1585 đa chập hartley fourier và ứng dụng luận văn tốt nghiệp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Phí Thị Vân Anh ĐA CHẬP HARTLEY-FOURIER VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO TS NGUYỄN MINH KHOA Hà Nội - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tôi, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo TS Nguyễn Minh Khoa Các kết trình bày luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Tác giả Phí Thị Vân Anh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo −1− TS Nguyễn Minh Khoa LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn Thầy PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo TS Nguyễn Minh Khoa Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng Thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả tự tin, vượt qua nhiều khó khăn để có kết hôm Qua tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc lòng quý mến Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy bạn xemina Tốn Giải tích thuộc Viện Tốn Ứng dụng Tin học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, PGS TS Nguyễn Xuân Thảo chủ trì; xemina Giải tích - Đại số Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, GS TSKH Nguyễn Văn Mậu chủ trì Các Thầy bạn tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý q báu mơi trường nghiên cứu sôi thân thiện, điều thiếu q trình nghiên cứu, hồn thành luận án tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Giao thông Vận tải, đồng nghiệp thuộc Bộ môn Đại số-Xác suất thống kê tạo điều kiện thuận lợi q trình tác giả học tập, cơng tác hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng ngưỡng mộ, lòng biết ơn đến GS TSKH Vũ Kim Tuấn, người ln có trao đổi, định hướng chuyên môn cho tác cho nhóm xemina Thầy ln biểu tượng nhiệt tình, nghiêm túc xác nghiên cứu khoa học Qua đây, tác giả xin bày tỏ biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Thanh Hồng, người ln sẵn sàng, tận tình giúp đỡ mặt chuyên môn cung cấp cho tác giả kinh nghiệm, tài liệu quý báu từ ngày đầu bước vào nghiên cứu suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình bố mẹ, anh chị em, chồng, bạn bè Trong q trình hồn thành luận án, tác giả gặp cố sức khỏe, tất Thầy, bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt thành viên gia đình, ln sát cánh, động viên ủng hộ tác giả Đó nguồn động lực to lớn giúp tác giả hoàn thành luận án Xin chân thành cảm ơn! Tác giả −2− MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU 11 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Biến đổi Fourier 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier: 1.1.2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier 1.1.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier 1.1.4 Định lý Young bất đẳng thức Young 1.1.5 Định lý Saitoh bất đẳng thức Saitoh 1.2 Biến đổi Fourier cosine 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine 1.2.2 Tích chập liên quan đến biến đổi Fourier cosine 1.2.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Fourier cosine 1.3 Phép biến đổi Fourier sine 1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine 1.3.2 Một số tích chập liên quan đến biến đổi Fourier sine 1.4 Phép biến đổi Hartley 1.4.1 Định nghĩa biến đổi Hartley 1.4.2 Một số tính chất biến đổi Hartley 1.4.3 Định lý Wiener-Levy cho biến đổi Hartley 1.4.4 Một số tích chập có liên quan đến biến đổi Hartley 1.5 Một số định lý bổ đề sử dụng 1.5.1 Bt ng thc Hăolder 1.5.2 Định lý nội suy Riesz 25 25 25 26 26 26 27 27 28 28 28 29 29 29 30 31 31 34 35 36 36 37 Chương ĐA CHẬP LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY, FOURIER COSINE VÀ FOURIER SINE 38 2.1 2.2 Đa chập phép biến đổi Hartley, Fourier cosine, Fourier sine 2.1.1 Định nghĩa đa chập H-Fc -Fs 2.1.2 Một số tính chất đa chập H-Fc -Fs 2.1.3 Ứng dụng giải lớp phương trình tích phân 2.1.4 Ứng dụng giải hệ hai phương trình tích phân Đa chập phép biến đổi Hartley, Fourier cosine 2.2.1 Định nghĩa đa chập H-Fc 2.2.2 Một số tính chất đa chập H-Fc 2.2.3 Ứng dụng giải lớp phương trình Toeplitz-Hankel 2.2.4 Ứng dụng giải lớp hệ phương trình Toeplitz-Hankel 2.2.5 Đa chập H-Fc suy biến Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP 3.1 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc -Fs 3.1.1 Tính unita khơng gian L2 (R) 3.1.2 Xấp xỉ theo chuẩn khơng gian L2 (R) 3.1.3 Tính bị chặn toán tử Tp1 ,p2 3.2 Biến đổi tích phân kiểu đa chập H-Fc 3.2.1 Tính unita không gian L2 (R) 3.2.2 Xấp xỉ theo chuẩn không gian L2 (R) 3.2.3 Tính bị chặn tốn tử Tq1 ,q2 3.3 38 38 39 49 51 55 55 56 59 63 66 70 71 71 75 79 80 81 85 87 Ứng dụng 90 3.3.1 Phương trình vi-tích phân 91 3.3.2 Hệ hai phương trình vi-tích phân 94 Chương BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI ĐA CHẬP 4.1 Bất đẳng thức L1 4.2 Bất đẳng thức Lα,β,γ s 4.3 Bất đẳng thức kiểu Young 4.4 Bất đẳng thức kiểu Saitoh 4.5 Ứng dụng 4.5.1 Phương trình tích phân 4.5.2 Phương trình vi phân −4− 99 99 100 101 107 115 115 117 KẾT LUẬN 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO 122 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 128 −5− MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a Các không gian hàm chuẩn • R tập tất số thực • R+ = {x ∈ R, x > 0} • C tập tất số phức • C0 (R) không gian Banach gồm hàm liên tục R triệt tiêu vô với chuẩn sup • S không gian Schwartz gồm tất hàm khả vi vô hạn lần R đạo hàm giảm nhanh vơ • L∞ (R) không gian gồm hàm bị chặn R • Lp (R), p < ∞ không gian hàm số f (x) xác định R cho Z∞ |f (x)|p dx < ∞ −∞ Nếu thay R R+ tích phân thay cận từ đến ∞ ta có khơng gian Lp (R+ ) • Lp (R, ρ), p < ∞ không gian hàm số f (x) R cho Z∞ |f (x)|p ρ(x)dx < ∞, −∞ ρ(x) hàm trọng dương • Lα,β p (R+ ), α ∈ R, < β ≤ 1, p ≥ không gian hàm số f (x) xác định R+ , cho Z∞ xα K0 (βx)|f (x)|p dx < ∞, K0 (x) hàm Bessel loại hai • Lα,β,γ (R), α > −1, β > 0, γ > 0, p > không gian hàm số f (x) p R cho Z∞ γ |x|α e−β|x| |f (x)|p dx < ∞ −∞ • kf kLp (R) chuẩn hàm f không gian Lp (R), xác định  Z∞ kf kLp (R) =  p1 |f (x)| dx p −∞ • kf kLp (R,ρ) chuẩn hàm f không gian Lp (R, ρ), xác định  Z∞ kf kLp (R,ρ) = p |f (x)| ρ(x)dx  p1 −∞ • α,β,γ kf