph Merkle phát minh lĩnh vực mật mã hóa khóa cơng khai (Hellman, 2002) Mặc dù giao thức trao đổi khóa Diffie–Hellman thân giao thức trao đổi khóa ẩn danh (khơng xác thực), đưa tảng sở cho nhiều loại 24 giao thức xác thực sử dụng để tạo nên bí mật chuyển tiếp hoàn hảo chế độ ngắn hạn giao thức Transport Layer Security (EDH DHE tùy theo mã hóa) 2.2.2 Mơ tả Trao đổi khóa Diffie – Hellman Diffie – Hellman thiết lập bí mật chung để sử dụng cho trao đổi liệu an toàn kênh truyền thơng cơng cộng khơng an tồn Sơ đồ sau minh họa ý tưởng việc trao đổi khóa thơng qua ví dụ màu sơn Điểm chủ chốt ý tưởng Alice Bob trao đổi màu sơn bí mật thơng qua hỗn hợp sơn - Đầu tiên Alice Bob trộn màu biết chung (màu vàng) với màu bí mật riêng người - Sau đó, người chuyển hỗn hợp tới người thơng qua kênh vận chuyển công cộng - Khi nhận hỗn hợp người kia, người trộn thêm với màu bí mật riêng nhận hỗn hợp cuối Hỗn hợp sơn cuối hoàn toàn giống cho hai người có riêng hai người biết Mấu chốt người ngồi khó (về mặt tính tốn) cho họ để tìm bí mật chung hai người (nghĩa hỗn hợp cuối cùng) Alice Bob sử dụng bí mật chung để mã hóa giải mã liệu truyền kênh công cộng Lưu ý, màu sơn (màu vàng) tùy ý lựa chọn, thỏa thuận trước Alice Bob Màu sơn giả sử khơng bí mật người thứ ba mà khơng làm lộ bí mật chung cuối Alice Bob 25 2.2.3 Diễn giải dạng số học Giao thức Cho p số nguyên tố g số ngun Bài tốn Diffie-Hellrnan (DHP) tốn tính toán giá trị g ab  mod p  từ giá trị biết g a  mod p  g b  mod p  Giao thức sử dụng nhóm nhân số nguyên modp, p số nguyên tố, g nguyên thủy mod p Trong ví dụ đây, giá trị khơng bí mật viết mực màu nhạt, giá trị bí mật viết sơn màu đậm: 26 Alice Bob thỏa thuận sử dụng chung số nguyên tố p = 23 nguyên thủy g = Alice chọn số nguyên bí mật a = 6, gửi cho Bob giá trị A = ga mod p o A = 56 mod 23 o A = 15,625 mod 23 o A=8 Bob chọn số nguyên bí mật b = 15, gửi cho Alice giá trị B = gb mod p o B = 515 mod 23 o B = 30,517,578,125 mod 23 o B = 19 Alice tính s = B a mod p o s = 196 mod 23 o s = 47,045,881 mod 23 o s=2 Bob tính s = A b mod p o s = 815 mod 23 o s = 35,184,372,088,832 mod 23 o s=2 Như Alice Bob chia sẻ bí mật chung số 6*15 15*6 Cả Alice Bob có giá trị chung cuối (ga)b = (gb)a mod p Lưu ý rằng, có a, b gab = gba mod p giữ bí mật Tất giá trị khác p, g, ga mod p gb mod p truyền công khai Sau Alice Bob tính bí mật chung, hai sử dụng làm khóa mã hóa chung có hai người biết để gửi liệu kênh truyền thông mở Trong thực tế để giao thức an toàn, người ta sử dụng giá trị lớn nhiều cho a, b p, ví dụ có tổng cộng 23 kết khác cho n theo 27 mod 23 (do kẻ cơng cần thử hết 23 trường hợp tìm khóa bí mật) Nếu số ngun tố p có 300 chữ số, cịn a b có 100 chữ số, máy tính đại khơng thể tìm a biết g, p, gb mod p ga mod p Bài toán này, gọi tốn Lơgarit rời rạc, chưa có cách giải hiệu máy tính (vì sử dụng để tạo khóa cơng khai) Lưu ý, g khơng cần thiết nguyên thủy có giá trị lớn Trong thực tế người ta hay sử dụng giá trị 2, 2.2.4 Mô tả giao thức Sau mô tả khái quát giao thức 2.2.4.1 Thiết lập khóa Alice Bob thỏa thuận sử dụng chung nhóm cyclic hữu hạn G phần tử sinh g G Phần tử sinh g công khai với tất người, kể kẻ cơng Dưới giả sử nhóm G nhóm nhân Alice