Luận văn sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI TRNH TH HNG NHUNG s TN TI V TNH N NH CA NGHIM I VI BT NG THC VI BIN PHN TRONG KHễNG GIAN HU HN CHIẩU Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS Nguyn Thnh Anh H NI, 2015 LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS Nguyn Thnh Anh Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc nht ti TS Nguyn Thnh Anh, ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tỏc gi hon thnh lun ny Tỏc gi xin by t lũng bit n chõn thnh ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun tt nghip Tỏc gi xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố, ngi thõn ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tỏc gi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, thỏng 06 nm 2015 Tỏc gi Trnh Th Hng Nhung LI CAM OAN Tụi xin cam oan, di s hng dn ca TS Nguyn Thnh Anh, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch vi ti S tn ti v tớnh n nh ca nghim i vi bt ng thc vi bin phõn khụng gian hu hn chiu tụi t lm Cỏc kt qu v ti liu trớch dn c ch rừ ngun gc Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tụi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 06 nm 2015 Tỏc gi Trnh Th Hng Nhung M c lc M u K i n th c c h u n b 1.1 Gii tớch da tr 1.1.1 Tớnh na liờn tc (trờn, di ) ca ỏnh x a tr 1.1.2 Hm a tr o dc v tớch phõn ca ỏnh x a tr 12 1.1.3 Bc cho hm a tr 16 1.2 Bt ng thc bin phõn 20 1.3 Mt s bt ng thc 22 1.3.1 Bt dng thc Cauch-Schwarz 22 1.3.2 Bt ng thc Holder 22 1.3.3 Bt ng thc Minkowshi 22 1.3.4 Bt ng thc Ky Fan 22 1.3.5 Bt ng thc Gronwa 11 23 S t n t i v tớn h n n h c a n g h i m i v i b t n g th c v i b i n p h õ n tr o n g k h ụ n g g ia n h u h n c h iu 24 2.1 Phỏt biu bi t o ỏ n 24 2.2 S tn ti nghim ca bi toỏn 28 2.3 S n nh ca n g h i m 35 K t lu n 48 T i li u th a m k h o M u Lớ chn ti Bt ng thc vi bin phõn l mụ hỡnh tng quỏt ca nhiu bi toỏn cỏc lnh vc ti chớnh, kinh t, giao thụng, ti u hoỏ v khoa hc k thut n bt ng thc vi bin phõn c nhiu nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu v nhn c nhiu kt qu phong phỳ, bao gm cỏc kt qu v s tn ti nghim, tớnh nht nghim, cu trỳc v dỏng iu ca nghim v gii s Gn õy bt ng vi bin phõn vect cng c nhiu nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu v tỡm c nhiu ng dng cỏc lnh vc khỏc Nú cú th c xột nh l mt s m rng ca bt ng vi bin phõn Trong lun ny chỳng tụi mun gii thiu v nghiờn cu mt lp bt ng vi bin phõn vect khụng gian Euclid hu hn chiu Bi vy di s hng dn ca TS Nguyn Thnh Anh tụi ó chn ti S tn ti v tớnh n nh ca nghim i vi bt ng vi bin phõn khụng gian hu hn chiu Lun s c hon thnh da trờn kt qu c cụng b cụng trỡnh Differential Vector Variational Inequalities in Finite-Dim ensional Spaces, J Optim Theory Appl (2013) 158:109-129, ca cỏc tỏc gi Xing Wang v Nan-Jing Huang Chỳng tụi d nhn c s tn ti ca mt nghim yu Carathộodory i vi bt ng thc vi bin phõn vect khụng gian hu hn chiu Euclid Ngoi ra, chỳng tụi cũn nghiờn cu tớnh úng, na liờn tc trờn v na liờn tc di ca ỏnh x nghim yu Carathộodory i vi bt ng thc vi bin phõn vect khụng gian hu hn chiu Euclid c ỏnh x v rng buc b nhiu lon bi tham s M c ớch nghiờn cu Nhn c kt qu v tớnh gii c v tớnh n nh bt ng thc vi bin phõn vect khụng gian hu hn chiu N h im v nghiờn cu Nghiờn cu: S t n t i ca nghim yu Carathộodory Tớnh n nh ca nghim i tng v phm vi nghiờn cu Bt ng thc vi bin phõn vect phm vi khụng gian hu hn chiu Phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu ti liu tham kho theo phng phỏp: h thng li cỏc kin thc cú liờn quan, phõn tớch, tng hp nhng nh ngha, tớnh cht ca gii tớch a tr, bt ng thc bin phõn v mt s bt ng thc D kin úng gúp Lun trỡnh by mt cỏch tng quan v bt ng thc vi bin phõn khụng gian hu hn chiu Chng K in th c chun b 1.1 1 G ii tớch a tr T ớn h n a liờ n t c ( tr n , d i ) c a ỏ n h x a t r Cho X , Y l cỏc bt kỡ v P ( Y ) l tt c cỏc khỏc rng nm Y B x ( , r ) l hỡnh cu tõm bỏn kớnh r X , d B x ( , r ) l mt mt cu n h n g h a 1 nh x a tr T : X > Y l mt tng ng m mi X G X cho ta mt khỏc rng J - ( x ) c Y , F ( x ) c gi l giỏ tr ca X Vỡ vy ỏnh x a tr T cú th vit nh sau \X P(Y) Nu A c X thỡ ?(A) = u ^ (x ) xeA v c gi l nh ca A qua J - Tp Tjr c X X Y c nh ngha r v = {(x ,y) : (x,y) e X x Y , x e X , y e F { x ) } l th ca ỏnh x a tr T Cho V c Y , J7+ 1(Vr) c nh ngha T l {V) = { x e X : T{x) c V} v F ^ i y ) c nh ngha T Z \ V ) = {x X : T( x) V 0} Cho X , Y l khụng gian tụpụ n h n g h a 1 Mt ỏnh x a tr T : X > P ( Y ) l na liờn tc trờn ti mt im X G X nu vi mi m V a Y cho ( ) V thỡ tn ti mt lõn cn (x) ca X cho T i x ) V Mt ỏnh x a tr T c gi l na liờn tc trờn nu nú l na liờn tc tr ờn t i m i i m X X n h lý 1 Cỏc iu kin sau l tng ng : (i) ỏnh x a tr T : X P ( Y ) l na liờn tc trờn; (i) J\T1( y ) l m vi mi m V Y ; (iii) J - I 1( Q ) l úng vi mi úng Q Y n h n g h a 1 nh x a tr T : X > P ( Y ) c gi l na liờn tc di ti mt im X G X nu vi mi m V ỗ Y cho { ) \ thỡ tn ti mt lõn cn (X) ca X cho J- {x' )r\ V 7^ vi mi x' G V () Mt ỏnh x a tr T c gi l na liờn tc di nu nú l na liờn tc di t i m i im X G X n h lý 1 Cỏc iu kin sau l tng ng : () ỏnh x a tr F : X (ii) P ( Y ) l na liờn tc di; l m vi mi m V Y ; (iii) F l (Q) l úng vi mi úng Q Y n h n g h a 1 Mt ỏnh x a tr T va l na liờn tc trờn v va l na liờn tc di thỡ c gi l liờn tc n h n g h a 1 (i) Mt ỏnh x a tr T : R n > Mn c gi l n iu trờn mt li Kn v ch vi mi cp cỏc im x,y E (ii) v v i m i X* e ( ) , y* E J ' i y ) , (X * y * , x y ) > Mt ỏnh li x a tr T :> Kn c gi l gi n iu trờn mt C l " v ch vi mi cp cỏc im x , y G v vi m i X* e F i x ) , y* G F { y ) , ( x * , y x ) > (iii) Mt ỏnh x := h a y ( y *, y x ) > Fp) c gi l gi n iu trờn mt li Rn v ch vi mi Ê = { Ê ijÊ j )Ê?} Ê ^ + \ { } v x , y vi X* (), y* G '() ( = ,2 , , ) , ( ^ & * - > ^ ( ^ & * - x > (iv) Mt ỏnh x T := (.Fl, ^ ) iJ'p) c gi l n iu trờn mt li Mn v ch vi mi Ê = { Ê Ê > Ê} + \{0 } v x , y e vi X* e Ti (), y* G ,() ( = ,2 , , ) , ( X] 4=1 \ - J ầ i x *i,y - ) > 0=1 ' n h n g h a 1 Cho X l mt khụng gian tụpụ, L l mt khỏc rng, úng, li ca X v cho barr(L) = {* X * : sup ( x*, x) < oo} xei l kớ hiu hỡnh nún b chn ca L Nún lừm ca L l nún úng v li c nh ngha bi: L := { d e X : t n > 0, x n L, t nx n *d} õy " "" vit tt ca s hi t yu Nú c bit rng, i vi mi Xq L, cho, vi m i U) G , p & (q + U*U,UJ - UJi) > i=1 v V (q + u*2i:u - Uỡ) > 0, i= T gi thit trờn, T gi n iu nờn vi mi LO* F { l ) , p ^ & ( ỗ + w * , u ; - w i) > i= v p ( + *, - U } 2) > 0, i= iu ú cú ngha l, vi mi UI* E p & ( =1 w (^Wl + (1 ^)w2)) > Ly := Aci + (1 \ ) u >2 v c := ) + X (v ), ú V e v [0,1] Khi ú chỳng ta kt lun rng, vi mi c* ^(o), p (2.8) J & ( v + Uji v ~ ) ^ i= Ly c*, = (c*,1, >*,2, gi thit Ti ) G + (> ) ) v cho A > Theo (i = 1, 2, ,p ) na liờn tc trờn vi cỏc giỏ tr khỏc rng v compact, chỳng ta cú th suy rng tn ti mt dóy ca {/}, c k h i u l i b i { ặ * ,} , s a o c h o )*, > 1* v i J* = (c*,ừ>2 , CJ*) J-(ụ)) Hn na, bt ng thc (2.8) cú ngha l p Êi (q + *i , v - ) > 0, \ vỡ vy, ) Ê SO L( K , q + Jr)^ B c chng minh 34 n h lý 2 Cho ( / , B , G ) tha cỏc iu kin (a) v (b), T := { J - \ , J-) l gi n iu trờn K , J- : Rn Ơ Mn ( = ,2 l cỏc ỏnh x a tr na liờn tc trờn vi cỏc giỏ tr khỏc rng v compact Cho l khỏc rng, b chn, úng v li ca Khi ú bi toỏn ban u D V V I (2.1) cú mt nghim yu Carathộodory Chng minh Theo B 2.2.3 thỡ S O L (if, q + J7) l khỏc rng Da vo B 2.2.1 chỳng ta cú th kt lun rng tn ti Ê S+ cho SOL( K , q + J~)ỗ l khỏc rng Do b chn nờn ta cng cú SO L( K , q + J-)ỗ b chn Hn na, theo B 2.2.4 ta cú SOL( K , q + J-)ỗ l úng v li vi mi q E G( ỡ ) Vỡ vy, chỳng ta cú th chng minh mt cỏch n gin nh B 2.1.3 rng F l hm tuyn tớnh tng v na liờn tc trờn trờn Bõy gi, t B 2.1.2 v 2.1.4 ta cú SOL(DVI)^ l khỏc rng v SOL(DVVI) cng l khỏc rng theo quan h: SOL(DVI)^ SOL(DVVI) nh lớ c chng minh 2.3 S n nh ca nghim Trong phn ny, chỳng ta thit lp tớnh na liờn tc trờn v na liờn t c di c a c ỏ c t p n g h i m c a b t n g t h c v i b i n p h õ n v e c t k h i c ỏnh x v rng buc b nhiu bi hai tham s khỏc Cng phn ny tớnh compact v tớnh compact u c nh ngha khụng gian chun vi chun [[IIx := supớe 0T ||ổ(i)|| n h lý Cho ( / , , G ) tha iu kin (a) Gi s rng cỏc gi thit sau õy c tha mn: (i) J- : Rn X Z ( = , l cỏc ỏnh x a tr liờn tc vi cỏc giỏ tr khỏc rng, úng, li, v cỏc J-(L2[0,T] X Z ) l 35 compact; (il) L : Z > Mn l mt ỏnh x a tr liờn tc vi cỏc giỏ tr b chn, úng v li; (Ui) l gi n iu trờn vi mi V G z 2; (iv) SO L(D V V I( u , v ) ) = U ớeS S O L (D V I(u,v))e vi mi ( u , v ) G Zi X z v SO L(L(uq), q + v)) l khỏc rng vi mi q G G( ỡ ) Khi ú S O L (D V V I(.,.)) l úng ti (ô ,^ ) Z X ZChng minh T cỏc gi thit (ii), (iv) v B 2.2.1, tn ti Ê G s + cho SOL(L(iớo), + l khỏc rng v b chn B 2.1.5 cú ngha l tn ti mt lõn cn X V ca (u, v ) cho, vi mi (lớ, v ) G U x V , SO L (L (iớ), q + F ( , v))ỗ l khỏc rng v b chn Tớnh úng v tớnh li ca SO L(L(u)i q + v))ỗ cú th c suy t B 2.2.4 Theo nh lớ 