Phép tính vi phân hàm một biến
Trong bài viết này, chúng ta sẽ thường xuyên sử dụng các công cụ từ giải tích hàm một biến Mục này sẽ tóm tắt một số khái niệm quan trọng thường xuất hiện trong các lập luận và tính toán Đối với một dãy số thực (a_n), ta nói rằng a là giới hạn của dãy nếu dãy (a_n) hội tụ về a.
Nếu dãy (a n) không hội tụ, nó được gọi là phân kỳ Theo quy ước trong các giáo trình giải tích, chúng tôi ký hiệu lim n→∞ a n = a (hoặc a n → a) để diễn tả rằng dãy (a n) hội tụ về giá trị a.
Bây giờ, xét hàm số f :D→R với D là một tập trong R và a là điểm tụ của tập D.
SốL sẽ gọi là giới hạn của f khi x dần đến a nếu
Người ta định nghĩa hàmf là liên tục tại điểma trên miền xác định nếu có đẳng thức x→alimf(x) = f(a).
Nếu D là một khoảng và f liên tục tại mọi điểm của nó thì ta nói hàm f là liên tục trên D.
Hàm số f được coi là khả vi tại điểm x0 ∈ (a, b) nếu giới hạn h→0 của biểu thức (f(x0 + h) - f(x0)) / h tồn tại và hữu hạn Giá trị của giới hạn này chính là đạo hàm f' tại x0 Chúng ta nói hàm f khả vi trên khoảng (a, b) nếu nó khả vi tại mọi điểm trong khoảng đó, và khi đó, đạo hàm f' sẽ trở thành một hàm số xác định trên toàn bộ khoảng (a, b).
Bằng phương pháp quy nạp, đạo hàm cấp cao của hàm số f được định nghĩa Cụ thể, đạo hàm cấp k của hàm f tại điểm x, được ký hiệu là f^(k)(x), được xác định là đạo hàm tại x của hàm đạo hàm cấp (k−1), tức là f^(k−1)′(x).
Hàmf sẽ gọi là khả vi liên tục đến cấp k, hay thuộc lớp C k , nếu đạo hàm f (k) tồn tại và là hàm số liên tục.
Ví dụ 1.1.1 Ví dụ này minh họa cho một lớp hàm khả vi đến cấp tùy ý trên tập xác định Xét hàm số y=f(x) = x+3 1 , n∈N ∗ Ta có y ′ = (−1) 1 1
Từ đây có dự đoán y (n) = (−1) n n!
Chứng minh (1.1) bằng quy nạp Với n= 1 thì (1.1) hiển nhiên đúng Giả sử 1.1 đúng với n =k ≥1,, tức là y (k) = (−1) k k!
Ta cần chứng minh 1.1 đúng vớin =k+ 1.Thật vậy, theo định nghĩa y (k+1) y (k) ′
Các định lý giá trị trung bình, bao gồm Định lý Rolle và Định lý Lagrange, đóng vai trò quan trọng trong các lập luận toán học Định lý Rolle khẳng định rằng nếu hàm f liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong (a, b) với f(a) = f(b), thì tồn tại điểm c trong (a, b) sao cho đạo hàm f'(c) = 0 Trong khi đó, Định lý Lagrange chỉ ra rằng với hàm f liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trong (a, b), sẽ tồn tại một điểm c trong (a, b) sao cho đạo hàm f'(c) bằng tỷ lệ thay đổi của hàm trên đoạn đó, cụ thể là f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
Phép tính tích phân hàm một biến
Bên cạnh khái niệm vi phân, tích phân xác định cũng đóng vai trò quan trọng trong việc trình bày nội dung Chúng ta sẽ điểm qua một số tính chất cơ bản của khái niệm này Xét hàm số f xác định và bị chặn trên khoảng [a, b], ta chia đoạn [a, b] thành các điểm chia a = x0 < x1 < x2 < < xn−1 < xn = b Trên mỗi đoạn [xi, xi+1], ta chọn một điểm ξi và lập tổng tích phân.
