BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Giảng viên hướng dẫn PGS TS ĐINH CÔNG HƯỚNG Học[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS ĐINH CÔNG HƯỚNG Học viên: TRẦN THỊ LỆ THỦY Mã số: 46 01 13 Bình Định - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ LỆ THỦY MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mã số : 46 01 13 Người hướng dẫn : PGS.TS ĐINH CÔNG HƯỚNG i Mục lục Danh mục kí hiệu Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Toán tử sai phân tiến, toán tử sai phân lùi, toán tử dịch chuyển 1.2 Một số tính chất [3] 1.3 Bt ng thc Hăolder [1] 12 BẤT ĐẲNG THỨC SAI PHÂN 2.1 Bất đẳng thức Gronwall [3],[6] 2.2 Bất đẳng thức phi tuyến 2.3 Bất đẳng thức sai phân cấp n 2.4 Hệ bất đẳng thức hữu hạn 2.5 Bất đẳng thức Opial 14 14 23 30 35 38 VÍ DỤ ÁP DỤNG 43 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU • N = {0, 1, } tập hợp số tự nhiên bao gồm số • N(a) = {a, a + 1, } a ∈ N • N(a, b − 1) = {a, a + 1, , b − 1} a < b − < ∞ a, b ∈ N Một tập hợp số ba tập hợp ký hiệu N • u(k), v(k): Các hàm thực vơ hướng xác định N • u(k), v(k): Các hàm thực vectơ • R: tập hợp số thực • R+ : tập hợp số thực khơng âm • (t)(m) = Qm−1 i=0 (t − i): biểu thức giai thừa với t ∈ R m số ngun khơng âm • ∆x(k) : x(k + 1) − x(k) • ∇x(k) : x(k) − x(k − 1) • Ex(k) : x(k + 1) • k2 X f (`) : f (k1 ) + + f (k2 ) `=k1 • k2 Y f (`) : f (k1 ) f (k2 ) `=k1 m : Số tổ hợp chập i m phần tử • i • N(a, a): Một điểm tập rỗng LỜI MỞ ĐẦU Như biết, có nhiều tượng khoa học kỹ thuật thực tiễn sống mô tả hệ động lực rời rạc nói chung phương trình sai phân nói riêng Đối với phương trình, hệ phương trình sai phân tuyến tính, thường giải chúng để tìm nghiệm tổng qt Tuy nhiên, phương trình, hệ phương trình sai phân phi tuyến khơng có phương pháp để tìm nghiệm Đối với lớp phương trình, hệ phương trình vậy, thay việc tìm cơng thức nghiệm, người ta thường nghiên cứu tính chất định tính nghiệm Một ứng dụng quen biết tốn việc khảo sát tính chất hội tụ, bị chặn, dao động, tuần hoàn dãy số xuất kỳ thi học sinh giỏi cấp chương trình tốn bậc phổ thơng trung học Có thể nói bất đẳng thức sai phân (hay gọi bất đẳng thức rời rạc) cung cấp nguyên tắc so sánh tổng quát nghiên cứu nhiều tính chất định tính nghiệm phương trình, hệ phương trình sai phân liên quan Bất đẳng thức rời rạc Gronwall phiên (xem [3], [4], [5], [6]), bất đẳng thức rời rạc Opial (xem [7], [8]) ví dụ điển hình, xuất nhiều cơng trình khoa học lĩnh vực Luận văn gồm ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Hệ thống lại số khái niệm số tính chất quan trọng sai phân tiến, sai phân lùi, toán tử dịch chuyển Chương Một số bất đẳng thức sai phân Trong chương này, hệ thống, làm rõ số kết Bất đẳng thức Gronwall, Bất đẳng thức phi tuyến, Bất đẳng thức sai phân cấp n, hệ bất đẳng thức hữu hạn, Bất đẳng thức Opial Chương Một số ví dụ Trong chương chúng tơi trình bày ứng dụng Bất đẳng thức Gronwall chứng minh định lý quan trọng Lý thuyết ổn định giải số tốn sơ cấp Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến PGS.TS Đinh Cơng Hướng, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình nghiên cứu khoa học để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng sau đại học, Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ trình học tập Trường Nhân đây, Tơi xin cảm ơn anh chị, em học viên lớp Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 23, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Ngày 12 tháng năm 2022 Học viên thực Trần Thị Lệ Thủy Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số khái niệm kết quan trọng sử dụng chương sau Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [3] 1.1 Toán tử sai phân tiến, toán tử sai phân lùi, toán tử dịch chuyển Giả sử f (k) hàm xác định N, với k1 , k2 ∈ N cho k1 > k2 , ta quy ước k2 k2 X Y f (`) = f (`) = `=k1 `=k1 Nếu k k + nằm N, ta định nghĩa toán tử sai phân tiến ∆ sai phân lùi ∇ toán tử dịch chuyển hàm f (k) sau: ∆f (k) = f (k + 1) − f (k) ∇f (k) = f (k) − f (k − 1) Ef (k) = f (k + 1) Định nghĩa 1.1 Sai phân cấp m với m số nguyên dương định nghĩa m−1 m ∆ f (k) = ∆ ∆ f (k) Giả sử I toán tử đơn vị, tức If (k) = f (k), ∆ = E − I với số nguyên dương m, ta có m X m m−i ∆m f (k) = (E − I)m f (k) = (−1)i f (k), E = I E i=0 i Định nghĩa 1.2 Toán tử dịch chuyển cấp m định nghĩa sau m−1 m E f (k) = E E f (k) = f (k + m), m = 1, 2, Giả sử I toán tử đơn vị, tức If (k) = f (k), ∆ = E − I với số nguyên dương m, ta có m X m Em f (k) = (I + ∆)m f (k) = ∆i f (k), ∆0 = I i=0 1.2 i Một số tính chất [3] Định nghĩa 1.3 Giả sử u(k) hàm thực vô hướng xác định N(a, b) Ta nói rằng, k = a nút u(k) u(a) = a < k ≤ b nút u(k) u(k) = u(k − 1)u(k) < Định lý 1.4 (Định lý Rolle rời rạc) Giả sử hàm u(k) xác định N(1, m) với < m < ∞, m ∈ N có Pm nút ∆u(k) xác định N(1, m − 1) có Qm nút Khi đó, Qm ≥ Pm − Chứng minh Với m = 2, định lý Giả sử m > với số nguyên i < m kết Nếu Pm = Pm−1 , kết Do đó, giả sử k = m nút, suy Pm = Pm−1 + Giả sử Pm−1 ≥ Ta xét trường hợp sau: • Trường hợp u(m) = u(m − 1) = Khi đó, rõ ràng Qm = Qm−1 + • Trường hợp u(m) = 0, u(m − 1) 6= Giả sử u(m − 1) > Gọi k = i nút lớn u(1), u(2), , với i ≤ m − Do đó, Pi = Pm−1 Qi ≥ Pm−1 − – Với u(i) = 0, i < m − u(i + 1) > 0, cho ∆u(i) > 0, ∆u(m − 1) < Qm ≥ Qi + ≥ Pm−1 = Pm − – Với u(i)u(i − 1) < u(m − 1) > 0, tức u(i) > 0, u(i − 1) < Vì vậy, ∆u(i − 1) > ∆u(m − 1) < nên kết • Trường hợp u(m)u(m − 1) < 0, giả sử, u(m) < 0, u(m − 1) > Chứng minh tương tự trường hợp cuối Định lý 1.5 (Định lý giá trị trung bình rời rạc) Giả sử hàm u(k) hàm thực vô hướng xác định N(a, b) Khi đó, tồn c ∈ N(a + 1, b − 1) cho ∆u(c) ≤ u(b) − u(a) ≤ ∇u(c) b−a (1.1) ∆u(c) ≥ u(b) − u(a) ≥ ∇u(c) b−a (1.2) Chứng minh Gọi f (k) hàm xác định N(a, b) f (k) đạt cực đại c, c ∈ N(a + 1, b − 1) Khi f (c) ≥ f (c + k), k ∈ N(0, b − c) f (c) ≥ f (c − k), k ∈ N(0, c − a) Do đó, f (c − k) − f (c) ≤ ≤ f (c) − f (c + k), k ∈ N(0, min{b − c, c − a}) Tương tự, f (k) đạt cực tiểu c ∈ N(a + 1, b − 1) f (c − k) − f (c) ≥ ≥ f (c) − f (c + k), k ∈ N(0, min{b − c, c − a}) Gọi g(k) hàm xác định N(a, b), cho g(a) = g(b) Khi đó, g(k) đạt cực đại cực tiểu số c ∈ N(a + 1, b − 1) (Nếu g(k) số, lấy điểm thuộc N(a + 1, b − 1)) Ta lấy hàm phụ v(k) N(a, b) sau v(k) = u(k) − u(b) − u(a) k b−a Khi đó, v(a) = v(b) = (bu(a)−au(b))/(b−a) Do đó, tồn số c ∈ N(a+1, b−1) cho u(c − k) − u(b) − u(a) u(b) − u(a) (c − k) − u(c) − c ≤0 b−a b−a u(b) − u(a) u(b) − u(a) ≤ u(c) − c − u(c + k) − (c + k) , b−a b−a k ∈ N (0, min{b − c, c − a}) Hoặc u(b) − u(a) u(b) − u(a) u(c − k) − (c − k) − u(c) − c ≥0 b−a b−a u(b) − u(a) u(b) − u(a) ≥ u(c) − c − u(c + k) − (c + k) , b−a b−a k ∈ N (0, min{b − c, c − a}) Tương tự u(c − k) − u(c) + u(b) − u(a) u(b) − u(a) k ≤ ≤ u(c) − u(c + k) + k b−a b−a u(c − k) − u(c) + u(b) − u(a) u(b) − u(a) k ≥ ≥ u(c) − u(c + k) + k b−a b−a Hoặc u(c − k) − u(c) u(b) − u(a) u(c) − u(c + k) ≤− ≤ , k b−a k với k ∈ N(1, min{b − c, c − a}) Hoặc u(b) − u(a) u(c) − u(c + k) u(c − k) − u(c) ≥− ≥ , k b−a k với k ∈ N(1, min{b − c, c − a}) Do đó, với k = 1, ta có u(c + 1) − u(c) ≤ u(b) − u(a) ≤ u(c) − u(c − 1) b−a u(c + 1) − u(c) ≥ u(b) − u(a) ≥ u(c) − u(c − 1) b−a Hoặc Hệ 1.6 Giả sử hàm u(k) hàm thực vô hướng xác định N(a, b) M = max{|∆u(k)| : k ∈ N(a, b - 1)} Khi ... 12 BẤT ĐẲNG THỨC SAI PHÂN 2.1 Bất đẳng thức Gronwall [3],[6] 2.2 Bất đẳng thức phi tuyến 2.3 Bất đẳng thức sai phân cấp n 2.4 Hệ bất đẳng thức hữu hạn 2.5 Bất đẳng thức Opial... lại số khái niệm số tính chất quan trọng sai phân tiến, sai phân lùi, toán tử dịch chuyển Chương Một số bất đẳng thức sai phân Trong chương này, hệ thống, làm rõ số kết Bất đẳng thức Gronwall, Bất. .. Bất đẳng thức phi tuyến, Bất đẳng thức sai phân cấp n, hệ bất đẳng thức hữu hạn, Bất đẳng thức Opial Chương Một số ví dụ Trong chương chúng tơi trình bày ứng dụng Bất đẳng thức Gronwall chứng minh