skkn bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức.

26 607 0
skkn bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức.

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán học phổ thông, bất đẳng thức (BĐT) là chuyên đề chứa đựng lượng kiến thức rất rộng, phong phú và cũng được coi là rất khó đối với học sinh. Bất đằng thức là một trong những bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học- Cao đẳng. Vì vậy dạy cho học sinh giải toán bất đẳng thức đòi hỏi phải dạy cho các em cách tìm tòi lời giải là việc làm cần thiết. Đa phần các bài toán về bất đẳng thức đòi hỏi ở học sinh tư duy rất cao, suy luận rộng và phải linh hoạt khi đi tìm cách giải. Một số học sinh rất ngại khi gặp bài toán về bất đẳng thức, cái ngại ở đây không phải do khối lượng kiến thức nhiều mà thông thường học sinh không nắm được phương pháp và kỹ thuật khi chứng minh bất đẳng thức vì các bài toán bất đẳng thức khó định hướng cách giải, nhiều bài toán phải sử dụng các bất đẳng thức trung gian rất khó nghĩ tới nên phần lớn học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết các bài toán bất đẳng thức. Học sinh chỉ quen dùng phương pháp biến đổi tương đương khi gặp bài toán bất đẳng thức, khi điều này không khả thi thì lúng túng không biết nên bắt đầu từ đâu, đặc biệt là đối với những bài toán có sử dụng bất đẳng thức trung gian. Trong những bài toán đơn giản việc áp dụng bất đẳng thức quen thuộc, các phương pháp thường gặp trong giải bài toán bất đẳng thức thì học sinh dễ tiếp cận. Song đối với những bài toán phức tạp thì vấn đề không đơn giản chút nào. Như vậy để có thể giải các bài toán về bất đẳng thức phức tạp, người giải toán cần có một phương pháp, một kỹ thuật sử dụng để chứng minh bất đẳng thức. Bất đẳng thức được coi là rất khó nhưng cũng là phần quyến rũ nhiều học sinh say mê tìm tòi lời giải một cách sáng tạo. Với mong muốn giúp học sinh hứng thú tìm tòi lời giải trong các bài toán bất đẳng thức, tôi xin trình bày một số bài toán minh họa trong việc Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức. Sáng kiến kinh nghiệm 1 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức PHẦN I : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm Với hai số không âm a, b ta có ( ) 1 2 a b ab + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra a b ⇔ = 2. Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm Với ba số không âm a, b , c ta có 3 3 a b c abc + + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra a b c ⇔ = = 3. Tổng quát: Với các số không âm a 1 , a 2 , , a n có 1 2 1 2 n n n a a a a a a n + + + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra 1 2 n a a a⇔ = = 4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 cặp số. ( ) 2 2 2 2 2 ( )( )ax by a b x y+ ≤ + + Dấu “=” xảy ra khi ay – bx = 0 PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA A.DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG GIAN : Một số BĐT trung gian thường gặp: 1. Chứng minh rằng: Nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì a 3 +b 3 ≥ a 2 b + ab 2 . (1) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b Chứng minh: Ta có: a 3 +b 3 ≥ a 2 b + ab 2 ⇔ a 3 +b 3 - a 2 b - ab 2 ≥ 0 ⇔ a 2 (a-b) – b 2 (a - b) ≥ 0 ⇔ (a-b)(a 2 – b 2 ) ≥ 0 ⇔ (a-b) 2 (a+b) ≥ 0. Sáng kiến kinh nghiệm 2 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức BĐT sau cùng này luôn đúng với mọi a ≥ 0 và b ≥ 0 nên BĐT đã cho đúng với mọi a ≥ 0 và b ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi a = b. 2. Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: . 411 baba + ≥+ (2) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b Chứng minh: Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là ba 1 , 1 ta có: ab abba 21 2 11 =≥+ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là a và b, ta có: 2a b ab+ ≥ . Nhân vế theo vế hai BĐT trên ta được BĐT 1 1 4( a b )( ) . a b + + ≥ Suy ra . 411 baba + ≥+ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 3. Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: 2 )( 41 baab + ≥ (3) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b Chứng minh: Ta có BĐT (3) 2 2 2 4 2 4( a b ) ab a ab b ab ⇔ + ≥ ⇔ + + ≥ . 2 2 2 2 0 0a ab b ( a b ) ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ . Đây là BĐT đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b 4. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: cbacba ++ ≥++ 9111 (4) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Chứng minh: Sáng kiến kinh nghiệm 3 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương là cba 1 , 1 , 1 và a, b, c ta được: 3 1 1 1 1 3. , a b c abc + + ³ 3 3.a b c abc+ + ³ . Nhân vế theo vế của hai BĐT trên ta được: ( ) 1 1 1 9a b c a b c æ ö ÷ ç + + + + ³ ÷ ç ÷ ç è ø 1 1 1 9 a b c a b c + +Û ³ + + . Đây là BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c …. Bây giờ ta sẽ sử dụng bất đẳng thức trung gian để chứng minh một số BĐT phức tạp khác. Lưu ý rằng phải chứng minh các BĐT này trước khi dùng. Bài toán 1: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c. ab bc ca + + + + + ≥ + + Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 1, ta nghĩ ngay đến BĐT (1) Bài giải: Ta sẽ sử dụng BĐT (1) như sau: Ta có a 3 +b 3 ≥ a 2 b + ab 2 ⇔ a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) ⇔ 3 3 2 2 a b a b (1.1) ab + + ≥ Tương tự ta cũng có: 3 3 3 3 2 2 2 2 b c b c c a c a , (1.2) (1.3) bc ca + + + + ≥ ≥ . Cộng theo từng vế các BĐT (1.1), (1.2), (1.3) lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 2: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: . 1111 333333 abcabcacabccbabcba ≤ ++ + ++ + ++ Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 1, ta nghĩ ngay đến BĐT (1) Bài giải : Ta có: a 3 +b 3 ≥ a 2 b + ab 2 ⇔ a 3 +b 3 + abc ≥ a 2 b + ab 2 +abc ⇔ a 3 +b 3 + abc ≥ ab(a+b+c) Sáng kiến kinh nghiệm 4 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b Từ đó , )()( 11 33 cbaabc c cbaababcba ++ = ++ ≤ ++ Tương tự ta có: 3 3 3 3 1 1 ; ; ( ) ( ) a b b c abc abc a b c c a abc abc a b c ≤ ≤ + + + + + + + + Cộng các BĐT này lại với nhau theo từng vế ta được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 3: Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: ) 2 1 2 1 2 1 2 1 (4 1111 badadcdcbcbadcba ++ + ++ + ++ + ++ ≥+++ Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 3, ta nghĩ ngay đến BĐT (2) Bài giải: Ta áp dụng BĐT (2) như sau: 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 1 1 4( ) a b a c a b a c a b a c a b a c + + + ≥ + ⇔ + + + ≥ + + + + + . 