BẬC của một số NGUYÊN – căn NGUYÊN THỦY

1. Định nghĩa 1 Cho n > 1 và a là một số nguyên dương, (a, n) = 1. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa mãn ak ≡ 1 (mod n) được gọi là cấp của a modulo n. Kí hiệu k = ordn(a). 2. Định nghĩa 2 Cho n > 1 và a là một số nguyên dương, (a, n) = 1. Nếu (n) = ordn(a) thì a được gọi là một căn nguyên thủy modulo n. Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta dễ dàng suy ra +) Nếu a là căn nguyên thủy ( modn) thì mọi số cùng lớp với a theo (modn) đều là căn nguyên thủy (modn).

CHUYÊN ĐỀ BẬC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN – CĂN NGUYÊN THỦY A Lý thuyết I Các định nghĩa Định nghĩa Cho n > a số nguyên dương, (a, n) = Số nguyên dương k nhỏ thỏa mãn ak ≡ (mod n) gọi cấp a modulo n Kí hiệu k = ordn(a) Định nghĩa Cho n > a số nguyên dương, (a, n) = Nếu (n) = ordn(a) a gọi nguyên thủy modulo n Nhận xét: Từ định nghĩa ta dễ dàng suy +) Nếu a nguyên thủy ( modn) số lớp với a theo (modn) nguyên thủy (modn) II Các định lý Định lý Cho a, n thỏa mãn n > 1, (a, n) = Khi ax ≡ (mod n)  x Mordn (a) Chứng minh Giả sử ax ≡ (mod n) Đặt k = ordn (a) Theo thuật toán Euclid ta có x = kq + r, ≤ r < k Khi ≡ ax ≡ (ak)qar ≡ ar (mod n) Suy ar ≡ (mod n)  r = (theo định nghĩa) Vậy x Mk Chiều ngược lại hiển nhiên Hệ Cho a, n thỏa mãn n > 1, (a, n) = Khi (n) Mordn (a) Định lí Nếu a nguyên thủy (mod n) tập A = {1, a, a2,…,ah-1} hệ thặng dư thu gọn (mod n) (lúc h = (n)) Định lí Nếu p số ngun tố có (p - 1) nguyên thủy (mod p) Định lít Nếu p số nguyên tố lẻ a nguyên thủy (mod p2) a nguyên thủy (mod pn) với n  Định lý tồn nguyên thủy Cho m số nguyên, m > m có nguyên thủy m có dạng sau: 2, 4, p, 2p  (trong p số nguyên tố lẻ) (Phần chứng minh định lí trên, xin nhường cho bạn đọc, sau ứng dụng chúng toán số học) B Các ví dụ Ví dụ (6th IMO ) a) Tìm tất số nguyên dương n cho 2n – M7 b) Chứng minh với số nguyên dương n 2n + M Lời giải a) Ta có ord7(2) = 21 ≡ (mod 7), 22 ≡ (mod 7), 23 ≡ (mod 7) Do 2n ≡ (mod 7)  n M3  n = 3k với k nguyên dương b) Giả sử tồn n nguyên dương cho 2n ≡ - 1(mod 7) Suy 22n ≡ (mod 7)  2n M3  n M3 Mà n M3 2n ≡ (mod 7) Từ có điều phải chứng minh Ví dụ (IMO Sorlist 2006) Tìm tất cặp số nguyên dương x, y thỏa mãn x7   y5  x 1 Lời giải Giả sử p không đồng dư với modulo 7, ước nguyên tố x7   x  x5  x  x  x  x 1 Đặt k = ordx(p) Khi x7 ≡ (mod p)  Mk Theo định lý Fermat nhỏ p – Mk Mà p không đồng dư với modulo nên (7, p - 1) = Từ suy k = Hay x1 ≡ (mod p) Lại có ≡ x6 + x5 + + ≡ (mod p)  p = x7  Như m | x  m ≡ (mod 7) m ≡ (mod 7) Vì x7  x7   y 1 x 1 = (y - 1)(y4 + y3 + + 1)  y – | x   y ≡ 1, (mod 7)  y4 + y3 + + ≡ 5, (mod 7) ( vơ lí) Vậy khơng tồn x, y thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ Cho p số nguyên tố dạng 4k + Giả sử 2p + số nguyên tố Chứng minh không tồn số tự nhiên k cho k < 2p 2k ≡ (mod 2p + 1) Lời giải Giả sử có số tự nhiên k Đặt t = ord2p + (2)  2t ≡ (mod 2p + 1)  t | (2p + 1) – = 2p Theo ta có 2k ≡ (mod 2p + 1)  t | k Mà k < 2p suy t = t = t = p Do p số nguyên tố dạng 4k + nên p ≥ nên t ≠ 1, t ≠  t = p Suy 2p + ≡ (mod 2p + 1) � � �2 p  � � điều khơng thể 2p + ≡ (mod 8) Ta có � Vậy có điều phải chứng minh Ví dụ Cho p số nguyên tố Chứng minh tồn số nguyên tố q cho với số nguyên dương n ta có np – p M q Lời giải (Sử dụng cấp phần tử) Ta có p p 1  p p 1  p p    �p  �1(mod p ) p 1 p p 1 Nếu tất ước nguyên tố p  đồng dư với (mod p2) p p 1 p  ≡ (mod p2), vô lý p p 1 Vậy tồn ước nguyên tố q p  cho q ≠ (mod p2) Ta chứng minh số q thỏa mãn toán Trước tiên, ta thấy +) Nếu p – Mq p ≡ (mod q)  pp ≡ (mod q) +) Nếu p – M q (p – 1, q) = p p 1 Mà p  Mq  pp – Mq  pp ≡ (mod q) Vậy ta ln có pp ≡ (mod q) Giả sử tồn n nguyên dương cho np ≡ p (mod q) p p  n �p �1(mod q) Đặt k = ordq(n) � k 1 � kp � � k  p2 Khi k | p2  � +) Nếu k =  n1 ≡ (mod q)  p ≡ (mod q)  pp – + pp – + … + ≡ p (mod q) p p 1 Mà q | p  = pp – + pp – + … +  p ≡ (mod q) vơ lí +) Nếu k = p p ≡ np ≡ (mod q)  p ≡ (mod q), theo chứng minh trên, trường hợp không xảy +) Nếu k = p2  p2 | (q) = q –  q ≡ (mod p2), không thỏa mãn theo cách chon q Vậy có điều phải chứng minh Lời giải (Sử dụng nguyên thủy) Ví dụ Cho n ��, n  thoả mãn 3n – Mn Chứng minh n số chẵn Lời giải Do n ��, n  suy n ≥ Gọi p ước nguyên tố bé n Đặt h = ord3(p) Do (mod p)  p – Mh  p > h n Mh Mà p ước nguyên tố nhỏ n suy h = Vậy ≡ (mod p)  ≡ (mod p)  p =  n chẵn Ví dụ Cho p số nguyên tố lẻ, q r số nguyên tố thỏa mãn p | qr  2 r | p  p | q 1 Chứng minh rằng: Lời giải h ord p q  q h 1 mod p  Đặt Theo tính chất cấp suy h | p - Ta có q r  � 1 mod p  q r 1 mod p  h | 2r � h2 � � �� � h  2r h|r � Suy � Nếu h = q2 ≡ (mod p)  q2 – Mp h  2r p  1M2r Nếu Vậy có điều phải chứng minh Ví dụ Tìm tất (b, q, r) nguyên tố thỏa mãn p qr +1, qrp +1, rpq +1 Lời giải Rõ ràng nguyên tố p, q, r phải khác Giả sử p, q, r > Theo kết tập 6, ta có 2r | p – p | q2 - +) Nếu 2r | p – p ≡ (mod r)  ≡ pq + ≡ (mod r)  r = (loại) +) Vậy p | q2 – Xét pq - q ≡ (mod p)  ≡ qr + ≡ (mod p)  p = (loại) pq + mà q + chẵn, p lẻ p Tương tự: q , r p + q + r  ++ p + q + r  (vơ lý) Vậy phải có số Giả sử p = q, r lẻ qr2 + r2q +1 Ta có ordr (2) 2q Nếu ordr (2) q q r - (do ordr (2) r-1) q (r2 + 1) - (r2-1) = q = (loại) Vậy ordr (2) r22 - hay r r = q 10 q = Vậy (p, q, r) = (2, 5, 3) ; (3, 2, 5) (5, 3, 2) thỏa mãn đầu Ví dụ Cho số nguyên a  số nguyên dương n Nếu p ước nguyên tố lẻ n n 1 a  p  1M2 Lời giải n Do p ước a  nên a M p Theo giả thiết ta có a  1�  mod p  n   a2 n 1 mod p  a2 n 1 1 mod p  Đặt h = ordp(a) suy 2n + Mh 2n M h  h = 2n + Từ có điều phải chứng minh Ví dụ Cho p số nguyên tố lẻ thỏa mãn p | ( a  ) Chứng minh p ≡ (mod 2n + 1) Lời giải Gọi h cấp a (mod p) 2n n 1 a   � 1(mod p ) a 1(mod p) Ta có n Suy h | 2n + mà h không ước 2n nên h = 2n + Do h | p – nên p ≡ (mod h) hay p ≡ (mod 2n + 1) Ví dụ 10 Cho p số nguyên tố dãy số (un) xác định sau un ≡ nn (mod p), un  {0, 1, , p - 1} Chứng minh dãy (un) tuần hoàn tìm chu kì nhỏ dãy Lời giải Ta chứng minh dãy (un) tuần hoàn với chu kì nhỏ p(p - 1) Thật vậy, ta có un + kp(p - 1) = (n + kp(p - 1))n + kp(p - 1) ≡ nn ≡ un (mod p) Vậy un + kp(p - 1)= un với k nên dãy tuần hoàn Gọi T chu kì dãy trên, ta cần chứng minh T Mp(p - 1) Ta có (n + T)n + T ≡ nn (mod p) với n Chon n ≡ (mod p)  Tn + T ≡ (mod p)  T ≡ (mod p) Mặt khác, ta có nn ≡ (n + pT)n + pT (mod p) ≡ (n + pT)n.(n + pT)pT (mod p) Do nn ≡ (n + pT)n (mod p) với n nên (n, p) = ta có ≡ (n + pT)pT (mod p) Chon n nguyên thủy (mod p), ta có pT Mp –  T Mp – Suy T Mp(p - 1) nên T = p(p - 1) chu kì nhỏ (un) Ví dụ 11 Cho p q số nguyên tố cho p có dạng 8k � p = 2q+1  �1 nghiệm phương trình p  Tính tổng S  2  4  L  2 Lời giải p ��3 mod  � khơng số phương (mod p) p1   p 1 1 mod p  2q 1 mod p  2q 1 mod p  Gọi h cấp theo mod p  �1(mod p) Vậy ta có h p   2q q �� � h  �h  �h  q �h  2q h 1mod p   h 1 +) Nếu  mod p  (loại) p q (loại) +) Nếu h  �2 �1 mod p   ** q  mod p mod p  � p  (loại)   h  q +) Nếu +) h  2q  p  � nguyên thuỷ (mod p) A   21 ,22 , ,2p 1 Suy hệ thặng dư đầy đủ mod p hốn vị tập  1, 2,3, ,p  1 Z p Mà  kp + r =  , nên r 2p1 S     L       L   p 1    p1  1  1 p        1  1  1 n Ví dụ 12 Cho k   với n nguyên dương Chứng minh k số nguyên tố k ước k 1  Lời giải Nếu k ước k 1  ta có k 1  -1 (mod k) (1)  3k -1  (mod k) (2) Gọi d bậc modulo k k 1 Từ (1) (2) ta có d | k – d lại không chia hết  d = k –  k số nguyên tố Ngược lại, k số nguyên tố Ta có k số nguyên tố dạng 4l + nên theo luật tương hỗ Gauss ta có k ( )( ) k k ( )  ( )  1 Mà k  (mod 3) nên (do khơng phải số phương mod 3) Từ suy k 1 �1(mod k ) � k 1  �0(mod k ) đpcm C Bài tập Bài Chứng minh rằng: n  (an - 1) với a, n N*, a �2 Bài Tìm tất số nguyên dương n cho 2n – 1n Bài 3(Bulgarian – 95) Tìm số số tự nhiên n > cho a25 – a  (mod n) Với số tự nhiên a Bài Tìm tất số nguyên tố p cho Bài Cho m, n số nguyên cho A = số nguyên Chứng minh A số lẻ Bài Chứng minh 2n + khơng có ước ngun tố dạng 8k + Chứng minh có n ước nguyên tố dạng 8k + Bài Tìm số n nguyên dương nhỏ thỏa mãn: 22005 17n - Bài Tìm tất số nguyên tố p,q thỏa mãn Bài Tìm tất (b,q,r) nguyên tố thỏa mãn p qr +1, qrp +1, rpq +1 Bài 10 Cho số nguyên a  số nguyên dương n p ước nguyên tố lẻ n a  Chứng minh p  1M2n1 Bài 11 Cho n > 1, n nguyên dương lẻ Chứng minh n | 3n  Bài 12 Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p | 2p 1 Bài 13 Tìm tất cặp số nguyên dương (x, y) cho 3x  y 2x TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Văn Ngọc, Vũ Kim Thuỷ Bài giảng số học NXBGD, 1997 [2] Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thắng, Nguyễn Lưu Sơn, Phạm Văn Hùng Các giảng số học NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2006 [3] Phan Huy Khải Các chuyên đề Số học NXBGD, 2005 [4] Nguyễn Văn Mậu, Trần nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận Các vấn đề chọn lọc số học NXBGD, 2008 [5] Nguyễn Sinh Ngun, Nguyễn Văn Nho, Lê Hồnh Phị.Tuyển tập dự thi Olimpiad Toán học Quốc tế 1991 – 2001 NXBGD, 2001 [6] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Zuming Feng 104 Number theory problems from the training of the USA IMO team NXB Birkhauser, 2006 [5] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [6] Các đề thi vơ địch nước [7] Các tài liệu mạng Internet [8] Kỉ yếu Duyên Hải Bắc Bộ lần V 10 ... Tìm tất số nguyên dương n cho 2n – 1n Bài 3(Bulgarian – 95) Tìm số số tự nhiên n > cho a25 – a  (mod n) Với số tự nhiên a Bài Tìm tất số nguyên tố p cho Bài Cho m, n số nguyên cho A = số nguyên. .. tố lẻ a nguyên thủy (mod p2) a nguyên thủy (mod pn) với n  Định lý tồn nguyên thủy Cho m số nguyên, m > m có nguyên thủy m có dạng sau: 2, 4, p, 2p  (trong p số nguyên tố lẻ) (Phần chứng minh... Nếu a nguyên thủy (mod n) tập A = {1, a, a2,…,ah-1} hệ thặng dư thu gọn (mod n) (lúc h = (n)) Định lí Nếu p số ngun tố có (p - 1) nguyên thủy (mod p) Định lít Nếu p số nguyên tố lẻ a nguyên thủy