BẬC CỦA SỐ NGUYÊN - CĂN NGUYÊN THUỶ

BẬC CỦA SỐ NGUYÊN - CĂN NGUYÊN THUỶ Phạm Hy Hiếu – Toán PTNK 07-10 (chuyên đề Toán học số PTNK ĐHQG TPHCM) Bậc số nguyên: Cho trước số nguyên dương thoả mãn điều kiện Từ định lý Euler ta biết Vậy nên tồn số nguyên dương nhỏ cho Ta gọi số bậc theo modulo ký hiệu Ta nói rằng: Ví dụ 1.1 Tìm Bằng phép thử trực tiếp ta có: Vậy Sau ta khảo sát số tính chất bậc Định lý 1.1 Cho thoả điều kiện Khi đó: Chứng minh: Giả sử cho: Ta chứng minh , theo thuật tốn chia tồn cặp số tự nhiên Thật vậy, giả sử ngược lại, tức Hơn tính nhỏ bậc số nguyên Định lý chứng minh Chiều cịn lại định lý hiển nhiên vì: , ta có: , điều trái với theo modulo Vậy định lý chứng minh hoàn toàn Chú ý Định lý 1.1 cho phép ta tìm tất nghiệm phương trình đồng dư: Đó tất số có dạng với Như vậy, cần xác định ta sinh tất nghiệm phương trình đồng dư Việc giúp cho thuật toán xác định tập nghiệm phương trình đơn giản nhiều, ta cần xét tối đa trường hợp Hệ 1.1 Cho thoả điều kiện Khi đó, Chứng minh: Theo định lý Euler ta có Định lý 1.2 Nếu nên từ định lý 1.1 suy Chứng minh: Khơng tính tổng qt, ta giả sử Thế thì: Theo định lý 1.1 điều tương đương với: Vậy định lý chứng minh hoàn toàn Hệ 1.2 Nếu modulo đơi khơng đồng dư với theo Chứng minh: Giả sử tồn Nhưng cho và Theo định lý 1.2 thì: nên Định lý 1.3 Nếu Mâu thuẫn cho ta đpcm Chứng minh: Giả sử , ta có: Định lý chứng minh Định lý 1.4 Cho thoả điều kiện Chứng minh: Trước hết, đặt thì: Khi đó, với bất kì: Mặt khác ta có nên theo Định lý 1.1 , mà nên xảy khả sau: , mà nên ta phải có vơ lý cho trước , điều Hai mâu thuẫn cho ta kết luận định lý Định lý 1.5 Cho số nguyên tố có bậc theo modulo Khi đó, số số nguyên dương không lớn Chứng minh: Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Thật vậy, gọi thì: tập hợp số thoả điều kiện cho , Theo định nghĩa hàm Euler ta có: Từ ta suy ra: Vậy bổ đề chứng minh hoàn toàn Quay lại với việc chứng minh định lý, với Do số nguyên nằm tập hợp tồn , thoả , ta ký hiệu: nguyên tố với nên: Từ bổ đề ta suy ra: Để thu kết luận định lý, tức , ta chứng minh rằng: nên Thật vậy, điều phải chứng minh hiển nhiên Nếu tồn số nguyên dương cho Khi đó, theo hệ 1.2 đơi khơng đồng dư với theo modulo Mặt khác, với , ta có nên nghiệm đa thức Đa thức khơng đồng với nên có khơng q nghiệm Hơn nghiệm phải có dạng ( ) Vậy tồn phần tử cho có khơng q số Do đó, lý luận trên, định lý chứng minh hoàn toàn Căn nguyên thủy: Nếu gọi ngun thủy modulo Từ tính chất trình bày bậc số nguyên, ta dễ dàng suy tính chất nguyên thủy sau: Định lý 2.1 Nếu nguyên thủy modulo Định lý 2.2 Nếu nguyên thủy modulo gọn modulo Định lý 2.3 Nếu nguyên thủy modulo nguyên thủy modulo khi lập thành hệ thặng dư thu Chứng minh: Điều kiện đủ định lý hiển nhiên theo định lý 1.3 thì: Với điều kiện cần, ta giả sử nguyên thủy modulo , nằm hệ thặng dư thu gọn modulo , theo định lý 2.2 tồn Lại theo định lý 1.3 thì: Suy , hay cho Ta thấy cần suy tồn , nhiên tồn ngun thủy modulo khơng phải tính chất hiển nhiên Sau ta khảo sát tồn nguyên thủy Định lý 2.4 Mọi số nguyên tố có nguyên thủy Đây hệ trực tiếp định lý 1.5 ta gọi nguyên tố Định lý 2.5 Mọi số nguyên dương có dạng thủy với tập hợp nguyên thủy số số nguyên tố có nguyên Chứng minh: Gọi nguyên thủy Đặt suy Nếu Nếu Đặt ta có , , nên , theo định nghĩa, nguyên thủy nên Lý luận tương tự Mặt khác: , ta có Vậy nên , mâu thuẫn ngun thủy Do đó, , tức nguyên thủy nên Định lý chứng minh Định lý 2.6 Mọi số nguyên dương có dạng dương có nguyên thủy số ngun tố cịn ngun Chứng minh: Gọi nguyên thủy nguyên dương Đặt Hơn , ta chứng minh nguyên thủy , ta có nên nên Do Để chứng minh định lý, ta cần chứng minh Nên ta cần chứng minh Ta dùng quy nạp Tại Giả sử , với với Nhưng: , điều hiển nhiên , ta có nên Từ đó: Theo ngun lý quy nạp tốn học định lý chứng minh Tức là: Định lý 2.7 Mọi số nguyên dương có dạng nguyên dương có nguyên thủy số nguyên tố lẻ cịn số Chứng minh: Trước hết ta có nhận xét Gọi số nguyên tố lẻ nguyên thủy modulo lẻ ta lại có , ta có Có hai khả Nếu Cịn lẻ nên chẵn ta có , suy trái với giả thiết , tức nên Hơn nữa, có số ngun dương ta suy nguyên thủy modulo Do vậy, tồn nguyên thủ modulo cho , điều để Định lý chứng minh Định lý 2.8 Nếu số ngun dương khơng có dạng tố lẻ, ngun dương khơng có ngun thủy số nguyên Chứng minh: Xét phân tích tiêu chuẩn , thì: Giả sử tồn nguyên thủy Ta có: Đặt , ta có nguyên thủy modulo Suy nên Nhưng Tức là: với , nên Nhưng điều khơng thể, khơng có dạng Mâu thuẫn cho ta kết luận định lý Như vậy, định lý 2.5, 2.6, 2.7, 2.8 cho phát biểu mệnh đề mang tính tổng hợp tồn nguyên thủy Định lý 2.9 Một số nguyên dương có nguyên thủy có dạng hay với cịn số nguyên tố lẻ Ứng dụng bậc nguyên thủy: 3.1 Một số tốn bậc số ngun: Ví dụ 3.1.1 Xét số Fermat Lời giải: Chứng minh có ước nguyên tố Đặt Ta có: nên , suy Theo tính chất bậc , nhiên , khơng , tức , vơ lý số lẻ với Vậy Nhưng , tức Bài tốn chứng minh Ví dụ 3.1.2 Cho nguyên dương , lẻ Giả sử , suy nên số nguyên tố lẻ tồn số cho Chứng minh Lời giải: Đặt Ta có bậc Từ Do nên Nhưng Suy ước nguyên tố , suy Vì nên lẻ nên Theo tính chất , vơ lý Cho nên Ta có: Nhân hai vế cho ta có: Bài tốn chứng minh Ví dụ 3.1.3 Tồn hay khơng số ngun dương phân biệt thỏa mãn: Lời giải: Trước hết ta có nhận xét sau: Gọi ước nguyên tố nhỏ , ước nguyên tố nhỏ Thế Thật vậy, đặt , ta có nên , ước nguyên tố nhỏ nên Hơn nữa, nên Vào toán Gọi tương ứng ước nguyên tố nhỏ , với Ta có nên , ước nguyên tố nhỏ nên Mặt khác theo nhận xét nên , với , sử dụng theo nghĩa modulo , tức ta coi Từ suy (vơ lý) Vậy tốn có câu trả lời phủ định Ví dụ 3.1.4 (VMO 2004) Với số tự nhiên , ta kí hiệu Tìm: tổng chữ số biểu diễn thập phân Lời giải: Dễ dàng nhận thấy Hiển nhiên không bội với Giả sử tồn thỏa mãn , , , tức , suy , vô lý Vậy nên không tồn cho Mặt khác, ta chứng minh tồn cho Gọi tương ứng số dư phép chia cho ( ) Rõ ràng nên nhận giá trị Vậy theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số số Hơn nữa, nên với , tồn cho , hay Chú ý nên giá trị nhỏ cần tìm Câu hỏi phụ: Thử xác định xem số nhỏ cho Ví dụ 3.1.5 Cho nguyên tố lớn và số nào? ước nguyên tố Chứng minh số có ước Lời giải: Xét số xác định bởi: Rõ ràng Ta chứng minh ước nguyên tố Đặt có ước nguyên tố Ta có Thật vậy, giả sử nên , , với ngun dương, dẫn đến (vô lý nên , tức ) Vậy nên theo tính chất bậc số nguyên Như vậy, ước nguyên tố có dạng với Giả sử kết luận toán sai, tức ước nguyên tố khơng lớn Xét phân tích tiêu chuẩn sau: Ta có Logarithm hai vế ta được: Mặt khác theo định lý nhị thức thì: nên với Suy ra: Suy ra: Nhưng nên nên ta có: Hay: Song điều vơ lý ta có Mâu thuẫn cho ta kết luận toán 3.2 Một số toán nguyên thủy: Ví dụ 3.2.1 Cho số nguyên dương có nguyên thủy Chứng minh rằng: Lời giải: Do nguyên thủy modulo nên Phương trình đồng dư lập thành hệ thặng dư đầy đủ modulo Ta có: có hai nghiệm modulo nguyên thủy modulo Vậy nên , Ví dụ 3.2.2 Cho số nguyên tố lẻ Chứng minh , với ước nguyên tố nguyên thủy modulo Lời giải: Nếu nguyên thủy modulo Ngược lại, giả sử nên kết luận ta hiển nhiên , với ước nguyên tố , phải có Vậy nên Ta đặt với ước nguyên tố , Vì Ví dụ 3.2.3 Tìm số nguyên tố thỏa mãn điều kiện: Lời giải: Ta có Xét nên nguyên thủy modulo , ta có Tương tự Khơng tính tổng qt ta giả sử Vì Ta lại có , với nên hay nên: nên: Suy , suy Mặt khác nên Do Suy , dẫn đến Vậy ta có kết Tuy nhiên ba kết chấp nhận Thật vậy, xét , ta có , kết bị loại Với , ta có , số Carmichael Có thể dễ dàng kiểm tra với Vậy Ví dụ 3.2.4 Chứng minh với số nguyên dương tồn vô hạn số nguyên tố cho nguyên thủy nhỏ modulo lớn Lời giải: Ta có nhận xét thặng dư bình phương modulo nguyên thủy modulo Thật vậy, Từ nên khơng phải Ta chứng minh với tồn vô hạn số nguyên tố cho thặng dư bình phương modulo Thật vậy, giả sử tất số nguyên tố lẻ không lớn Theo định lý Trung Hoa tồn số nguyên dương cho: Xét dãy số xác định Theo định lý Dirictlet, dãy chứa vô hạn số nguyên tố Mặt khác với số nguyên tố dãy ta có: Vậy tất thặng dư bình phương modulo Hơn số ngun dương khơng lớn có dạng nên chúng thặng dư bình phương modulo Cuối cùng, số nguyên tố nên phải có ngun thủy, khơng phải nguyên thủy modulo nên nguyên thủy nhỏ lớn Bài tập áp dụng: Bài toán Chứng minh với số nguyên dương Bài toán Gọi ước nguyên tố nhỏ Hãy tìm Bài toán Cho ước nguyên tố nhỏ số Fermat thứ Chứng minh điều kiện cần đủ để nguyên tố là số Bài toán (China TST 2004) Chứng minh với số nguyên dương , số Fermat Bài tốn Chứng minh tồn vơ hạn cặp số ngun tố Bài tốn Tìm tất số nguyên dương Giả sử cho có ước nguyên tố lớn thỏa mãn điều kiện: Bài toán Cho số nguyên tố lẻ Chứng minh tích nguyên thủy theo modulo Bài toán Dùng nghĩa hàm Mobius Giả sử số nguyên tố lẻ minh rằng: Bài toán Chứng minh với số nguyên tố lẻ , tồn , với đồng dư với nguyên thủy Chứng cho nguyên thủy modulo Tài liệu tham khảo: Chuyên đề bồi dưỡng HSG tốn trung học phổ thơng: SỐ HỌC (GS TSKH Hà Huy Khoái) Một số vấn đề Số Học chọn lọc (Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận) Mathematical Olympiad in China – Problems and Solutions (Xiong Bin, Lee Peng Yee) Problem in Elementery Number Theory (PEN) (Hojoo Lee) Các trang diễn đàn Toán học: http://www.mathlinks.ro/ , http://www.mathscope.org/ , http://www.diendantoanhoc.net/  ... tính tổng hợp tồn nguyên thủy Định lý 2.9 Một số nguyên dương có nguyên thủy có dạng hay với số nguyên tố lẻ Ứng dụng bậc nguyên thủy: 3.1 Một số toán bậc số ngun: Ví dụ 3.1.1 Xét số Fermat Lời... sát tồn nguyên thủy Định lý 2.4 Mọi số nguyên tố có nguyên thủy Đây hệ trực tiếp định lý 1.5 ta gọi nguyên tố Định lý 2.5 Mọi số nguyên dương có dạng thủy với tập hợp nguyên thủy số số nguyên. .. chứng minh Tức là: Định lý 2.7 Mọi số nguyên dương có dạng nguyên dương có nguyên thủy số nguyên tố lẻ số Chứng minh: Trước hết ta có nhận xét Gọi số nguyên tố lẻ nguyên thủy modulo lẻ ta lại có