Nếu giới hạn của I n khi △x i → 0 không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và cách chọn điểm ξ i trong đoạn [x i, x i+1], thì hàm số f được gọi là khả tích trên đoạn [a, b], và giới hạn đó là tích phân xác định của f trên đoạn này Tất cả các hàm số liên tục đều khả tích trên đoạn con trong miền xác định của chúng Một số tính chất cơ bản của tích phân xác định đã được đề cập trong tài liệu [14] Cuối cùng, chúng tôi nhắc lại định lý giá trị trung bình tích phân: Nếu hàm số f khả tích trên đoạn [a, b] và m ≤ f(x) ≤ M với mọi x ∈ [a, b], thì tồn tại một số m ≤ a ≤ M.
Đa thức và một vài tính chất sơ cấp
Luận văn này tập trung vào việc tính toán và ước lượng thông qua việc sử dụng đa thức Theo [11], dạng chính tắc của một đa thức đại số P(x) có bậc n, ký hiệu là degP(x) = n.
Đa thức chính tắc có dạng P(x) = p0xn + p1xn−1 + + pn, với p0 khác 0 Đa thức này được sắp xếp theo thứ tự giảm dần của lũy thừa Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, việc viết đa thức theo cách khác cũng được sử dụng để tiện lợi hơn.
P(x) dưới dạng số mũ tăng dần
P(x) =b 0 +b 1 x+b 2 X 2 + .+b n x n (1.2) Nhận xét rằng, đa thức (1.2) có tính chất
Vì thế đa thức (1.2) thường được viết dưới dạng
Với cách viết 1.3 ta thu được công thức tính hệ số a k (k = 0,1,2, , n) của đa thức
P(x), đó chính là giá trị của đạo hàm cấp k của đa thức tại x= 0 a k =P (k) (0) k = 0,1,2, , n.
Nói cách khác ta có đồng nhất thức
Một số lớp đa thức đặc biệt
Các đa thức có vai trò rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực, nhất là giải tích số.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá và áp dụng một số đa thức đặc biệt, được sử dụng cho nhiều mục đích khác nhau.
1 Đa thức Chebyshev loại 1: Với mọi n ∈N, tồn tại duy nhất đa thức T n (x) thỏa mãn :
T n (cosx) = cosnx ∀x∈R. Một vài đa thức đầu tiên là :
T 5 (x) = 16x 5 −20x 3 + 5x. Đa thức Chebyshev loại 2: Với mọi n ∈ N, tồn tại duy nhất đa thức U n (x) sao cho :
U(cosx) = sin(n+ 1)x sinx ∀x̸=kπ, k ∈Z. Một số đa thức đầu tiên của U là :
2 Đa thức Bernoulli bậc m, ký hiệu B m (x) là đa thức
B k x m−k , ở đó m k là các hệ số nhị thức, và B k là số Bernoulli thứ k Một vài đa thức Bernoulli đầu tiên được liệt kê dưới đây
3 Đa thức Euler E n (x) được xác định bởi khai triển
Một biểu diễn khác của đa thức này được cho bởi khai triển
Sau đây là biểu thức tường minh một số đa thức Euler đầu tiên
Một số bài toán nội suy cổ điển
Chương này tập trung vào bài toán nội suy cổ điển, được trình bày chi tiết trong chuyên khảo [11] Phần 2.1 sơ lược về bài toán nội suy Taylor và ứng dụng của nó Tiếp theo, Phần 2.2 xem xét bài toán nội suy Lagrange cùng các vấn đề liên quan Phần 2.3 khảo sát bài toán nội suy Newton Cuối cùng, chương này đề cập đến việc đánh giá sai số trong phép nội suy đa thức.
Khai triển Taylor và một số bài toán nội suy Taylor
Bài toán nội suy Taylor
Bài toán nội suy Taylor có thể được phát biểu như sau:
Cho x 0 , a k ∈R với k = 0,1,2, , N −1 Hãy xác định hàm số T(x)có bậc không quáN −1 (degT(x)≤N −1) và thỏa mãn các điều kiện
T (k) (x 0 ) = a k ,∀k = 0,1,2, , N −1. Đối với bài toán này, trước tiên, ta nhận thấy rằng đa thức
X k=0 α k (x−x 0 ) k (2.1) có bậc degT(x)≤N−1 Bây giờ ta cần xác định các hệ số α k ∈Rsao cho T(x) thỏa điều kiện
T (k) (x 0 ) = a k ,∀k = 0,1,2, , N −1. Ứng với mỗi k = 0,1,2, , N −1 lấy đạo hàm hai vế (2.1) đến cấp thứ k và sử dụng đẳng thức T (k) (x 0 ) =a k ta suy ra αk= a k k!. Thay giá trị của α k vào biểu thức T(x) ta thu được
Tính duy nhất của đa thức T(x) theo yêu cầu đã được chứng minh trong [11].
Một số minh họa
Công thức Taylor có nhiều ứng dụng trong các bài toán giải tích Sau đây chúng ta xem xét một vài ví dụ minh họa điển hình.
Ví dụ 2.1.1 Xác định đa thức bậc ba f(x) thỏa mãn điều kiện f (n) (1) =n 3 −3n 2 +n+ 1, n = 0,1,2,3.
Lời giải Ở đây ta áp dụng công thức Taylor vớix 0 = 1 vàa k =f (k) (1) Thật vậy theo đề ta có a 0 =f(1) = 1, a 1 =f (1) (1) = 0, a 2 =f (2) (1) = 1, a 3 =f (3) (1) = 4.
Theo công thức ở phần trước ta được
Khi các dữ kiện a k trong bài toán nội suy Taylor trùng với đạo hàm cấp k của một hàm số, đa thức T(x) được gọi là đa thức nội suy Taylor (bậc N −1) tương ứng với hàm số đó.
Ví dụ 2.1.2 ([11]) Xét hàm f(x) = sin(x) có f (n) (x) = sin(x+nπ
2), n = 0,1,2, Hãy tìm đa thức nội suy củaf(x)bậc 3
Lời giải Theo đề bài ta có a 0 =f(0) = 0, a 1 =f (1) (0) = 1, a 2 =f (2) (0) = 0, a 3 =f (3) (0) =−1.
Theo công thức nội suy Taylor ta có
3!. Đây là đa thức nội suy cần tìm.
Trong trường hợp T(x) là đa thức nội suy Taylor bậc n ứng với hàm f tại một điểm x₀, có thể chứng minh rằng f(x) = T(x) + Rₙ₊₁(f; x), trong đó Rₙ₊₁(f; x) là phần dư của khai triển Taylor Một số công thức tường minh cho Rₙ₊₁(f; x) đã được trình bày trong tài liệu [14].
Khai triển Lagrange và bài toán nội suy Lagrange
Định lý 2.2.1, hay còn gọi là đồng nhất thức Lagrange, khẳng định rằng nếu x₁, x₂, , xₘ là m giá trị khác nhau, thì với T(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn m, ta sẽ có một đồng nhất thức cụ thể.
Đồng nhất thức Lagrange cho phép giải quyết bài toán nội suy Lagrange với các điểm dữ liệu x_i và a_i thuộc R, trong đó x_i khác nhau với mọi j Mục tiêu là xác định đa thức L(x) có bậc không vượt quá N - 1, đáp ứng các điều kiện đã cho Để hiểu rõ hơn về phép chứng minh, bạn có thể tham khảo tài liệu chuyên khảo [11].
L(x i ) = a i , ∀i= 1,2, , N (2.3) Đa thức L(x)thỏa đề bài được xác định bởi công thức
Sau đây chúng ta xem xét một số ví dụ áp dụng.
Ví dụ 2.2.2 Cho các đa thứcA(x) = x 81 +x 49 +x 25 +x 9 +x+ 1 và B(x) =x 3 −x. Tìm đa thức dư trong phép chia đa thứcA(x) cho B(x).
Lời giải Gọi Q(x)và R(x)lần lượt là đa thức thương và đa thức dư của phép chia đa thức A(x)cho B(x) Khi đó, ta có degR