Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LÊ THỊ HỒNG HẠNH BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ HỒNG HẠNH

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ HỒNG HẠNH

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.Tác giả chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Năng Tâm đã tận tìnhhướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn này

Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học và các thầy,

cô trong Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâmgiúp đỡ trong quá trình học tập tại trường

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp ởKhoa Khoa học cơ bản Trường Cao đẳng Công Nghiệp Hóa Chất đãtạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả

Phú Thọ, ngày 10 tháng 11 năm 2016

Tác giả luận văn

Lê Thị Hồng Hạnh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn NăngTâm, luận văn “Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gianHilbert” được hoàn thành không trùng với bất kỳ công trình khoa họcnào khác

Trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi đã thừa kế những thành tựucủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Phú Thọ, ngày 10 tháng 11 năm 2016

Tác giả luận văn

Lê Thị Hồng Hạnh

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Không gian Hilbert 4

1.2 Tập lồi 7

1.3 Một số toán tử đặc biệt trong không gian Hilbert 11

1.3.1 Toán tử liên tục 11

1.3.2 Toán tử liên hợp 13

1.3.3 Toán tử chiếu 15

1.3.4 Toán tử đẳng cự 16

1.4 Bài toán tối ưu trong không gian Hilbert 16

2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 19

2.1 Định nghĩa và ví dụ 19

2.2 Một số định lý về tồn tại nghiệm 23

2.3 Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân 33

2.3.1 Phương pháp nhân tử Lagrange 33

2.3.2 Thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov 35

2.3.3 Thuật toán điểm gần kề 43

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán Bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem)

ra đời vào những năm 1960, gắn liền với các công trình của G pacchia, J L Lion và G Fichera, xem [7, 8] và các tài liệu được tríchdẫn trong đó Hiện nay, bài toán bất đẳng thức biến phân đã đượcphát triển thành nhiều dạng khác nhau, chẳng hạn: bất đẳng thứcbiến phân véctơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biếnphân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng,

Stam-Bất đẳng thức biến phân thu hút được sự quan tâm của nhiều nhàtoán học vì các mô hình của nó chứa nhiều bài toán quan trọng củamột số lĩnh vực khác nhau trong toán học như là trường hợp riêng, vídụ: tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi, cân bằng Nash, cân bằng mạng giaothông,

Sau khi học và nghiên cứu các môn Giải tích hàm, Bất đẳng thức biếnphân, Lý thuyết tối ưu và với mong muốn hiểu biết sâu hơn về Bấtđẳng thức biến phân trong không gian Hilbert tôi đã lựa chọn đề tài:

“Bài toán Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert.”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu về Bất đẳng thức biến phân trongkhông gian Hilbert và một số phương pháp giải bài toán Bất đẳng thứcbiến phân trong không gian Hilbert.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, một sốtoán tử đặc biệt và bài toán tối ưu trong không gian Hilbert

Nghiên cứu về Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert vàmột số phương pháp giải bài toán Bất đẳng thức biến phân trongkhông gian Hilbert Luận văn này trình bày một số khái niệm và kếtquả liên quan đến Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert.Luận văn nghiên cứu 2 nội dung

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc trìnhbày các kết quả chính trong chương tiếp theo Mục 1.1 trình bày kháiniệm không gian Hilbert Mục 1.2 trình bày các kiến thức cơ bản vềtập lồi và hàm lồi Mục 1.3 trình bày một số toán tử đặc biệt trongkhông gian Hilbert Mục 1.4 giới thiệu về bài toán tối ưu trong khônggian Hilbert

Chương 2 trình bày một số kết quả về tồn tại nghiệm và một số thuậttoán để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert.Mục 2.1 trình bày định nghĩa và các ví dụ về bất đẳng thức biến phânkhông gian Hilbert Mục 2.2 trình bày một số định lý về sự tồn tại

nghiệm của bài toán này Mục 2.3 trình bày một số thuật toán đểgiải bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert gồm:phương pháp nhân tử Lagrange, thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov, thuậttoán điểm gần kề Các kết quả chính trong chương này được trình bàydựa trên cuốn chuyên khảo [7] và bài báo [10].

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu khônggian Hilbert và bài toán Bất đẳng thức biến phân trong không gianHilbert

5 Phương pháp nghiên cứu

Tra cứu, tổng hợp tài liệu tham khảo

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cầnthiết cho việc trình bày các kết quả chính trong Chương 2 Mục 1.1trình bày khái niệm không gian Hilbert Mục 1.2 trình bày các kiếnthức cơ bản về tập lồi và hàm lồi Mục 1.3 trình bày một số toán tửđặc biệt trong không gian Hilbert Mục 1.4 giới thiệu về bài toán tối

ưu trong không gian Hilbert

1.1 Không gian Hilbert

Cho H là không gian véctơ trên trường số thực R

Định nghĩa 1.1 Một ánh xạ

h·, ·i : H × H → R

(x, y) 7→ hx, yi

được gọi là một tích vô hướng trên H nếu với mọi x, y, z ∈ R và α ∈ N

ta luôn có:

(i) hx, yi = hy, xi;

(ii) hαx, yi = αhx, yi;

(iii) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi;

(iv) hx, xi ≥ 0, hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0

Số hx, yi được gọi là tích vô hướng của x và y Không gian véctơ Hcùng với một tích vô hướng xác định trên nó được gọi là không gian cótích vô hướng hay còn gọi là không gian tiền Hilbert và thường đượcviết là (H, h·, ·i)

Mệnh đề 1.1 Cho (H, h·, ·i) là một không gian tiền Hilbert Khi đócông thức

kxk := phx, xixác định một chuẩn trên H

Định nghĩa 1.2 Nếu không gian có tích vô hướng (H, h·, ·i) với chuẩnxác định như trên là một không gian đủ thì ta gọi (H, h·, ·i) là mộtkhông gian Hilbert và ký hiệu đơn giản là H

Ta gọi số chiều của H là số chiều của không gian Hilbert H, ký hiệudim H Nếu dim H < ∞ thì ta nói H là hữu hạn chiều, trái lại ta nói

H là vô hạn chiều

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con của không gian H

Ví dụ 1.1 Lấy H = Rn, với x = (x1, , xn), y = (y1, , yn) ∈ Hbiểu thức

kxk := phx, xi

Khi đó Rn trở thành không gian Hilbert hữu hạn chiều

Ví dụ 1.2 Ký hiệu l2 là không gian véctơ các dãy số x = (xn) saocho chuỗi số

Định lý 1.2 Cho H là không gian Hilbert Khi đó, h·, ·i : H × H → R

là một hàm liên tục (theo cả hai biến)

Định nghĩa 1.3 Cho không gian Hilbert H, x, y ∈ H và tập con

M ⊂ H, M 6= ∅ Ta nói:

Phần tử x gọi là trực giao với phần tử y và viết là x⊥y nếu hx, yi = 0.Phần tử x ∈ H gọi là trực giao với tập M , nếu x⊥y (∀y ∈ M ) và kýhiệu x⊥M

Từ định nghĩa ta có thể suy ra tính chất đơn giản sau:

1 0⊥ x ∀x ∈ X;

2 x⊥y ⇒ y⊥x;

3 x⊥{y1, y2, , yn} ⇒ x⊥(α1y1+ α2y2+ + αnyn), n ∈ N∗, với mọi

αi ∈ R, i = 1, , n;

4 x⊥yn với mọi n ∈ N và yn → y khi n → ∞ thì x⊥y

Định nghĩa 1.4 Cho H là không gian Hilbert, tập M ⊂ H Phần bùtrực giao của M , kí hiệu là

M⊥ := {x ∈ H : x⊥y, ∀y ∈ M }

1.2 Tập lồi

Định nghĩa 1.5 Cho hai điểm a, b ∈ H

(i) Một đường thẳng đi qua a, b là tập hợp có dạng:

{x ∈ H : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1}

(ii) Đoạn thẳng nối hai điểm a, b trong H có dạng:

{x ∈ H : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}

Định nghĩa 1.6 Một tập D được gọi là tập affin nếu D chứa đườngthẳng đi qua hai điểm bất kỳ x, y ∈ D, tức là

∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ D

Mệnh đề 1.2 Tập D 6= ∅ là tập affin khi và chỉ khi nó có dạng

D = M + a với M là một không gian con của H và a ∈ H Không gian

M được xác định duy nhất và được gọi là không gian con song songcủa D

Định nghĩa 1.7 Thứ nguyên (hay chiều) của một tập affin D là thứnguyên của không gian con song song với D và được ký hiệu là dim D.Định nghĩa 1.8 Siêu phẳng trong không gian H là một tập hợp cácđiểm có dạng

{x ∈ H : aTx = α},trong đó a ∈ H là một véctơ khác 0 và α ∈ R

Định nghĩa 1.9 Cho a ∈ H là một véctơ khác véctơ không và α ∈ R.Tập {x : aTx ≥ α} gọi là nửa không gian đóng

Định nghĩa 1.10 Một tập D được gọi là tập lồi nếu với mọi a, b ∈ D

và mọi λ ∈ [0; 1], ta có :

λa + (1 − λ)b ∈ D

Ví dụ 1.3 Tập rỗng là tập lồi.

+ Toàn bộ không gian là tập lồi

+ Các không gian con là các tập lồi

+ Các tam giác, hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi

+ Quả cầu C = {x | kxk ≤ 1} là tập lồi

Định lý 1.3 Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một

số thực; tức là nếu C và D là hai tập lồi trong H thì C ∩ D, λC + βDcũng là các tập lồi

Định nghĩa 1.11 Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véctơ) x1, , xknếu

C := {x ∈ H | haj, xi ≤ bj, j ∈ I, |I| < +∞}

Định nghĩa 1.13 Một tập C ⊂ H được gọi là nón nếu

∀x ∈ C, ∀λ ≥ 0 ⇒ λx ∈ C

Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là nón và là một tập lồi

Định nghĩa 1.14 Cho D là một tập lồi và f : D → R ∪ {+∞} Hàm

f được gọi là lồi trên D nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, 0 < λ < 1;lồi chặt nếu

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, 0 < λ < 1.Hàm f lõm (lõm chặt) nếu −f là lồi (lồi chặt)

Ví dụ 1.4 Các hàm sau đây đều lồi:

Định lý 1.4 Cho f và g là hai hàm lồi trên tập lồi C và D tươngứng Khi đó, với mọi α, β ≥ 0 các hàm số αf + βg, max{f, g} cũnglồi trên C ∩ D.

Một hàm lồi có thể không liên tục tại một điểm trên biên miền xácđịnh của nó, tuy nhiên nó liên tục tại mọi điểm trong tập đó

Định lý 1.5 Một hàm lồi f xác định trên tập lồi D thì f liên tục tạimọi điểm trong của D

1.3 Một số toán tử đặc biệt trong không gian

Hilbert

1.3.1 Toán tử liên tục

Định nghĩa 1.15 Giả sử H và H0 là hai không gian Hilbert Ánh xạ

A : H → H0 được gọi là một ánh xạ tuyến tính, hoặc là toán tử tuyếntính, hay gọi tắt là toán tử nếu:

Định nghĩa 1.16 Cho H và H0 là hai không gian Hilbert Toán tửtuyến tính A : H → H0 được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số α ≥ 0sao cho

kAxk ≤ αkxk ∀x ∈ X (1.2)Định nghĩa 1.17 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gianHilbert H vào không gian Hilbert H0 Hằng số α ≥ 0 nhỏ nhất thỏamãn hệ thức (1.2) gọi là chuẩn của toán tử A và ký hiệu là kAk

Từ định nghĩa dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:

1 (∀x ∈ H)kAxk ≤ kAkkxk;

2 (∀ε > 0)(∃xε ∈ H) sao cho (kAk − ε)kxεk < kAxεk

Định lý 1.6 Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert H vàokhông gian Hilbert H0 Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) A liên tục;

(ii) A liên tục tại mọi điểm x0 ∈ H;

(iii) A liên tục tại 0;

Định nghĩa 1.18 Giả sử H không gian Hilbert và A : H → H làtoán tử tuyến tính Véc tơ x 6= 0 được gọi là véctơ riêng của A ứng vớigiá trị riêng λ, nếu

Ax = λx,hay là

(A − λI)x = 0

Định nghĩa 1.19 Giả sử A là toán tử tuyến tính bị chặn trong khônggian Hilbert H Số λ được gọi là thuộc phổ của A hay một giá trị phổcủa A nếu không tồn tại toán tử ngược bị chặn (A − λI)−1 Tập tất

cả các giá trị phổ của A được gọi là phổ của A, ký hiệu là σ(A).Định nghĩa 1.20 Toán tử tuyến tính liên tục A : H → H được gọi

là toán tử eliptic, nếu tồn tại α > 0 sao cho hAx, xi ≥ αkxk2, ∀x ∈ H

Định nghĩa 1.22 Toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian Hilbert

H vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu

hAx, yi = hx, Ayi, ∀x, y ∈ H

Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng

Định lý 1.8 Giả sử A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gianHilbert phức H Khi đó, A tự liên hợp khi và chỉ khi (∀x ∈ H)hAx, xi

là số thực

Hệ quả 1.1 Giả sử A là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

H Khi đó, mọi giá trị riêng λ của A là số thực

Định lý 1.9 Cho toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian Hilbert

H vào không gian Hilbert H0 Khi đó tồn tại toán tử A∗ liên hợp vớitoán tử A từ không gian H0 vào không gian H

Định lý 1.10 Cho toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian Hilbert

H vào không gian Hilbert H0 Khi đó toán tử liên hợp A∗ với toán tử

A cũng là toán tử tuyến tính bị chặn và kA∗k = kAk

Định nghĩa 1.23 Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gianHilbert H vào không gian Hilbert H0 Khi đó:

được gọi là miền giá trị của A và ký hiệu R(A).

Định lý 1.11 Giả sử H và H0 là các không gian Hilbert A : H → H0

là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó,

H = N (A) ⊕ R(A∗), H0 = N (A∗) ⊕ R(A)

Với A ⊕ B là tổng trực tiếp của A và B

Định nghĩa 1.24 Theo định lý trên, mọi x ∈ H đều biểu diễn đượcduy nhất dưới dạng x = y + z với y ∈ M, z ∈ M⊥ Như vậy H =

M ⊕ M⊥

Ánh xạ P : H → M , xác định P (x) = y với x = y + z ∈ M ⊕ M⊥,được gọi là phép chiếu trực giao từ H lên M

Định nghĩa 1.25 Phép chiếu trực giao P từ không gian Hilbert Hlên không gian con đóng M 6= {0} là một toán tử tuyến tính liên tục.

1.3.4 Toán tử đẳng cự

Định nghĩa 1.26 Cho H và H0 là hai không gian Hilbert và toán tửtuyến tính A : H → H0 sao cho kAxk = kxk với ∀x ∈ H Khi đó Ađược gọi là toán tử đẳng cự

Định nghĩa 1.27 Nếu A là toán tử đẳng cự và là toàn ánh thì Ađược gọi là toán tử Unita

Định lý 1.14 Cho H và H0 là hai không gian Hilbert và A : H → H0

là toán tử tuyến tính Lúc đó các mệnh đề sau là tương đương:

(i) A là toán tử đẳng cự;

(ii) A liên tục và A∗ · A = IX(IX là toán tử đồng nhất trong H);(iii) A bảo toàn tích vô hướng: hAx1, Ax2i = hx1, x2i ∀x1, x2 ∈ H

1.4 Bài toán tối ưu trong không gian Hilbert

Bài toán 1.1 Cho ϕ : H → R là hàm khả vi Fréchet trên tập mở Ωchứa K Xét bài toán :

(P ) min{ϕ(x) : x ∈ K} (1.3)

ϕ là hàm mục tiêu và K là tập ràng buộc.

Tập nghiệm của bài toán (P ) là

Sol(P ) := {¯x ∈ K | ϕ(x) ≥ ϕ(¯x), ∀x ∈ K}

Tập nghiệm địa phương của bài toán (P ) là

Loc(P ) := {¯x ∈ K | ∃ε > 0 sao cho ϕ(x) ≥ ϕ(¯x), ∀x ∈ K ∩ B(¯x, ε)}Định lý 1.15 (Quy tắc Fermat) Nếu ¯x ∈ Loc(P ), thì

h∇ϕ(¯x), x − ¯xi ≥ 0, ∀x ∈ K (1.4)Ngược lại, nếu K, ϕ lồi và ¯x ∈ K thỏa (1.4) thì ¯x ∈ Sol(P )

Chứng minh (⇒) Do ¯x ∈ Sol(P ) nên tồn tại ε > 0 sao cho

ϕ(x) ≥ ϕ(¯x), ∀x ∈ K ∩ B(¯x, ε)

Lấy x ∈ K tùy ý, chọn t ∈ (0, 1) sao cho xt = ¯x + t(x − ¯x) ∈ B(¯x, ε).Khi đó xt ∈ K ∩ B(¯x, ε) Ta có

ϕ(xt) ≥ ϕ(¯x),hay là

(⇐) Giả sử ¯x ∈ Kvà thỏa mãn (1.4) Lấy x ∈ K Do tính lồi của K,

Chương 2

Bất đẳng thức biến phân trong

không gian Hilbert

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tạinghiệm của các bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Sau đó,chúng tôi trình bày một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thứcbiến phân như: Phương pháp nhân tử Lagrange, Thuật toán hiệu chỉnhTikhonov, Thuật toán điểm gần kề

2.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 2.1 [4] (Bất đẳng thức biến phân) Cho H là một khônggian Hilbert với tích vô hướng là h·, ·i và chuẩn tương ứng là k · k Cho

K ⊂ H là một tập lồi đóng, khác rỗng và F : K → H

Bài toán "Tìm ¯x ∈ K sao cho

hF (¯x), x − ¯xi ≥ 0, ∀x ∈ K” (2.1)được gọi là một bất đẳng thức biến phân, ký hiệu là V I(F, K)

Tập tất cả các ¯x ∈ K thỏa mãn (2.1) được gọi là tập nghiệm của

V I(F, K) và được ký hiệu là Sol(V I(F, K))

Ví dụ 2.1 Cho f : [a, b] → R là một hàm số khả vi Giả sử ¯x ∈ [a, b]

là một điểm cực tiểu toàn cục của F trên [a, b], nghĩa là:

Định nghĩa 2.2 [4] Ta nói bài toán V I(F, K) là đơn điệu, nếu F làđơn điệu trên K, tức là

hF (x) − F (y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ K

Định nghĩa 2.3 [4] Ta nói bài toán V I(F, K) là đơn điệu chặt, nếu

F là đơn điệu chặt trên K, tức là

Nhận xét 2.3 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu thì giả đơn điệu.Điều ngược lại không đúng.

Định nghĩa 2.6 [4] Ta nói bài toán V I(F, K) là tựa đơn điệu nếu

a(u, v) = a(v, u) với mọi u, v ∈ H

Một ánh xạ tuyến tính và liên tục

A : H → H0xác định một dạng song tuyến tính thông qua phép nhân

a(u, v) = hAu, vi (2.2)Điều kiện của tuyến tính được thỏa mãn và |a(u, v)| ≤ ckuk.kvk vớihằng số c ≥ 0, nó kéo theo a liên tục Và ngược lại, cho một dạng songtuyến tính a(u, v), ánh xạ tuyến tính

v → a(u, v) với v ∈ Hxác định một ánh xạ tuyến tính liên tục A : H → H0 thỏa mãn (2.2)

Định nghĩa 2.8 [7] Dạng song tuyến tính a(u, v) thỏa mãn điều kiệnbức trên H, nếu tồn tại số α ≥ 0 sao cho:

a(u, v) ≥ αkvk2 với v ∈ H (2.3)Bài toán 2.1 [7] Cho K ⊂ H lồi, đóng và f ∈ H0 Tìm

u ∈ K : a(u, v − u) ≥ hf, v − ui, ∀v ∈ K (2.4)

2.2 Một số định lý về tồn tại nghiệm.

Cho H là không gian Hilbert, K ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng.Định lý 2.1 [4] Cho X là không gian Banach phản xạ, K ⊂ X làtập lồi đóng, khác rỗng và giới nội Nếu F : K → X∗ là toán tử đơnđiệu và liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều, thì bài toán

V I(F, K) có nghiệm

Định lý 2.2 [4] (Định lý điểm bất động cho ánh xạ không giãn) Cho

K ⊂ X là tập lồi, đóng, giới nội, khác rỗng trong không gian Hilbert