2.2.1 ta cú SOL(DVI(w, >))Ê l khỏc rng nờn chỳng ta cú th kt lun dc rng SOL(DVVI(w, v)) l khỏc rng Cho dóy { (iin,t>n)} X V vi (un:vn) -> (ii0,Vo), ly (,) SOL(DVVI(wn, vn)) Khi ú cỏc h thc sau c tha món: (i) tn ti Ên = (Êi,Ên , e S+ v * e T { u n, v n) cho, vi mi t [0, T ] v n L ( u n), p ( G { t , x n{t)) +uj*ni( t ) , n - u n(t)) > (2.9) i= (ii) vi mi < s < t < T, x n(t) - x n(s) = [f (,()) + (,())()] ) | , kớ hiu li bi sa ch ô , < .";) Hay (ton, v n) > (co,^o), t gi thit Ti na liờn tc trờn nờn ta cú (j(t), ,ỹỹ*(t)) G T ^o: ) , v ) X X >) Tớnh na liờn tc di ca L cú ngha l, vi mi Cú L ( uq), tn ti mt dóy {ụjn} vi )n G L ( u n) cho n > ễJ Núi mt cỏch khỏc, Ên = (Ê>Ê2 "Ê ) (5+ v (5+ compact nờn t n t i m t d ó y c o n c a { Ê n } , k h i u l i b i { Ê n } , s a o c h o ớn ( Ê Ê ? -"5 Êp) Ê s + T (2.9), (2.10), (2.11) trờn ta cú (i) tn ti Ê s + v C* ^ (c o^ o) (* = 1, , p) cho, vi mi t ầ [, T] v ) G L('iio), ^ (G (ớ, Xo (ớ)) + CJ?(ớ), ụ)n - 6J0(ớ)> > 0; i= (2.12) (ii) vi mi < s < t < T, a;0(ớ) - Xo(s) = [f (,0()) + (,0())0()](1; JS 37 (2.13) (iii) i u k i n b a n u 0(0) = x (2-14) Do ú, (x 0, 60) G SOL(DVI(w0, ^o))- Vi quan h S O L ( D V I ( u 0, v 0) )f S O L ( D W I ( u o , V o ) ) , chỳng ta cú th kt lun c rng ( s o j CJo) e S O L ( D V V I ( u o ,V o ) ) , iu ú cú ngha l S O L (D V V I(.,.)) l úng ti ( u q , Vq ) g ( Z i X z 2) nh lớ c chng minh Tip theo chỳng ta s thit lp tớnh na liờn tc trờn ca S O L (D V V I(.,.)) nh lớ 2.3.2 sau õy n h lý Cho (f , B , G ) tha mn cỏc iu kin (a), (b)v () Gi s cỏc gi thit sau c tho món: (i) J- : Rn X Z Mn ( = , vi cỏcgiỏ tr khỏc rng, úng, li, l cỏc ỏnh x atr liờn tc v cỏc F i ( L 2[0,T] X Z ) l compact; (il) L : Z\ > Mn l mt ỏnh x a tr liờn tc vi cỏc giỏ tr b chn, úng v li; (ni) F ( , v ) l gi n iu trờn ]Rn vi mi V z 2; (iv) SOL(DVVI(w, V)) = U e s SOL(DVI(w, v))ỗ vi mi ( , v) e Z X z v SOL(L(m0), q + J~(-, Vq)) l khỏc rng vi mi q G G(2); (v) SO L (L (.), J (g + Jr(.))) l compact u ti (u:v ) K h i ú S O L ( D V V I ( , )) l t p na liờn tc trờn t i ( uq , V q) Z X z 2- 38 Chng minh Gi s S O L (D V V I(.,.)) khụng cú tớnh cht na liờn tc trờn ti ( u, v ) Khi ú tn ti mt m vi SOL(DVVI(iớo, ?)) , mt dóy { ( un, v n)} Z X z vi (un, v n) -> {uQ, v Q) v (xn,ujn) SO L(D V V I(u,vn)) cho (x n,U)n) o Núi mt cỏch khỏc, x n{t) - x n(s) = [f (r , ()) + (, ()) lỹu( t )] d r (2.15) Js Do / v b chn trờn Q v Uỡn( t ) b chn vi mi t G [, T], t (2.15) ta cú { x n} l mt h cỏc hm s liờn tc ng bc v b chn u (vi ||x|| = supớe [0 T] Ik (ớ)ll) Theo nh lớ A rzel-Ascoli, tn ti mt dóy ca {}, kớ hiu li bi {}, cho {} hi t cn trờn ỳng chun tc n mt hm x trờn [, T ] Do SO L (L (.), f (g + ^ (O )) l compact u ti (mo,^o), ú tn ti mt dóy ca {tn}, kớ hiu li bi {cj}, cho U)n > ĩĩQ Theo nh lớ 2.3.1, S O L ( D V V I ( , )) l úng ti (iớo,Vo) nờn (5Co,co) G SO L(DVVI(uo,v0)) Tuy nhiờn, (xn,Jn) c ngha l (a^o,co) o , iu ny l mõu thun Vỡ vy, S O L (D V V I(.,.)) l na liờn tc trờn ti (Uo,Vo) Ê Z X Z nh lớ c chng minh Bõy gi ta s thit lp tớnh na liờn tc di ca S O L (D V V I(.,.)) n h lý 3 Cho , B , G ) tha mn cỏc iu kin (a), (b) v (c) Gi s cỏc gi thit sau c tha mn: (i) Ti : Mn X z > R n (i = , l cỏc ỏnh x a tr liờn tc vi cỏc giỏ tr khỏc rng, úng, li, v cỏc ( 2[0,] X compact Vúi mi V G Z : J~(-,v) l n iu ngt trờn Mn; 39 z 2) l (il) L : Z\ > Mn l mt ỏnh x a tr liờn tc vi cỏc giỏ tr b chn, úng v li; (iii) G l vi phõn Frộchet trờn 2, v JxG ( t , x ) = B ( t , x ) T, ú JxG ( t , x ) l kớ hiu ma trn Jacobian ca G ( t : x); (iv) SOL(DVVI(w, V)) = v SO L( L( u ), q + SOL(DVI(w, v))ỗ vi mi ( , v) e Z\ X Zi v)) l khỏc rng vi mi q G G ( f); (v) S O L ( L ( ) ,/( g + J7(.))) l compact u ti (uỡv ) Khi ú S O L (D V V I(.,.)) l na liờn tc di ti (IqiVq) g Z X Z Chng minh Vi mi (lớ, v) G Zi X z v vi mi Ê G S+, trc tiờn chỳng ta chng minh SO L(DVI(iớ, ỡ;))^ l nht SOL(DVI(w, l khỏc rng Gi s ( x , ụú), ( x , Ui) G SOL(DVI(w, v))ỗ Bõy gi chỳng ta s chng minh ( , L) = ( x , c ) T h c t , tn ti m t t p c o n E l [0,] v i m ( E i ) = (trong ú m ( E i ) l kớ hiu o Lebesgue ca El ) cho, vi mi t [0 ,T]\ặ?1 , x ( t ) = f ( t , x ( t ) ) + B ( t , x(t))ụỹ(t) (2.16) x{t) = f i t , x{ t ) ) + B ( t , (2.17) Nu E [0,] vi m ( E ) = , = 1,2, ,71, thỡ m(U"=i Ei) = 0- Ly E = El u E Theo trờn ta cú m ( E 3) = v c (2.16), (2.17) cú th c tha vi mi t Ê [0,T]\ặ?3 T (2.16), (2.17) chỳng ta nhn c, vi mi t G [, ] \ , 40 (x{t) - x{t ), x{t) - x { t )) = (x(t) - x ( t ) , f (t, x( t ) ) - f (t, x( t ) ) + + B (t , x ( t )) uj{t) (t , ổ (ợ)) 6j(t)) (2.18) Tớnh liờn tc Lipschitz ca hm / cú ngha l (x(t) - - f ( t , x ( t ) ) ) < Lf \\x{t) - x ( t ) II2 (2.19) T }{t) e SOL(L(w), (ớ, x ( ớ)) + T { , v )) , c(t) e SOL{L(u), G (t, x( t ) ) + ? ( , v))ỗ, v ụ(t) L ( u ) vi 6(ớ) G b(w ), ta cú & ( (ớ, ( ) ) + Ti ( ( t ) , v ) , c(ớ) - ( t ) ) > i= Vó p Ê ( (ớ, a;(ớ)) + T i (c(ớ), ằ), ụ)(ớ) - cj(ớ)) > i=1 Thờm vo ú ^ Ê j( (ớ, ( ) ) - G (t, x( t ) ) + T { ( t ) , v ) - Fi(w (i), v ) , ( t ) - U)(t)) < =\ (2 20 ) Do J-(., V) l n iu ngt trờn R n vi mi V G Z , ta c v ) - ^ i(w ( ), v),ụ)(ớ) - c(ớ)> > (2.21) ẻ=1 T (2.20) v (2.21) ta cú & (G(ớ, (ớ)) - Ê (*> đ(ớ)) , ặ(i) - w ) ) < =1 41 (2.22) Theo gi thit Ê G s + v (2.22) ta cú (G ( t , x ( t ) ) co(t)) < (2.23) Ngoi ra, G (t, x ( t )) G (t, x ( t )) = JXG (t, x ( t )) (x ( t ) x ( t )) + h, (2.24) ú \\h\\ < M || ||2 v M > Do L (u ) b chn, tn ti mt hng s L' > cho ||ụ) < L' v lII < L ' T (2.24) ta cú th vit li (2.23) nh sau ( JXG (t , x ( t )) (x ( t ) x ( t )) + h , ( t ) uj(t)) < (2.25) Do ú, gi thit (iii) v (2.25) kộo theo ( B( t , x)T (x(t ) x(t )) ,(t) < L'M || x\\2 , vỡ vy ((x ( t ) x ( t ) ) , B ( t , X) (ụ)(ớ) oo(t))} < L M || x\\2 (2.26) Bõy gi ta cú th vit li (2.26) nh sau (( x(t ) B(t, x{t))ỹj(t) B(t, x(t))ỹj(t) + B(t, x(t))uj(t) Bt) x(t))ựj(t)} < L M ||5 x\\2 Vỡ vy, (.x ( t ) x( t) , B ( t , x(t))ỹj(t) B ( t , < L M ||x x\\2 + L IIB ( t , x ( t )) B ( t , x (ớ))|| ||x x|| (2.27) T (2.27) v gi thit (A) ta cú ((x ( t ) x ( t ) ) , B ( t , x(t))ỹj(t) B ( t , < ( 2LlM + L' L B) \ \ x - x \ \ 42 (2.28) Ly ip(t) := L f + 2L M + L Lg- Khi ú d thy rng If(t) l mt hm liờn tc v ip(t) > T (2.18), (2.19), (2.28) ta cú th kt lun rng, vi mi t [, ] \ , ( x ( t ) x ( t ) , x ( t ) x ( t ) ) < (p(t ) |(ớ) z(ớ)2 (2.29) Do ||(Ê) x ( t ) II liờn tc tuyt i, hn na ||5 (ớ) x ( t )II cú th ly vi phõn c vi mi t [0,T], nờn tn ti mt E [0,] vi m { E ) = cho, vi mi t Ê [0 ,T ]\Ê^ , IIx( t ) x (ớ)|| cú th ly vi phõn c Vi mi t [0,T ]\i?4, ta cú ( x ( t ) x ( t ) , x ( t ) x ( t )) = ( i (ớ) - * (t), lm ( * ( f l - * ô ' ) ) - ( g ( ô ) - ằ ) \ \ St t - t / = u,m Z T ( * ~ = f/i t 737 t' - t < lim ^ ớ'ớ t - t ~ ~ ~ ~ x (*))) - (*)) - (t ) x(t)i x ( t ) x ( t )y ||x (i) (ớ) Il x{t ) ặ ( ) II I\x(t ) x ( t )| ||5 (i) x ) - x ) \ \ - \\x(t) - x(t)\\ = 11(i) - s ( i ) | | l i m t' - t t d ||5 (ớ) x (ớ)|| = - (*) dt Núi mt cỏch khỏc, 43 II (2.30) ( x ( t ) x ( t ) , x ( t ) x ( t )) = / S(t) - *(t), lim ( a ( \ t -t t'ft / = n,m jz r t ( (*) (*) (5 (*) (* )) (5 (*) (*))) = lim ! i'ti t' - t > lim ^ ớ'tớ t' - t x(t ) - x ( ớ)ớ ),, ớx(t x(t) - zx(( ớt))||2 II ^(ớ) ( ' )) - zx(t ( ' )y )) - II ||(ớ) x(t) x(t) II x( t ) x( t ) x ) - x ) \ \ - ||ớ ( ) - x(ớ)| = p ( ) - (ớ) II lim t' - tớ = ||ớ ( ) - x (ớ)|| \\x(t) x(t)\\ d\\x{t) - a?(t)|| dt (2.31) T (2.30) v (2.31), vi mi t [0,T ]\i?4, ta cú ( x( t ) x ( t ) , x ( t ) x { t ) ) = ||5(ớ) ổ(ợ)|| Ilx{t ) x{t ) Il (2.32) Ly E := E[ J E Theo gi thit ta cú m { E ) = Do ú, chỳng ta cú th ỏp d n g (2 ) v (2 ) kt lu n rn g, vi m i ||ớ ( ) - x (ớ)|| t G [0 ,T ]\.E , ||(ớ) - ổ(ợ)|| < ip(t) ||ớ ( ) - x(t)\\2 Ly T := {t G [OjTjy.E1 : Ilx(t) x(t )Il = 0} Nu t G ([0, T ] \ E ) \ T , thỡ IIx( t ) z ( ớ)|| > 0, v vỡ vy Jt \\x{t) - a?(t)|| < (p{t) Ilx{t) - x{t)\\ Nu G T , ||ổ(ợ) ổ(ợ)|| > v ||ổ(ợ) ổ(ợ)|| cú th ly vi phõn c ti t e 7~, chỳng ta kt lun rng IIx( t ) x (ớ)|| = Vỡ vy, vi mi t Ê [0, T ] \ E , Jt IIx t ) - a?(t)|| < (p{t) IIx( t ) 44 - x t ) II Vi mi t G [, T], -jn- Z(T)||dT=J[ 4Iió(r)- X(T)IIộT T J [0,ớ]\[0,ớ]nÊ Do [0, t ] \ [ 0, t] E [0, T ] \ E , theo trờn ta cú, vi mi t E [, ], J d~ dT~ ^ ~~ ~~ T ' Hn na, IIx t ) - x(t)\\ = ||ớ( ) - (0)11 + = I J J - ll5 (T) - () dT ~ x ^\\dT- Khi ú, vi mi t [0,T], p ( r ) - x (r )|| < (() II() - ()|| dr Jo Theo B 2.1.1, vi mi t G [0 , ], \\x(t) - x ( t ) Il = , vỡ vy x ( t ) = x t ) Bõy gi ta i chng minh ){t) = U){t) Vi mi t [0,T], ta cú ^ & (G (ớ, x ( t )) + Ti { { t ) , v ) , uj(t) - ( t ) ) > i= 45 v ^ i (G (t , x{ t ) ) + Ti (cj(ớ), v ) , )(t) - uj(t)) > i= Thờm vo ú p ^2 & v) - (( ^ v ) > ^ - (2-33) = Tuy nhiờn, nu ụ)(ớ) ^ c(ớ), thỡ tớnh n iu ngt ca >) cú ngha l p Ê i ( F i ( { t ) : v) - T (u){t),v) ,f(t) - U ỡ ( t ) ) > 0, (2.34) 1=1 iu ny l mõu thun Vỡ vy, ụj(t) = uj(t), nờn ( x , uj) = ( , c) T gi thit (ii), (iv) v B 2.2.1 tn ti Ê e s + cho SOL( L( u ), q + F(.,V0)) l khỏc rng v b chn Bõy gi B 2.1.5 cú ngha l tn ti mt lõn cn X V ca (u, v ) cho, vi mi (w, v) e X V, SOL( L ( u ) , q + J- ( , v) )ỗ l khỏc rng v b chn Tớnh úng v li ca SO L(L(u), q + J-(., >))Ê cú th c suy t B 2.2.4 Theo nh lớ 2.2.1 ta cú SOL(DVI)(w, v)ỗ l khỏc rng Ly (:To,;o) ộ SOL(D VV I( w0, vo))- Do SO L(D V V I( u , v ) ) = u SO L (D V I(w ,v))f , ú tn ti Ê G s + cho (iCoj^o) SOL(DVI(iớo, Vq)) ỗ Vi mi dóy { K , ^ ) } l X V vi (un, v n) -> (u0, v 0), ly ( xn,LJn) G SOL(DVI(wn, vn))ỗ Bõy gi ta chng minh ( xn,cn) > (^o,co) Do vi mi < s < t < T, Xn{t) - x n(s) = [f (, ()) + (, ());()] dr, Js 46 (2.35) f, b chn trờn 2, v U)(t) b chn trờn [, ], t (2.35) ta cú {} liờn tc ng bc v b chn u vi chỳ ý x : = s u p tz] llx (^)ll- Theo nh lớ Arzel-A scoli, tn ti mt dóy ca {}, kớ hiu li bi {}, cho { x n} hi t n x Do SO L (L (.), f (g + J7(-))) l compact u ti (,>), chỳng ta bit rng tn ti mt dóy ca {cn}, kớ hiu li bi {cn}, cho Uỡn > ụj0 Theo nh lớ 2.3.1 ta cú SOL(DVI(., ))Ê l úng ti (U,V), nờn (5o,co) SOL(DVI(wo,'))^ Do SOL(DVI(w, >))Ê l nht vi mi (u,v) E x V , theo trờn ta cú (xỡ)) = (ổo,Uo)- Ta bit rng tn ti mt dóy { ( x n,U)n) } vi (,x n, 0Jn) G SOL(DVVI(wn, v n)) s a o c h o (x n , u)n ) > ( Xq,(jJq ), n n S O L ( D V V I ( , )) l n a l i n t c di t i (M0) ^o) E Zi X Z nh lớ c chng minh 47 K t lun Ni dung ca lun l nghiờn cu s tn ti v tớnh n nh ca nghim i vi bt ng thc vi bin phõn phm vi khụng gian hu hn chiu Lun ó trỡnh by c mt s kt qu ỏng chỳ ý sau: Trỡnh by mt cỏch tng quỏt cỏc kin thc v gii tớch a tr, bt ng thc bin phõn v mt s bt ng thc liờn quan Ch s tn ti nghim ca bi toỏn bt ng thc vi bin phõn khụng gian hu hn chiu Xõy dng c tớnh úng, na liờn tc trờn, na liờn tc di ca ỏnh x nghim yu Carathộodory i vi bt ng thc vi biờn phõn khụng gian hu hn chiu Do iu kin v thi gian v trỡnh nghiờn cu cũn hn ch nờn lun khụng trỏnh nhng thiu sút, kớnh mong quy thy cụ v bn bố úng gúp ý kin v b sung lun c hon thin Tỏc gi xin chõn thnh cm n! 48 [...]... quan cht ch n bt ng thc vụ hng bin phõn V ( K : cng chớnh l tỡm U) e K v C* e vic gii bi toỏn l , 2 , , p ) sao cho vi mi C' e K , p - u) > 0 =1 trong ú Ê E s + vi s + {x E : ||a:|| = 1} Chỳng ta kớ hiu tp nghim ca V I( K, J-){ bi SOL(iir, Hn na, DVVI (2.1) cú liờn quan cht ch n bt ng thc vi bin phõn sau õy (vit tt l DVI): (x(t) ^ uj(t) [a;(0) = f { t , x ( t ) ) + B( t , x ( t ) ) u j ( t ) , e... con khỏc rng, li ca mt khụng gian vect tụpụ Hausdorff E, v G : > E l mt ỏnh x a tr t vo E tha món cỏc tớnh cht sau: (i) G l mt ỏnh x K K M, i.e., convA U ổej4 G { x ) vi mi tp con hu hn A ca , trong ú convA l kớ hiu bao li ca A; (ii) G ( x ) l tp úng trong E vi mi X K ; (ni) G { xq) l tp compact trong E vi mi x e Khi ú \ G (x ) 0- 2.2 S t n t i nghim ca bi toỏn Trong phn ny chỳng ta s trỡnh... \{x,y)\2 < {x,x).