2 1 1 1 1 16 4 2 ( ) a b c a b a c a b c ⇔ + + ≥ + ≥ + + + + Tương tự ta có: 2 1 1 16 2 ; b c d b c d + + ≥ + + 2 1 1 16 2 ; c a d c a d + + ≥ + + 2 1 1 16 2d a b d a b + + ≥ + + . Cộng các BĐT trên lại với nhau và rút gọn ta được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d Bài toán 4: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: cbacbacbaaccbba ++ + ++ + ++ ≥ + + + + + 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 . Bài giải: Ta vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT trên như sau: Sáng kiến kinh nghiệm 5 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức Ta có: cbacbabacbabacbaba ++ ≥ ++ + + ⇔ ++++ ≥ ++ + + 2 2 2 1 3 1 23 4 2 1 3 1 . Tương tự ta cũng có: 1 1 2 1 1 2 3 2 2 3 2 2 ; b c a b c a b c c a b a c b a c + ≥ + ≥ + + + + + + + + + + . Cộng theo từng vế các BĐT trên lại ta có BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 5: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 2 )( 3 )2)(2( 1 )2)(2( 1 )2)(2( 1 cbaacabcacbbcba ++ ≥ ++ + ++ + ++ Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 5, ta nghĩ ngay đến BĐT (3) Bài giải: Ta vận dụng BĐT (3) cho 2 số dương là 2a+b và 2c+b ta có: 2 22 )( 1 )2)(2( 1 )222( 4 )2)(2( 1 )22( 4 )2)(2( 1 cbabcba cbabcbabcbabcba ++ ≥ ++ ⇔ ++ ≥ ++ ⇔ +++ ≥ ++ Tương tự ta có: 2 2 )( 1 )2)(2( 1 , )( 1 )2)(2( 1 cbaacab cbacacb ++ ≥ ++ ++ ≥ ++ . Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh. Bài toán 6: Cho a, b, c ,d là các số dương. Chứng minh rằng: dcbacbda db dcba ca +++ ≥ ++ + + ++ + 4 ))(())(( . Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 5, ta nghĩ ngay đến BĐT (3) Bài giải: Ta áp dụng BĐT (3) cho 2 số dương là a+b và c+d, ta có: 22 )( )(4 ))(()( 4 ))(( 1 dcba ca dcba ca dcbadcba +++ + ≥ ++ + ⇔ +++ ≥ ++ . Tương tự áp dụng cho 2 số dương a+d và b+c ta có: Sáng kiến kinh nghiệm 6 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức 2 )( )(4 ))(( dcba db cbda db +++ + ≥ ++ + . Cộng vế theo vế 2 BĐT trên lại ta được BĐT cần chứng minh. Bài toán 7: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng: 3 2 12a b a b c d ( a c )( b d ) a b c d + + + ≥ + + + + + + + . Bài giải: Ta có: ( ) [ ] ))(( 1 )3322( ))(( 1 )(32 23 dcba dcba dcba dcba dcba ++ +++= ++ +++= + + + Áp dụng BĐT (3) cho 2 số dương là a+b và c+d ta có: 22 )( )3322(4 ))(( 1 )3322( )( 4 ))(( 1 dcba dcba dcba dcba dcbadcba +++ +++ ≥ ++ +++⇔ +++ ≥ ++ . Do đó: 2 )( 12128823 dcba dcba dcba +++ +++ ≥ + + + . Tương tự ta cũng có: 2 )( )(4 ))(( dcba ba dbca ba +++ + ≥ ++ + . Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau và rút gọn ta được BĐT cần chứng minh. Bài toán 8: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng cbaaccbba ++ ≥ + + + + + 3 2 1 2 1 2 1 . Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 8, ta nghĩ ngay đến BĐT (4) Bài giải: Áp dụng BĐT (4) cho 3 số dương là 2a+b, 2b+c, 2c+a, ta có: 1 1 1 9 2 2 2 2 2 2a b b c c a a b b c c a + + ≥ + + + + + + + + 1 1 1 9 2 2 2 3a b b c c a ( a b c ) ⇔ + + ≥ + + + + + Sáng kiến kinh nghiệm 7 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức 1 1 1 3 2 2 2a b b c c a a b c ⇔ + + ≥ + + + + + Đây là BĐT cần chứng minh. Bài toán 9: Chứng minh: S = ( ) 2 2 2 5 5 5 9 , , 0 a c b a c b a b c b c a ab bc ca + + ≥ > + + Phân tích: Từ BĐT cần chứng minh, ta nghĩ đến bất đẳng thức: 1 1 1 9 ab bc ca ab bc ca   + + ≥  ÷ + +   với a, b, c > 0, dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c Vậy ta phải chứng minh: S = 2 2 2 5 5 5 1 1 1a c b a c b b c a ab bc ca + + ≥ + + Bài giải: Theo bất đẳng thức Cô-si 2 5 2 2 5 2 2 5 2 1 1 3 (9.1) 1 1 3 (9.2) 1 1 3 (9.3) a c b ac ab b b a c ab bc c c b a ac bc a + + ≥ + + ≥ + + ≥ cộng vế theo vế 3 BĐT (9.1), (9.2), (9.3) lại ta được: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3S ab bc ca a b c     + + + ≥ + +  ÷  ÷     (9.4) Áp dụng BĐT Cô-si : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 21 ( ) ( ) ( ) a b b c c a ab bc ca + + + + + ≥ + + 2 2 2 1 1 1 1 11 a b c ab bc ca ⇔ + + ≥ + + (9.5) Từ (9.4) và (9.5) 1 1 1 S ab bc ca ⇒ ≥ + + (9.6) Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: ( ) 1 1 1 1 1 1 9 9ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca   + + + + ≥ ⇔ + + ≥  ÷ + +   (9.7) Sáng kiến kinh nghiệm 8 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức Từ (9.6) và (9.7) suy ra 9 S ab bc ca ≥ + + Đây là BĐT cần chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c Bài toán 10: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 2 222222222444 ) 3 ( 21 cbaaccbbacba ++ ≥ ++ + ++ Bài giải: Ta viết lại BĐT cần chứng minh như sau: 2 222222222222222444 ) 3 ( 111 cbaaccbbaaccbbacba ++ ≥ ++ + ++ + ++ . Áp dụng BĐT (4) cho 3 số dương a 4 + b 4 + c 4 , a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 và a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 , ta có: 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 2 2 2a b c a b b c c a a b b c c a a b c a b b c c a + + ≥ + + + + + + + + + + + 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 ( ) a b c a b b c c a a b b c c a a b c ⇔ + + ≥ + + + + + + + + . BĐT được chứng minh. Bài tập áp dụng : 1. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4 x y z + + = . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + 2. Cho a, b, c Chứng minh rằng: . 333 cabcab a c c b b a ++≥++ 3. Cho a, b là các số dương.Chứng minh rằng: 222 )( 1 8 1 44 1 baabba + ≥+ + . 4. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: cbacbacbacba 111111 ++≥ ++− + +− + −+ . Sáng kiến kinh nghiệm 9 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức 5. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ) 111 (2 111 cbacpbpap ++≥ − + − + − Với p là nửa chu vi của tam giác 6. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: )(4 9 2 1 2 1 2 1 cbabacacbcba ++ ≥ ++ + ++ + ++ 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a 8. Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn a+b+c ≤ 3. Chứng minh rằng: 2 3 1 1 1 1 1 1 ≥ + + + + + cba . 9. Cho a, b, c là các số dương và thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 9 2 1 2 1 2 1 222 ≥ + + + + + abccabbca 10. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 2 ) 111 ( 3 4111 accbbacabcab + + + + + ≥++ B.KỸ THUẬT CHỌN “ĐIỂM RƠI” Các bất đẳng thức thông thường là đối xứng với các biến, từ đó ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại điểm biên. Ví dụ : Cho a ≥ 3 chứng minh 1 10 3 a a + ≥ Phân tích: Dự đoán với 2 1 10 3 10 3 0 3 3 a , a 3a a a a ≥ + = ⇔ − + = ⇔ = . ( điểm rơi) Sáng kiến kinh nghiệm 10 Trần Thanh Tuấn [...]... học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức  x, y , z > 0 , chứng minh rằng:  xyz = 1 10 Cho  a + x3 + y 3 a + y3 + z3 a + z 3 + x3 + + ≥3 3, xy yz zx II ĐÁNH GIÁ: Qua việc bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi bài giải một số bài toán về bất đẳng thức, tôi nhận thấy rằng học sinh thích thú với một số kỹ thuật giải toán bước đầu về bất đẳng thức Học sinh được trang bị một số bài toán. .. sinh giải toán có thể tháo gỡ những khó khăn trong việc tìm tòi cách giải các bài toán về bất đẳng thức Với trang bị ban đầu này học sinh học sinh có thể tìm tòi thêm các bất đẳng thức trung gian khác để lưu trữ vào kho kiến thức của mình Thông qua các bài toán chọn lọc về chọn điểm rơi, tôi thiết nghĩ những bài toán khó về bất đẳng thức đã phần nào có hướng giải quyết, cánh cửa kiến thức về bất đẳng thức.. .Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức Khi a = 3 ⇒ 1 1 = : không thể sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số a và a 3 1 được vì dấu bằng không xẩy ra a Vậy phải sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số ma và ì 1 ï ï ma = ï a í ï ï a=3 ï î Þ m= 1 , ta chọn m sao cho: a 1 9 Bài giải: a+ 1 1 1 8 = a + + a theo bất đẳng thức Cô-si a 9 a 9 Với a... kiến thức về bất đẳng thức đã bắt đầu hé mở đối với học sinh Hy vọng các em học sinh sẽ hứng thú khi gặp các bài toán loại này, không còn ngại khi giải toán về bất đẳng thức Phan Rang- Tháp Chàm, ngày 17 tháng 05 năm 2010 Người viết Trần Thanh Tuấn Sáng kiến kinh nghiệm 25 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN...  2 Bài giải: Ta có: x 2 + y 2 ≥ 2 xy Đẳng thức xảy ra khi x = y 2 x2 + 1 2 1 z ≥ 2 xz Đẳng thức xảy ra khi 2 x 2 = z 2 2 2 2 y2 + 1 2 1 z ≥ 2 yz Đẳng thức xảy ra khi 2 y 2 = z 2 2 2 2 2 2 Suy ra 3 x + 3 y + z ≥ 2 ( xy + xz + yz ) = 10 Sáng kiến kinh nghiệm 23 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức x= y   1  2 y2 = z2 x = y = 1  2 ⇔ Đẳng. .. 2 = a b c = = Ta 16 16 16 ; 3b+c ; 3b+c vì dấu Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức bằng không xảy ra Ta làm vế phải xuất hiện a nên ta phải áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số: a3 ( 3b+c ) 2 = a3 ( 3b+c ) 2 ; 3b+c 3b+c ; , ta tìm m sao cho: m m 3b+c với a = b = c ⇒ m = 64 m Bài giải : Áp dụng Cô-si ta có: a ( 3b+c ) 3b+c 3b+c 3 + + ≥ 33 = a... Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c Bài toán 4 : Cho a, b, c > 0 và a + b +c ≥ 1 a3 b3 c3 + + Tìm giá trị nhỏ nhất của : S = b + c a + c a +b Phân tích: Do tính đối xứng của a, b, c và a + b +c ≥ 1 nên ta dự đoán S nhỏ nhất khi a = b = c = 1 3 a3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ số ; (b + c) m ; n b+c Sáng kiến kinh nghiệm 14 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán. .. 21 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức Bài toán 11: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 Chứng minh rằng: S = a b c 3 3 + + ≥ 2 2 2 1− a 1− b 1− c 2 Phân tích: Do tính đối xứng của a, b, c và a 2 + b 2 + c 2 = 1 nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy 1 ra khi: a = b = c = 3 1 / ⇔ 1 − 3x 2 = 0 Ta hãy xét hàm số f ( x ) mà f ( x... ab + bc + ca a b c 20 ) 2 ≥ 18.9 − 80 = 82 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức S = 82 ⇔ a = b = c = 1 3 1 3 Vậy S min = 82 ⇔ a = b = c =  a , b, c > 0  Bài toán 10: Cho  3 Tính min S = a + b + c ≤ 5  a2 + 1 1 1 + b2 + 2 + c2 + 2 2 b c a 1 1 1  1 →  1 →  1 → → →  Bài giải: Đặt u =  a; ÷; v =  b; ÷; w =  c; ÷⇒ u + v + w =  a... cho:  a4 ( a + 3b ) a 2 =  ⇒ m = 16  a + 3b m  a =b=c  Bài giải: Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: Sáng kiến kinh nghiệm 13 Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức a4 ( a + 3b ) a 2 ≥ 1 a 3 + a + 3b 16 2 b4 (b + 3c)b 2 1 3 + ≥ b b + 3c 16 2 c4 (c + 3a )c 2 1 3 + ≥ c c + 3a 16 2 Cộng vế với vế bất đẳng thức cũng chiều trên ta có S+ 1 3 3 1 ( a + b3 + c 3 . tìm tòi lời giải trong các bài toán bất đẳng thức, tôi xin trình bày một số bài toán minh họa trong việc Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức. Sáng kiến. Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán học phổ thông, bất đẳng thức (BĐT) là chuyên đề chứa đựng lượng kiến thức. Trần Thanh Tuấn Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức PHẦN I : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm Với hai số không âm a, b

Ngày đăng: 20/07/2014, 22:39

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan