CẤP số NGUYÊN, căn NGUYÊN THUỶ

Ngạn ngữ Pháp có câu: Le Mathématique est le Roi des Sciences mais L’Arithmétique est la Reine,dịch nghĩa:Toán học là vua của các khoa học nhưng Số học là Nữ hoàng. Điều này nói lên tầm quan trọng của Số học trong đời sống và khoa học. Số học giúp con người ta có cái nhìn tổng quát, sâu rộng hơn, suy luận chặt chẽ và tư duy sáng tạo. Trong các kì thi chọn học sinh giỏi các cấp THCS, THPT cấp tỉnh, cấp Quốc gia,cấp khu vực, cấp quốc tế, các bài toán về Số học thường đóng vai trò quan trọng. Chúng ta có thể làm quen nhiều dạng bài toán Số học, biết nhiều phương pháp giải, nhưng cũng có bài chỉ có một cách giải duy nhất. Mỗi khi gặp một bài toán mới chúng ta lại phải suy nghĩ tìm cách giải mới. Sự phong phú đa dạng của các bài toán Số học luôn là sự hấp dẫn đối với mỗi giáo viên, học sinh giỏi yêu toán. Xuất phát từ những ý nghĩ đó tôi đã sưu tầm và hệ thống lại một số bài toán để viết lên chuyên đề Cấp số nguyên, căn nguyên thuỷ và ứng dụng ” Chuyên đề gồm các phần : Báng các kí hiệu Lời nói đầu Phần I: Kiến thức cơ bản. Phần II:Ứng dụng Ứng dụng 1: Ứng dụng trong giải các bài toán chứng minh chia hết Ứng dụng 2: Ứng dụng trong giải các bài toán tìm số nguyên thoả mãn tính chất cho trước Phần III: Bài tập tương tự. Phần IV: Tài liệu tham khảo Mục tiêu ở đây là một số bài mẫu, một số bài khác biệt căn bản đã nói lên được phần chính yếu của chuyên đề. Tuy vậy, những thiếu sót nhầm lẫn cũng không thể tránh khỏi được tất cả , về phương diện chuyên môn cũng như phương diện sư phạm. Lối trình bày bài giải của tôi không phải là một lối duy nhất. Tôi đã cố gắng áp dụng cách giải cho phù hợp với chuyên đề, học sinh có thể theo mà không lạc hướng. Ngoài ra lúc viết tôi luôn luôn chú ý đến các bạn vì nhiều lí do phải tự học, vì vậy giản dị và đầy đủ là phương châm của tôi khi viết chuyên đề này. Tôi xin trân thành cảm ơn các thầy cô giáo,các em học sinh góp ý thêm cho những chỗ thô lâu và phê bình chân thành để có dịp tôi sửa chữa chuyên đề này hoàn thiện hơn.

…… CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ NGUYÊN, CĂN NGUYÊN THUỶ VÀ ỨNG DỤNG Họ tên: Năm học: 1 PHẦN I BẢNG CÁC KÝ HIỆU : Tập hợp số tự nhiên : : Tập hợp số tự nhiên khác : Tập hợp số nguyên : : Tập hợp số nguyên tố : : Tập hợp số hữu tỉ Tập hợp số phức : Tập hợp số thực : thuộc : chia hết cho , : không chia hết cho : ước : không ước : số nguyên bội , chia hết đồng dư với theo môđun , chia hết cho : ƯCLN : BCNN : cặp số ,nghiệm phương trình hai ẩn số : Suy : Tương đương với ,khi (đpcm) : , ; : Điều phải chứng minh , kết thúc toán hay phép chứng minh : Tồn tại,mọi ,hoặc, giao : Hàm Ơle số nguyên dương 2 LỜI NĨI ĐẦU Ngạn ngữ Pháp có câu: "Le Mathématique est le Roi des Sciences mais L’Arithmétique est la Reine",dịch nghĩa:"Toán học vua khoa học Số học Nữ hồng" Điều nói lên tầm quan trọng Số học đời sống khoa học Số học giúp người ta có nhìn tổng quát, sâu rộng hơn, suy luận chặt chẽ tư sáng tạo Trong kì thi chọn học sinh giỏi cấp THCS, THPT cấp tỉnh, cấp Quốc gia,cấp khu vực, cấp quốc tế, toán Số học thường đóng vai trị quan trọng Chúng ta làm quen nhiều dạng tốn Số học, biết nhiều phương pháp giải, có có cách giải Mỗi gặp tốn lại phải suy nghĩ tìm cách giải Sự phong phú đa dạng tốn Số học ln hấp dẫn giáo viên, học sinh giỏi yêu toán Xuất phát từ ý nghĩ tơi sưu tầm hệ thống lại số toán để viết lên chuyên đề "Cấp số nguyên, nguyên thuỷ ứng dụng ” Chuyên đề gồm phần : -Báng kí hiệu - Lời nói đầu -Phần I: Kiến thức -Phần II:Ứng dụng Ứng dụng 1: Ứng dụng giải toán chứng minh chia hết Ứng dụng 2: Ứng dụng giải toán tìm số ngun thoả mãn tính chất cho trước Phần III: Bài tập tương tự Phần IV: Tài liệu tham khảo Mục tiêu số mẫu, số khác biệt nói lên phần yếu chuyên đề Tuy vậy, thiếu sót nhầm lẫn khơng thể tránh khỏi tất , phương diện chuyên môn phương diện sư phạm Lối trình bày giải lối Tôi cố gắng áp dụng cách giải cho phù hợp với chun đề, học sinh theo mà khơng lạc hướng Ngồi lúc viết tơi ln ln ý đến bạn nhiều lí phải tự học, giản dị đầy đủ phương châm viết chuyên đề Tôi xin trân thành cảm ơn thầy cô giáo,các em học sinh góp ý thêm cho chỗ thơ lâu phê bình chân thành để có dịp tơi sửa chữa chun đề hoàn thiện PHẦN I KIẾN THỨC CƠ BẢN 3 Từ định lý Ơ-Le ta có tố với số nguyên dương số ngun , ngun Do , phương trình đồng dư ln ln có nghiệm Theo tính chất thứ tự tốt tập hợp số nguyên dương , phải tồn số nguyên dương nhỏ thoả mãn đồng dư Định nghĩa 1.1 Giả sử số ngun dương mơđulơ Ta kí hiệu cấp số nguyên dương nguyên tố Khi nhỏ cho môđulô gọi cấp Ví dụ Định lí 1.2 i) Giả sử cấp hết cho ii) Giả sử có cấp Khi , có cấp chia có Cho số iii) đôi nguyên tố Giả sử với cấp Chứng minh i) Giả sử hay ii) Giả sử , chia hết cho cấp iii) Gọi ta có Ta có Ta có Nếu bội chung Từ iii) định lí ta thấy tốn tìm cấp tốn tìm cấp Tương tự (**) Từ (*) (**) cấp chung Vậy (*), ta nên Điều trái với cách chọn Điều ngược lại hiển nhiên có mà Khi cấp , với bội Nên ta có mơđulơ Quy số nguyên tố Định lí 1.3 Cho số nguyên lẻ Giả sử số lẻ Gọi cấp Khi : Chứng minh : Ta có Rõ ràng Nếu Ta có Nếu chia hết cho Nếu Định lí 1.4 Cho từ đẳng thức suy bé là số nguyên tố lẻ và ( với Chứng minh : Trường hợp ( với ) Gọi Rõ ràng ) Nếu Giả sử cấp cấp Khi Xét Giả sử Vậy có bổ đề với trái giả thiết Bổ đề : Với Chứng minh bổ đề quy nạp theo ( với Với bé Vậy Ta ) Giả sử với ta có Đặt Ta có lẻ Do Bổ đề chứng minh Theo bổ đề ta có Vậy bé Trở lại Trường hợp với 5 Khi Đặt cấp cấp Vì dễ thấy Vậy theo trường hợp đặc biệt áp dụng ta có