(y,y} Trong trng hp khụng gian Euclide n chiu Mn, bt ng thc trờn tr thnh 1.3.2 B t ng thc H older Vi mi X = ( x i , x 2, , x n) , y = ( y i , y 2, , y n) G ta cú trong ú 1 < q , p < + o o , + = 1 p q 1.3.3 B t ng thc M inkow shi Vi mi X = ( x1, x 2, x n) , y = { y i , y 2, , y n) e Kn v 1 < p < + o o ta cú 1.3.4 B t ng th c K y Fan Cho K l tp li, compact trong khụng gian Banach X ,... trờn [0,T] c gi l mt nghim yu Carathộodory ca DVVI (2.1) khi v ch khi X l mt hm liờn tc tuyt i trờn [0,T] v tho món phng trỡnh vi phõn i vi mi t Ê [0,T], UJ Ê L 2 [0,T] v U){t) Ê s o L ( K , G ( t , x ( t ) ) + vi mi t E [0,T] Tp nghim yu Carathộodory ca bi toỏn ban u DVVI (2.1) c kớ hiu bi SOL(DVVI) v tp tt c u c kớ hiu bi 24 SOL( K , J ( q + T ) ) vi q e G ( n ) Nh chỳng ta ó bit bt ng thc bin phõn... u{t) < c + f Jq trong ú , Ku(Ê)dÊ, Vớ [, ], > 0 Khi ú ta cú u ( t ) < C e K ^~a\ 23 Vớ G [,] Chng 2 S t n ti v tớn h n nh ca nghim i vi bt ng th c vi bin phõn tron g khụng gian hu hn chiu 2.1 P h ỏ t biu bi toỏn Cho K l mt tp con khỏc rng, úng v li ca Kn, Ti : Kn > Rn (i = 1 , 2 p) l ỏnh x a tr , v T = (J-, J- 2 , J - p ) Chỳng ta , da? vi t X := thay cho ao hm ca hm sụ x(t) Trong chng ny chỳng... i vi , vi mi t G I thỡ F l kh tớch N h n x ộ t 1 1 1 Nu hm a tr F l khụng i, F ( t ) = A G K v ( E ) , thỡ f j F ( s ) ds = A i { I ) Cho E l khụng gian Banach, E l khụng gian nh chun n h n g h a 1 1 1 5 nh x a tr F : I X E ,Y K ( E ) c gi l ỏnh x a tr Carathộodory trờn nu nú tha món cỏc iu kin sau õy: (F l) vi mi X E q, hm a tr F { - , x ) : I -> K ( E ) cha mt la chn o c mnh; 14 (F2) vi. .. vi min K R, ũ õy |w| < R Gi s rng Ur e K r tha món (1.2.2) Khi ú Ur cng l mt nghim ca bi toỏn (1.2.1) Tht vy, \u ỡ \ < R, cho V e K , w = UR + e(v Ur ) GKr vi > 0 nh Suy ra Ur G K r c K : 0 < (F ( u r ) , w - UR) = e ( F ( u R) , v - UR) vi V G K , tc l Ur l nghim ca bi toỏn (1.2.1) nh lớ c chng minh 21 1.3 M t s bt ng thc 1.3.1 B t ng thc Cauchy-Schwarz Vi X, y l cỏc phn t ca khụng gian tớch trong. .. ) ) ^ 0 khi n Ơ oo i vi /i - hu khp t I, õy h l metric Hausdorff trờn K(E) Bng cỏch ging nh vy ta cú th nh ngha mt hm o c mnh, hn th na l la chn o c mnh Mt hm a tr o c khụng phi l o c mnh Nhng hm a tr nhn giỏ tr compact trong mt khụng gian Banach tỏch c thỡ cỏc khỏi nim ny l trựng nhau iu ú c th hin trong khng nh sau M n h 1 1 1 2 Cho E l khụng gian Banach tỏch c Khi ú i vi ỏnh x a tr F : I K... T- , p) l ỏnh x a tr na liờn tc trờn vi cỏc giỏ tr khỏc rng, compact, v T gi n iu trờn Cho l tp con khỏc rng, b chn, úng v li ca Mn Gi s rng SO L( K , q + ỗ G s + Khi lp) l 0 vi mi q G trong ú ú, SOL(X , q + J-)ỗ l tp úng v li vi mi q (2) Chng minh Trc tiờn ta chng minh rng S O L ( K , q + J7)^ l tp úng vi mi q G G ( ) Ly ti c*j Ê J i K ) SO L (X , q + J-)ỗ vi Un Ơ ĩJ0 - Khi ú, tn sao cho, v i... khụng gian metric z , mt 16 J ỏnh x a tr T : X > K ( Z ) , v mt ỏnh x liờn tc Y sao cho J7 = > J7 nh x T v l d n g p h õ n t ớ c h c a T v v i t l T = ( P ( E ) , () = J-(x) gi l min vect a tr hay min a tr tng ng vi T Kớ hiu %: X ằ E l ỏnh x bao hm thc, ta vit