Bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI MẠC VĂN TOÁN BÀI TOÁN TỐI ƯU TUYẾN TÍNH VỚI RÀNG BUỘC BÙ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI MẠC VĂN TOÁN BÀI TOÁN TỐI ƯU TUYẾN TÍNH VỚI RÀNG BUỘC BÙ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI, 2016 i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Năng Tâm, Thầy trực tiếp giảng dạy, tận tình hướng dẫn tạo điều kiện giúp hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Giám đốc Sở, Phòng Kế hoạch Tài Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Bắc Giang gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2; thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ suốt trình học tập trường Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Mạc Văn Toán ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm Trong trình hoàn thành luận văn, kế thừa thành khoa học nhà toán học với trân trọng biết ơn sâu sắc Luận văn không trùng lặp với luận văn, luận án khác Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2016 Mạc Văn Toán iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Các ký hiệu thường dùng Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Tôpô yếu không gian Hilbert 10 1.3 Toán tử không gian Hilbert 11 1.4 Bài toán bù tuyến tính không gian Hilbert 13 Bài toán quy hoạch tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính 15 2.1 Phát biểu toán 15 2.1.1 Ví dụ 18 2.1.2 Ví dụ 18 2.2 Tìm nghiệm chấp nhận 18 2.3 Tìm điểm dừng 22 2.4 Tìm cực tiểu toàn cục 26 2.5 Vấn đề giải toán 28 2.5.1 Các toán đối ngẫu với tham số tự 30 2.5.2 Tập Z công thức minimax 32 iv 2.6 Tiếp cận Benders 34 Bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù không gian Hilbert 40 3.1 Phát biểu toán 40 3.2 Tập ràng buộc toán 41 3.2.1 Một số kết cho nón đa diện 42 3.2.2 Kết tồn trường hợp nón tổng quát 43 3.2.3 Ví dụ 47 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Các ký hiệu thường dùng R Đường thẳng thực ∅ Tập hợp rỗng |x| Giá trị tuyệt đối x H Không gian Hilbert Rn Không gian Hilbert n chiều · Chuẩn không gian Hilbert intC Phần C C Bao đóng C x, y , xT y Tích vô hướng phần tử x y H∗ Không gian liên hợp H inf g Cận ánh xạ g sup g Cận ánh xạ g S⊥ Phần bù trực giao S x⊥y x trực giao với y RanT Ảnh toán tử T KerT Hạt nhân toán tử T A∗ Toán tử liên hợp toán tử A K∗ Nón đối ngẫu nón K spanC Không gian sinh C ∂C Biên C LCP(T, K, q) Bài toán bù tuyến tính suy rộng Mở đầu Lý chọn đề tài Cho H không gian Hilbert với tích vô hướng ·, · K nón lồi, đóng H với nón đối ngẫu K ∗ = {y ∈ H : x, y 0, ∀x ∈ K} Bài toán bù tuyến tính LCP(f, K) xác định ánh xạ affin liên tục f : H → H nón K tìm x0 ∈ K cho f (x0 ) ∈ K ∗ f (x0 ), x0 = Bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính H toán có dạng:   c, x  với x ∈ Sol(LCP(f, K)), c phần tử cố định H, Sol(LCP(f, K)) tập nghiệm toán bù LCP(f, K) Bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính không gian Hilbert toán quen biết lý thuyết tính toán, có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tế Nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu toán theo nhiều hướng, nhiều khía cạnh Sau học kiến thức Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng chúng Tôi chọn đề tài nghiên cứu "Bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính không gian Hilbert" Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu nghiên cứu số tính chất định tính toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính không gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất định tính toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính không gian Hilbert Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính không gian Hilbert Phạm vi nghiên cứu: Những tính chất định tính Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập qua tài liệu liên quan đến đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích hàm Những đóng góp Trình bày cách có hệ thống làm rõ số tính chất toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính không gian Hilbert theo tài liệu nhà khoa học nghiên cứu công bố Một số kết tổng quát diễn giải tính toán lại cách chi tiết Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức sở không gian Hilbert, số toán tử không gian Hilbert toán bù tuyến tính không gian Hilbert Nội dung trình bày chương chủ yếu lấy từ tài liệu [1, 2] 1.1 Không gian Hilbert Cho H không gian vectơ trường số thực R Định nghĩa 1.1 Ta gọi ánh xạ , : H × H → R; (x, y) → x, y tích vô hướng H điều kiện sau thỏa mãn: với x, y, z ∈ H α ∈ R i) x, y = y, x , ii) αx, y = α x, y , iii) x, y + z = x, y + x, z , iv) x, x 0, x, x = x = Số x, y gọi tích vô hướng x y 36 L ρrj [z T u+,r,j + (1 − z)T v r,j ] Khi ϕ0 (z) với j=1 L max r ρ ρrj [q T (u+,r,j − u−,r,j )] j=1 L ρrj [z T u+,r,j + (1 − z)T v r,j ] cho j=1 toán cực đại sau có nghiệm tối ưu q T (u+,r,j − u−,r,j ) > ⇒ z T u+,r,j + (1 − z)T v r,j > ⇔ (1 − zl ) zl + l:u+,r,j >0 l l:vlr,j >0 Do đẳng thức Z tập vế phải có Một hệ trực tiếp Mệnh đề 2.4 cho phương án chấp nhận (LPCC) Hệ 2.1 ([8], tr 7) Nếu R ⊆ L tồn cho     m (1 − zl ) 1, ∀j ∈ R = ∅, zl + z ∈ {0, 1} :   r,j +,r,j l:ul l:vl >0 >0 LPCC (2.1) phương án chấp nhận Chứng minh Giả thiết Z = ∅ Do đó, tính phương án chấp nhận (LPCC) suy từ Định lý 2.4 (a) Theo Mệnh đề 2.4, (2.55) tương đương với:  Q max  ρp     với điều kiện z∈Z    i=1 Q i=1  ρpi [q T (u+,p,i − u−,p,i )] ρpi [z T u+,p,i + (1 − z)T v p,i ] Q i=1 ρpi = 1,         (2.56) Chú ý rằng, LPCCmin với giá trị cực tiểu (2.56) Tương tự với bất đẳng thức zl + l:u+,r,j >0 l (1 − zl ) l:vlr,j >0 37 mà gọi tia cắt (bởi bao gồm tia cực biên) sử dụng điểm cắt: (1 − zl ) zl + l:u+,p,i >0 l l:vlp,i >0 bao gồm điểm cực biên (λp,i , u±,p,i , v p,i ) Ω chọn từ tập hợp sau: K ≡ {i ∈ {1, , Q} : q T (u+,p,i − u−,p,i ) = ϕ(z)với z ∈ Z Chú ý K = ∅ ⇒ Z = ∅, từ suy LPCC (2.1) có phương án chấp nhận Hơn nữa, q T (u+,p,i − u−,p,i ) i∈K LPCCmin Với cặp tập cho trước P × R ⊆ K × L, lấy  m  zl + (1 − zl )   z ∈ {0, 1} : r,j l:u+,r,j >0 l:v >0 l l Z(P, R) ≡  zl + (1 − zl )   +,p,i p,i l:ul >0 l:vl >0  1, ∀j ∈ R    1, ∀i ∈ P    Chúng ta có kết sau: Mệnh đề 2.5 ([8], tr 8) Nếu tồn P × R ⊆ K × L cho min[q T (u+,p,i − u−,p,i )] > LPCCmin , i∈P arg ϕ(z) ⊆ Z(P, R) z∈Z Chứng minh Lấy z¯ ∈ Z cực tiểu ϕ(z) Z (Mệnh đề rõ ràng cực tiểu tồn tại) Nếu z¯ ∈ Z(P, R) tồn i ∈ P cho z¯l + l:u+,p,i >0 l (1 − z¯l ) = l:vlp,i >0 Do đó, (λp,i , u±,p,i , v p,i ) chấp nhận LP (2.50) tương ứng với ϕ(¯ z ); LPCCmin = ϕ(¯ z) q T (u+,p,i − u−,p,i ) > LPCCmin , mẫu thuẫn Tương tự với Hệ 2.1 có hệ sau Mệnh đề 2.5 38 Hệ 2.2 ([8], tr 8) Nếu tồn P × R ⊆ K × L với P = ∅ cho Z(P, R) = ∅, LPCCmin = min[q T (u+,p,i − u−,p,i )] ∈ (−∞, ∞) i∈P Chứng minh Thật vậy, dấu không xảy arg ϕ(z) = ∅ z∈Z Nhưng điều suy Z = ∅, mâu thuẫn với giả thiết P = ∅ Kết hợp với Hệ 2.1 Hệ 2.2, thu phát biểu Định lý 2.4 với thuật ngữ điểm cực biên tia cực biên Ω Định lý 2.5 ([8], tr 8) Ba phát biểu sau đúng: (a) LPCC (2.1) phương án chấp nhận tập R ⊆ L tồn cho Z(∅, R) = ∅; (b) LPCC (2.1) có phương án chấp nhận hàm mục tiêu không bị chặn Z(K, L) = ∅; (c) LPCC (2.1) đạt giá trị mục tiêu hữu hạn cặp P × R ⊆ K × L tồn với P = ∅ cho Z(P, R) = ∅ Chứng minh Phát biểu (a) suy từ Hệ 2.1 ý tập R ⊆ L tồn cho Z(∅, R) = ∅ Z = Z(∅, L) = ∅ Để chứng minh (b), giả sử Z(K, L) = ∅ Lấy zˆ ∈ Z(K, L) Khi zˆ ∈ Z Chúng ta khẳng định ϕ(ˆ z ) = −∞, nghĩa LP (2.50) tương ứng với zˆ phương án chấp nhận Giả sử ngược lại, ϕ0 (ˆ z) = suy ϕ(ˆ z ) hữu hạn Do đó, tồn điểm cực biên (λp,i , u±,p,i , v p,i ) LP (2.50) tương ứng với zˆ cho q T (u+,p,i −u−,p,i ) = ϕ(ˆ z ), nên số i ∈ K mà suy (1 − zˆl ) zˆl + l:u+,p,i >0 l 1, l:vlp,i >0 zˆ ∈ Z(K, L) Nhưng điều mâu thuẫn với phương án chấp nhận (λp,i , u±,p,i , v p,i ) với LP (2.50) tương ứng với zˆ Do đó, LPCC (2.1) có phương án chấp nhận có hàm mục tiêu không bị chặn, nên phát 39 biểu "nếu" (b) Ngược lại, giả sử LPCCmin = −∞ Theo Định lý 2.4, suy tồn zˆ ∈ Z cho ϕ(ˆ z ) = −∞, nghĩa LP (2.50) tương ứng với zˆ phương án chấp nhận Hay zˆT u+,p,i + (1 − zˆ)T v p,i > với i = 1, , Q, tương đương với (1 − zˆl ) zˆl + l:u+,p,i >0 l 1, l:vlp,i >0 với i = 1, , Q Hệ là, zˆ ∈ Z(K, L) Do đó, (b) Cuối cùng, chiều "nếu" (c) suy từ Hệ 2.2 Ngược lại, LPCC (2.1) có giá trị tối ưu hữu hạn, từ (b) suy Z(K, L) = ∅ Vì LPCC (2.1) có phương án chấp nhận được, K = ∅ (a), ta có chiều "chỉ nếu" (c) Định lý 2.5 tạo thành sở lý thuyết cho thuật toán để giải (LPCC) Thông qua hệ sinh điểm cực biên tia Ω, thuật toán tìm kiếm cặp tập P × R mà Z(K, L) = ∅ Nếu định nghĩa thành công cặp (LPCC) phương án chấp nhận (P = ∅) đạt giải pháp tối ưu hữu hạn (P = ∅) Nếu không tìm cặp vậy, (LPCC) không bị chặn Trong thuật toán, trường hợp cuối định nghĩa với vectơ nhị phân z ∈ Z với ϕ(z) = −∞, tức là, LP (2.50) phương án chấp nhận Căn vào giá trị ϕ(z) vết cắt tia/điểm, thuật toán hiển thị để chấm dứt thời gian hữu hạn 40 Chương Bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù không gian Hilbert Trong chương này, xét lớp toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù không gian Hilbert Những nội dung trình bày chương chủ yếu lấy từ báo [4] 3.1 Phát biểu toán Cho H không gian Hilbert với tích vô hướng ·, · K nón lồi, đóng H với nón đối ngẫu K ∗ = {y ∈ H : x, y 0, ∀x ∈ K} Bài toán bù tuyến tính LCP(f, K) xác định ánh xạ affin liên tục f : H → H nón K tìm x0 ∈ K cho f (x0 ) ∈ K ∗ f (x0 ), x0 = Bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính H toán có dạng:   c, x  với x ∈ Sol(LCP(f, K)), (3.1) c phần tử cố định H, Sol(LCP(f, K)) tập nghiệm toán bù LCP(f, K) Việc nghiên cứu toán khó Chúng ta hạn chế nghiên cứu tập ràng buộc toán LCP(f, K) 41 3.2 Tập ràng buộc toán Trong mục này, nghiên cứu toán LCP(f, K) Nhắc lại rằng, f affin f có dạng f (x) = T x + q, T toán tử tuyến tính, q vectơ cố định H Khi đó, toán bù tuyến tính không gian Hilbert phát biểu sau: Định nghĩa 3.1 Cho H không gian Hilbert, K nón lồi, đóng H Bài toán bù tuyến tính không gian Hilbert là: Tìm x ∈ K cho T x + q, h (∀h ∈ K) T x + q, x = 0, T toán tử tuyến tính H q phần tử H Bài toán gọi toán bù tuyến tính suy rộng không gian Hilbert kí hiệu LCP(T, K, q) Định nghĩa 3.2 Bài toán LCP(T, K, q) gọi chấp nhận tồn x ∈ K cho T x + q ∈ K ∗ , K ∗ = {x ∈ H : x, h ∀h ∈ K} Nếu x ∈ K cho T x + q ∈ K ∗ ta nói x chấp nhận toán LCP(T, K, q) Định nghĩa 3.3 Ta nói toán LCP(T, K, q) giải tồn x chấp nhận cho toán LCP(T, K, q) T x + q, x = Ta nghiên cứu tồn nghiệm tính ổn định toán bù tuyến tính suy rộng 42 3.2.1 Một số kết cho nón đa diện Định lý 3.1 Cho K đa diện T toán tử đồng dương cộng K Nếu toán bù tuyến tính suy rộng LCP(T, K, q) chấp nhận có nghiệm Chứng minh Nếu dimH < ∞ cách sử dụng phép biến đổi bảo toàn tích vô hướng, ta giả sử H = Rn với n sử dụng tích vô hướng thông thường Rn Vì K nón đa diện, tồn số nguyên dương m ánh xạ tuyến tính B : Rm → Rn cho B(Rm + ) = K Dễ dàng thấy T = B ∗ T B toán tử đồng dương cộng Rm + Vì toán bù tuyến tính suy rộng LCP(T, K, q) chấp nhận được, tồn x0 ∈ K cho T x0 + q, h với h ∈ K Với phần tử x0 ∈ Rm + thỏa mãn B x0 = x0 ta có T x0 + B ∗ q, x = B ∗ (T x0 + q), x = (T x0 + q), Bx ∗ m với x ∈ Rm + Như vậy, LCP(T , R+ , B q) chấp nhận Theo [4], tồn x ∈ Rm + cho T x + B ∗ q, x (x ∈ Rm + ) T x + B ∗ q, x = (3.2) (x ∈ Rm + ) T (Bx) + q, Bx = (3.3) Rút gọn (3.2) ta T (Bx) + q, Bx ta thấy Bx nghiệm LCP(T, K, q) Trong trường hợp tổng quát, giả sử X không gian hữu hạn chiều H chứa K Kí hiệu P phép chiếu vuông góc từ H lên X đặt S = P T Khi đó, S : X → X toán tử đồng dương cộng K Sx0 + P q, h = T x0 + q, h ∀h ∈ K 43 Như vậy, toán LCP(S, K, P q) có phương án chấp nhận X Theo trường hợp hữu hạn chiều xét trên, tồn x ∈ K cho ∀h ∈ K Sx + P q, h Sx + P q, x = (3.4) Vì Sx + P q, h = T x + q, h với h ∈ K, chứng tỏ x nghiệm LCP(T, K, q) 3.2.2 Kết tồn trường hợp nón tổng quát Định lý 3.2 Giả sử (i) T toán tử đồng dương cộng K (ii) Ánh xạ x → T x, x nửa liên tục yếu K (iii) K nón mỏng (iv) { h ∈ K | T h ∈ K ∗ , T h, h = q, h = 0} = {0} Khi đó, LCP(T, K, q) chấp nhận tập nghiệm LCP(T, K, q) khác rỗng compact yếu Chứng minh Trước tiên, tồn nghiệm Lấy x0 chấp nhận LCP(T, K, q) Ta giả sử x0 = K = {0}; trái lại, nghiệm toán Khi đó, theo (iii), tập { x ∈ K | x = 1} khác rỗng khả li Kí hiệu {ε0 , ε1 , ε2 , } tập trù mật {x ∈ K | x = 1} với ε0 = x0 / x0 kí hiệu Kn nón lồi, đóng sinh {ε0 , ε1 , ε2 , , εn } Ta có, Kn nón đa diện chứa x0 Vì Kn ⊂ K, theo (i), T đồng dương cộng Kn với n = 1, 2, 3, Bây ta cố định n Vì x0 chấp nhận LCP(T, Kn , q), theo Định lý 3.1 tồn xn ∈ Kn cho T xn + q, h (h ∈ Kn ) T xn + q, xn = (3.5) 44 Ta khẳng định rằng, dãy {xn } bị chặn n → ∞ Thật vậy, {xn } không bị chặn không giảm tổng quát, ta giả sử xn → ∞ Khi đó, từ (3.5) ta có T un + qn , un = với un := xn / xn qn := q/ xn (n = 1, 2, 3, ) (3.6) → Vì {u ∈ K | u 1} tập lồi đóng, bị chặn không gian Hilbert H, ta có {un } (hoặc dãy nó) hội tụ yếu đến phần tử d ∈ K Theo (ii) (3.6), ta nhận T d, d theo (i) suy T d = −T ∗ d (3.7) Bây giờ, từ (3.5) theo (i), suy q, xn = −T xn , xn Điều cho q, d (3.8) Vì h ∈ K viết dạng: h = lim hn với hn ∈ Kn , n→∞ từ (3.5) ta có T d, h với h ∈ K, nghĩa T d ∈ K ∗ (3.9) Vì LCP(T, K, q) chấp nhận được, ta suy T x0 + q, d Từ sử dụng (3.7) (3.9) ta có q, d − T x0 , d = − x0 , T ∗ d = x0 , T d Từ (3.8) ta nhận q, d = Như vậy, d ∈ {x ∈ K | T x ∈ K ∗ , T x, x = 0, q, x = 0} 45 Theo (iv) điều suy d = 0, nghĩa ∈ [bao đóng yếu {x ∈ K : x = 1}] Điều mâu thuẫn với (iii) Như vậy, dãy {xn } (hoặc dãy nó) bị chặn Không giảm tổng quát, ta giả sử {xn } hội tụ yếu đến phần tử x0 ∈ K Bây (3.5), theo (ii), cho ta T x0 + q, x0 Hơn thế, sử dụng cách viết h = lim hn với hn ∈ Kn , (3.5) T x0 + q, h với tùy ý h ∈ K Vì vậy, x0 nghiệm toán LCP(T, K, q) Cuối cùng, cách lập luận tương tự ta tập nghiệm toán LCP(T, K, q) bị chặn Giả sử không bị chặn, cách tương tự thực hiện, ta xây dựng phần tử d ∈ K thoả mãn (3.7), (3.8), (3.9) theo (iii) dẫn đến mâu thuẫn Vì tập nghiệm LCP(T, K, q) đóng yếu K ta suy tập compact yếu Nhận xét giả thiết Định lí 3.2: 1) Điều kiện (i) (ii) thỏa mãn T đơn điệu H 2) Tính chấp nhận LCP(T, K, q) tương đương với q ∈ [K ∗ − T (K)] Khi có (i), q ∈ int [K ∗ − T (K)] suy (iv) thỏa mãn (xem [4]) 3) Nếu int(K ∗ ) khác rỗng q ∈ int [K ∗ − T (K)] (T x + q) ∈ int(K ∗ ) với x ∈ K (xem [4]) 4) Nếu K compact địa phương theo chuẩn điều kiện (iii) thỏa mãn Theo nhận xét (1) (2) Định lí 3.2 khái quát kết sau Nếu T đơn điệu H, K compact địa phương theo chuẩn K ∗ − T (K) = H tập nghiệm toán LCP(T, K, q) khác rỗng bị chặn với q (xem [4]) 46 5) Không có điều kiện (iii) (iv) kết sai 6) Khi T tự liên hợp, điều kiện (iv) (khi có (i)) trở thành K ∩ KerT ∩ {q}⊥ = {0} 7) Khi dim H < ∞ điều kiện (ii) (iii) luôn Định lý 3.3 Cho dim H < ∞ giả sử T , K, q thỏa mãn: (i) T tự liên hợp (ii) T đồng dương cộng K (iii) (T + q ⊗ q)(K) đóng Nếu LCP(T, K, q) chấp nhận có nghiệm Chứng minh Đặt M := KerT ∩ {q}⊥ Nếu M = {0} theo Định lí 3.2 ta có kết luận (xem nhận xét (6) (7)) Vậy ta giả sử M = {0} Kí hiệu P phép chiếu trực giao từ H lên M ⊥ = RanT + Span {q} Vì T x + q, h = T P x + q, P h (x, h ∈ K), ta nhận thấy tồn nghiệm LCP(T, K, q) tương đương với tồn nghiệm LCP(T, P (K), q) Theo (iii) tập K + Ker(T + q ⊗ q) = K + KerT ∩ {q}⊥ = K + KerP đóng, P (K) đóng Từ (ii) dễ thấy T đồng dương cộng P (K) cuối ta có P (K) ∩ KerT ∩ {q}⊥ ⊂ RanP ∩ KerP = {0} Như vậy, tất điều kiện Định lí 3.2 thỏa mãn cho toán LCP(T, P (K), q) có nghiệm Điều suy toán LCP(T, K, q) có nghiệm 47 3.2.3 Ví dụ Ví dụ rằng, bỏ qua điều kiện (iii) Định lí 3.2 LCP(T, K, q) nghiệm Lấy ∞ H= x2n < ∞ x = (x1 , x2 , x3 , ) | xn ∈ R, = n=1 ∞ với tích vô hướng cho bởi: x, y = n=1 (nghĩa là, xn + xn yn Lấy + với x = (x1 , x2 , ) ∈ ⊂ nón dương 2 ) Đặt v = α(1, 41 , 19 , ) u = β(γ, 21 , 13 , ), α, β, γ chọn cho α, β > 0, u = v = u, v = Chúng ta xác định toán tử chiếu P : → P đồng dương cộng P : x → x, u u + x, v v Vì phép chiếu, P đơn điệu + Cũng từ tính đơn điệu P suy tính nửa liên tục yếu toán tử x → P x, x Nếu = x ∈ KerP x, v = số phần tử x phải số âm Điều x∈ + ∩ + : + KerP = {0} Tuy khả li, ta có: thuộc bao đóng yếu x = Kí hiệu en phần tử + với thành phần thứ n, thành phần lại Đặt q = −u Khi đó, với n > n P ( en ) = β ∗ Vì v ∈ ( + ) (= n en , u u + β + ) ta có n β P n α1 en , v v = u + v β βn en + q ∈ (3.10) + ∗ Như vậy, LCP(P, + 2 , q) chấp nhận ta kiểm tra tất điều kiện Định lí 3.2 ngoại trừ tính mỏng nón x∈ + + + Giả sử có a ∈ với P a + q, x P a + q, a = Bất đẳng thức P a + q, a, u + vậy, a, u n β α1 βn en a, v − (n = 1, 2, 3, ) cho (n = 2, 3, ) với tất 48 Bây P a + q, a = trở thành | a, u |2 + | a, v |2 − a, u = và, a, u ta có a, v = Do a ∈ + phần tử v dương nên ta phải có a = từ −u, x = q, x = P a + q, x với x ∈ + Nhưng −u, e2 = − 21 β < có điều mâu thuẫn Do đó, LCP(P, + , q) không giải Kết luận Chúng ta nghiên cứu tập nghiệm toán LCP (f, K), nghĩa nghiên cứu tập ràng buộc toán (3.1) Việc giải toán (3.1) vấn đề không dễ mà tập nghiệm toán LCP(f, K) có cấu trúc phức tạp 49 Kết luận Luận văn trình bày tổng quan số vấn đề toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính không gian Hilbert như: • Những định lý tồn nghiệm tập ràng buộc • Những mối quan hệ xuất kết trình bày Các kết đạt luận văn là: • Trình bày cách có hệ thống số kết cho toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính không gian Hilbert theo tài liệu có Một số kết tổng quát diễn giải tính toán lại cách chi tiết 50 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (2014), Giáo trình Giải tích lồi ứng dụng, NXB ĐHQG Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [3] Joaquim Júdice (2014), optimization with linear complementarity constraints, Pesquisa Operacional 34(3), 559-584 [4] M S Gowda, T I Seidman (1990), Generalized Linear Complementarity Probrems, Mathamatic Programming 46, p.329-340 [5] K Murty (1988) Linear Complementarity, Linear and Nonlinear Programming Heldermann Verlag, Berlin [6] J Judice , LN Vicente (1994), On the solution and complexity of a generalized linear comple-mentarity problem Journal of Global Optimization, 4: 415–424 [7] Joaquim Júdice (2014), optimization with linear complementarity constraints, Pesquisa Operacional 34(3), 559-584 [8] J Hu, J.E Mitchell, J Pang, K.P Bennett, G Kunapuli (2008), On the global solution of linear programs with linear complementarity constraints, SIAM J Optim 19 (1), 445-471