Vậy Tóm lại tìm cấp số theo quy hồn tồn tìm cấp theo modlô nguyên tố Hệ 1.5 Nếu số nguyên nguyên tố nhau, Hệ quă 1.6 Nếu dư thức số nguyên nguyên tố nhau, nghiệm Hệ 1.7 Giả sử Khi đồng số nguyên dương Định nghĩa 2.1 Nếu thời gọi nguyên thuỷ Định lí 2.2 Nếu nguyên thuỷ số nguyên nguyên tố nhau, số nguyên nguyên tố nhau, Khi số là hệ thặng dư thu gọn Chứng minh :+ Do nguyên tố + Giả sử dãy có hai số đồng dư đồng Vậy luỹ thừa : từ hệ 1.6 ta có nguyên thuỷ Vì Vậy dãy khơng có hai số đồng dư với theo mod Định lí chứng minh Hệ 2.3 Giả sử nguyên thuỷ mod , số nguyên dương lớn Khi nguyên thuỷ mod Định lí 2.4 Nếu số nguyên dương có nguyên thuỷ , có thảy ngun thuỷ PHẦN II ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN II Ứng dụng giải toán chứng minh chia hết 6 Bài toán 1.1: Cho hai số nguyên dương nguyên tố Đặt nguyên dương Chứng minh ước lẻ có dạng số nguyên dương Giải: Ta cần chứng minh ước lẻ nguyên tố đủ.Gọi với số số nguyên tố lẻ ước Do từ : Từ (2) Gọi Từ (2) theo định lý Fecmar ta có : Nếu : mà từ (1) (3) từ (vơ lí) Vậy (đpcm) Bài tốn 1.1 coi toán tổng quát cho số toán có dạng Bài tốn 1.2: Cho số nguyên dương lẻ khác 1 Chứng minh nếu: Chứng minh tồn vơ số số nguyên dương Giải :1) Gọi cho lẻ,từ giả thiết ta có ước nguyên tố nhỏ Tacó cho (3) ( tồn (2) Kết hợp với (1) với (2) ta lẻ ) Gọi (4) ta có : suy cách chọn mà Vậy (đpcm) 2) Tồn vơ số số ngun dương có dạng ( ta chứng quy nạp toán học theo Bài toán tổng quát : Cho để số nguyên dương thoả mãn số nguyên tố 1) Chứng minh : 2) Chứng minh tồn vô số số nguyên dương cho Bài toán 1.3.( THTT 6/2006) Cho hai số nguyên dương thoả mãn số số nguyên tố Chứng minh số Giải : Vì số số nguyên tố số nguyên tố lẻ Không tổng quát giả sử Giả sử trái lại mà ( với không chia hết cho chẵn , trường hợp lẻ lý luận tương tự ) (vơ lý) từ suy Do số nguyên tố nên theo định lý Fecmar ta có suy (2) Gọi Từ (1) (2) ta có : mà số nguyên tố nên (vô lý )  (vô lý )  Vậy điều giả sử sai lập luận tương tự (đpcm) Bài toán 1.4 Cho số nguyên tố Chứng minh tồn số nguyên tố Giả sử (trong minh  Nếu số nguyên tố, tồn số nguyên tố  Nếu cho Chứng Giải : Ta có Đặt khác khác cho hợp số theo bất đẳng thức AM-GM ta có : theo bất đẳng thức AM-GM ta có :  Nếu Gọi 9 Nếu Khi (vơ lý lẻ ) Nếu Từ ta có Bài toán với đánh giá tốt sau : Cho số nguyên tố nguyên tố, (đpcm) Giả sử ( số Chứng minh Bài tốn 1.5 Chứng minh tồn vô hạn cặp số nguyên tố thoả mãn điều kiện sau : Giải: Bổ đề : Cho , ước nguyên tố lẻ Khi ( chứng minh tốn 1.1 ) Thật vậy: Ta có Gọi số nguyên dương nhỏ cho Giả sử ta có Mặt khác nên ta có mà (mâu thuẫn) Vậy (đpcm) Áp dụng bổ đề: Xét số dạng Nếu số nguyên tố ,ta xét ước ngun tố ta có : nên phân tích có thừa số mặt khác theo bổ đề 10 10 Suy tồn mà điều phải chứng minh Bài