BẬC CỦA SỐ NGUYÊN - CĂN NGUYÊN THUỶ Phạm Hy Hiếu – Toán PTNK 07-10 (chuyên đề Toán học số PTNK ĐHQG TPHM) Bậc số nguyên: Cho trước số nguyên dương thoả mãn điều kiện Từ định lý Euler ta biết Vậy nên tồn số nguyên dương nhỏ cho Ta gọi số bậc theo modulo ký hiệu Ta nói rằng: Ví dụ 1.1 Tìm Bằng phép thử trực tiếp ta có: Vậy Sau ta khảo sát số tính chất bậc Định lý 1.1 Cho thoả điều kiện Khi đó: Chứng minh: Giả sử , theo thuật tốn chia tồn cặp số tự nhiên Ta chứng minh Thật vậy, giả sử ngược lại, tức Hơn tính nhỏ bậc số nguyên theo modulo Định lý chứng minh Chiều lại định lý hiển nhiên vì: cho: , ta có: , điều trái với Vậy định lý chứng minh hoàn toàn Chú ý Định lý 1.1 cho phép ta tìm tất nghiệm phương trình đồng dư: Đó tất số có dạng với Như vậy, cần xác định ta sinh tất nghiệm phương trình đồng dư Việc giúp cho thuật toán xác định tập nghiệm phương trình đơn giản nhiều, ta cần xét tối đa trường hợp Hệ 1.1 Cho Chứng minh: Theo định lý Euler ta có thoả điều kiện Khi đó, nên từ định lý 1.1 suy Định lý 1.2 Nếu Chứng minh: Khơng tính tổng qt, ta giả sử Thế thì: Theo định lý 1.1 điều tương đương với: Vậy định lý chứng minh hoàn toàn Hệ 1.2 Nếu modulo Chứng minh: Giả sử tồn Nhưng cho Định lý 1.3 Nếu Chứng minh: Giả sử đơi khơng đồng dư với theo Theo định lý 1.2 thì: Mâu thuẫn cho ta đpcm nên , ta có: Định lý chứng minh Định lý 1.4 Cho Chứng minh: Trước hết, đặt thoả điều kiện Khi đó, với bất kì: thì: Mặt khác ta có nên theo Định lý 1.1 nên xảy khả sau: , mà vơ lý , mà nên ta phải có , điều cho trước Hai mâu thuẫn cho ta kết luận định lý Định lý 1.5 Cho số nguyên tố có bậc theo modulo Chứng minh: Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Thật vậy, gọi tập hợp số Khi đó, số số nguyên dương không lớn thoả điều kiện cho , thì: Theo định nghĩa hàm Euler ta có: Từ ta suy ra: Vậy bổ đề chứng minh hoàn toàn Quay lại với việc chứng minh định lý, với Do số nguyên nằm tập hợp tồn , thoả , ta ký hiệu: nguyên tố với nên: nên Từ bổ đề ta suy ra: Để thu kết luận định lý, tức , ta chứng minh rằng: Thật vậy, điều phải chứng minh hiển nhiên Nếu tồn số nguyên dương cho Khi đó, theo hệ 1.2 đơi khơng đồng dư với theo modulo Mặt khác, với , ta có nên nghiệm đa thức Đa thức khơng đồng với nên có khơng q nghiệm Hơn nghiệm phải có dạng ( ) Vậy tồn phần tử có khơng q số Do đó, chứng minh hồn tồn cho lý luận trên, định lý Căn nguyên thủy: Nếu gọi ngun thủy modulo Từ tính chất trình bày bậc số nguyên, ta dễ dàng suy tính chất nguyên thủy sau: Định lý 2.1 Nếu nguyên thủy modulo Định lý 2.2 Nếu gọn modulo nguyên thủy modulo Định lý 2.3 Nếu nguyên thủy modulo khi lập thành hệ thặng dư thu nguyên thủy modulo Chứng minh: Điều kiện đủ định lý hiển nhiên theo định lý 1.3 thì: Với điều kiện cần, ta giả sử nguyên thủy modulo , nằm hệ thặng dư thu gọn modulo , theo định lý 2.2 tồn cho Lại theo định lý 1.3 thì: Suy , hay Ta thấy cần suy tồn , nhiên tồn ngun thủy modulo khơng phải tính chất hiển nhiên Sau ta khảo sát tồn nguyên thủy Định lý 2.4 Mọi số nguyên tố có nguyên thủy Đây hệ trực tiếp định lý 1.5 ta gọi nguyên tố Định lý 2.5 Mọi số nguyên dương có dạng thủy Chứng minh: với tập hợp nguyên thủy số số nguyên tố có nguyên Gọi nguyên thủy Đặt suy Nếu Nếu Đặt có , ta có nên , , , nên theo định nghĩa, nguyên thủy nên Lý luận tương tự ta Mặt khác: Vậy , mâu thuẫn Do đó, Định lý chứng minh nguyên thủy nguyên thủy , tức nên Định lý 2.6 Mọi số nguyên dương có dạng số nguyên tố ngun dương có ngun thủy Chứng minh: Gọi nguyên thủy , ta chứng minh nguyên thủy , với nguyên dương Đặt , ta có nên Hơn Do nên với Để chứng minh định lý, ta cần chứng minh Nên ta cần chứng minh Ta dùng quy nạp Tại Giả sử Nhưng: , điều hiển nhiên , ta có nên Tức là: Từ đó: Theo ngun lý quy nạp tốn học định lý chứng minh Định lý 2.7 Mọi số nguyên dương có dạng nguyên dương có nguyên thủy Chứng minh: Trước hết ta có nhận xét số nguyên tố lẻ Gọi nguyên thủy modulo ta lại có lẻ nên , ta có số ngun tố lẻ Có hai khả Nếu Còn , số lẻ chẵn ta có nên suy Hơn nữa, có số ngun dương ta suy với giả thiết nguyên thủy modulo Do vậy, tồn để nguyên thủ modulo Định lý chứng minh Định lý 2.8 Nếu số ngun dương khơng có dạng lẻ, ngun dương khơng có nguyên thủy Chứng minh: Xét phân tích tiêu chuẩn , thì: Giả sử tồn nguyên thủy Đặt Suy nên số nguyên tố Nhưng nên Tức là: với , Ta có: , ta có nguyên thủy modulo cho , điều trái , tức Nhưng điều khơng thể, khơng có dạng Mâu thuẫn cho ta kết luận định lý Như vậy, định lý 2.5, 2.6, 2.7, 2.8 cho phát biểu mệnh đề tổng quát tồn nguyên thủy Định lý 2.9 Một số nguyên dương có nguyên thủy có dạng hay với số nguyên tố lẻ có