SKKN: Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

Bất đẳng thức được coi là rất khó nhưng cũng là phần quyến rũ nhiều học sinh say mê tìm tòi lời giải một cách sáng tạo. Để giúp học sinh hứng thú tìm tòi lời giải trong các bài toán bất đẳng thức. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức”.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG HỌC SINH CÁCH TÌM TỊI LỜI GIẢI TRONG MỘT SỐ BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình tốn học phổ thông, bất đẳng thức (BĐT) chuyên đề chứa đựng lượng kiến thức rộng, phong phú coi khó học sinh Bất đằng thức toán quan tâm đến nhiều kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học- Cao đẳng Vì dạy cho học sinh giải tốn bất đẳng thức địi hỏi phải dạy cho em cách tìm tịi lời giải việc làm cần thiết Đa phần toán bất đẳng thức đòi hỏi học sinh tư cao, suy luận rộng phải linh hoạt tìm cách giải Một số học sinh ngại gặp toán bất đẳng thức, ngại khối lượng kiến thức nhiều mà thông thường học sinh không nắm phương pháp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức tốn bất đẳng thức khó định hướng cách giải, nhiều toán phải sử dụng bất đẳng thức trung gian khó nghĩ tới nên phần lớn học sinh gặp nhiều khó khăn giải toán bất đẳng thức Học sinh quen dùng phương pháp biến đổi tương đương gặp tốn bất đẳng thức, điều khơng khả thi lúng túng khơng biết nên đâu, đặc biệt tốn có sử dụng bất đẳng thức trung gian Trong toán đơn giản việc áp dụng bất đẳng thức quen thuộc, phương pháp thường gặp giải toán bất đẳng thức học sinh dễ tiếp cận Song tốn phức tạp vấn đề khơng đơn giản chút Như để giải toán bất đẳng thức phức tạp, người giải tốn cần có phương pháp, kỹ thuật sử dụng để chứng minh bất đẳng thức Bất đẳng thức coi khó phần quyến rũ nhiều học sinh say mê tìm tịi lời giải cách sáng tạo Với mong muốn giúp học sinh hứng thú tìm tịi lời giải tốn bất đẳng thức, tơi xin trình bày số toán minh họa việc Bồi dưỡng học sinh cách tìm tịi lời giải số tốn bất đẳng thức PHẦN I : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a+b Với hai số không âm a, b ta có ³ ab Dấu đẳng thức xảy Û a = b Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm (1) Với ba số không âm a, b , c ta có a+b+c ³ abc Dấu đẳng thức xảy Û a = b = c Tổng quát: Với số không âm a1, a2, , an có a1 + a2 + + an n ³ a1a2 an n Dấu đẳng thức xảy Û a1 = a2 = an Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho cặp số ( ax + by ) £ (a + b )( x + y ) Dấu “=” xảy ay – bx = PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA A DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG GIAN: Một số BĐT trung gian thường gặp: Chứng minh rằng: Nếu a ³ b ³ a3+b3 ³ a2b + ab2 (1) Dấu xảy a = b Chứng minh: Ta có: a3+b3 ³ a2b + ab2 3 2 Û a +b - a b - ab ³ 2 Û a (a-b) – b (a - b) ³ 2 Û (a-b)(a – b ) ³ Û (a-b) (a+b) ³ BĐT sau với a ³ b ³ nên BĐT cho với a ³ b ³ Dấu xảy a = b 1 + ³ (2) Cho a, b số dương Chứng minh rằng: a b a+b Dấu xảy a = b Chứng minh: Áp dụng BĐT Côsi cho số dương 1 + ³2 = a b ab 1 , ta có: a b ab a + b ³ ab 1 Nhân vế theo vế hai BĐT ta BĐT ( a + b )( + ) ³ a b Áp dụng BĐT Côsi cho số dương a b, ta có: 1 + ³ Dấu xảy a = b a b a+b Suy Cho a, b số dương Chứng minh rằng: ³ (3) ab ( a + b) Dấu xảy a = b Chứng minh: Û ( a + b )2 ³ 4ab Û a + 2ab + b ³ 4ab Ta có BĐT (3) Û a - 2ab + b ³ Û ( a - b ) ³ Đây BĐT Dấu xảy a = b Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: 2 1 + + ³ a b c a+b+c (4) Dấu xảy a = b = c Chứng minh: 1 Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương , , a, b, c ta được: a b c 1 1 + + ³ 3 , a b c abc BĐT a + b + c ³ 3 abc Nhân vế theo vế hai ta được: æ1 (a + b + c)ỗỗỗ + + ốa b ư÷ ÷³ c ø÷ 1 + + ³ Đây BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c a+ b+ c a = b = c … Bây ta sử dụng bất đẳng thức trung gian để chứng minh số BĐT phức tạp khác Lưu ý phải chứng minh BĐT trước dùng Bài toán 1: Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng: a + b3 b3 + c c3 + a + + ³ a + b + c 2ab 2bc 2ca Û Phân tích: nhìn vào BĐT tốn 1, ta nghĩ đến BĐT (1) Bài giải: Ta sử dụng BĐT (1) sau: 3 Ta có a +b ³ a b + ab a + b3 a + b Û a +b ³ ab(a+b) Û ³ 2ab 3 (1.1) b3 + c b + c c3 + a3 c + a ³ , (1.2) ³ (1.3) 2bc 2ca Cộng theo vế BĐT (1.1), (1.2), (1.3) lại với ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c Bài toán 2: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: Tương tự ta có: 1 1 + + £ a + b + abc b3 + c + abc c + a + abc abc Phân tích: nhìn vào BĐT toán 1, ta nghĩ đến BĐT (1) Bài giải : Ta có: a3+b3 ³ a2b + ab2 Û a3+b3 + abc ³ a2b + ab2 +abc 3 Û a +b + abc ³ ab(a+b+c) Dấu xảy a = b 1 c £ = , Tương tự ta có: Từ 3 a + b + abc ab ( a + b + c ) abc ( a + b + c ) a b ; £ ; 3 b + c + abc abc (a + b + c) c + a + abc abc (a + b + c ) Cộng BĐT lại với theo vế ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c Bài toán 3: Cho số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + + ³ 4( + + + ) a b c d 2a + b + c 2b + c + d 2c + d + a 2d + a + b 3 £ Phân tích: nhìn vào BĐT toán 3, ta nghĩ đến BĐT (2) Bài giải: Ta áp dụng BĐT (2) sau: 1 1 4 1 1 1 + + + ³ + Û + + + ³ 4( + ) a b a c a+b a+c a b a c a+b a+c 1 1 16 + + ³ 4( + )³ a b c a+b a+c 2a + b + c 1 16 + + ³ ; b c d 2b + c + d 1 16 + + ³ ; c a d 2c + a + d 1 16 + + ³ d a b 2d + a + b Û Tương tự ta có: Cộng BĐT lại với rút gọn ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c = d Bài toán 4: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ³ + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c a + b + 2c 2a + b + c Bài giải: Ta vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT sau: Ta có: 1 1 + ³ Û + ³ a + 3b a + b + 2c a + 3b + a + b + 2c a + 3b a + b + 2c a + 2b + c Tương tự ta có: 1 + ³ ; b + 3c 2a + b + c a + b + 2c 1 + ³ c + 3a 2b + a + c b + 2a + c Cộng theo vế BĐT lại ta có BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c Bài toán 5: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: 1 + + ³ (2a + b)(2c + b) (2b + c)(2a + c) (2b + a )(2c + a ) (a + b + c) Phân tích: nhìn vào BĐT toán 5, ta nghĩ đến BĐT (3) Bài giải: Ta vận dụng BĐT (3) cho số dương 2a+b 2c+b ta có: 4 ³ Û ³ (2a + b)(2c + b) (2a + b + 2c + b) (2a + b)(2c + b) (2a + 2b + 2c) 1 Û ³ (2a + b)(2c + b) (a + b + c) Tương tự ta có: 1 ³ , (2b + c)(2a + c) (a + b + c) 1 ³ (2b + a )(2c + a ) (a + b + c) Cộng theo vế BĐT lại với ta BĐT cần chứng minh Bài toán 6: Cho a, b, c ,d số dương Chứng minh rằng: a+c b+d + ³ (a + b)(c + d ) (a + d )(b + c) a + b + c + d Phân tích: nhìn vào BĐT toán 5, ta nghĩ đến BĐT (3) Bài giải: Ta áp dụng BĐT (3) cho số dương a+b c+d, ta có: a+c 4( a + c ) ³ Û ³ (a + b)(c + d ) (a + b + c + d ) (a + b)(c + d ) (a + b + c + d ) Tương tự áp dụng cho số dương a+d b+c ta có: b+d 4(b + d ) ³ ( a + d )(b + c) ( a + b + c + d ) Cộng vế theo vế BĐT lại ta BĐT cần chứng minh Bài toán 7: Cho a, b, c, d số dương Chứng minh rằng: a+b 12 + + ³ a + b c + d ( a + c )( b + d ) a + b + c + d Bài giải: Ta có: 1 + = [2(a + b ) + 3(c + d )] = (2a + 2b + 3c + 3d ) a+b c+d (a + b)(c + d ) (a + b)(c + d ) Áp dụng BĐT (3) cho số dương a+b c+d ta có: 4(2a + 2b + 3c + 3d) ³ Û (2a + 2b + 3c + 3d) ³ (a + b)(c + d) (a + b + c + d) (a + b)(c + d) (a + b + c + d)2 Do đó: 8a + 8b + 12c + 12d + ³ a+b c+d (a + b + c + d )2 Tương tự ta có: a+b 4( a + b ) ³ (a + c)(b + d ) (a + b + c + d ) Cộng theo vế BĐT lại với rút gọn ta BĐT cần chứng minh Bài toán 8: Cho a, b, c số dương Chứng minh 1 + + ³ 2a + b 2b + c 2c + a a + b + c Phân tích: nhìn vào BĐT toán 8, ta nghĩ đến BĐT (4) Bài giải: Áp dụng BĐT (4) cho số dương 2a+b, 2b+c, 2c+a, ta có: 1 + + ³ 2a + b 2b + c 2c + a 2a + b + 2b + c + 2c + a 1 Û + + ³ 2a + b 2b + c 2c + a 3( a + b + c ) 1 + + ³ 2a + b 2b + c 2c + a a + b + c Đây BĐT cần chứng minh Bài toán 9: Û a c b a c 2b ( a , b, c > ) Chứng minh: S = + + ³ b c a ab + bc + ca Phân tích: Từ BĐT cần chứng minh, ta nghĩ đến bất đẳng thức: 1 ỉ với a, b, c > 0, dấu đẳng thức xảy a = b ỗ + + ữ ố ab bc ca ø ab + bc + ca =c Vậy ta phải chứng minh: S = Bài giải: a c b a c 2b 1 + + ³ + + b c a ab bc ca Theo bất đẳng thức Cô-si ac 1 + + ³ (9.1) b ac ab b b2a 1 + + ³ (9.2) cộng vế theo vế BĐT (9.1), (9.2), (9.3) lại c ab bc c c 2b 1 + + ³ (9.3) a ac bc a 1 ỉ ỉ 1 1ử ta c: S + ỗ + + ữ ỗ + + ữ (9.4) è ab bc ca ø èa b c ø Áp dụng BĐT Cô-si : 1 1 1 2 + )+( + )+( + ) ³ + + a b b c c a ab bc ca 1 1 1 Û 2+ 2+ ³ + + (9.5) a b c ab bc ca 1 + + Từ (9.4) (9.5) Þ S ³ (9.6) ab bc ca ( Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: 1 1 ỉ + + ỗ + + ữ ( ab + bc + ca ) ³ Û ab bc ca ab + bc + ca è ab bc ca ø (9.7) Đây BĐT cần chứng minh ab + bc + ca Dấu đẳng thức xảy Û a = b = c Bài toán 10: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: + 2 ³( )2 4 2 2 2 a +b +c a b +b c +c a a +b +c Bài giải: Ta viết lại BĐT cần chứng minh sau: Từ (9.6) (9.7) suy S ³ 1 + 2 + 2 ³( )2 4 2 2 2 2 2 a +b +c a b +b c +c a a b +b c +c a a +b +c 4 2 2 Áp dụng BĐT (4) cho số dương a + b + c , a b + b c + c2a2 a2b2 + b2c2 + c2a2, ta có: 1 + + ³ a4 + b4 + c4 a2b2 + b2c2 + c2a2 a2b2 + b2c2 + c2a2 a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 1 Û + 2 + 2 ³( )2 4 2 2 2 2 2 a +b +c a b +b c +c a a b +b c +c a a +b +c BĐT chứng minh Bài tập áp dụng : Cho x, y, z số dương thỏa mãn + + = Chứng minh rằng: x y z 1 + + £1 2x + y + z x + y + z x + y + 2z a b3 c3 + + ³ ab + bc + ca Cho a, b, c Chứng minh rằng: b c a Cho a, b số dương.Chứng minh rằng: 1 + ³ 4a + 4b 8ab (a + b) 2 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ³ + + a+b-c a-b+c -a+b+c a b c Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ³ 2( + + ) p-a p-b p-c a b c Với p nửa chu vi tam giác Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: 1 + + ³ 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b 4(a + b + c) Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: a b c + + ³ b+c c+a a+b Cho a, b, c số không âm thoả mãn a+b+c £ Chứng minh rằng: 1 + + ³ 1+ a 1+ b 1+ c Cho a, b, c số dương thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 1 + + ³9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab 10 Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: 1 1 + + ³ ( + + ) ab bc ca a + b b + c c + a B KỸ THUẬT CHỌN “ĐIỂM RƠI” Các bất đẳng thức thông thường đối xứng với biến, từ ta dự đoán dấu xảy ta biến xảy điểm biên 10 Ví dụ : Cho a ≥ chứng minh a + ³ a 10 Phân tích: Dự đốn với a ³ 3, a + = Û 3a - 10a + = Û a = a ( điểm rơi) 1 Khi a = Þ = : sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho số a a dấu khơng xẩy a Vậy phải sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho số ma ìï ïï ma = a í ïï ïỵ a = Bài giải: a+ Þ m= , ta chọn m cho: a 1 = a + + a theo bất đẳng thức Cô-si a a a a + ³2 = a a 10 8a ³ Vậy a + ³ + = a 3 Dấu = xảy a = Với a ³ Þ Phân tích tìm lời giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảy BĐT hay biến mà biểu thức đạt GTLN, GTNN Từ dự đoán dấu đẳng thức xảy ra, kết hợp với BĐT quen thuộc ta tìm tham số cho dấu đẳng thức xảy bước phải giống dấu đẳng thức xảy bước dự đoán ban đầu Với tham số tìm ta bắt tay vào giải tốn Sau số toán minh hoạ: Bài toán 1: Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = 1 1 + + a b c Phân tích: Do vai trò a, b, c a + b + c = 1, dự đoán P nhỏ 1 Û a = b = c = Khi ta dùng BĐT Cơ-si cho số: ma thì: a ìï ïï ma = ï a Þ m = Þ 9a + ³ í ïï a ïï a = ïỵ Bài giải: Áp dụng BĐT Cơ-si cho số dương ta có: 1 9a + ³ Dấu xảy 9a = Þ a = a a 1 9b + ³ Dấu xảy 9b = Þ b = b b 1 9c + ³ Dấu xảy 9c = Þ c = c c Cộng vế BĐT ta có: 1 9(a+b+c)+ + + ³ 18 a b c 1 Û P = a + b + c + + + ³ 18 - 8(a + b + c )= 18 - = 10 a b c Dấu xảy a = b = c = Vậy minP = 10 a = b = c = Bài tốn 2: Chứng minh: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b + c + S= a ( 3b+c ) + b ( 3c+a ) + c ( 3a+b ) ³ ( a+b+c ) (a, b, c > 0) 16 Phân tích: Do vai trò a,b,c bất đẳng thức nên dấu xảy a = b = c Khi đó: a3 ( 3b+c ) = b3 ( 3c+a ) = Ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số: c3 ( 3a+b ) a = a b c = = 16 16 16 ( 3b+c ) ; 3b+c ; 3b+c dấu khơng xảy Ta làm vế phải xuất a nên ta phải áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số: a ( 3b+c ) ; 3b+c 3b+c ; , ta tìm m cho: m m a ( 3b+c ) = 3b+c với a = b = c Þ m = 64 m Bài giải : Áp dụng Cơ-si ta có: a ( 3b+c ) 3b+c 3b+c + + ³ 33 = a 2 64 ( 3b+c ) 64 ( 3b+c ) 64 16 a3 Tương tự: b ( 3c+a ) 3c+a 3c+a 3 + + ³ = b 2 64 ( 3c+a ) 64 ( 3c+a ) 642 16 b3 c ( 3a+b ) 3a+b 3a+b 3 + + ³ = c 2 64 64 64 ( 3a+b ) ( 3a+b ) 64 c 3 Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có: S+ + ( a+b+c ) ³ ( a+b+c ) Û S ³ ( a+b+c ) 16 16 Đẳng thức xảy khi: a = b = c Bài toán 3: Chứng minh: ( a4 b4 c4 S= + + ³ a +b3 +c a+3b b+3c c+3d ) (a,b,c > 0) Phân tích: Vì tính đối xứng a, b, c BĐT nên dấu đẳng xảy a = b = c Ta làm vế phải xuất a3 nên cần áp dụng BĐT Cô-si cho số: a ( a + 3b ) a phải tìm m cho: ; a + 3b m ì a4 a + 3b ) a ( = ï Þ m = 16 í a + 3b m ï a =b=c ỵ Bài giải: Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có: a4 (a + 3b )a ³ a + a + 3b 16 b4 (b + 3c)b + ³ b b + 3c 16 c4 (c + 3a)c + ³ c c + 3a 16 Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta có 3 ( a + b + c ) + ( a 2b + b c + c a ) ³ ( a + b + c ) 16 16 3 (a + b + c ) - ( a b + b c + c a ) (1) S≥ 16 16 S+ Mặt khác theo BĐT Cơ-si ta có: a + a3 + b3 ³ 3a 2b ü ï b3 + b3 + c ³ 3b 2c ý Þ a 2b + b 2c + c a £ a + b3 + c c + c + a ³ 3c a ùỵ 3 (a b + b 2c + c a) ³ - (a + b3 + c ) (2) 16 16 Từ (1) (2) suy Þ- a4 b4 c4 S= + + ³ ( a + b3 + c3 ) a + 3b b + 3c c + 3a Dấu đẳng thức xảy a = b = c Bài toán : Cho a, b, c > a + b +c ³ a3 b3 c3 + + Tìm giá trị nhỏ : S = b + c a + c a +b Phân tích: Do tính đối xứng a, b, c a + b +c ³ nên ta dự đoán S nhỏ a = b = c = a3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số ; (b + c)m ; n b+c ì a3 ïï b + c = ( b + c )m = n 1 Ta phải tìm m , n cho: í Þm= ;n= 12 18 ï a =b=c = ïỵ Bài giải : Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: a3 b+c a3( b + c ) + + ³ 33 = a b + c 12 18 ( b + c ).12.18 Tương tự: b3 a+a b3 ( c + a ) + + ³ 33 = b c+a 12 18 ( c + a ).12.18 c3 b+a c3( b + a ) + + ³ 33 = c b+a 12 18 ( b + a ).12.18 Cộng vế bất đẳng thức ta có: 1 S + ( a + b + c) + ³ (a + b + c ) 6 1 1 1 1 Û S ³ (a + b + c) - ( a + b + c) - = ( a + b + c) - ³ - = 6 6 ( a + b + c ³ ) 1 a = b = c = Bài toán 5: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn : a + b + c = Vậy MinS = a + b + b + c + c + a £ 18 Chứng minh rằng: Phân tích: Do vai trị a, b, c a + b + c = 1, dự đoán dấu xảy Û a = b = c = 2 2 Þ số cần thêm Þ a+ b= ; b+ c= c+ a= 3 3 Từ giả thiết ta nghĩ cần đưa BĐT thành: 3 a + b + b + c + c + a £ 18 ( a + b + c ) biến đổi: a+b = 93 2 (a + b) £ 3 2 + a+b+ 3=39 ,tương tự a+b+ cộng lại Bài giải: Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương ta có: 2 a+b+ + a+b+ 2 3 3=39 a + b = 3 (a + b) £ 3 4 2 b+c+ + b+c+ 2 3 3=39 b + c = 3 (b + c ) £ 3 4 2 c+a+ + c+a+ 2 3 3=39 c + a = 3 (c + a) £ 3 4 Cộng vế BĐT ta được: 2(a + b + c) + = = 18 4 Dấu xảy a = b = c = 3 a+b + b+c + c+a £ ì a, b > 1 , tìm GTNN biểu thức P = 2 + + 4ab ab a +b ỵa + b £ Bài tốn 6: Cho í Phân tích: Ta có : P= 1 4 ỉ + + + 4ab ³ + + 4ab = +ỗ + 4ab ữ 2 2ab 2ab a +b a + b + 2ab 2ab (a + b) è 2ab ø 1 + 4ab ³ 4ab = 2 ab 2ab khác Mặt Vậy P³ 4+2 nên MinP = 2(2 + 2) ìa = b ï ï Dấu đẳng thức xảy í = ab Þ VN Dấu bng khụng xy ị ab ù ùợa + b = không kết luận MinP = + 2 Do P biểu thức đối xứng với a, b , ta dự đoán MinP đạt a = b = , ta có: Khi a + b2 + , dấu “=” xảy a = b ³ 2ab (a + b)2 1 = ab với a = b = Þ m = Vậy ta phải phân tích mab P= a +b + ổ + ỗ 4ab + ÷+ 2ab è 4ab ø ab Bài giải: Áp dụng BĐT phụ (1)Ta có: P= a + b2 + ³ ³ ( ab (a + b)2 ì a, b > ) í a + b £ ỵ Áp dụng BĐT Cơ-si: ỉ 1 ³ ab + +1 = ỗ ab + ÷+ 4ab ø 4ab 4ab è ỉ a+bư 4ỗ ữ ố ứ 1 ổ P= + + ỗ 4ab + 4+3= ÷+ 2ab è 4ab ø 4ab a +b ìa + b2 = 2ab ï 1 ï Dấu xảy Û í4ab = Û a=b= 4ab ï ïa + b = ỵ Bài toán 7:Cho a, b, c > a + b + c = chứng minh: Vậy GTNN P a = b = a3 b3 c3 + + ³ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) Phân tích: Vì a + b + c = nên a3 b3 c3 a+b+c S= + + ³ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) Áp dụng Cơ-si cho số đó: a3 = m(a + b) = n(a + c) với a = b = c = Þ m = n = (a + b)(a + c) Bài giải: Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: a3 ( a + b) ( a + c) a3 (a + b) ( a + c) + + ³ 33 = a (a + b)(a + c) 8 (a + b)(a + c) 8 b3 (b + c ) (b + a) b3 (b + c ) (b + a) + + ³ 33 = b (b + c)(b + a ) 8 (b + c)(b + a ) 8 c3 (c + a ) (c + b ) c3 (c + a ) (c + b) + + ³ 33 = c (c + a)(c + b) 8 (c + a )(c + b) 8 Cộng vế theo vế BĐT ta được: 3 S+ (a + b + c) ³ (a + b + c) S ³ (a + b + c ) = (ĐPCM) 4 Dấu xảy a = b = c = Bài toán 8: Cho x, y, z ba số dương x + y + z £ , chứng minh rằng: P = x2 + x2 + y2 + y2 + z2 + z2 ³ 82 Phân tích: Ta dự đốn dấu đẳng thức xảy x = y = z = ; biểu thức gợi cho tam sử dụng BĐT Bunhiacôpxki cho: ( ) ổ ổ bử ỗ x + ữ a + b ỗ a x + ÷ với a , b số thỏa mãn: xø x ø è è x x a = = Û x = = , chọn a = 1, b = a b bx b 9ư 1 ỉ 9ư ổ ổ Ta cú ỗ x + ữ 12 + 92 ỗ x + ữ ị x + ỗ x + ữ , tng tự ta xø xø x ø x 82 è è è ( ) có: P³ ỉ 1 ứ é ê( x + y + z ) + ỗ + + ữ ỳ chng minh BĐT ta dùng Cô82 ë è x y z øû 1 1 ì ïï x + y + z = m ( x + y + z ) Þm=9 si, ta phải chọn m cho: í ù x= y=z= ùợ ị Ta phi phõn tích: ỉ 1 1ư ỉ 1 ö 80 æ 1 ö (x + y + z) + 9ỗ + + ữ = (x + y + z) + ỗ + + ữ + ỗ + + ÷ 9è x y z ø è x y z ø èx y zø Bài giải : 9ư 1 ỉ 9ư ỉ ỉ Ta cú ỗ x + ữ 12 + 92 ỗ x + ữ ị x + ỗ x + ữ , tng t ta xø xø x ø x 82 è è è ( ) có: ỉ ỉ 9ư ỗỗ y + ữữ + ỗ y + ữ ị yứ y ứ ố ố ( ) ( y2 + y2 ³ æ 9ử ỗy+ ữ yứ 82 ố ) ổ ỉ 9ư 1 ỉ 9ư 2 ỗz + ữ +9 ỗz+ ữ ị z + ỗ z + ữ Suy ra: zø zø z ø z 82 è è è P³ ỉ 1 ứ é ê( x + y + z ) + ỗ + + ữ ú , 82 ë è x y z øû Phân tích : ( x + y + z ) + ổỗ + + ửữ = ( x + y + z ) + ổỗ + + ửữ + 80 ổỗ + + ư÷ èx y 9è x zø zø y èx y zø ( x + y + z ) ổỗ + + ửữ ³ èx y zø nên ta có : ( x + y + z ) + ổỗ + + ư÷ ³³ ( x + y + z ) ổỗ + + ö÷ ³ = = 9è x y zø èx y zø 3 Và 80 ổỗ + + ửữ 80 ³ 80 è x y zø x+ y+z é ù Từ đó: P ³ ê( x + y + z ) + ổỗ + + ư÷ ú ³ (2 + 80) = 82 = 82 x y z 82 ë è øû 82 82 Vậy P ³ 82 , dấu “=” xảy x = y = z = ìa, b, c > Bài tốn 9: Cho í ỵa + b + c £ Tìm giá trị nhỏ S = bc + 1 + ca + + ab + 2 a b c Phân tích: Từ BĐT gợi ý ta sử dụng phương pháp vectơ: Đặt: ® 1ư ® ỉ 1ư ® ỉ 1ư ® ® đ ổ 1 1ử ổ u = ỗ bc ; ữ ; v = ỗ ca ; ữ ; w = ỗ ab ; ữ ị u + v + w = ỗ ab + bc + ca ; + + ÷ bø cø a b cø è è è è ® ® ® ® ® ® Vì u + v + w ³ u + v + w nên S ³ ( ab + bc + ca ) ổ 1 1ử +ỗ + + ữ èa b cø Do tính đối xứng a, b, c nên S nhỏ a = b = c = Khi đó: ì ïï m Ta tìm m cho í ï ïỵ ( ) ỉ1 1ư ab + bc + ca = ç + + ÷ èa b cø a=b=c= ( Ta phân tích S ³ ab + bc + ca ( ) 81 ab + bc + ca = 2 ) Þ m = 81 ỉ 1 1ử +ỗ + + ữ ốa b ( ổ1 1ử + ỗ + + ÷ - 80 ab + bc + ca èa b cø ) Bài giải: Đặt ® 1ư ® ỉ 1ư ® ỉ 1ư ® ® ® ỉ 1 1ử ổ u = ỗ bc ; ữ ; v = ỗ ca ; ữ ; w = ỗ ab ; ữ ị u + v + w = ỗ ab + bc + ca ; + + ÷ bø cø a b cø è è è è ® ® ® ® ® ® Vì u + v + w ³ u + v + w nên S ³ ( 81 ab + bc + ca ) ( ab + bc + ca ) æ 1 1ử +ỗ + + ữ ốa b ( ổ1 1ử + ỗ + + ữ - 80 ab + bc + ca èa b cø ) Theo bất đẳng thức Cô-si ( ab + bc + ca 81 = 18 ( ) ( ổ1 1ử + ỗ + + ữ 81 èa b cø ) ỉ1 1ư ab + bc + ca ỗ + + ữ ốa b ) ỉ1 1ư ab + bc + ca ç + + ÷ ³ 18.9 èa b cø Vì theo bất đẳng thức Cô-si ab + bc + ca ³ 3 abc ü ï ỉ1 1ư ý ị ab + bc + ca ỗ + + ữ ³ 1 1 + + ³3 ốa b ù a b c abc ỵ ( Lại áp dụng BĐT Cơ-si ta có ) ab + bc + ca £ a + b + c £ nên: 80( ab + bc + ca ) £ 80 Vậy: ( 81 ab + bc + ca ) ( ỉ1 1ư + ç + + ÷ - 80 ab + bc + ca èa b cø S = 82 Û a = b = c = Vậy S = 82 Û a = b = c = ) ³ 18.9 - 80 = 82 Bài tốn S = a2 + 10: ì a , b, c > ï í ïỵa + b + c £ Cho Tính 1 + b2 + + c + 2 b c a Bài Đặt giải: ® 1 1ư ỉ 1ư ® ỉ 1ư ® ỉ 1ư ® ® ® ổ u = ỗ a; ữ ; v = ỗ b; ữ ; w = ỗ c; ữ ị u + v + w = ỗ a + b + c; + + ÷ a b cø è è bø è cø è ® ® ® ® ® ® Vì u + v + w ³ u + v + w ỉ1 1ư Nên S ³ ( a + b + c ) + ỗ + + ữ èa b cø 2 ( Phân tích : Do tính chất đối xứng a, b, c a + b + c £ a = b = c = nên ta có S Khi ta tìm m cho: ì ỉ1 1ư ïm ( a + b + c ) = ỗ + + ữ ù ố a b c ø Þ m = 625 ) í ï a=b=c= ïỵ ỉ1 1ư S ³ (a + b + c) + ỗ + + ữ èa b cø 2 = 625 ( a + b + c ) 2 ỉ1 1ư + ỗ + + ữ - 624 ( a + b + c ) èa b cø 5634 æ1 1ö æ3ö ³ 50(a + b + c ) ỗ + + ữ - 624.ỗ ữ 50.9 - 624 = 25 25 èa b cø è5ø ỉ1 1ư Vì ( a + b + c ) ỗ + + ữ v a + b + c £ èa b cø Vậy Min S = 5634 a = b = c = 5 Bài toán 11: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: S = Phân tích: a b c 3 + + ³ 2 1- a 1- b 1- c Do tính đối xứng a, b, c a + b + c = nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy khi: a = b = c = Ta xét hàm số f ( x ) mà f / ( x ) = Û x = Û - 3x = 3 Vậy hàm số mà ta phải xét là: f ( x ) = x - x = x (1 - x ) với x Ỵ ( 0;1) ( a, b, c dương a + b + c = nên a, b, c Ỵ ( 0;1) ) phải đưa : a b c 3 a2 b2 c2 3 + + ³ Û + + ³ 2 2 2 1- a 1- b 1- c a (1 - a ) b(1 - b ) c(1 - c ) Bài giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với BĐT: S= a2 b2 c2 3 + + ³ 2 a (1 - a ) b(1 - b ) c(1 - c ) 2 Ta xét hàm số f ( x ) = x (1 - x ) = x - x với x Ỵ ( 0;1) Ta có : f / ( x ) = - 3x , f / ( x ) = Û - x = Û x = (vì x > ) Bảng biến thiên: x f / ( x) + - f(x) 3 Từ bảng biến thiên ta suy ra: ỉ f ( x ) = x (1 - x ) Ê f ỗ vi ÷= è 3ø 3 3 x2 3 x Ỵ ( 0;1) Suy với x Ỵ ( 0;1) ta có ³ Û ³ x x (1 - x ) x (1 - x ) a2 3 b2 3 c2 3 Từ đó: ³ a; ³ b; ³ c 2 a (1 - a ) b (1 - b ) c (1 - c ) Cộng vế theo vế BĐT ta được: a2 b2 c2 3 3 + + ³ (a + b + c ) = 2 a (1 - a ) b (1 - b ) c (1 - c ) 2 Dấu đẳng thức xảy khi: a = b = c = Bài toán 12: (ĐPCM) Chứng minh xy + yz + zx = 3x + y + z ³ 10 Phân tích: a x + a y ³ 2a xy Đẳng thức xảy x = y 2 b x + g z ³ bg xz Đẳng thức xảy b x = g z 2 b y + g z ³ bg yz Đẳng thức xảy b y = g z ìa + b = ì a = ï ï Bây ta cần chọn a , b , g cho: í2g = Û íï b = ï ïg = ỵa = bg ïỵ Bài giải: Ta có: x + y ³ xy Đẳng thức xảy x = y z ³ xz Đẳng thức xảy x = z 2 1 y + z ³ yz Đẳng thức xảy y = z 2 Suy 3x + y + z ³ ( xy + xz + yz ) = 10 2x2 + x= y ì ï ï y2 = z2 ìx = y = ï Đẳng thức xảy í Ûí ỵ z=2 ï z = 2x2 ï ï xy + yz + zx = ỵ Bài tập áp dụng: ìa, b > 1 , tìm GTNN biểu thức S = 3 + + a +b a b ab ỵa + b £ 1 Cho í ì x, y , z > ï í1 1 + + = ïx y z î Cho P= Tìm GTLN 1 + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z ì x, y , z > x2 y2 z2 , chứng minh rằng: + + ³ 1+ y 1+ z 1+ x ỵ xyz = Cho í ì x, y , z > , chứng minh rằng: ỵ xyz = Cho í m + x3 + y m + y3 + z3 m + z + x3 + + ³3 xy yz zx chứng minh a , b, c > , a b c + + ³1 2 a + 8bc b + 8ca c + 8ab Cho a, b, c, d > , tìm GTNN a b c d P= + + + b + 2c + 3d c + d + 3a d + 2a + 3b a + 2b + 3c ì x, y, z.0 ï 7.Cho í 1 ïx + y + z £1 ỵ 1 Tìm GTLN P = + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Cho Cho a , b, c > , a + b + c = Chứng rằng: minh 4a + + 4b + + 4c + £ ì x, y , z > x2 y2 z2 Cho í , chứng minh rằng: + + ³ 1+ y 1+ z 1+ x ỵ xyz = ì x, y , z > , chứng minh rằng: ỵ xyz = 10 Cho í a + x3 + y a + y3 + z3 a + z + x3 + + ³3 3, xy yz zx II ĐÁNH GIÁ: Qua việc bồi dưỡng học sinh cách tìm tịi giải số tốn bất đẳng thức, tơi nhận thấy học sinh thích thú với số kỹ thuật giải toán bước đầu bất đẳng thức Học sinh trang bị số toán chọn lọc tiêu biểu để hiểu nắm vững kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, từ vận dụng linh hoạt, sáng tạo để chứng minh bất đẳng thức khác Qua kiểm tra, đánh giá em điều vận dụng tốt vào chứng minh bất đẳng thức III KẾT LUẬN Không dễ để trình bày hết kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Những toán chọn lọc minh họa với kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức trung gian kỹ thuật chọn điểm rơi bước đầu tạo cho học sinh giải toán tháo gỡ khó khăn việc tìm tịi cách giải tốn bất đẳng thức Với trang bị ban đầu học sinh học sinh tìm tịi thêm bất đẳng thức trung gian khác để lưu trữ vào kho kiến thức Thơng qua tốn chọn lọc chọn điểm rơi, tơi thiết nghĩ tốn khó bất đẳng thức phần có hướng giải quyết, cánh cửa kiến thức bất đẳng thức bắt đầu mở học sinh Hy vọng em học sinh hứng thú gặp tốn loại này, khơng cịn ngại giải tốn bất đẳng thức Phan Rang- Tháp Chàm, ngày 17 tháng 05 năm 2010 Người viết Trần Thanh Tuấn ... ĐÁNH GIÁ: Qua việc bồi dưỡng học sinh cách tìm tịi giải số tốn bất đẳng thức, tơi nhận thấy học sinh thích thú với số kỹ thuật giải tốn bước đầu bất đẳng thức Học sinh trang bị số toán chọn lọc tiêu... chứng minh bất đẳng thức Bất đẳng thức coi khó phần quyến rũ nhiều học sinh say mê tìm tịi lời giải cách sáng tạo Với mong muốn giúp học sinh hứng thú tìm tịi lời giải tốn bất đẳng thức, tơi xin... xin trình bày số toán minh họa việc Bồi dưỡng học sinh cách tìm tịi lời giải số tốn bất đẳng thức PHẦN I : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a+b Với hai số khơng âm a,