Bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều và bài toán cực trị lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NHỮ VĂN HUẤN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NHỮ VĂN HUẤN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LỒI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THỊ THU THỦY Thái Nguyên - 2015 Mục lục Mở đầu Bảng ký hiệu Bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều 1.1 Bất đẳng thức biến phân không gian Euclid 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 6 1.1.2 Tập nghiệm bất đẳng thức biến phân 1.1.3 Bất đẳng thức biến phân đối ngẫu 8 1.2 Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân 11 1.2.1 Phép chiếu mêtric 11 1.2.2 Định lý tồn nghiệm Bất đẳng thức biến phân toán cực trị lồi 2.1 Bất đẳng thức biến phân toán cực trị 2.1.1 Bài toán cực trị 12 19 19 19 2.1.2 Mối liên hệ toán cực trị bất đẳng thức biến phân 2.2 Bất đẳng thức biến phân với hệ phương trình, toán 22 bù toán điểm bất động 2.2.1 Hệ phương trình 24 24 2.2.2 Bài toán bù 2.2.3 Bài toán điểm bất động 25 26 2.2.4 Bài toán cân kinh tế dạng bất đẳng thức biến phân 29 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Mở đầu Bài toán cân cổ điển (hay gọi toán cân vô hướng) đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học lý thuyết ứng dụng Từ toán suy toán khác lý thuyết tối ưu: toán tối ưu, toán cân Nash, toán bù, toán bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân Stampacchia đề xuất nghiên cứu từ đầu năm 60 kỉ trước (xem [11]) Những nghiên cứu Stampacchia bất đẳng thức biến phân liên quan đến việc giải toán biên phương trình đạo hàm riêng Năm 1979, Smith [10] đưa toán cân mạng giao thông năm 1980 Dafermos [2] điểm cân toán nghiệm bất đẳng thức biến phân Cho tới nay, có nhiều toán quan trọng thực tế thiết lập nghiên cứu dạng bất đẳng thức biến phân Chẳng hạn, toán cân mạng giao thông, toán cân thị trường độc quyền, toán cân tài toán cân di cư (xem [7]) Ngoài ra, bất đẳng thức biến phân công cụ hữu hiệu để nghiên cứu xây dựng phương pháp giải số cho nhiều lớp toán cân kỹ thuật, vận tải, lý thuyết trò chơi Do việc nghiên cứu tồn nghiệm, xây dựng phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đề tài thời thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Luận văn nhằm trình bày tổng quan bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều toán cực trị lồi Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều nghiên cứu điều kiện tồn nghiệm toán Chương trình bày mối quan hệ bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều với toán cực trị lồi Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Tác giả xin cảm ơn sâu sắc tới người hướng dẫn luận văn cao học mình, TS Nguyễn Thị Thu Thủy, giảng viên trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn giải thắc mắc cho suốt trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy cô hội đồng chấm luận văn thạc sĩ, thầy cô giảng dạy lớp Cao học toán K7D, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thiện khóa học luận văn Thái Nguyên, tháng 12 năm 2015 Học viên Nhữ Văn Huấn Bảng ký hiệu Rn không gian Euclide n chiều D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị toán tử A C tập lồi đóng Rn I ánh xạ đơn vị PC phép chiếu mêtrix Rn lên tập lồi đóng C Rn Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T Chương Bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều Chương trình bày cách sơ lược bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều số tính chất tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Mục 1.1 giới thiệu tổng quan bất đẳng thức biến phân không gian Euclid Rn số tính chất tập nghiệm toán Trong Mục 1.2 trình bày điều kiện tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Các kiến thức chương viết sở tài liệu [1]–[11] 1.1 1.1.1 Bất đẳng thức biến phân không gian Euclid Định nghĩa ví dụ Trong mục ta giả thiết Rn không gian Euclid với tích vô hướng chuẩn ký hiệu , Định nghĩa 1.1 Cho C tập lồi đóng Rn F : C → Rn ánh xạ đơn trị Bài toán bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều với ánh xạ phi tuyến đơn trị F , ký hiệu VI(F, C) (variational inequality), phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C (1.1) Ví dụ 1.1 Cho hàm biến thực f khả vi [a, b] ⊂ R Tìm phần tử x0 ∈ [a, b] thỏa mãn f (x0 ) = f (x) x∈[a,b] Ba tình sau xảy ra: (i) Nếu x0 ∈ (a, b) f (x0 ) = 0; (ii) Nếu x0 = a f (x0 ) ≥ 0; (iii) Nếu x0 = b f (x0 ) ≤ Những phát biểu tổng hợp thành f (x0 )(x − x0 ) ≥ ∀x ∈ [a, b], bất đẳng thức biến phân Ví dụ 1.2 Cho f hàm số thực khả vi tập lồi đóng C không gian Euclid n chiều Rn Tìm phần tử x∗ ∈ C thỏa mãn f (x∗ ) = f (x) x∈C Giả sử x0 điểm cực tiểu cần tìm x phần tử tùy ý thuộc C Vì C tập hợp lồi nên (1 − t)x0 + tx = x0 + t(x − x0 ) ∈ C, ≤ t ≤ Hàm Φ(t) = f (x0 + t(x − x0 )), 0≤t≤1 đạt cực tiểu t = Do đó, từ Ví dụ 1.1 Φ (0) = f (x0 )(x − x0 ) ≥ ∀x ∈ C Như điểm x0 thỏa mãn bất đẳng thức biến phân x0 ∈ C : f (x0 )(x − x0 ) ≥ ∀x ∈ C Nếu tập C bị chặn điểm x0 tồn 1.1.2 Tập nghiệm bất đẳng thức biến phân Cho C = ∅ tập lồi đóng Rn x∗ ∈ C Nón chuẩn tắc tới C x∗ tập NC (x∗ ) = d ∈ Rn : d, x − x∗ ≤ ∀x ∈ C Véctơ d ∈ NC (x∗ ) gọi véctơ chuẩn tắc tới C x∗ Dễ thấy, (1.1) ⇔ −F (x∗ ), x − x∗ ≤ ∀x ∈ C ⇔ −F (x∗ ) vec tơ chuẩn tắc tới C x∗ ⇔ −F (x∗ ) ∈ NC (x∗ ) hay ∈ F (x∗ ) + NC (x∗ ) Định nghĩa 1.2 Tập hợp điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.1) gọi tập nghiệm bất đẳng thức biến phân, ký hiệu S Các giả thiết thường đặt lên toán VI(F, C) là: (A1) Tập C = ∅ tập lồi đóng Rn ; (A2) Ánh xạ F ánh xạ liên tục (trên tập mở chứa C) Khi C tập lồi đóng Rn F ánh xạ liên tục tập S tập hợp đóng Rn 1.1.3 Bất đẳng thức biến phân đối ngẫu Nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1) có mối liên hệ với toán: Tìm điểm x∗ ∈ C thỏa mãn F (x), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C (1.2) Bài toán (1.2) gọi bất đẳng thức biến phân đối ngẫu VI(F, C), ký hiệu DVI(F, C) (dual variational inequality) với tập nghiệm ký hiệu S ∗ Để khảo sát mối liên hệ S S ∗ ta cần thêm giả thiết tính đơn điệu cho ánh xạ F 20 Cho C tập lồi đóng Rn hàm f khả vi liên tục tập mở U ⊂ Rn chứa C Bài toán cực trị, ký hiệu OP(f, C) (optimization problem), phát biểu sau: Tìm điểm x∗ ∈ C thỏa mãn f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ C, hay dạng ngắn gọn → {f (x) | x ∈ C} (2.1) Kí hiệu S † tập nghiệm toán (2.1) Tính lồi hàm f (2.1) đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu tính chất tập S † Điều tương tự tính đơn điệu ta xét đến tính chất tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Ta nhắc lại số định nghĩa tính chất lồi hàm số sau Định nghĩa 2.1 Cho W V tập lồi Rn , W ⊆ V cho hàm f : V → R hàm khả vi Hàm f gọi (a) lồi mạnh W với số τ > 0, với cặp u, v ∈ W α ∈ [0, 1] ta có f (αu + (1 − α)v) ≤ αf (u) + (1 − α)ϕ(v) − 0.5α(1 − α)τ u − v ; (b) lồi chặt W với u, v ∈ W, u = v α ∈ (0, 1), f (αu + (1 − α)v) < αf (u) + (1 − α)ϕ(v); (c) lồi W với cặp u, v ∈ W α ∈ [0, 1] ta có f (αu + (1 − α)v) ≤ αf (u) + (1 − α)ϕ(v) Khẳng định sau suy trực tiếp từ định nghĩa trên: (a) ⇒ (b) ⇒ (c) Các khẳng định ngược lại nói chung không Sau mối liên hệ tính lồi hàm số tính đơn điệu gradient chúng 21 Mệnh đề 2.1 [9] Cho W tập lồi mở V Rn Hàm khả vi f : V → R lồi mạnh với số τ (tương ứng, lồi chặt lồi) W ánh xạ gradient f : U → Rn đơn điệu mạnh với số τ (tương ứng, đơn điệu chặt đơn điệu) W Một số tính chất hàm lồi khả vi trình bày mệnh đề sau Mệnh đề 2.2 [9] Cho U tập mở tập C Rn Hàm f : C → R hàm lồi khả vi U với x ∈ U ta có f (y) ≥ f (x) + f (x), y − x ∀y ∈ U Ta có nguyên lý cực tiểu cho toán cực trị OP(f, C) sau: Mệnh đề 2.3 Nếu x∗ cực tiểu địa phương hàm f C f (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C (2.2) Chứng minh Thật vậy, đặt ϕ(t) = f (x∗ ) + t(x − x∗ ) với t ∈ [0, 1] Khi đó, ϕ đạt cực tiểu t = 0: ϕ (0) ≥ ⇔ f (x∗ ), x − x∗ ≥ Do đó, x∗ thỏa mãn điều kiện (2.2) ✷ Chú ý 2.1 Nếu f hàm lồi cực tiểu địa phương x∗ trở thành cực tiểu toàn cục f C Chứng minh Thật vậy, f hàm lồi nên ta có f (x) ≥ f (x∗ ) + Mà f (x∗ ), x − x∗ ∀x ∈ C f (x∗ ), x − x∗ ≥ x∗ nghiệm địa phương OP(f, C) Suy ra: f (x) ≥ f (x∗ ) ∀x ∈ C Vậy x∗ cực tiểu toàn cục hàm f C ✷ Mệnh đề sau đây, gọi nguyên lý cực tiểu, cho ta điều kiện để x∗ cực tiểu địa phương hàm f 22 Mệnh đề 2.4 Nếu x∗ cực tiểu địa phương hàm f tập C f (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C 2.1.2 (2.3) Mối liên hệ toán cực trị bất đẳng thức biến phân Hai mệnh đề sau cho ta mối quan hệ toán tối ưu (2.1) bất đẳng thức biến phân (1.1) Mệnh đề 2.5 Giả sử x∗ nghiệm toán tối ưu (2.1) với f hàm khả vi liên tục C tập lồi đóng Rn Khi x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1) với F (x) = f (x) (2.4) Chứng minh Đặt φ(t) = f (x∗ + t(x − x∗ )) với t ∈ [0, 1] Khi φ(t) đạt cực tiểu t = 0, ≤ φ (0) = f (x∗ ), x − x∗ , hay x∗ bất đẳng thức biến phân (1.1) với F (x∗ ) = f (x∗ ) ✷ Mệnh đề 2.6 Nếu f (x) hàm lồi x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân VI( f, C) thì, x∗ nghiệm toán tối ưu (2.1) Chứng minh Do f (x) hàm lồi nên ta có f (x) ≥ f (x∗ ) + f (x∗ ), x − x∗ ∀x ∈ C (2.5) Mặt khác f (x∗ ), x − x∗ ≥ x∗ nghiệm VI( f, C) Do đó, từ (2.5) ta suy f (x) ≥ f (x∗ ) ∀x ∈ C, hay x∗ nghiệm toán (2.1) ✷ 23 Trong trường hợp C = Rn toán (2.1) trở thành toán không ràng buộc ta đưa toán bất đẳng thức biến phân Khi đó, ta có định lý sau mối quan hệ toán OP(f, C) VI(F, C) Định lý 2.1 [5] Giả sử hàm f : C → R hàm khả vi Khi đó: (i) S † ⊆ S tức là, nghiệm toán (2.1) nghiệm toán (1.1) với F (x) = f (x); (2.6) (ii) f hàm lồi F xác định (2.6), S ⊆ S † Khi đó, S = S † Chứng minh Khẳng định (ii) suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.2 Ta chứng minh khẳng định (i) Giả sử ngược lại, tồn điểm x∗ ∈ S † \ S, tức tồn điểm y ∈ C cho f (x∗ ), y − x∗ < Khi đó, với α > đủ bé ta có yα = x∗ + α(y − x∗ ) = αy + (1 − α)x∗ ∈ C f (yα ) = f (x∗ ) + α f (x∗ ), y − x∗ + o(α) ≤ f (x∗ ), điều có nghĩa x∗ nghiệm toán cực trị (2.1), điều mâu thuẫn với giả thiết (i) ✷ Từ Định lý 2.1 suy ra, toán cực trị lồi OP(f, C) tương đương với toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu VI(F, C) với F = f Tuy nhiên, bất đẳng thức biến phân thể điều kiện tối ưu toán cực trị có thêm vài tính chất so với bất đẳng thức biến phân thông thường Cụ thể, ma trận F đối xứng, với v cố định, tồn hàm số khả vi F (y + τ (x − y)), x − y dτ f (x) = 24 cho (2.6) thỏa mãn (xem [5]) Mà ma trận Jacobian F (1.1) nói chung không đối xứng F hàm Do vậy, toán bất đẳng thức biến phân bao hàm toán cực trị bất đẳng thức biến phân biểu diễn dạng toán cực trị điều kiện đối xứng nửa xác định dương đặt lên ma trận Jacobian F (x) thỏa mãn Vậy khẳng định bất đẳng thức biến phân toán tổng quát toán cực trị theo nghĩa bao gồm trường hợp ma trận Jacobian F (x) bất đối xứng 2.2 2.2.1 Bất đẳng thức biến phân với hệ phương trình, toán bù toán điểm bất động Hệ phương trình Nhiều toán cân kinh tế cổ điển thiết lập dạng hệ phương trình chẳng hạn toán cân cung-cầu thị trường Dễ thấy, (1.1) C = Rn , F : Rn → Rn VI(F, C) tương đương với toán tìm x∗ ∈ Rn thỏa mãn F (x∗ ) = (2.7) Thật vậy, F (x∗ ) = bất đẳng thức (1.1) thỏa mãn với ràng buộc đẳng thức Ngược lại x∗ nghiệm (1.1), đặt x = x∗ − F (x∗ ), ta có F (x∗ ), −F (x∗ ) ≥ hay − F (x∗ ) ≥ 0, F (x∗ ) = ✷ Nếu F ánh xạ affine, tức F = M x + q, toán tương đương với lớp toán hệ phương trình tuyến tính M x∗ = −q (2.8) 25 Tuy nhiên cần ý toán hệ phương trình biểu diễn dạng bất đẳng thức biến phân, chẳng hạn trường hợp giả thiết không âm đặt lên số biến xác định thí dụ giá 2.2.2 Bài toán bù Cho C tập không gian Euclid Rn Tập C gọi nón với x ∈ C số λ > 0, ta có λx ∈ C Nón C gọi nón lồi tập hợp lồi Giả sử C nón lồi đóng Rn F : C → Rn ánh xạ liên tục Bài toán bù phi tuyến, ký hiệu NCP(F, C) (nonlinear complementary problem), phát biểu sau: Tìm điểm x∗ ∈ C cho F (x∗ ) ∈ C ∗ , F (x∗ ), x∗ = 0, (2.9) C ∗ nón đối ngẫu nón C xác định C ∗ = y ∈ Rn : y, x ≥ ∀x ∈ C Khi F ánh xạ affine, tức F = M x + q với M ma trận vuông cấp n q ma trận cỡ n × toán (2.9) trở thành toán bù tuyến tính, viết tắt LCP(F, C) (linear complementary problem) Bài toán bù coi trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân khẳng định mệnh đề sau Mệnh đề 2.7 [3] Cho C nón lồi đóng Rn F : C → Rn Khi đó, toán VI(F, C) tương đương với toán NCP(F, C) Chứng minh Trước tiên ta x∗ nghiệm VI(F, C) x∗ thỏa mãn (2.9) Thật vậy, dễ thấy x∗ ∈ C Tiếp theo, thay x = 2x∗ bất đẳng thức biến phân (1.1), ta thu F (x∗ ), x∗ ≥ (2.10) Bây ta thay x = (1.1), ta có F (x∗ ), −x∗ ≥ (2.11) 26 Từ (2.10) (2.11), ta suy F (x∗ ), x∗ = (2.12) Mặt khác, ≤ F (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ = F (x∗ ), x (do (2.12)) Suy F (x∗ ) ∈ C ∗ Do đó, x∗ nghiệm toán NCP(F, C) Ngược lại, x∗ nghiệm toán bù NCP(F, C), nghĩa x∗ thỏa mãn (2.9), F (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ ≥ F (x∗ ) ∈ C ∗ (2.12) ✷ 2.2.3 Bài toán điểm bất động Giả sử C tập lồi không gian Rn T : C → C ánh xạ liên tục Bài toán điểm bất động, ký hiệu FP(T, C) (fixed point problem), phát biểu sau: tìm x∗ ∈ C thỏa mãn Tìm x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ = T (x∗ ) (2.13) Việc tìm nghiệm toán điểm bất động (2.13) tương đương với việc giải phương trình toán tử: T (x∗ ) − x∗ = (2.14) Định lý điểm bất động Banach đưa luận án Banach vào năm 1992 sau: Định lý 2.2 Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ co Khi đó, T có điểm bất động q X với xấp xỉ ban đầu tùy ý x0 ∈ X, dãy lặp {xn } định nghĩa xn+1 = T (xn ), với n ≥ 0, hội tụ mạnh tới q 27 Chứng minh Sự tồn tại: Với x0 tùy ý thuộc X, đặt xn+1 = T (xn ) với n ≥ Do T ánh xạ co không gian mêtric X nên tồn số k ∈ [0, 1) cho d(T (x), T (y)) ≤ kd(x, y) Xét: d(xn , xn+1 ) = d(T (xn−1 ), T (xn )) ≤ kd(xn−1 , xn ) ≤ k d(xn−2 , xn−1 ) ≤ ≤ k n d(x0 , x1 ) Lấy m > n ta có: d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + + d(xm−1 , xm ) ≤ (k n + k n+1 + + k m−1 )d(x0 , x1 ) ≤ k n (1 + k + + k m−n−1 )d(x0 , x1 ) ≤ kn d(x0 , x1 ) → n → ∞ 1−k Vậy {xn } dãy Cauchy không gian mêtric đầy đủ X Do dãy {xn } hội tụ tới phần tử q ∈ X Với n ≥ ta có ≤ d(q, T (q)) ≤ d(q, xn ) + d(xn , T (q)) = d(q, xn ) + d(T (xn−1 ), T (q)) ≤ d(q, xn ) + kd(xn−1 , q) Vì dãy {xn } hội tụ phần tử q ∈ X nên d(q, xn ) + kd(xn−1 , q) → n → ∞ Từ ≤ d(q, T (q)) ≤ suy d(q, T (q)) = hay T (q) = q Vậy q điểm bất động ánh xạ T Tính nhất: Giả sử tồn p ∈ X cho T (p) = p Khi d(q, p) = d(T (q), T (p)) ≤ kd(q, p) Với k ∈ [0, 1) từ đẳng thức suy d(q, p) = q = p Vậy q ✷ Bài toán điểm bất động sử dụng để xây dựng, phân tích tính toán nghiệm cho toán cân kinh tế Bài toán điểm bất động 28 (2.13) viết dạng bất đẳng thức biến phân VI(F, C) nội dung mệnh đề sau Mệnh đề 2.8 [5] Nếu ánh xạ F xác định F (x) = x − T (x) (2.15) nghiệm toán VI(F, C) nghiệm toán điểm bất động FP(T, C) ngược lại Chứng minh Nếu x∗ thỏa mãn (2.13) hiển nhiên F (x∗ ) = x∗ ∈ SOL-VI(F, C) Ngược lại x∗ ∈ SOL-VI(F, C) x∗ thỏa mãn (2.15) T (x∗ ) ∈ C ⊂ Rn đặt x = T (x∗ ) (1.1) ta có ≤ x∗ − T (x∗ ), T (x∗ ) − x∗ = − x∗ − T (x∗ ) ≤ Từ suy x∗ = T (x∗ ), tức x∗ thỏa mãn (2.13) ✷ Ngược lại, bất đẳng thức biến phân biểu diễn dạng toán điểm bất động dựa phép chiếu mêtric Mối quan hệ toán điểm bất động (2.13) bất đẳng thức biến phân VI(F, C) phát biểu định lý sau Định lý 2.3 [7] Giả sử C tập khác rỗng lồi đóng Rn Khi x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân VI(F, C) với γ > 0, x∗ điểm bất động ánh xạ PC (I − γF ) : C → C, tức x∗ = PC (x∗ − γF (x∗ )) (2.16) Chứng minh Giả sử x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân VI(F, C), tức ta có F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C 29 Nhân hai vế bất đẳng thức với −γ < cộng hai vế bất đẳng thức thu với x∗ , x − x∗ , ta có x∗ , x − x∗ ≥ x∗ − γF (x∗ ), x − x∗ (2.17) Từ Định lý 1.1, ta có x∗ thỏa mãn (2.16) Ngược lại, giả sử x∗ thỏa mãn (2.16) với γ > Khi đó, x∗ , x − x∗ ≥ x∗ − γF (x∗ ), x − x∗ Suy x∗ thỏa mãn bất đẳng thức biến phân VI(F, C) ✷ 2.2.4 Bài toán cân kinh tế dạng bất đẳng thức biến phân Mục trình bày toán thực tế lĩnh vực kinh tế mô hình hóa dạng toán bất đẳng thức biến phân số toán liên quan trình bày mục trước Các kiến thức trình bày mục tham khảo từ tài liệu [7] Một số mô hình kinh tế xây dựng để khảo sát điều kiện cân nguồn cung cầu loại hàng hóa đó, mô hình thực chất mô hình toán cân Khái niệm cân kinh tế biểu thị dạng mối quan hệ bổ sung giá nguồn cầu bị vượt loại hàng hóa Do đó, hầu hết mô hình cân kinh tế viết dạng toán bù bất đẳng thức biến phân Để minh họa cho khẳng định này, mô tả mô hình kinh tế tổng quát Walras đưa Trước tiên ta xét toán cân thị trường mô tả dạng toán hệ phương trình Một sở sản xuất phân phối n mặt hàng ký hiệu i, i = 1, 2, , n cho m đại lý tiêu thụ đại lý ký hiệu j, j = 1, 2, , m Ký hiệu p vec tơ n-chiều biểu thị giá mặt hàng gồm thành phần p = (p1 , p2 , , pn ) Giả sử lượng cầu mặt hàng thứ i tất đại lý di Nói chung 30 di phụ thuộc vào giá tất mặt hàng, tức di = di (p) Khi ta có m di (p) = dij (p), j=1 dj (p) nhu cầu mặt hàng thứ i đại lý thứ j Tương tự ta có lượng cung mặt hàng thứ i cho tất đại lý, ký hiệu si , nói chung, phụ thuộc vào giá tất mặt hàng, tức m si (p) = sij (p), j=1 sij (p) lượng cung mặt hàng thứ i cho đại lý thứ j với vec tơ giá p Ta tổng hợp lượng cầu tất mặt hàng thành vec tơ cột n-chiều d với thành phần sau: {d1 , d2 , , dn } lượng cung n mặt hàng thành vec tơ cột n-chiều s với thành phần sau: {s1 , s2 , , sn } Điều kiện cân thị trường yêu cầu lượng cung mặt hàng phải lượng cầu mặt hàng với vec tơ giá p∗ , tương đương với hệ phương trình sau: s(p∗ ) = d(p∗ ) Hiển nhiên hệ phương trình biểu diễn dạng tổng quát hệ phương trình ta xác định vec tơ x ≡ p F (x) ≡ s(p) − d(p) Tuy nhiên cần ý lớp toán hệ phương trình chưa đủ tổng quát để bảo đảm cho toán xét chẳng hạn p∗ ≤ thỏa mãn Tiếp theo, trình bày toán bù phi tuyến cho toán cân thị trường Xét trường hợp hàm cầu cho trước hàm cung Khi đó, thay điều kiện cân thị trường xét trường hợp hệ phương trình, ta xét điều kiện cân sau: Với mặt hàng thứ i, i = 1, 2, , n,  = p∗ > i ∗ ∗ s(p ) − d(p ) ≥ p∗ = i 31 Điều kiện cân có nghĩa giá mặt hàng dương trạng thái cân lượng cung mặt hàng phải lượng cầu mặt hàng Mặt khác, giá mặt hàng trạng thái cân lượng cung mặt hàng vượt lượng cầu mặt hàng, tức s(p∗ ) − d(p∗ ) > 0, hay thị trường ngừng hoạt động Hơn nữa, hệ phương trình hệ bất phương trình bảo đảm giá mặt hàng không lấy giá trị âm trường hợp điều kiện cân thị trường trường hợp hệ phương trình xét Khi đó, mô hình toán dạng toán bù phi tuyến cho toán xét biểu diễn sau Xác định p∗ ∈ Rn+ thỏa mãn s(p∗ ) − d(p∗ ) ≥ s(p∗ ) − d(p∗ ), p∗ = Hơn nữa, ta biết toán bù phi tuyến trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân Do đó, ta viết lại toán bù phi tuyến dạng bất đẳng thức biến phân sau: Tìm điểm p∗ ∈ Rn+ thỏa mãn s(p∗ ) − d(p∗ ), p − p∗ ≥ ∀p ∈ Rn+ 32 Kết luận Trong luận văn trình bày số vấn đề sau: Trong Chương 1, trình bày tổng quát bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều không gian Rn với tồn nghiệm tính chất tập nghiệm toán với giả thiết tính chất đơn điệu liên tục đặt lên toán tử F tính chất lồi đóng compact tập ràng buộc bất đẳng thức biến phân Chương dành cho việc trình bày mối quan hệ toán bất đẳng thức biến phân với số toán giải tích toán hệ phương trình, toán bù, toán tối ưu, toán điểm bất động Ngoài ra, chương trình bày toán cân kinh tế mô hình hóa dạng bất đẳng thức biến phân Nội dung luận văn giúp cho tác giả có hiểu biết định bất đẳng thức biến phân vai trò bất đẳng thức biến phân việc nghiên cứu toán quan trọng giải tích phi tuyến toán thực tế Đóng góp tác giả tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức để hoàn thành luận văn 33 Tài liệu tham khảo [1] Baiocchi C., Capelo A (1984), Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems, J Wiley and Sons, New York [2] Dafermos S (1980), Traffic equilibrium and variational inequalities, Transportation Science, 14, 42-54 [3] Kinderlehrer K., Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Acad Press, New York [4] Konnov I.V (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer Verlag, Berlin, Germany [5] Konnov I.V (2007), Equilibrium Models and Variational Inequalities, Mathematics in Science and Engineering, Volume 210, Elsevier [6] Lions J.L., and Stampacchia G (1967), Variational inequalities, Comm Pure Appl Math., 20, 493–519 [7] Nagurney A (1993), Network Economics: A Variational Inequality Approach Advances in Computational Economics, Kluwer Academic Publishers, Springer Netherlands [8] Ortega J.M., Rheinboldt W.C (1970), Iterative solutions of nonlinear equations in several variables, Acad Press, New York, 141–143 [9] Polyak B.T (1983), Introduction to Optimization, Nauka, Moscow, English translation in Optimization Software, New York [10] Smith M (1979), Existence, uniqueness, and stability of traffic equilibria, Transportation Research, 13B, 295–304 34 [11] Stampacchia G (1964), Formes bilineares coercitives sur les ensembles convexes, C R Acad Sci Paris, 258, 4413–4416 ... xạ T Chương Bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều Chương trình bày cách sơ lược bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều số tính chất tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Mục 1.1... giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều nghiên cứu điều kiện tồn nghiệm toán Chương trình bày mối quan hệ bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều với toán cực trị lồi Luận... thức biến phân toán cực trị lồi 2.1 Bất đẳng thức biến phân toán cực trị 2.1.1 Bài toán cực trị 12 19 19 19 2.1.2 Mối liên hệ toán cực trị bất đẳng thức biến phân