chọn số tự nhiên ngẫu nhiên a gửi ga mod p cho Bob Bob chọn số tự nhiên ngẫu nhiên b gửi gb mod p cho Alice Alice tính (gb)a mod p Bob tính (ga)b mod p Vì giá trị (gb)a (ga)b (do nhóm G có tính kết hợp), Alice Bob tính giá trị gab sử dụng cho khóa bí mật chung Chú ý rằng, Alice chọn số tự nhiên ngẫu nhiên a gửi ga mod p cho Bob, nhiên Bob số tự nhiên a Việc xác định a biết ga mod p hồn tồn khơng đơn giản Trong cách lập khóa chung cá thể thứ thứ hai khơng cần biết khóa mã mà sử dụng khóa mật mã riêng Mặt khác cá thể cịn lại hệ thống khơng thể tìm khóa chung K khoảng thời gian chấp nhận được, để làm việc họ phải tính lơgarit modp 28 2.2.4.2 Mã hóa Thơng điệp m trước gửi Alice (hoặc Bob) mã hóa thành mgab Ví dụ Alice Bob đồng ý sử dụng số nguyên tố p = 941 nguyên thủy g = 627 Alice chọn khóa bí mật a = 347 tính A = 390 = 62 7347 (mod 941) Tương tự vậy, Bob chọn khóa bí mật b = 781 tính D = 691 = 627781 (mod 941) Alice gửi Bob số 390 Dob gửi Alice số 691 Cả hai truyền thực kênh khơng an tồn, hai A = 390 D = 691 xem, xét công khai Các số a = 347 b = 781 khơng truyền mà giữ bí mật Sau đó, Alice Bob tính tốn số 470 = 627347781 = Ab = Ba (mod 941), 470 chia sẻ bí mật họ 2.3 Một số ứng dụng nguyên thủy mật mã 2.3.1 Định lý Giả sử p số nguyên tố, a nguyên thuỷ môđun p Khi đó,  ánh xạ f : p  p có quy luật xác định f k  a k song ánh    Chứng minh Với  k , l  p  , f k  f l a k  al hay a k  al  mod p  Nếu k  l từ  a, p   suy a k l  1 mod p  hay k  l chia hết cho      p   Ta gặp phải mâu thuẫn Như vậy, f k  f l f: p p song ánh ▄ k  l hay 29 Một hàm số f : p  p xây dựng gọi hàm mũ đồng dư Trong trường hợp tổng quát, f định nghĩa f : m  m có quy luật xác định  f k  a k Cho trước a, k việc xác định số dư a x  mod m  , tức tính f ( x) đơn giản khả thi Tuy vậy, việc xác định hàm số ngược f , nghĩa cho trước a, k số dư a x  mod m  chia cho m , xác định số dư k chia cho m làm Điều làm f song ánh, ý nghĩa định lý Như vậy, việc tìm tất nguyên thủy số cho trước có ý nghĩa Định lý sau giúp 2.3.2 Định lý Giả sử p số nguyên tố, a nguyên thủy môđun p, b thuộc i p viết dạng b  a , < i < p - Từ định lý suy ra: * b nguyên thủy (p - 1, i) = 1, hay nói cách khác, tập hợp   nguyên thủy p ,0  i  p  2,  p  1, i   * Số nguyên thủy môđun p   p  1 * Nếu ta biết nguyên thủy p, biết tất nguyên thủy p  Như vậy, với số điều kiện, hàm số mũ đồng dư f k  a k m song ánh Cần nhấn mạnh rằng, việc tính hàm số ngược phức tạp nhiều, biết giá trị a Hàm số ví dụ tốt cho lớp hàm số mà người ta gọi hàm số "hướng nhất" theo nghĩa: - đơn giản tính; 30 - phức tạp tính ngược lại Tuy vậy, hàm số mũ đồng dư có lợi khác, là: Chúng ta tính hàm số ngược cách dễ dàng biết số thông tin dễ dàng việc giữ bí mật Và hàm số có ý nghĩa quan trọng việc mật mã hóa Bây tìm hiểu số phương pháp mã hóa: 2.3.3 Chia sẻ chìa khóa A B muốn có chung chìa khóa, họ chọn: - p số nguyên tố công khai p - a nguyên thủy p, công khai a - Mỗi nguời giữ số bí mật Xa Xb với  X a , X b  p  - A gửi cho B: a X a  mod p  - B gửi cho A: b X b  mod p  Khi đó, A B có chung chìa khóa K a X a Xb  mod p  2.3.4 Mã hóa "khơng chìa khóa" Cho thông tin (dưới dạng số) M < p, A cần gửi M cho B A chọn a < p, (a, p - 