kLα,β,γ (R), xác định (R) chuẩn hàm f không gian Lp p 1/p  ∞ Z  |x|α e−β|x|γ |f (x)|p dx kf kLα,β,γ = (R) p −∞ b Kí hiệu phép biến đổi tích phân • F phép biến đổi Fourier Z∞ (F f )(y) := √ f (x)e−ixy dx, 2π ∀y ∈ R −∞ • Fc phép biến đổi Fourier cosine r Z∞ (Fc f )(y) := f (x) cos(yx) dx, ∀y ∈ R+ π • Fs phép biến đổi Fourier sine r Z∞ f (x) sin(yx) dx, ∀y ∈ R+ (Fs f )(y) := π • H1 , H2 phép biến đổi Hartley Z∞ (H1 f )(y) := √ f (x) cas(xy)dx, y ∈ R, 2π (H2 f )(y) := √ 2π −∞ Z∞ f (x) cas(−xy)dx, y ∈ R −∞ −7− • L phép biến đổi Laplace Z∞ (Lf )(s) := f (t)e−ts dt, ∀s ∈ C • Hν phép biến đổi Hankel xác định công thức Z∞ (Hν Φ)(t) := τ Jν (tτ )Φ(τ )dτ, với Jν hàm Bessel loại • Mi phép biến đổi tích phân kiểu Mellin với số i xác định Z∞ (Mi f )(y) := ki y  t f (t) dt , t i = 0, 1, • Kiy [f ] phép biến đổi Kontorovich-Lebedev Z∞ Kiy [f ] = Kiy (t)f (t)dt, Kiy (t) hàm Macdonald (hay hàm Bessel loại ba) c Ký hiệu hàm đặc biệt • Γ(z) hàm Gamma Z∞ Γ(z) := tz−1 e−t dt, Re z > 0 • Jn (x) hàm Bessel loại một, nghiệm phương trình vi phân 2d y x dx2 +x dy + (x2 − n2 )y(x) = 0, dx nghiệm có biểu thức xác định sau Jn (x) = ∞ X k=0  x n+2k (−1)k k!Γ(n + k + 1) −8− • Kn (x) hàm Bessel loại hai, nghiệm phương trình vi phân x2 d2 y dy + x − (x2 + n2 )y(x) = dx dx Nghiệm liên hệ với hàm Bessel loại công thức Kn (x) = Jn (x) cos (nπ) − J−n (x) sin(nπ) Trường hợp cụ thể Z∞ K0 (w) := e−wy cosh ydy • Erfc(x) hàm lỗi bổ sung (complementary error function), xác định phần bù hàm lỗi Erf(x) (error function), qua biểu thức sau Erfc(x) := − Erf(x) = √ π Z∞ e−t dt, x hàm lỗi Erf(x) hay gọi hàm lỗi Gauss xác định Erf(x) := √ π Zx e−t dt d Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập • (· ∗ ·) (xem trang 12) tích chập phép biến đổi Fourier F • (· ∗ ·) (xem trang 28) tích chập phép biến đổi Fourier cosine • (· ∗ ·) (xem trang 14) tích chập suy rộng phép biến đổi Fc F sF c Fourier sine Fourier cosine • (· ∗ ·) (xem trang 30) tích chập suy rộng phép biến đổi F cF s Fourier cosine Fourier sine γ • (· ∗ ·) (xem trang 30) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sign y F F cF s phép biến đổi Fourier, Fourier cosine Fourier sine • (· ∗ ·) (xem trang 35) tích chập phép biến đổi Hartley H • (· ∗ ·) (xem trang 35) tích chập suy rộng phép biến đổi Hartley H12 −9− (H1 p)(y) λ1 sign y(Fc ϕ1 )(|y|)(Fs ψ1 )(|y|) ∆1 = (H2 q)(y) = (H1 p)(y) − λ1 (Fc ϕ1 )(|y|).(Fs ψ1 )(|y|).(H2 q)(y) = (H1 p)(y) − λ1 H1 [∗(ϕ1 , ψ1 , q)](y), y ∈ R Vì vậy, ta viết −53− Dựa vào đẳng thức nhân tử hóa (1.28) tích chập suy rộng phép biến đổi Hartley Fourier cosine, ta có: o ∆1 n (H1 f )(y) = = (H1 p)(y) − λ1 H1 [∗(ϕ1 , ψ1 , q)](y) [1 − (Fc l)(|y|)] ∆ = (H1 p)(y) − H1 (l ∗ p)(y) − λ1 H1 [∗(ϕ1 , ψ1 , q)](y)+ HFc   + λ1 H1 l ∗ [∗(ϕ1 , ψ1 , q)] (y) HFc   = H1 p − (l ∗ p) − λ1 [∗(ϕ1 , ψ1 , q)] + λ1 (l ∗ [∗(ϕ1 , ψ1 , q)]) (y), HFc HFc với ∀y ∈ R Do biểu thức với y ∈ R, nên suy f (x) = p(x) − (l ∗ p)(x) − λ1 [∗(ϕ1 , ψ1 , q)](x)+ HFc + λ1 (l ∗ [∗(ϕ1 , ψ1 , q)])(x) ∈ L1 (R) HFc Tương tự, ta tính định thức thành phần thứ hai hệ (2.23) (H p)(y) ∆2 =