chuyên đề CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẶC NHẤT, BẬC HAI

fx được gọi là giá trị của hàm số f tại x, x gọi là biến số hay đối số của hàm f, D gọi là tập xác định.. - Sự biến thiên của hàm số: Cho hàm số f xác định trên D khoảng, nửa khoảng, đo

A KIẾN THỨC CƠ BẢN:

- Hàm số: Cho một tập hợp khác rỗng D⊂ ¡ Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x D∈ với một và chỉ một số, kí hiệu f(x) f(x) được gọi là giá trị của hàm số f tại x, x gọi là biến số (hay đối số) của hàm f, D gọi là tập xác định

- Cách cho một hàm số: công thức, bảng, biểu đồ, đồ thị.

- Sự biến thiên của hàm số:

Cho hàm số f xác định trên D (khoảng, nửa khoảng, đoạn)

+ f được gọi là đồng biến hay tăng trên D nếu:

x x D x x f x f x

∀ ∈ < ⇒ <

+ f được gọi là nghịch biến hay giảm trên D nếu:

x x D x x f x f x

∀ ∈ < ⇒ >

- Hàm số y=f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu:

và ( ) ( )

x D x D f x f x

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

- Hàm số y=f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu:

và ( ) ( )

x D x D f x f x

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

- Tịnh tiến đồ thị:

Cho các số dương p, q và hàm số y=f(x) có đồ thị (G)

+ Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x)+q

+ Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x)-q

+ Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x+p)

+ Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x-p)

Chú ý: Tịnh tiến (G) lên trên (hoặc xuống dưới) q đơn vị rồi tịnh tiến sang trái (hoặc sang phải) p đơn vị ta được đồ thị hàm số y= f x p( ± ) ±q

B.PHÂN DẠNG TOÁN:



DẠNG 1: TẬP XÁC ĐỊNH VÀ TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ.

Phương pháp giải:

 Tìm tập xác định D của hàm số y=f(x) là tìm các giá trị của biến số x để f(x) xác định.

{ ( ) có nghia}

D= ∈x ¡ f x

 Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:

1 Hàm số y P x( )( )

Q x

= Điều kiện xác định: Q x( ) 0 ≠

2 Hàm số y= R x( ) Điều kiện xác định R x( ) 0 ≥

3 Hàm số y P x( )( )

Q x

= Điều kiện xác định Q(x)>0.

Chú ý: ( ) ( ) 0 ( ) 0

( ) 0

P x

P x Q x

Q x

≠





Tính giá trị của hàm số y=f(x) tại x=a

Nếu a D∉ thì không tồn tại f(a)

Nếu a D∈ thì tồn tại duy nhất f(a)

 Điều kiện để hàm số f xác định trên tập A là A⊂D

Bài tập minh họa:

Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số:

2 4

x

y

x

+

=

2 5

4 3

x y

x

+

=

2 1

3 2

x y

x x

+

=

1 1

x y

x x

−

=

− +

e 3

1 1

x

y

x

−

=

2 (1 )( 4 3)

x y

x x x

−

=

1

y

x x

=

Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số:

a.y= 2 5 − x b 2

1

x y x

−

= + c.

5 ( 1) 1

x y

+

= + − d.y= 2x−4

e.y= 4 − +x x+ 1 f 1 1

3

y x

x

= − +

− g.y= x+ −3 2 x+2

( 2) 1

x y

−

=

1

2 4

1

x

x

−

3 2

x

y x

x x

= + +

− +

( 2)( 3)

y

+ + −

=

− − n.y=3 x2− +4 x2−4x+4 o.y= x2+2x+ − +2 (x 1)

y

=

3

x y

+

=

2

4 1 4

x y

x x

−

=

−

Bài 3: Tìm tham số a để hàm số:

a 2

2 1

x y

x x a

+

=

− + − xác định trên D=¡ Đáp số: a>11

b 2 3 1

x y

x ax

+

=

− + xác định trên D=¡ Đáp số: -2<a<2

c.y= x a− + 2x a− − 1 xác định trên D=(0; +∞ ) Đáp số: a≤ 1

1

x a

x a

−

+ − xác định trên D=(0;+∞) Đáp số:

4 1

3

a

≤ ≤

e 2

1

x a

y

x a

+

=

− + xác định trên D=(-1;0) Đáp số:

0 1

a a

≤



 ≥



f y 1 x 2a 6

x a

− xác định trên D=(-1;0) Đáp số:− ≤ ≤3 a 1

g.y 2x a 1 1

x a

− xác định trên D=(1;+∞) Đáp số: − ≤ ≤1 a 1

y

=

+ − + + − xác định trên D=[− 1;1] Đáp số: a≥ 1

k.y= 2x+ 2a− + 1 x+ 2a− 5 xác định trên D=(1; +∞ ) Đáp số:a≥ 2

Bài 4: Cho hàm số

2

2 khi x<0 1

( ) 1 khi 0 x 2

x 1 khi x>2

x

y f x x



 −



 −





a Tìm tập xác định của hàm số

b Tính f(-1), f(0), f(1), f(2), f(3)



DẠNG 2: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Phương pháp giải:

Cho hàm số f xác định trên D

+ y=f(x) đồng biến trên D

( ) ( )

x x D x x f x f x

f x f x

x x D x x

x x

⇔ ∀ ∈ < ⇒ <

−

−

+ y=f(x) nghịch biến trên D

( ) ( )

x x D x x f x f x

f x f x

x x D x x

x x

⇔ ∀ ∈ < ⇒ >

−

−

Chú ý: Các hàm hữu tỉ thì phân chia tập xác định dựa vào các giá trị x làm

cho mẫu thức bằng 0, các hàm số bậc hai 2

y= + +bx c a≠ thì phân chia tập xác định ¡ qua giá trị

2

b x a

= − Nếu cho đồ thị, ta dựa vào dáng điệu của đồ thị để lập bảng biến thiên

Bài tập minh họa:

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của hàm số:

a 2

2 2 trê (- ;-1),(-1;+ )

y x= + x− n ∞ ∞

2 4 1 trê (- ;1),(1;+ )

y= − x + x+ n ∞ ∞

c 5 trê (- ;-3),(-3;+ )

3

x

+

d 1 trê (- ;4),(4;+ )

4

x

−

−

e 2011

+2012 trê (- ;+ )

f y 1

x

x

1

y x

=

−

Bài 6: Chứng minh hàm số:

a 3 2

1

x

y

x

−

=

− giảm trên (1;+∞) b y x x= 2 tăng trên ¡

Bài 7: Lập bảng biến thiên của hàm số cho bởi đồ thị:

Bài 8: Với giá trị nào của m thì hàm số:

a.y= f x( ) ( = m− 1)x m+ 2 − 3 đồng biến trên ¡

b y= f x( ) = − +x2 (m− 1)x+ 2 nghịch biến trên (1;2)

Bài 9: Cho hàm số y= ax+b x− + 1 c x− 2 luôn luôn tăng Chứng minh a>0.

Bài 10: Cho hàm số f(x) tăng trên ¡ , g(x) giảm trên ¡ .

a Chứng minh hàm số h(x)=f(x)-g(x) tăng trên ¡

b Chứng minh nếu phương trình f(x)=g(x) có nghiệm x0 thì đó là nghiệm duy nhất

Bài 11: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: 2

y= f x =x + x−

DẠNG 3: HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Để xét tính chẵn, lẻ của hàm số ta tiến hành các bước như sau:

- Tìm tập xác định D

- Kiểm tra x D∈ ⇒ − ∈x D(tức đối xứng qua 0)

- Tính f(-x): + Nếu f(-x)=f(x) thì f là hàm số chẵn

+ Nếu f(-x)=-f(x) thì f là hàm số lẻ.

Chú ý: - Hàm số y=f(x)=0 là hàm số vừa chẵn, vừa lẻ trên D tập đối xứng qua

0

- Để chứng minh hàm số không chẵn ta chứng minh hoặc miền xác

định D không đối xứng qua 0, hoặc có x0 ∈D sao cho (f −x0 ) ≠ f x( ) 0 .

- Để chứng minh hàm số không lẻ ta chứng minh hoặc miền xác định

D không đối xứng qua 0, hoặc có x0 ∈D sao cho (f −x0 ) ≠ −f x( ) 0 .

BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài 12: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

y x= − x + b 3

y= − x + x c 4

8

y x= + x d.y= + − −x 3 x 3

e y= 2x+ + 5 2x− 5 f y x= + x g

2

2 1

x x y

x

=

−

h y= x− 1 k.y= 3 x+ − 2 3 x− 2 l y= 5 2x− − 3 5 2x+ 3

m ( )2

1

2

x x y

x

− + +

2

3 3

2

x y

x x

+

=

−

Bài 13: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a

1 khi x>0 ( ) 0 khi x=0

1 khi x<0

y f x





−



b

3

3

-x +1 khi x 3 ( ) khi -3<x<3

x +1 khi x 3

y f x x





Bài 14: Tìm điều kiện của tham số để:

a hàm số bậc nhất y=ax+b là hàm số lẻ

b hàm số bậc hai y= ax 2 + +bx c là hàm số chẵn

Bài 15: Cho hàm số y=f(x) và y=g(x) xác định trên¡

Đặt S(x)=f(x)+g(x) và P(x)=f(x)g(x) Chứng minh rằng:

a Nếu y=f(x) và y=g(x) là những hàm số lẻ thì y=S(x) là hàm số lẻ và

y=P(x) là hàm số chẵn

b Nếu y=f(x) và y=g(x) là những hàm số chẵn thì y=S(x) và y=P(x) là những hàm số chẵn

c Nếu y=f(x) là hàm số chẵn và y=g(x) là hàm số lẻ thì y=P(x) là hàm số lẻ

Bài 16: Xác định hàm số y=f(x) có miền xác định là ¡ và vừa chẵn vừa lẻ Bài 17: Cho hàm số y=f(x), x∈ ¡

Chứng minh rằng, ta có thể biểu diễm f(x)=g(x)+h(x) ∀ ∈x ¡ trong đó hàm số y=g(x), x∈ ¡ là hàm số chẵn; còn hàm số y=h(x), x∈ ¡ là hàm số lẻ

Bài 18: Xét tính chẵn lẻ và tìm trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị hàm số:

a y= 1 + +x 1 −x b.y= 2 + −x 2 −x c 22 1

1

x y x

−

= +

d 3 1 3

y

=

1

y x

x

+ + −

= + − −

DẠNG 4: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Cho các số dương p, q và hàm số y=f(x) có đồ thị (G)

+ Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x)+q

+ Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x)-q

+ Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x+p)

+ Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x-p)

Chú ý: Tịnh tiến (G) lên trên (hoặc xuống dưới) q đơn vị rồi tịnh tiến sang trái (hoặc sang phải) p đơn vị ta được đồ thị hàm số y= f x p( ± ) ±q

Đối xứng đồ thị (chứng minh như bài tập)

- Nếu lấy đối xứng qua trục Ox thì được đồ thị hàm số y= -f(x)

- Nếu lấy đối xứng qua trục Oy thì được đồ thị hàm số y= f(-x)

- Nếu lấy đối xứng qua gốc O thì được đồ thị hàm số y= -f(-x)

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 19: Cho đồ thị (H) của hàm số

1

x y x

=

− ta được đồ thị hàm số nào khi:

a Tịnh tiến lên trên 2 đơn vị

b Tịnh tiến sang trái 3 đơn vị

c Tịnh tiến lên trên 2 đơn vị, sau đó tịnh tiến sang trái 3 đơn vị

Bài 20: Cho parabol (P): y x= 2 + 1 Ta được đồ thị hàm số nào khi tịnh tiến:

a Lên trêm 3 đơn vị rồi sang phải 2 đơn vị

b Xuống dưới 2 đơn vị rồi sang trái 4 đơn vị

Bài 21: Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị (d): y=f(x)=5x-3 thành (d’): y=5x+2 bằng 2 cách.

Bài 22: Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị:

a (P):y x= 2thành (P’): y x= 2 − 6x+ 10

b (H): 2 1

3

x y

x

+

=

− thành (H’):

2 5 1

x y x

+

=

− .

Bài 23: Cho đồ thị (C): 2

3

y= − + +x x Ta được đồ thị hàm số nào khi lấy đối

xứng qua:

a Trục hoành b Trục tung C Gốc tọa độ O

Bài 24: Chứng minh:

a Đồ thị của hàm số y=x-2 và đồ thị của hàm số y=2-x là 2 đường thẳng đối xứng nhau qua trục hoành

b Đồ thị của hàm số y=3x+1 và đồ thị của hàm số y=-3x+1 là 2 đường thẳng đối xứng nhau qua trục tung

Bài 25: Chứng minh rằng các đồ thị của hàm số y=5x và hàm số 1

5

y= x đối

xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.



DẠNG 5: MỘT SỐ DẠNG KHÁC

Bài 26: Cho hàm số y x2 mx m

x m

=

− Hãy xác định m sao cho:

a Đồ thị của hàm số không cắt trục tung

b Đồ thị của hàm số không cắt trục hoành

c Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

Bài 27: Gọi D(k) là đường thẳng có phương trình y=kx-k+1

a Chứng tỏ rằng khi k thay đổi, đường thẳng D(k) luôn đi qua một điểm cố định

b Tìm k để D(k) cắt (C): y 4

x

= .

Bài 28: Cho hàm số: ( ) 2

1

x

y f x

x

+ Hãy xác định hàm số:

Bài 29: Xác định g(f(x)), f(g(x)) và f(f(x), g(g(x)) biết:

a f(x)=2x-4,g x( ) =x2 + 13 b ( ) 2 1

3 1

x

f x

x

+

= + , g(x)=6-4x

-A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Hàm số bậc nhất y= ax +b, (a 0) ≠

- Tập xác định D= ¡ , có hệ số góc a

- Sự biến thiên: - Khi a>0 hàm số đồng biến trên ¡

- Khi a<0 hàm số nghịch biến trên ¡

- Đồ thị của hàm số y= ax +b, (a 0) ≠ là một đường thẳng y=ax+b:

+ Không song song và không trùng với các trục tọa độ

+ Cắt trục tung tại điểm B(0;b) và cắt trục hoành tại điểm A( b, 0)

a

−

Cho hai đường thẳng (d): y=ax+b và (d’): y=a’x+b’ Khi đó:

(d) song song với (d’) '

'

a a

b b

=



⇔  ≠



(d) trùng với (d’) '

'

a a

b b

=



⇔  =



(d) cắt (d’) ⇔ ≠a a'

(d) vuông góc với (d’) ⇔a a ' = − 1

2 Hàm số y= ax +b ,(a 0) ≠

ax khi x ax

(ax ) khi x<

b b

a

b b

a

−



− +



Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y= ax +b ,(a 0) ≠ ta vẽ hai đường thẳng

y=ax+b và

y=-(ax+b) rồi xóa đi phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành

Bài tập minh họa:



DẠNG 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Hàm số bậc nhất y= ax +b, (a 0) ≠ hoàn toàn xác định khi biết đường thẳng của

nó:

- Đi qua 2 điểm phân biệt

- Đi qua 1 điểm và có hệ số góc a= tan α.

Cho hai đường thẳng (d): y=ax+b và (d’): y=a’x+b’ Khi đó:

(d) song song với (d’) ⇔ b b a a=≠ ''



(d) trùng với (d’) ⇔ b b a a== ''



(d) cắt (d’) ⇔ ≠a a'

(d) vuông góc với (d’) ⇔a a ' = − 1

BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài 30: Lập phương trình đường thẳng:

a đi qua điểm A(1,2) và B(-1,3)

b Đi qua điểm A(-2,5) và có hệ số góc bằng -1,5

c Đi qua điểm A(4:-3) và song song với (d’): 2 1

3

y= − x+ .

d Đi qua gốc O và vuông góc với đường thẳng (d’): 1 1

3

y= x+ .

e Đi qua điểm A(-2,1) và song song với phân giác của góc phần tư thứ hai

Bài 31: Cho tam giác ABC có A(-6,-3), B(-2,5), C(4,8) Lập phương trình các cạnh, phương trình đường cao AH và trung tuyến AM.

Bài 32: Tìm phương trình 4 cạnh hình vuông nhận gốc O làm tâm đối xứng

và biết một đỉnh A(3;0).

DẠNG 2: ĐỒ THỊ HÀM SỐ y= ax +b ,(a 0) ≠

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Để vẽ đồ thị hàm số y=ax+b ta chỉ cần xác định 2 giao điểm phân biệt của đường thẳng

-ax khi x ax

(ax ) khi x<

b b

a

b b

a

−



− +



Để vẽ đồ thị của hàm số y= ax +b ,(a 0) ≠ ta vẽ hai đường thẳng y=ax+b và

y=-(ax+b) rồi xóa đi phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành

Chú ý: Từ đồ thị ta có thể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng như biện luận số nghiệm của phương trình

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 33: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

a 4 1

3

y= x+ b y=6-2x c 2 khi x 0

khi x<0

x y x

≥



= −

2 1 khi x 1

1 khi x<1

x y x



= − +



Bài 34: Cho hàm số f xác định bởi:

2 khi x<-1 ( ) khi -1 x 1

2 khi x>1

x

y f x x

x

+





 −



a Chứng minh hàm số f là hàm số lẻ

b Vẽ đồ thị hàm số

c Biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x)=m

Bài 35: Vẽ đồ thị hàm số y= −x 3 và y= +x 2 Nêu nhận xét về mối quan

hệ giữa chúng.

Bài 36: Vẽ đồ thị hàm số y= − −x 1 2 x+ 1 Lập bảng biến thiên và tìm giá

trị nhỏ nhất của hàm số.

Bài 37: Cho hàm số

2 1 khi -2 x<-1 ( ) 2 khi -1 x 1

2 khi 1<x 3

x

y f x x

x







a Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số

b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x)=2m

c Tìm m để phương trình f(x)=m

i có nghiệm

ii có 2 nghiệm phân biệt

iii có 2 nghiêm cung dấu

iv có 3 nghiệm phân biệt



DẠNG 3: MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC

- Để tìm giao điểm của 2 đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) ta lập phương trình hoành độ giao điểm hoặc giải hệ phương trình

- Để xác định điểm cố định của họ đường cong f(x,m) ta biến đổi về dạng:

0

0, m

0

A

Am B

B

=

 + = ∀ ⇔  =

- Để tìm giá trị của m để 3 đường thẳng đồng quy ta tìm giao điểm của hai đường thẳng rồi thế vào phương trình đương thẳng còn lại

BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài 38: a Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y=5x+6 và y=x-10.

b Biện luận sự tương giao của hai đồ thị: y=mx+4, y=x-3m.

Bài 39: Tìm a để ba đường thẳng sau đồng quy:

a y=2x, y=-x-3, y=ax+5

b y=2ax-8, y=5x-a, y=4x-5

Bài 40: Tìm điểm cố định của họ đồ thị:

a y=4mx-3+m b mx+5(m-2)y+2m-1=0

KIẾN THỨC CƠ BẢN:

- Hàm số bậc hai y= ax 2 + +bx c (a 0) ≠ có tập xác định D= ¡

- Đồ thị của hàm số bậc hai y= ax 2 + +bx c (a 0) ≠ là một đường parabol có đỉnh là ( , )

2 4

b I

a a

− −∆

, có trục đối xứng là đường thẳng

2

b x a

−

= .

- Parabol có bề lõm hướng lên trên nếu a>0, hướng xuống dưới nếu a<0

- Sự biến thiên:

PHÂN DẠNG TOÁN:



DẠNG 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI – PARABOL

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Parabol (P): y= ax 2 + +bx c (a 0) ≠ :

- (P) đi qua điểm A: y A = f x( ) axA = A2 +bx A+c.

- (P) có đỉnh ( , )

2 4

b I

a a

− −∆

- (P) có điểm cực đại ( , )

2 4

b I

a a

− −∆

nếu a<0 và (P) có điểm cực tiểu ( , )

2 4

b I

a a

− −∆

nếu a>0

- (P) đạt giá trị lớn nhất là 2 4

b ac M

= = − nếu a<0 và (P) đạt giá trị

nhỏ nhất là 2 4

b ac m

= = − nếu a>0

BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài 41: Xác định parabol (P): y= ax 2 +c biết:

a Đi qua điểm A(2;3) và có giá trị nhỏ nhất là -2

b Đỉnh là I(0;3) và một trong hai giao điểm của (P) với trục hoành là A(2;0)

Bài 42: Xác định parabol (P): y= ax 2 + −bx 1 biết rằng (P):

a Đi qua hai điểm M(1;2) và N(-1,3)

b Đi qua điểm A(2;1) và có trục đối xứng 3

2

x= − .

c Đi qua điểm B(-1;2), đỉnh có tung độ bằng 3

2

−

Bài 43: Xác định hàm số bậc hai (P):y= − + +x2 bx cbiết rằng (P):

a Có trục đối xứng là đường thẳng x=-1 và cắt trục tung tại điểm A(0,3)

b Có đỉnh là I(-1;-2)

c Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(-1;2)

DẠNG 2: ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Các bước vẽ parabol (P): y= ax 2 + +bx c (a 0) ≠ :

- Tập xác định D= ¡

- Đỉnh ( , )

2 4

b I

a a

− −∆

- Trục đối xứng :

2

b x a

−

=

- Xác định bề lõm và bảng biến thiên:

Parabol có bề lõm hướng lên trên nếu a>0, hướng xuống dưới nếu a<0

- Tìm các giao điểm đặc biệt: giao điểm với trục hoành, với trục tung

- Vẽ Parabol (P)