tốn 1.12(Bungaria MO2006) Cho dương số nguyên tố với số Chứng minh với số ngun có ba ước số nguyên tố phân biệt Giải Ta có luỹ thừa Ta cần chứng minh số số có ước nguyên tố lẻ đủ  Giả sử Nếu ước lẻ ta có hợp số vơ lí, nên ta có ( với Từ giả thiết (do Vậy mà khơng ước tích vế phải biểu thức không luỹ thừa (1) ) Vơ lý  Đặt giả sử vô lý Vậy Từ (1) (2) số nguyên dương nguyên tố phân biệt số lẻ : từ suy khơng luỹ thừa 2.(2) có ba ước số II Ứng dụng giải tốn tìm số nguyên thoả mãn tính chất cho trước 14 14 Bài tốn 2.1: Tìm tất cặp số ngun tố thoả mãn Giải : Từ giả thiết ta thấy vai trị khơng tổng qt giả sử + Nếu + Nếu từ giả thiết số nguyên tố lẻ Gọi Theo định lý Fecmart có ,từ ta từ (*) Nếu - - vô lý Nếu mà từ (*) kết hợp lại ta vơ lí - vơ lí - từ ta có ; vơ lý Từ có cặp mãn thoả mãn Vậy có cặp số nguyên tố thoả Bài tốn 2.2: Tìm tất cặp số nguyên tố Giải : + Nếu + Nếu vai trò - Gọi 15 Nếu thoả mãn không tổng quát giả sử Từ đề ta suy kết hợp với định lí Fécmart ta có 15 Đặt ( Khi - Nếu lẻ, ) vơ lý xét với • ( loại ) • • • Các cặp số nguyên tố thoả mãn (13,7), (7,13),( 181,7),(7,181), (7,7) Bài tốn 2.3 Tìm tất số nguyên dương ta có ( 2,7),(7,2), (5,7), (7,5) , cho với nguyên dương Giải : Ta có lẻ Gọi ( theo định lý fécmar ta có , lẻ ) đặt Do Giả sử tồn 16 cho 16 Bài tốn 2.4 Tìm số ngun dương lẻ nhỏ cho : Giải : Từ giả thiết lẻ số phương Cặp nguyên tố nhỏ thoả mãn ( 71,73 ) Gọi Tương tự , có Bài tốn 2.5 ( USA TST 2003) loại từ ta tức Tìm tất ba số nguên tố thoả mãn : Giải : ta thấy số nguyên tố phải có số phân biệt Ta chứng minh số Giả sử , ta có Gọi theo theo định lỷ Fecmart ta có  mà  + Nếu + Nếu mà mà chẵn, ( Loại) lẻ Tương tự ta có (vơ lý) 17 17 Vậy phải có số Giả sử lẻ Ta có Vậy = thoả mãn đề Bài toán 2.6 (Russia MO 2000) Có tồn hay khơng số ngun dương , thoả mãn : Giải Bổ đề : Với số nguyên dương Chứng minh Gọi ước nguyên tố nhỏ thoả mãn Thật gọi theo định lý Fecmar ta có Áp dụng : giả sử tồn số ngun dương mặt khác ta có : đơi nguyên tố thoả mãn điều kiện đề lẻ theo đề số nguyên phân biệt Khơng tính tổng qt giả sử Theo bổ đề nên ta có giả sử đặt ta chứng minh theo đề ta có ( vơ lý ) Đặt  Nếu  Nếu ta có Ta chứng minh theo bổ đề với vơ lý theo bổ đề với vô lý 18 18  Vậy gọi nên Vì Nên Mặt khác Vơ lý , điều giả sử sai từ ta có điều phải chứng minh Bài tốn 2.7 ( IMO 1990) Tìm tất số nguyên dương thoả mãn điều kiện Giải : 1) thoả mãn điều kiện toán 2) Nếu trước tiên ta chứng minh Gọi ước nguyên tố nhỏ , ta có gọi lẻ lẻ ta có ) Đặt ta có nguyên thuỷ phần tử dư với đồng từ suy 4) Vậy ta tìm ngun tố nhỏ giả sử Ta có theo định lý Fecmar Gọi ước mà từ ta có Vậy thoả mãn điều kiện tốn Bài tốn 2.8 (Bulgaria 1995) 19 19 Tìm tất cặp số nguyên tố cho Giải Ta có Khơng tính tổng qt ,giả sử  Nếu ước (giả sử tồn từ định lý Fecmar ta có Vậy có cặp thoả mãn  + + cho Từ giả thiết tương tự ta có tự ta có Đặt tương Vậy có cặp , thoả mãn Bài tốn 2.9 (Bulgaria 1995) Tìm tất cặp số nguyên tố nguyên dương Giải Giả sử chọn đươc nguyên thuỷ cho với số thoả mãn yêu cầu toán Gọi , ta có Vậy giả sử 20 loại 20 vô lý Vậy Cho dễ dàng loại Với số Carmichael nên ta có điều phải chứng minh Vậy cặp số nguyên tố dương cho với số ngun Bài tốn 2.10 (Turkey TST 2013) Tìm tất cặp số nguyên dương Giải.Gọi cho với ước nguyên tố , Ta thấy Nếu Ta có Ta xét phương trình cho theo ( theo định lý Fecmar) tai số nguyên tố Cho nên ta có nên tồn vô lý  Nếu  VP(*) đồng dư với suy thấy không thoả mãn (*) sử dụng lẻ, xét theo , ta ta ta có nghiệm Vậy cặp số nguyên dương 21 cho 21 Bài toán 2.11 Tìm tất số nguyên tố để phương trình sau có nghiệm ngun dương Giải : Phương trình (1) (2) + Nếu từ (1) +Nếu gọi số nguyên tố Gọi từ (2) , mặt khác theo định lý Fecmar Vậy ta có  Nếu từ (1) nên ta có Do + Nếu (loại) +Nếu Mặt khác từ ta có (loại )  Nếu nên ước đồng dư với theo mod mà hoặc tương tự Vậy số nguyên tố thoả mãn Bài tốn 2.12 ( China TST 2006) 22 22 Tìm tất cặp số nguyên dương cho số nguyên Giải : Xét Giả sử ước nguyên tố nhỏ Khi nên tồn Ta có Gọi định lý Fecmar ta có từ ta có nên ta có theo định nghĩa , theo với vơ lý Do Vậy PHẦN III BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài ( Iran 2007) Cho số nguyên dương dương lẻ Chứng minh không chia hết Bài (VMO 2001) Cho với số nguyên dương lớn Giả sử hai ước lẻ lớn 1của phép chia cho số nguyên số nguyên tố Tìm số dư Bài 3.(ChinaMO2009).Tìm tất cặp số nguyên tố cho Bài 4.(Bungaria1998) Tìm tất cặp số nguyên tố cho 23 23 Bài 5.(RumaniaTST2000).Cho nhỏ cho số nguyên dương Tìm số nguyên dương Bài 6.( Dự tuyển IMO 2000) Xác định tất ba số nguyên dương cho ước Bài 7.( Dự tuyển IMO 2003) Cho số nguyên tố Chứng minh tồn số nguyên tố cho với số nguyên Số không chia hết cho Bài 8.(Dự tuyển IMO 2006) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình : Bài Cho hai số nguyên dương ước nguyên tố lẻ Bài 10 Cho kiện số nguyên dương , để tồn cho số nguyên tố Chứng minh số nguyên tố , Tìm điều Nếu tồn tìm giá trị nhỏ nhấtcủa Bài 11.( Russia 1997 ) Với số nguyên dương minh với đặt Chứng cho Bài 12.( Turkey TST 2007 )Chứng minh với số nguyên tố số nguyên hệ phương trình : Bài 13 Cho dưong số thoả mãn số nguyên tố lớn Chứng minh với ước ngun có dạng Bài 14 Tìm số ngun dương 24 khơng chia hết cho tồn lớn cho 24 Bài 15 Trong tất cặp số nguyên dương thoả mãn có100 chữ sốtận giống Tìm cặp có nhỏ Bài 16 Cho tập Chứng minh Với chứng minh Tìm số nguyên tố nhỏ ước Bài 17 Cho tập Chứng minh Với Cho chứng minh chứng minh 5,7,13,17,23 Tìm tất với khơng chia hết cho số sau Bài 18 Chứng