(TIỂU LUẬN) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH và ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG TRONG đời SỐNG HÀNG NGÀY có sử DỤNG KIẾN THỨC của môn QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN  TIỂU LUẬN MÔN HỌC MÔN : QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Mã lớp:2021COMP150204 Tên giảng viên: Trịnh Huy Hồng Tên sinh viên: Trần Cơng Minh -Thành46.01.104.105 phố Hồ Chí Minh -2021 -MSSV: Tieu luan MỤC LỤC YÊU CẦU 1: BÀI NGHIỆM THU CHƯƠNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1.Khái niệm tốn quy hoạch tuyến tính 1.1.1.Các ví dụ dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính 1.1.2.Định nghĩa 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 1.3 Cách đưa tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 1.4 Quy hoạch tuyến tính dạng tắc 1.5 Các tính chất tốn quy hoạch tuyến tính CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 2.1 Khái niệm tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 2.1.1 Ý nghĩa kinh tế toán đối ngẫu 2.1.2 Định nghĩa 2.1.3 Quy tắt thành lập toán đối ngẫu 2.2 Các định nghĩa đối ngẫu 2.3 Phương pháp đơn hình đối ngẫu 2.3.1 Trường hợp có giả phương án xuất phát 2.3.2 Trường hợp chưa có giả phương án xuất phát 2.3.3 Bài tốn QHTT có tham số vế phải 2.4 Phân tích hậu tối ưu 2.4.1 Giá mờ 2.4.2 Trường hợp PATU không đổi 2.4.3 Trường hợp hiệu chỉnh nghiệm tối CHƯƠNG BÀI TỐN ĐỐI NGẪU 3.1 Cách làm tốn đối ngẫu 3.2.Các cặp ràng buộc đối ngẫu 3.3 Các định lý đối ngẫu CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN VẬN TẢI 4.1.Một số định nghĩa liên quan 4.2.Một số tính chất toán vận tải 4.3.Giải thuận vị 4.3.Bài toán vận tải suy biến 4.4.Bài toán vận tải không cân thu phát Tieu luan (TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH YÊU CẦU 2: ỨNG DỤNG TRONG ĐỜI SỐNG HÀNG NGÀY CÓ SỬ DỤNG KIẾN THỨC CỦA MƠN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 20 YÊU CẦU 3: TRÌNH BÀY HỌC PHẦN CHUYÊN NGÀNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO (SƯ PHẠM TIN HOẶC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN) MÀ CĨ SỰ VẬN DỤNG KIẾN THỨC CỦA MƠN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỂ HỖ TRỢ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TIN HỌC, MINH HOẠ CỤ THỂ 22 YÊU CẦU 4: TÌM HIỂU VÀ SỬ DỤNG THƯ VIỆN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG NGƠN NGỮ LẬP TRÌNH (TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH Tieu luan (TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH YÊU CẦU 1: BÀI NGHIỆM THU CHƯƠNG 3: BÀI TỐN ĐỐI NGẪU 3.1.Cách thành lập tốn đối ngẫu:  Với toán QHTT, toán gốc, ký hiệu P (Primal), thiết lập toán QHTT khác, toán đối ngẫu, ký hiệu D (Dual), cho từ lời giải tốn ta thu thập thơng tin cho lời giải toán  Hơn nữa, phân tích đồng thời hai tốn gốc đối ngẫu, rút kết luận có giá trị mặt tốn học lẫn mặt ý nghĩa kinh tế Giả sử có toán QHTT (bài toán gốc) f(x)=c x +c x +… +c n x n → a 11 x +a12 x +… +a n x n (≤ ;=; ≥)b1 …………………………………… a m x 1+ am x2 +…+ amn x n ( ≤;=; ≥ ) bm x j (≤ ;=; ≥ ) (l=1.n) Khi tốn đối ngẫu có dạng: f (´x ) =b y +b2 y 2+ …+ bm y m →max a 11 y +a 21 y +…+a m y m ( ≤;=; ≥ ) c ………………………………… a 1n y 1+ a2 n y 2+ …+amn y m ( ≤;=; ≥ ) c n y (≤ ;=; ≥ ) ( i=1 m ) Về dấu: BT gốc quy định BT đối ngẫu + Ràng buộc biến quy định ràng buộc chung + Ràng buộc định ràng buộc dấu Ví dụ1: Lập tốn đối ngẫu toán sau: Bài toán gốc: f(x)= x 1+ x2 +3 x → (TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH Tieu luan (TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH −x1 +3 x 2=5 x 1−x +3 x3 ≥ x3 ≤ { x ≥ , x2 ≤ Bài toán đối ngẫu: f(x)= y 1+ y 2+ y →max − y 1+ y ≤5 y1 − y2≥ y + y 3=3 { y ≥0 , y ≤0 3.2.Cặp ràng buộc đối ngẫu: Ta gọi ràng buộc bất đẳng thức (kể ràng buộc dấu) hai toán tương ứng với số cặp ràng buộc đối ngẫu : m x j ≥ 0↔ ∑ a ij x j ≤ c j(j=1 ´, n) i=1 Ví dụ 1: Bài toán gốc: f(X)= x 1+ x +2 x3 → x1 + x + x 3+ x ≥ x 1−2 x 2−x +3 x ≥5 −x 1−x 2+ x3 + x ≥ x j ≥ 0¿ ) Bài toán đối ngẫu: g(Y)= y 1+5 y + y →max y 1+ y 2− y ≤ y 1−2 y 2− y ≤3 (TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH Tieu luan (TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH y 1− y + y ≤2 y +3 y 2+ y ≤ ´ ) y j ≥ ( i=1,3 3.3.Các định lý đối ngẫu: Định lý 1:Nếu hai toán đối ngẫu có P.A.T.Ư tốn có P.A.T.Ư giá trị hàm mục tiêu chúng Hệ 1: Điều kiện cần đủ tốn đối ngẫu có phương án tối ưu tốn có phương án Hệ 2:Điều kiện cần đủ để tốn đối ngẫu khơng có P.A.T.Ư tốn có P.A cịn tốn khơng có P.A Định lý 2.(Định lý độ lệch bù yếu): - X;Y PA cặp toán đối ngẫu (X PA bt gốc, Y PA bt đối ngẫu) - Điều kiện cần đủ để X; Y PA tối ưu cặp toán đối ngẫu là:Trong cặp ràng buộc đối ngẫu, ràng buộc lỏng ràng buộc chặt Chú ý: lỏng >chặt chặt-/-> lỏng Về mặt áp dụng:  X* PATƯ toán P  Từ X* cặp ràng buộc đối ngẫu (lỏngchặt) ta thu hệ pt tuyến tính theo y1 ;y2 ;…;ym  Giải hệ ta nhận nghiệm Y=(y1; ,ym)  Nếu Y PA tốn D Y = Y* ( Tương tự ta Y* ) Ví dụ : f(x)= x 1−2 x2 +2 x 3+ x → x 1+ x2 + x 4=6 x + x 3+5 x =8 { (P) x j ≥ , j=1,2,1,4 ; Có phương án tối ưu x 0=(2,4,0,0) giá trị tối ưu -6 Lập bt đối ngẫu (Q) bt (P) tìm PATƯ bt (Q) Giải: g(x)=6 y +8 y → max • y ≤1 y 1+2 y ≤−2 Bt đối ngẫu(Q) là: y ≤2 y 1+5 y ≤0 { (TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH Tieu luan (TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH • Tìm PATƯ của(Q) +Vì bt(P) có PATƯ nên theo định lí bt(Q) có PATƯ y0 = (y1 , y2) f(x0) = g(y0) +Ta có x0 = (2,4,0,0) Vì x1=2 nên theo định lí độ lệch bù ràng buộc thứ bt(Q): y 1-1=0 (a) Vì x2=4 nên theo định lí độ lệch bù ràng buộc thứ hai bt(Q): y 1+2y2+2=0 (b) Kết hợp (a), (b) ta có hệ pt: { y 1=1 y 1−1=0 ↔ −3 y2 = y 1+ y +2=0 { Vậy phương án tối ưu toán đối ngẫu là: y0=(y1,y2)=(1,-3/2) giá trị tối ưu là: f(x0)=g(y0)=-6 CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN VẬN TẢI 4.1 Một số định nghĩa liên quan;  Một ma trận X =( x ij )m × n thỏa điều kiện (2a), (2b), (3) gọi phương án vận chuyển (PA)  Một PA thỏa (1) gọi phương án vận chuyển tối ưu (PA.TƯ)  Bài toán vận tải thông thường biểu diễn dạng bảng sau:  Dây chuyền dãy ô cho:  Trên dịng hay cột có tối đa ô  Hai ô liên tiếp phải dòng hay cột (TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH Tieu luan (TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH  Vòng dây chuyền khép kín có tối thiểu ô  Những ô ứng với x ij > PA gọi ô chọn, ô cịn lại gọi loại Ơ chọn đặc trưng cho tuyến đường có vận tải  Một phương án mà chọn khơng tạo thành vịng gọi phương án cực biên  Một PA.CB có đủ m+n-1 ô chọn gọi PA.CB không suy biến  Một PA.CB m+n-1 chọn gọi PA.CB suy biến 4.2.Một số tính chất tốn vận tải: Tính chất 1: Bài tốn vận tải cân thu phát ln có phương án tối ưu Tính chất 2: Trong PA.CB, số chọn khơng vượt q (m+n-1) Tính chất 3: Với PA.CB có đủ (m+n-1) chọn loại tạo nên vòng với số ô chọn (TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH Tieu luan (TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH(TIEU.LUAN).QUY.HOACH.TUYEN.TINH.va.UNG.DUNG.UNG.DUNG.TRONG.doi.SONG.HANG.NGAY.co.su.DUNG.KIEN.THUC.cua.mon.QUY.HOACH.TUYEN.TINH 4.3 Giải thuật vị: Định lý 1: Nếu cộng vào chi phí hàng 1,2 , … , m lượng u1 ,u , … , um vào cột 1,2 , … , n lượng v1 , v , … , v n, tức thay c ij c 'ij =c ij + ui+ v j ta tốn tương đương toán cũ Định nghĩa: Các số ui , v j thỏa c ij + ui+ v j=0 Ɐ ô chọn (i,j) gọi vị Đối với ô loại, lượng ∆ ij =c ij +ui + v j gọi lượng kiểm tra Định lý 2:  Nếu ∆ ij ≥ , ∀(i , j)  ta có PA.TƯ  Nếu ∃(i , j) cho ∆ ij