1) = (a bí mật); B chọn b < p, (b, p - 1) = (b bí mật) A gửi cho B số C  M a  mod p  B gửi lại cho A số D  C b  mod p  A tính a' cho < a' < p a.a '  1(mod p 1) (a' gọi nghịch đảo (mod p - 1) a), sau gửi cho B số ' ' ' E  Da  C ba  M aba B tính nghịch đảo b' b, sau tính 31 ' ' ' E b  M aba b  M  mod p  aa'  bb'  1 mod p  theo định lý nhỏ Fermat M p 1  1 mod p  2.3.5 Mã hóa với chìa khóa cơng khai Xét p số ngun tố, cơng khai p Có N người muốn chia sẻ thơng tin cách bí mật, họ chọn: a nguyên thủy p (khi hàm số mũ đồng dư a song ánh) Mỗi người số bí mật X n , với  X n  p  Họ công khai Yn  a X n  mod p  Bây giả sử A, B hai N người, A muốn gửi cho B thông tin M A chọn k với < k < p – A tính K  Ybk A chuyển cho B cặp số  a k , KM    C1 , C2  Khi B nhận cặp số  C1 , C2  , muốn có M, người B sẽ: Tính C1 b  a X kXb    a Xb k  Ybk  K Chia C2 cho K thu thông tin M 32 KẾT LUẬN Trên sở tham khảo tài liệu, chọn đề tài luận văn NGUYÊN THUỶ VÀ ỨNG DỤNG” “CĂN nhằm tìm hiểu kết số học có liên quan đến mật mã học giao thức trao đổi khoá Diffie - Hellman Nội dung chủ yếu luận văn là: 1- Đi sâu tìm hiểu nguyên thuỷ toán tồn ngun thuỷ 2- Tìm tịi ứng dụng nguyên thuỷ mật mã 3- Tìm hiểu giao thức trao đổi khoá Diffie-Hellman (Diffie-Hellman Key Exchange) nhằm số ứng dụng nguyên thuỷ hệ mật mã Mã hố cơng cụ tự động quan trọng cho an ninh mạng truyền thông Vì vậy, việc tìm hiểu sở ứng dụng Số học mã hoá giải mã thông tin cần tiếp tục nghiên cứu Hy vọng rằng, thời gian tới chúng tơi có bước xa hơn, nhằm tìm hiểu sâu nội dung mà mà luận văn đặt 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy toán học Maple, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Phạm Huy Điển, Hà Huy Khối (2004), Mã hóa thơng tin - Cơ sở tốn học ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Bùi Dỗn Khanh, Nguyễn Đình Thúc (2004), Mã hóa thơng tin, Lý thuyết ứng dụng, Nhà xuất Lao Động, TP Hồ Chí Minh [4] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội TIẾNG ANH [5] Brassard (1988), Modern Cryptology Lecture Notes in Computer Science, Springer [6] Jevons, W Stanley (1958), The Principles of Science: A Treatise on Logic and Scientific Method, Dover Publications, New York [7] M B Nathason (1999), Elementary Methods in Number Theory, Springer [8] B Scheier (1996), Applied Cryptography, Wiley [9] D Stinson (1995), Cryptography: Theory and Pratice, CRS Press LLC [10] R Rivest, A Shamir, L Adleman (1977), A Method for Obtaining Digital Signatures and Public - Key Cryptosystems, Communications of the ACM, Vol 21 (2), pp 120–126 ... LỤC Trang Mở đầu CHƯƠNG CĂN NGUYÊN THUỶ 1.1 Định lý Euler 1.2 Căn nguyên thuỷ ứng dụng 1.3 Bài toán tồn nguyên thuỷ 15 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA CĂN NGUYÊN THUỶ TRONG MẬT MÃ... xyclic m 2, 4, pk p k với p số nguyên tố lẻ k số nguyên dương Một phần tử sinh nhóm nhân phần tử nguyên thủy  m  m gọi nguyên thủy mod m , hay Căn nguyên thủy modm sử dụng thường xuyên mật mã học,... theo chứng minh ngun thủy theo mơđun p k ▄ Từ Bổ đề ta có 1.3.6 Định lý Các số m  2, 4, p k m  p k , p số nguyên tố lẻ k số nguyên dương số có nguyên thủy 20 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA CĂN NGUYÊN