minh tồn dãy số vô hạn số nguyên tố phân biệt có tính chất Bài 19 Cho hai số ngun dương a,b cho hai số Tìm giá trị có Ước chung hai số sau : Bài 20 Cho nguyên tố số tự nhiên lẻ Gọi nguyên tố lẻ cho chứng minh số nguyên tố Bài 21.Tìm số nguyên dương nhỏ cho chia hết cho Bài 22 Cho dãy số tiên dãy chia hết cho 25 , cho trước số nguyên dương số Tìm số hạng đầu 25 Bài 23 Cho Chứng minh tồn số nguyên dương lớn thoả mãn Bài 24 Cho số nguyên tố số nguyên tố lẻ Chứng minh Tìm tất số nguyên dương Bài 25 Cho số nguyên tố lớn cho thoả mãn điều kiện Chứng minh với Bài 26 Cho số nguyên dương khác số nguyên tố Chứng minh ước nguyên tố Bài 27 (THTT-243) Tìm số nguyên tố cho Gọi ta có thoả mãn Bài 28 (Argentina TST-2010) Cho hai số nguyên tố định xét dãy số xác Với số nguyên dương cho Hãy tìm Bài 29 (China TST 2008) Hãy tìm tam giác có ba cạnh số ngun dương phân biệt đôi thoả mãn điều kiện : Bài 30 Tìm tất cặp số nguyên dương chia hết cho Bài 31 Xét dương 26 với nhỏ để thoả mãn điều kiện : số nguyên dương Tìm số nguyên 26 Bài 32 (Rumania TST 1998) Chứng minh số nguyên dương Tìm tất thoả mãn phương trình Chứng minh chia hết cho thoả mãn phương trình (*) Bài 33 Tìm số nguyên dương thoả mãn Bài 34 (IMO 1987) Giải phương trình nghiệm nguyên: Bài 35 Cho Chứng minh Bài 36 Tìm tất cặp số nguyên tố thoả mãn; : PHẦN IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 Số học Các giảng Số học Tài liệu tập huấnGVChuyên toàn quốc năm 2011,2012 Hà Huy Khoái Nguyễn Vũ Lương… BGD ĐT 27 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Tỉnh,Thành phố Tuyển tập dự tuyển OLYMPIC toán hoc Quốc tế JunorBalkan Mathematical Olympiads DiophantinEquations 11 Gazeta Matematică-A bridge Mathematical Reflections 28 OLYMPIC tốn học Châu Á Thái Bình Dương Số học nâng cao Mathematical Olympiad Challenges-2001 Mathematical Olympiad Treasures-2004 Birkhauser Boston,USA Vô địch quốc gia vùng lãnh thổ từ 1991-2012 Từ năm 1991-2011 Dan Brânzei Ioan Serdean Vasile Serdean Titu Andreescu Dorin Andrica Vasile Berinde Tạp chí Th.s.Nguyễn Văn Nho Th.s.Nguyễn Văn Nho Titu Andreescu Razvan Gelca Titu Andreescu Bogdan Enescu 28 ... dư thức số nguyên nguyên tố nhau, nghiệm Hệ 1.7 Giả sử Khi đồng số ngun dương Định nghĩa 2.1 Nếu thời gọi ngun thuỷ Định lí 2.2 Nếu nguyên thuỷ số nguyên nguyên tố nhau, số nguyên nguyên tố... tồn số nguyên dương lớn thoả mãn Bài 24 Cho số nguyên tố số nguyên tố lẻ Chứng minh Tìm tất số nguyên dương Bài 25 Cho số nguyên tố lớn cho thoả mãn điều kiện Chứng minh với Bài 26 Cho số nguyên. .. Định lí chứng minh Hệ 2.3 Giả sử nguyên thuỷ mod , số nguyên dương lớn Khi nguyên thuỷ mod Định lí 2.4 Nếu số nguyên dương có ngun thuỷ , có thảy nguyên thuỷ PHẦN II ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN