Bài toán xác định tham số trong một lớp bất đẳng thức vi biến phân cấp phân số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI −−−∗∗∗−−− TƠ THỊ HUYỀN BÀI TỐN XÁC ĐỊNH THAM SỐ TRONG MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN CẤP PHÂN SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI −−−∗∗∗−−− TÔ THỊ HUYỀN BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THAM SỐ TRONG MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN CẤP PHÂN SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đình Kế HÀ NỘI-2018 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa học Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn tới tồn thể thầy nhà trường dạy dỗ, bảo tận tình trình em học tập trường Em xin gửi lời cảm ơn tới tồn thể thầy Bộ mơn Tốn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TS Trần Đình Kế, người trực tiếp bảo hướng dẫn tận tình em suốt trình thực luận văn Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người bên để giúp đỡ chia sẻ khó khăn với em suốt thời gian học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2018 Tác giả Tô Thị Huyền LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS Trần Đình Kế, luận văn thạc sĩ chun ngành Tốn Giải tích với đề tài "Bài tốn xác định tham số lớp bất đẳng thức vi biến phân cấp phân số"được hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2018 Tác giả Tô Thị Huyền Mục lục Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm tốn tử tuyến tính 1.2 Giải tích bậc phân số 1.3 Các bất đẳng thức dạng Gronwall 10 Chương : Tính giải toán xác định tham số 12 2.1 Bài toán tương đương 12 2.2 Sự tồn nghiệm 16 Chương : Tính tính ổn định nghiệm 3.1 Ước lượng theo kiện 25 3.2 28 Áp dụng Kết luận chung Tài liệu tham khảo 25 32 33 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bất đẳng thức vi biến phân (DVI) mơ hình kết hợp phương trình vi phân bất đẳng thức biến phân, dùng để mơ tả tốn học tiếp xúc, động lực học kinh tế, mạng lưới điện Mô hình bắt đầu nghiên cứu cách hệ thống từ cơng trình Pang Stewart trường hợp hữu hạn chiều, sau mở trọng cho trường hợp vơ hạn chiều số cơng trình gần Xét mơ hình DVI sau D0α x(t) = Ax(t) + B(u(t))z + h(x(t)), t ∈ (0, T ] F (x(t)) + G(u(t)), v − u(t) ≥ 0, ∀v ∈ K, t ∈ [0, T ] x(0) = ξ (0.1) (0.2) (0.3) (x, u) lấy giá trị X ×U với X khơng gian Banach U không gian Hilbert, K ⊂ U tập lồi đóng, D0α đạo hàm cấp α theo nghĩa Caputo, A toán tử sinh C0 − nửa nhóm, B, h, F, G hàm cho trước Bài tốn tìm ba (x, u, z) ∈ C([0, T ]; X) × X với điều kiện bổ sung T ϕ(t)x(t)dt = ψ, (0.4) toán ngược dạng xác định tham số, vấn đề nghiên cứu có tính thời thời gian gần Quan tâm đến lớp toán này, chúng tơi chọn đề tài Bài tốn xác định tham số lớp bất đẳng thức vi biến phân cấp phân số, làm nội dung nghiên cứu luận văn 2 Mục đích nghiên cứu Tìm điều kiện đảm bảo tính giải tốn (0.1)-(0.4) Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết bất đẳng thức vi biến phân; Tìm hiểu lý thuyết nửa nhóm giải tích bậc phân số Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động Nghiên cứu điều kiện giải toán ngược (0.1)-(0.4) Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức vi biến phân cấp phân số • Phạm vi nghiên cứu: điều kiện giải toán ngược Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng số cơng cụ giải tích hàm: • Lý thuyết điểm bất động; • Bất đẳng thức biến phân; • Lý thuyết nửa nhóm giải tích bậc phân số Dự kiến đóng góp luận văn Trình bày chi tiết số kết tính giải toán (0.1)-(0.4), dựa vào cơng trình [9] Đặt vấn đề Cho X không gian Banach U không gian Hilbert K tập lồi đóng U,ta xét toán xác định tham số (FrIP) Cho ξ, ψ ∈ X, tìm (x, u, z) thoả mãn bất đẳng thức vi biến phân bậc phân số D0α x(t) = Ax(t) + B(u(t))z + h(x(t)), t ∈ (0, T ], F (x(t)) + G(u(t)), v − u(t) ≥ 0, ∀v ∈ K, t ∈ [0, T ], x(0) = ξ, (0.5) (0.6) (0.7) thoả mãn điều kiện T ϕ(s)x(s)ds = ψ, (0.8) (x, u) lấy giá trị X × U, z ∈ X; D0α , α ∈ (0, 1), đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo Trong mơ hình tốn, A tốn tử tuyến tính đóng X, ϕ ∈ C ([0, T ]; R) hàm không tầm thường, không âm, B : U → R, h : X → X, F : X → U ∗ G : U → U ∗ ánh xạ cho trước Ký hiệu ·, · cặp đối ngẫu tắc U đối ngẫu U ∗ Các bất đẳng thức vi biến phân (DVIs) xuất hệ chứa phương trình tiến hố ràng buộc bất đẳng thức biến phân DVIs nghiên cứu hệ thống Pang Stewart xem [18] Ở DVIs mơ hình tổng qt cho phương trình vi phân đại số, tốn bù vi phân Thực tế DVIs mô tả mơ hình tốn học nơi giao thoa hệ động lực tối ưu DVIs bậc phân số (FrDVIs) đề xuất [14] Trong [14], tác giả sử dụng phương pháp bậc tô pơ để nghiên cứu tính giải FrDVIs Chú ý FrDVIs [14] thiết lập không gian hữu hạn chiều Tuy nhiên, phương trình tiến hố DVIs miêu tả phương trình đạo hàm riêng (PDE), có DVIs vơ hạn chiều DVIs không gian vô hạn chiều thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học [2, 13] Trong [2, 13] tác giả nghiên cứu câu hỏi liên quan tới tính giải dáng điệu tiệm cận nghiệm DVIs mà ràng buộc phương trình tiến hố cấp khơng gian Banach Xét FrDVI (0.5)-(0.7), ý rằng, phương trình tiến hoá bậc phân số (0.5) sử dụng để mơ tả q trình động lực học vật liệu có nhớ Các phương trình tiến hố bậc phân số sử dụng để miêu tả trình khuếch tán bất thường (xem [10, 20]) Gần đây, toán xác định số hạng nguồn cho PDEs bậc phân số nhận quan tâm nhiều nhà tốn học Đối với tốn tuyến tính, tác giả nghiên cứu toán xác định số hạng nguồn sử dụng phương pháp quy hố [19], phương pháp thác triển [5] Tuy nhiên, so sánh với trường hợp tuyến tính, tốn xác định số hạng nguồn tốn ngược phi tuyến biết đến Trong [17], toán xác định số hạng nguồn phi tuyến nghiên cứu dựa nguyên lý cực đại cho phương trình vi phân bậc phân số Sử dụng phương pháp định lý điểm bất động, tác giả [23] nghiên cứu tốn xác định số hạng nguồn cho phương trình truyền sóng bậc phân số nửa tuyến tính, B Wu cộng chứng minh kết tồn địa phương Cần ý rằng, không giống phương trình bậc ngun, khơng thể kéo dài nghiệm cho phương trình bậc phân nghiệm phương trình bậc phân số khơng có tính chất nửa nhóm Ngồi sử dụng phương pháp điểm bất động nghiên cứu tốn ngược xem [15, 16] Vấn đề đặt xác định đại lượng ràng buộc FrDVI (0.5)-(0.7) Cụ thể, biểu diễn B(u(t))z phương trình (0.5), số hạng B(u(t)) biên độ ràng buộc, số hạng z ∈ X hướng ràng buộc giả sử chưa biết Số hạng xác định sử dụng đo đạc (0.8) Bài toán (FrIP) nghiên cứu sau Dưới giả sử A toán tử quạt,ta chứng minh nghiệm tích phân (0.5)-(0.7) nghiệm cổ điển Sử dụng định lý điểm bất động Schauder ta chứng minh tồn nghiệm toàn cục (x, u, z) với kiện ban đầu (ξ, ψ) Bổ sung thêm giả thiết hệ số Lipschitz F nhỏ, chứng minh ánh xạ (ξ, ψ) → (x, u, z) Lipschitz địa phương từ X × D(A) tới C([0, T ]; X) × C([0, T ]; U) × X, từ nhận kết tính tính ổn định nghiệm Luận văn nhắc lại tính chất tốn tử giải thức bậc phân số tương ứng với phần tuyến tính (0.5) Trong mục 3, nghiên cứu tồn quy nghiệm tích phân (FrIP) Mục dẫn tính tính Lipschitz ánh xạ (ξ, ψ) → (x, u, z) Phần cuối luận văn đưa áp dụng kết trừu tượng cho hệ PDEs 21 + |B(V(ζ2 ))||I(Vy1 )| J (y1 ) − J (y2 ) + |B(V(ζ2 ))| J (y2 ) |I(Vy1 ) − I(Vy2 )| + h(ζ1 ) − h(ζ2 ) = E1 + E2 + E3 + E4 Tiếp theo dẫn ước lượng cho Ei , i = 1, 2, 3, Sử dụng (B), Bổ đề 2.1.2 (2.9) ta có E1 ≤ (KJ r + MJ )LB LF ζ1 − ζ2 mB ηG ϕ L1 Từ (B), (H), (2.7) (2.8) ta có đánh giá MB J (y1 ) − J (y2 ) mB ϕ L1 T MB ≤ Λy1 − Λy2 + |ϕ(t)| h(y1 (t)) − h(y2 (t)) dt mB ϕ L1 MB ≤ (Lϕ y1 − y2 ∞ + Lh ϕ L1 y1 − y2 ∞ ) mB ϕ L1 MB KJ y1 − y2 ∞ = mB ϕ L1 E2 ≤ Với E3 , ta có E3 ≤ MB (KJ r + MJ )|I(Vy1 ) − I(Vy2 )| MB (KJ r + MJ ) T ≤ |ϕ(t)||B(Vy1 (t)) − B(Vy2 (t))|dt m2B ϕ 2L1 MB LB LF (KJ r + MJ ) ≤ y1 − y2 ∞ m2B ηG ϕ L1 Rõ ràng, theo giả thiết (H), E4 ≤ Lh ζ1 − ζ2 Do Φy1 (ζ1 ) − Φy2 (ζ2 ) ≤ C1 (r) ζ1 − ζ2 + C2 (r) y1 − y2 (KJ r + MJ )LB LF + Lh , mB ηG ϕ L1 MB KJ MB LB LF (KJ r + MJ ) C2 (r) = + mB ϕ L1 m2B ηG ϕ L1 C1 (r) = ∞, (2.24) 22 Đặt xi = Σ(yi ), i = 1, Khi sử dụng (2.24) với t ∈ [0, T ], ta có t (t − s)α−1 Pα (t − s) Φy1 (x1 (s)) − Φy2 (x2 (s)) ds x1 (t) − x2 (t) ≤ C1 (r) t (t − s)α−1 x1 (s) − x2 (s) ds Γ(α) t C2 (r) + y1 − y2 ∞ (t − s)α−1 ds Γ(α) α t C2 (r) y1 − y2 ∞ = Γ(α + 1) C1 (r) t (t − s)α−1 x1 (s) − x2 (s) ds + Γ(α) ≤ Do từ Bổ đề 1.3.1 suy tα C2 (r) x1 (t) − x2 (t) ≤ Eα,1 (C1 (r)tα ) y1 − y2 Γ(α + 1) ∞, ∀t ∈ [0, T ] Bất đẳng thức cuối khẳng định Σ ánh xạ liên tục Mệnh đề chứng minh Tiếp theo ta phát biểu kết phần Định lý 2.2.5 Với giả thiết Định lý 2.2.2 tốn (FrIP) có nghiệm MB KJ + Lh < β, mB ϕ L1 (2.25) KJ cho (2.10) Chứng minh Chú ý x điểm bất động ánh xạ Σ xác định Mệnh đề 2.2.4, nghiệm (2.13)-(2.14) Do ta cần chứng minh Σ có điểm bất động Cξ ([0, T ]; X) Để chứng minh khẳng định này, sử dụng định lý điểm bất động Schauder Bước Trước hết ta chứng minh Σ(Br ) ⊂ Br với r > 0, Br hình cầu đóng tâm gốc toạ độ bán kính r Đặt x = Σ(y), t (t − s)α−1 Pα (t − s) Φy (x(s)) ds, t ∈ [0, T ] x(t) ≤ Sα (t)ξ + 23 Chú ý Φy (x(t)) ≤ |B(V(x(t)))||I(Vy)| J (y) + h(x(t)) MB (KJ y ∞ + MJ ) + Lh x(t) + h(0) , ≤ mB ϕ L1 (2.26) Sα (t) ≤ Eα,1 (−βtα ), Pα (t) ≤ Eα,α (−βtα ), ∀t ≥ 0, (xem [3]) ta thu t α (t − s)α−1 Eα,α (−β(t − s)α )(Lh x(s) + κ)ds, x(t) ≤ Eα,1 (−βt ) ξ + κ= MB KJ y mB ϕ L1 ∞ + MB MJ + h(0) mB ϕ L1 Vì Lh < β, nên từ Bổ đề 1.3.2 ta có κ [1 − Eα,1 (−(β − Lh )tα )] β − Lh κ ≤ Eα,1 (−(β − Lh )tα ) ξ + β − Lh x(t) ≤ Eα,1 (−(β − Lh )tα ) ξ + ≤ D1 y ∞ + D2 , ∀t ∈ [0, T ], MB KJ , mB ϕ L1 (β − Lh ) MB MJ D2 = ξ + + h(0) mB ϕ L1 D1 = β − Lh Theo (2.25), D1 < Vì y ∈ Br x(t) ≤ D1 r + D2 ≤ r, ∀t ∈ [0, T ], r chọn đủ lớn Nghĩa là, Σ(y) ∈ Br Bước Xét Σ : Br → Br Chúng ta chứng minh Σ toán tử compact Ta có Σ(y) = Sα (·)ξ + Qα ◦ Φy (Σ(y)), (2.27) 24 t (t − s)α−1 Pα (t − s)x(s)ds, x ∈ C([0, T ]; X) Qα (x)(t) = Theo (2.26), ta có MB mB ϕ MB ≤ mB ϕ Φy (Σ(y)(t)) ≤ (KJ r + MJ ) + Lh Σ(y)(t) + h(0) L1 (KJ r + MJ ) + Lh r + h(0) L1 MB (KJ r + MJ ) + Lh r + h(0) mB ϕ L1 Sử dụng [3, Mệnh đề 2.5], ta nhận Qα (BR ) tập liên tục đồng Vì Φy (Σ(y)) ∈ BR với R = bậc Mặt khác, giả sử χ độ đo khơng compact Hausdorff X (xem [7]) Khi theo [8, Mệnh đề 2.5] Pα (t) toán tử compact với t ∈ (0, T ], ta có t (t − s)α−1 χ(Pα (t − s)BR (s))ds = χ(Qα (BR )(t)) ≤ Từ Qα (BR )(t) tập compact tương t ∈ [0, T ] Do đó, theo định lý Arzelà-Ascoli, Qα (BR ) tập compact tương đối Vì Σ(Br ) ⊂ Sα (·)ξ + Qα (BR ), ta nhận Σ(Br ) tập compact tương đối Định lý chứng minh 25 Chương Tính tính ổn định nghiệm 3.1 Ước lượng theo kiện Trong phần này, nghiên cứu tương ứng (ξ, ψ) → (x, u, z), (x, u, z) nghiệm (FrIP) ứng với kiện (ξ, ψ) tương ứng ánh xạ liên tục Lipschitz từ X × D(A) tới C([0, T ]; X) × Uad × X Vì u = Vx V Lipschitz nên ta nghiên cứu ánh xạ (ξ, ψ) → (x, z) Nhắc lại D(A) không gian Banach với chuẩn đồ thị ψ D(A) = ψ + Aψ với ψ ∈ D(A) Bổ đề 3.1.1 Giả sử giả thiết (A), (B), (F), (G), (H), (2.25) thoả mãn Đặt (x, u, z) nghiệm (FrIP) tương ứng với cặp (ξ, ψ) Khi ≤ ρ0 Hơn nữa, (ˆ x, uˆ, zˆ) ˆ ψ), ˆ tồn số dương δ nghiệm khác (FrIP) ứng với (ξ, ˆ ψ) ˆ cho ρ = ρ(ξ, ψ, ξ, tồn ρ0 = ρ0 (ξ, ψ) > cho x x − xˆ ∞ ∞ ξ − ξˆ + ψ − ψˆ ≤ρ D(A) , LF < δ Chứng minh Theo giả sử, x nghiệm (2.13)-(2.14) Vì t (t − s)α−1 Pα (t − s) Φ(x)(s) ds x(t) ≤ Sα (t) ξ + 26 Lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 2.2.1, ta có Φ(x)(t) ≤ MB KJ x mB ϕ L1 ∞ + Lh x(t) + MB MJ + h(0) mB ϕ L1 = Lh x(t) + κ, ∀t ∈ [0, T ], κ= MB KJ x mB ϕ L1 ∞ + MB MJ + h(0) mB ϕ L1 Tương tự chứng minh Định lý 2.2.5,ta có x(t) ≤ Eα,1 (−(β − Lh )tα ) ξ + κ , ∀t ∈ [0, T ] β − Lh Suy 1− mB MB KJ ϕ L1 (β − Lh ) Theo (2.25), q := − x ∞ x mB ∞ ≤ ξ + MB MJ + h(0) mB ϕ L1 MB KJ > Vì ta có ϕ L1 (β − Lh ) ξ + q q(β − Lh ) ≤ ρ0 := β − Lh MB MJ + h(0) mB ϕ L1 ˆ ψ), ˆ Giả sử (ˆ x, uˆ, zˆ) nghiệm khác (FrIP) tương ứng với (ξ, x(t) − xˆ(t) ≤ Sα (t) ξ − ξˆ t (t − s)α−1 Pα (t − s) Φ(x)(s) − Φ(ˆ x)(s) ds + t ≤ Eα,1 (−βt ) ξ − ξˆ + α (t − s)α−1 Eα,α (−β(t − s)α ) Φ(x)(s) − Φ(ˆ x)(s) ds (3.1) Ước lượng tương tự Mệnh đề 2.2.4, có Φ(x)(t) − Φ(ˆ x)(t) ≤ |B(V(x(t))) − B(V(ˆ x(t)))| I(Vx)J (x) + |B(V(ˆ x(t)))||I(Vx)| J (x) − J (ˆ x) + |B(V(ˆ x(t)))| J (ˆ x) |I(Vx) − I(Vˆ x)| + h(x(t)) − h(ˆ x(t)) 27 = E1 + E2 + E3 + E4 , t ∈ [0, T ], (KJ ρ0 + MJ )LB LF x(t) − xˆ(t) , mB ηG ϕ L1 ˆJ) MB LB LF (KJ ρ0 + M E3 ≤ x − xˆ ∞ , m2B ηG ϕ L1 E1 ≤ E4 ≤ Lh x(t) − xˆ(t) , ˆ J = Lϕ ξˆ + Aψˆ + h(0) ϕ với M L1 Xét E2 , sử dụng (2.7) ta có T J (x) − J (ˆ x) ≤ Λx − Λˆ x + Aψ − Aψˆ + |ϕ(t)| h(x(t)) − h(ˆ x(t)) dt ≤ Lϕ ( x − xˆ = KJ x − xˆ ∞ ∞ + ξ − ξˆ ) + Aψ − Aψˆ + Lh ϕ L1 x − xˆ + Lϕ ξ − ξˆ + Aψ − Aψˆ Do E2 ≤ MB mB ϕ (KJ x − xˆ ∞ + Lϕ ξ − ξˆ + Aψ − Aψˆ ) L1 Từ đánh giá ta thu Φ(x)(t) − Φ(ˆ x)(t) ≤ C1 x(t) − xˆ(t) + C2 x − xˆ ∞ + C3 ξ − ξˆ + C4 Aψ − Aψˆ , (KJ ρ0 + MJ )LB LF + Lh , mB ηG ϕ L1 ˆJ) MB KJ MB LB LF (KJ ρ0 + M C2 = + , mB ϕ L1 m2B ηG ϕ L1 MB Lϕ MB C3 = , C4 = mB ϕ L1 mB ϕ L1 C1 = Thế ước lượng cuối vào (3.1), ta có x(t) − xˆ(t) ≤ Eα,1 (−βtα ) ξ − ξˆ t (t − s)α−1 Eα,α (−β(t − s)α )(C1 x(s) − xˆ(s) + ϑ)ds, + ∞ 28 ϑ = C2 x − xˆ ∞ + C3 ξ − ξˆ + C4 Aψ − Aψˆ Theo (2.25), tìm số δ > cho C1 < β C2 < β − C1 với LF ∈ (0, δ) Sử dụng Bổ đề 1.3.2 ta có x(t) − xˆ(t) ≤ Eα,1 (−(β − C1 )tα ) ξ − ξˆ + ϑ β − C1 Từ ta có 1− C2 β − C1 x − xˆ ∞ ≤ 1+ C3 β − C1 ξ − ξˆ + C4 Aψ − Aψˆ β − C1 Bổ đề chứng minh Định lý 3.1.2 Dưới giả thiết Bổ đề 3.1.1 với (ξ, ψ) toán (FrIP) có nghiệm Hơn ánh xạ nghiệm(ξ, ψ) → (x, z) liên tục Lipschitz địa phương từ X × D(A) tới C([0, T ]; X) × X Chứng minh Vì ánh xạ z = I(Vx)J (x) Lipschitz địa phương nên kết luận Định lý 3.1.2 suy từ Bổ đề 3.1.1 3.2 Áp dụng Cho Ω miền bị chặn Rd , d ≥ 1, với biên ∂Ω trơn Giả sử ∈ H (Ω) hàm không âm Ký hiệu K := {v ∈ L2 (Ω) : v(x) ≥ (x) với hầu khắp x ∈ Ω} Xét tốn: tìm z ∈ L2 (Ω) Z, u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) thoả mãn ˜ Z(t, x)), x ∈ Ω, Q(y, u(t, y))dy + h(x, ∂tα Z(t, x) = ∆x Z(t, x) + z(x) Ω (3.2) − ∆x u(t, x) + W (u(t, x) − (x)) f (x, Z(t, x)), x ∈ Ω, (3.3) Z(t, x) = u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, (3.4) Z(0, x) = ξ(x), x ∈ Ω, (3.5) điều kiện đo T ϕ(t)Z(t, x) dt = ψ(x), x ∈ Ω, (3.6) 29 ∂tα đạo hàm Caputo bậc phân theo biến thời gian, W : R → 2R đồ thị đơn điệu cực đại,       W (r) = R−     ∅ if r > 0, if r = 0, if r < ˜ Hàm ϕ khả vi, không âm [0, T ], ξ, ψ ∈ H (Ω) ∩ H01 (Ω), hàm Q, h f mô tả sau Ký hiệu X = U = L2 (Ω) Chuẩn X U cho u |u(x)|2 dx = Ω Xét hàm B : U → R, B(v) = Q(y, v(y))dy (3.7) Ω Khi (3.2) biểu diễn dạng ∂tα Z(t) = AZ(t) + B(u(t))z + h(Z(t)), t ∈ [0, 1], A = ∆, D(A) = H01 (Ω) ∩ H (Ω), Z(t) ∈ X, u(t) ∈ U cho Z(t)(x) = Z(t, x), u(t)(x) = u(t, x), h : X → X cho ˜ v(x)), x ∈ Ω h(v)(x) = h(x, (3.8) Ta biết A phần tử sinh nửa nhóm giải tích, compact {S(t)}t≥0 X (xem [21]) Hơn S(t) ≤ e−λ1 t , ∀t ≥ 0, λ1 cho cơng thức λ1 = sup ∇u > u =1 30 Xét (3.3) Đặt G = −∆, −∆ tốn tử Laplace phân phối xác định ∇u(x)∇v(x)dx, for all u, v ∈ H01 (Ω) −∆u, v := Ω Khi Gu, u = u H01 (Ω) ≥ λ1 u Vì giả thiết (G) thoả mãn với ηG = λ1 Cho F : X → X ánh xạ định nghĩa F (v)(x) = f (x, v(x)), x ∈ Ω (3.9) Lập luận tương tự [4, Mệnh đề 2.11], bao hàm thức (3.3) viết dạng −∆u(t) + ∂IK (u(t)) F (Z(t)), ∂IK (u) = {v ∈ L2 (Ω) : v(x)(u(x) − z(x)) dx ≥ 0, ∀z ∈ K} Ω = {v ∈ L2 (Ω) : v(x) ∈ W (u(x) − (x)), for a.e x ∈ Ω} ˜ f xuất phương trình Giả sử hàm phi tuyến Q, h (3.2)-(3.3) hàm Carathéodory xác định Ω × R thoả mãn (N1) Hàm Q(x, ·) không giảm Q(x, r) ≤ p(x), ∀(x, r) ∈ Ω × R, p ∈ L1 (Ω) hàm không âm; (N2) |Q(x, r) − Q(x, s)| ≤ q(x)|r − s|, ˜ r) − h(x, ˜ s)| ≤ k(x)|r − s|, (N3) |h(x, (N4) |f (x, r) − f (x, s)| ≤ (x)|r − s|, với x ∈ Ω r, s ∈ R, q, k, ∈ L2 (Ω) hàm biết Khi từ (N1)-(N2) hàm B cho (3.7) thoả mãn ước lượng sau B(v) ≤ MB := p(x)dx, ∀v ∈ X Ω 31 B(v) ≥ mB := Q(y, (y))dy, ∀v ∈ K, Ω |B(v1 ) − B(v2 )| ≤ LB v1 − v2 , ∀v1 , v2 ∈ X, LB = q Do giả thiết (B) thoả mãn mB > Sử dụng (N3), ta thấy hàm h cho (3.8) liên tục Lipschitz h(v1 ) − h(v2 ) ≤ Lh v1 − v2 , ∀v1 , v2 ∈ X, Lh = k Tương tự, theo (N4), hàm F xác định (3.9) hàm Lipschitz với hệ số LF = Do giả thiết (H) (F) thoả mãn Theo Định lý 2.2.5 3.1.2, ta thu kết sau Định lý 3.2.1 Giả sử (N1)-(N4) thoả mãn Khi tốn (3.2)(3.6) có nghiệm ánh xạ nghiệm (ξ, ψ) → (Z, u, z) Lipschitz địa phương từ X × D(A) tới C([0, T ]; X) × C([0, T ]; X) × X, MB (Lϕ + k ϕ mB ϕ L1 đủ nhỏ L1 ) + k < λ1 , 32 Kết luận chung Luận văn trình bày chi tiết số kết gần cơng trình [9] cho lớp tốn ngược xác định tham số lớp bất đẳng thức vi biến phân cấp phân số, bao gồm: Tính giải tốn xác định tham số Tính nghiệm tính liên tục ánh xạ nghiệm hệ số Lipschitz đủ nhỏ Áp dụng kết trừu tượng cho toán xác định tham số hệ phương trình đạo hàm riêng Luận văn phát triển theo hướng nghiên cứu toán ngược xác định tham số phụ thuộc thời gian hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến 33 Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh, Trần Đình Kế, Nửa nhóm tốn tử tuyến tính ứng dụng, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2016 [2] N.T.V Anh, T.D Ke, On the differential variational inequalities of parabolic-elliptic type, Math Methods Appl Sci 40 (2017), 4683-4695 [3] C.T Anh, T.D Ke, On nonlocal problems for retarded fractional differential equations in Banach spaces, Fixed Point Theory 15 (2014), 373-392 [4] V Barbu, Nonlinear Differential Equations of Monotone Types in Banach Spaces, Springer Monographs in Mathematics, Springer, New York, 2010 [5] D Jiang, Z Li, Y Liu, M Yamamoto, Weak unique continuation property and a related inverse source problem for time-fractional diffusionadvection equations, Inverse Problems 33 (2017), 055013, 22 pp [6] M Kamenskii, V Obukhovskii, G Petrosyan, J.C Yao, Boundary value problems for semilinear differential inclusions of fractional order in a Banach space, Appl Anal 2017, doi: 10.1080/00036811.2016.1277583 [7] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca, Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001 34 [8] T.D Ke, D Lan, Global attractor for a class of functional differential inclusions with Hille-Yosida operators, Nonlinear Anal 103 (2014), 72-86 [9] T.D Ke, T.V Tuan, An identification problem involving fractional differential variational inequalities, preprint 2017 [10] J Kemppainen, J Siljander, V Vergara, R Zacher, Decay estimates for time-fractional and other non-local in time subdiffusion equations in Rd , Math Ann 366 (2016), 941-979 [11] A.A Kilbas, H.M Srivastava, and J.J Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland Mathematics Studies, Vol 204, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2006 [12] J.-L Lions, G Stampacchia, Variational inequalities, Commun Pure Appl Math 20 (1967), 493-519 [13] Z Liu, S Migorski, S Zeng, Partial differential variational inequalities involving nonlocal boundary conditions in Banach spaces, J Differential Equations 263 (2017), 3989-4006 [14] N.V Loi, T.D Ke, V Obukhovskii and P Zecca, Topological methods for some classes of differential variational inequalities, J Nonlinear Convex Anal 17 (2016), 403-419 [15] A Lorenzi, I Vrabie, An identification problem for a nonlinear evolution equation in a Banach space, Appl Anal 91 (2012), 1583-1604 [16] A Lorenzi, I Vrabie, An identification problem for a semilinear evolution delay equation, J Inverse Ill-Posed Probl 22 (2014), 209-244 [17] Y Luchko, W Rundell, M Yamamoto, L Zuo, Uniqueness and reconstruction of an unknown semilinear term in a time-fractional reactiondiffusion equation, Inverse Problems 29 (2013), 065019, 16 pp 35 [18] J.S Pang, D.E Stewart, Differential variational inequalities, Math Program 113 (2008), 345-424 [19] Z Ruan, Z Wang, Identification of a time-dependent source term for a time fractional diffusion problem, Appl Anal 96 (2017), 1638-1655 [20] V Vergara, R Zacher, Optimal decay estimates for time-fractional and other nonlocal subdiffusion equations via energy methods, SIAM J Math Anal 47 (2015), 210-239 [21] I Vrabie, C0 -Semigroups and Applications, Elsevier, Amsterdam, 2003 [22] R.N Wang, D.H Chen, T.J Xiao, Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators, J Differential Equations 252 (2012), 202-235 [23] B Wu, S Wu, Existence and uniqueness of an inverse source problem for a fractional integrodifferential equation, Comput Math Appl 68 (2014), 1123-1136 [24] H Ye, J Gao and Y Ding, A generalized Gronwall inequality and its application to a fractional differential equation, J Math Anal Appl 328 (2007), 1075-1081 [25] Y Zhou, F Jiao, Existence of mild solutions for fractional neutral evolution equations, Comput Math Appl 59 (2010), 1063-1077 [26] Y Zhou, L Peng, On the time-fractional Navier-Stokes equations, Comput Math Appl 73 (2017), 874-891 ... dạng xác định tham số, vấn đề nghiên cứu có tính thời thời gian gần Quan tâm đến lớp tốn này, chúng tơi chọn đề tài Bài toán xác định tham số lớp bất đẳng thức vi biến phân cấp phân số, làm nội... thạc sĩ chun ngành Tốn Giải tích với đề tài "Bài toán xác định tham số lớp bất đẳng thức vi biến phân cấp phân số" được hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác... HÀ NỘI −−−∗∗∗−−− TƠ THỊ HUYỀN BÀI TỐN XÁC ĐỊNH THAM SỐ TRONG MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN CẤP PHÂN SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa