Cực đại hàm tuyến tính trên tập hữu hiệu của bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————o0o————— LÊ NHƯ QUỲNH CỰC ĐẠI HÀM TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————o0o————— LÊ NHƯ QUỲNH CỰC ĐẠI HÀM TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Danh mục ký hiệu i Danh mục hình vẽ iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi đa diện 1.2 Bài toán quy hoạch song tuyến tính 1.3 Bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu 15 1.4 Bài toán tối ưu tuyến tính hai cấp 19 Chương Thuật toán giải toán cực đại hàm tuyến tính tập điểm hữu hiệu 25 2.1 Nội dung toán 25 2.2 Cơ sở lý thuyết thuật toán 27 2.3 Thuật toán hội tụ 30 2.4 Ví dụ minh họa 35 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 42 Một số thuật ngữ thường sử dụng 44 i Danh mục ký hiệu Rn Không gian Euclide n-chiều Rn+ Góc không âm Rn Rn++ Góc dương Rn e Véc tơ với thành phần (e = (1, , 1) ∈ R p ) x≤y Véctơ x nhỏ hay véctơ y (xi ≤ yi , ∀i = 1, , n) x≥y Véctơ x lớn hay véctơ y (xi ≥ yi , ∀i = 1, , n) x∈X phần tử tập X x∈ /X x không phần tử tập X ∅ Tập hợp rỗng (tập phần tử nào) D Ký hiệu tập lồi đa diện F Ký hiệu diện tập lồi đa diện A∪B Hợp hai tập A B A∩B Giao hai tập A B A⊂B A tập hợp B A⊆B A tập hợp (có thể bằng) B conv S Bao lồi tập S ⊂ Rn dim S Thứ nguyên (hay số chiều) tập S ⊂ Rn ∃x Tồn x ∀x Với x (P) Ký hiệu toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu (Q) Ký hiệu toán cực đại hàm tuyến tính tập E P ii (BP) Ký hiệu toán quy hoạch song tuyến tính EP Tập điểm hữu hiệu toán (P) EdP Tập diện hữu hiệu toán (P) iii Danh mục hình vẽ Chương Hình 1.1 Tập lồi đa diện, đa diện lồi nón lồi đa diện Chương Hình 2.2 Sơ đồ khối thuật toán giải toán (Q) Hình 2.3 Tập chấp nhận D toán (P) Mở đầu Bài toán tối ưu hóa hàm tuyến tính, tập điểm hữu hiệu toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu, phục vụ cho nhiều mục đích việc đề định, liên quan tới nhiều mục tiêu khác Tuy nhiên, thường toán tối ưu toàn cục không dễ giải, miền chấp nhận toán, trường hợp tổng quát, tập không lồi Mặt khác, xem toán tối ưu hai cấp, nhiều người quan tâm nghiên cứu, đặc biệt mặt phương pháp giải toán Luận văn đề cập tới toán tối ưu sau đây: max{d T x : x ∈ E p } (Q) d ∈ Rn E P tập điểm hữu hiệu toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu: V max{cT1 x, , cTp x}, c1 , , c p ∈ Rn (P) với điều kiện: Ax = b, x ≥ (A ∈ Rm×n , b ∈ Rm ) Có nhiều thuật toán khác để giải toán (Q) Luận văn tìm hiểu giới thiệu thuật toán mới, dựa quy hoạch song tuyến tính, nêu tài liệu tham khảo [5] để giải toán tối ưu tuyến tính tập điểm hữu hiệu Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [1] - [7] có gồm hai chương: Chương “Kiến thức chuẩn bị” Chương nhắc lại số kiến thức sở tập lồi đa diện, toán quy hoạch song tuyến tính, toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu toán tối ưu hai cấp Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] - [4], [7], bao gồm tiểu mục sau: 1.1 Tập lồi đa diện khái niệm có liên quan (xác định diện tập lồi đa diện qua tập mô tả cực đại nó) 1.2 Bài toán quy hoạch song tuyến tính: Nội dung toán, tính chất nghiệm toán thuật toán giải 1.3 Bài toán tuyến tính đa mục tiêu: Nội dung toán tính chất điểm diện hữu hiệu 1.4 Bài toán tối ưu tuyến tính hai cấp: Nội dung toán tính chất (đặc biệt tính chất tối ưu tuyến tính hai cấp toán NP - khó) Chương “Thuật toán giải toán cực đại hàm tuyến tính tập điểm hữu hiệu” Chương đề cập tới toán tối ưu hóa hàm tuyến tính tập điểm hữu hiệu toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu trình bày thuật toán song tuyến tính, nêu tài liệu tham khảo [5], để giải toán Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [5] - [7] bao gồm tiểu mục sau: 2.1 Nội dung toán: liên hệ với tối ưu toàn cục tối ưu hai cấp 2.2 Cơ sở lý thuyết thuật toán: định lý đưa toán quy hoạch song tuyến tính 2.3 Thuật toán hội tụ: bước thuật toán hội tụ hữu hạn tới nghiệm tối ưu toàn cục xác 2.4 Ví dụ minh họa: Xét ví dụ số R3 Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn soạn thảo văn chắn không tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Lê Như Quỳnh Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức tập lồi đa diện, toán quy hoạch song tuyến tính, toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu toán tối ưu hai cấp Các kiến thức cần đến cho thuật toán trình bày chương sau Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] - [4], [7] 1.1 Tập lồi đa diện Tập lồi khái niệm lý thuyết tối ưu tập lồi đa diện dạng tập lồi đơn giản hay gặp lý thuyết tối ưu tuyến tính Ta nhắc lại khái niệm kiến thức liên quan Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ Rn gọi tập lồi (convex set) với x, y ∈ C số thực λ ∈ [0, 1] phải có λ x + (1 − λ )y ∈ C Theo định nghĩa này, tập ∅, tập có phần tử Rn tập lồi • Ta để ý tới số dạng tập lồi đặc biệt sau đây: a) Tập afin tập chứa trọn đường thẳng qua hai điểm thuộc b) Siêu phẳng tập lồi dạng H = {x ∈ Rn : aT x = α}, a ∈ Rn \ {0}, α ∈ R c) Các nửa không gian đóng H + = {x ∈ Rn : aT x ≥ α}, H − = {x ∈ Rn : aT x ≤ α} 30 Định lí 2.3 Giả thiết E P = ∅ Nếu toán (2.2) nghiệm chấp nhận không tồn x ∈ D cho d T x > α Chứng minh Do E P = ∅ nên theo Hệ 1.1, điều tương đương với hệ λ T C + uT A + sT = 0, s ≥ 0, λ ≥ e có nghiệm Nhưng theo giả thiết toán (2.2) nghiệm chấp nhận được, hệ Ax − by = 0, d T x − αy ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ vô nghiệm Từ theo Mệnh đề 2.1, x ∈ D với d T x > α 2.3 Thuật toán hội tụ Mục nêu mô tả chi tiết thuật toán chứng minh hội tụ thuật toán sau hữu hạn vòng lặp Không giảm tổng quát, ta giả thiết E P = ∅ Do tập hữu hiệu E P hợp tất diện hữu hiệu (P) nhớ từ góc độ toán học, diện hữu hiệu tập lồi đa diện mà ta tối ưu hóa hàm tuyến tính cách hiệu quả, kết mục gợi ý thủ tục sau để giải toán (Q) Xuất phát từ diện hữu hiệu tùy ý, đỉnh hữu hiệu chẳng hạn Gọi α giá trị mục tiêu tối ưu d T x diện hữu hiệu xét (gọi giá trị kỷ lục) tìm, có thể, diện hữu hiệu cho phép cải tiến giá trị kỷ lục α Lặp lại quy trình diện tìm được, nhận diện hữu hiệu có tính chất đòi hỏi Khi giá trị mục tiêu tối ưu (Q) α Dựa theo ý tưởng này, ta xây dựng thuật toán chi tiết để giải toán (Q) 2.3.1 Mô tả thuật toán • Bước (Khởi tạo) Nếu E P = ∅ dừng thuật toán: (Q) nghiệm chấp nhận Trái lại, đặt k = 0, α0 = d T x0 với x0 nghiệm hữu hiệu ban đầu • Bước (Thăm dò) 31 Giải quy hoạch song tuyến tính (BPk) sau đây: βk = sT x → (BPk ) với điều kiện    λ T C + uT A + sT = 0,      Ax − by = 0,   d T x − αk y ≥ 1,      x, s ≥ 0, λ ≥ e, y ≥ 1, • Bước (Quy tắc dừng) Nếu toán (BPk ) không chấp nhận có giá trị mục tiêu tối ưu βk > dừng thuật toán: giá trị mục tiêu tối ưu (Q) αk Trái lại (βk = 0), chuyển sang Bước • Bước (Tìm diện hữu hiệu mới) Giả sử (λ¯ k , u¯k , s¯k , x¯k , y¯k ) nghiệm tối ưu (BPk ) Đặt Jk = { j ∈ J : s¯kj > 0} Giải quy hoạch tuyến tính: (Qk ) max{d T x : x ∈ F(Jk )}, F(Jk ) = {x ∈ D : x j = 0, ∀ j ∈ Jk } diện xác định tập mô tả Jk Nếu (Qk ) không bị chặn dừng thuật toán: Bài toán (Q) không bị chặn, nghĩa sup{d T x : x ∈ E P } = +∞ Trái lại, giả sử xk+1 điểm cực biên tối ưu (Qk ), đặt αk+1 = d T xk+1 , k ← k + quay lại Bước Sơ đồ khối thuật toán vẽ Hình 2.2 Trước nêu tính chất thuật toán vừa mô tả, ta cần làm rõ số chi 32 Hình 2.1: Sơ đồ khối thuật toán giải toán (Q) tiết thuật toán Như đề cập tới Chương (Mục 1.3.3), để tìm nghiệm hữu hiệu ban đầu x0 Bước 0, ta cần giải quy hoạch tuyến tính, chẳng hạn cách dùng phương pháp đơn hình quen thuộc Tuy nhiên việc sử dụng phương pháp trực cảm (ơristic) tôt để tính nghiệm hữu hiệu ban đầu gần với nghiệm tối ưu (Q) giúp tiết kiệm đáng kể công sức tính toán Theo nghĩa tác giả báo [5] đưa thủ tục Ơristic sau, lúc đầu giải toán quy hoạch tuyến tính nới lỏng (Q) xác định max{d T x : x ∈ D}, sau dùng nghiệm tối ưu nhận làm điểm xuất phát để tìm nghiệm hữu hiệu (P) dựa Định lý 1.7 (lập giải toán (LP0 )) Mặc dù 33 đảm bảo chất lượng nghiệm sinh theo cách tiếp cận này, cách làm tạo nghiệm hữu hiệu (P) có nhiều khả gần với nghiệm tối ưu (Q) Mặt khác, Bước đảm nhận trách nhiệm tìm diện hữu hiệu giúp cải tiến thực giá trị hàm mục tiêu toán (Q) nhận vòng lặp trước Rõ ràng công việc đòi hỏi nhiều tính toán thuật toán, cần giải toán quy hoạch song tuyến tính (BLP) với miền ràng buộc rời nhau, ràng buộc x y tách biệt với ràng buộc λ , u s toán (BPk ) Một phương pháp đơn giản giải quy hoạch song tuyến tính đưa quy hoạch lõm nhắc lại Chương 1, Mục 1.3.4 Cuối cùng, việc thực Bước Bước thuật toán không gặp khó khăn Nói riêng, ta thấy Bước yêu cầu tìm nghiệm tối ưu quy hoạch tuyến tính thông thường 2.3.2 Sự hội tụ thuật toán Kết sau điểm cực biên chấp nhận xk sinh thuật toán giải toán (Q) tạo giá trị hàm mục tiêu tăng đơn điệu Hơn nữa, ta thấy thuật toán cần mọt só hữu hạn vòng lặp để phát nghiệm tối ưu toàn cục để kết luận hàm mục tiêu toán (Q) không bị chặn trên, tức sup{d T x : x ∈ E P } = +∞ Một đặc điểm quan trọng thuật toán nghiệm chấp nhận tốt cho toán (Q) tìm thấy vòng lặp Thực vậy: Mệnh đề 2.2 Thuật toán tạo giá trị hàm mục tiêu đơn điệu tăng toán (Q) Chứng minh Cho αk mức gắn với giá trị hàm mục tiêu d T x vòng lặp k thuật toán Theo Định lý 2.1, toán (BPk) bị chặn với giá trị mục tiêu tối ưu F(Jk ) ∈ E Pf có tồn x ∈ F(Jk ) cho d T x > αk Do Bước ta 34 tính αk+1 giá trị mục tiêu tối ưu toán (Qk ) : max{d T x : x ∈ F(Jk )} Điều kéo theo α k+1 > α k Với diện bắt gặp, thuật toán xét tập mô tả (không thiết cực đại) loại bỏ không xét tất tập mô tả tương ứng với diện nằm diện gặp Trước đưa phát biểu, ta cần kết bổ trợ Bổ đề 2.1 Giả sử J , J” ⊂ J cho F(J”) ⊂ F(J ) giả sử toán max{d T x : x ∈ F(J )} bị chặn, với giá trị mục tiêu tối ưu α Cho số tùy ý β ≥ α Khi hệ sau vô nghiệm    Ax − by = 0,    d T x − β y > 1,     x ≥ 0, xJ” = 0, y > (2.3) Chứng minh Theo giả thiết F(J”) ⊆ F(J ) Giả sử phản chứng hệ (2.3) chấp nhận Áp dụng Mệnh đề 2.1, ta có ∃x ∈ F(J”) ⊆ F(J ) cho d T x > β ≥ α Nhưng điều trái với giả thiết bổ đề nên xảy Bây ta khẳng định kết luận kể Định lí 2.4 Nếu Jk tập mô tả sinh thuật toán vòng lặp k J ⊆ J cho F(J ) ⊆ F(Jk ) xét vòng lặp sau Chứng minh Giả sử J ⊆ J cho F(J ) ⊆ F(Jk ) Giả sử αk mức mục tiêu sử dụng toán song tuyến (BPk) vòng lặp k thuật toán Bằng cách áp dụng Bổ đề 2.1, ta thấy với β ≥ αk hệ: Ax − by = 0, d T x − β y > 1, x ≥ 0, xJ” = 0, y > vô nghiệm Do hệ trước dó đặc biệt hóa thuận tiện phần tập mô tả (BPk ), nên Mệnh đề 2.1 2.2 đảm bảo J tạo vòng lặp j sau thuật toán cách giải toán (BPj ) 35 Do tập ràng buộc D có số hữu hạn diện nên từ Định lý 2.4 trực tiếp suy hệ sau tính hữu hạn thuật toán nêu Hệ 2.1 Thuật toán dừng sau số hữu hạn vòng lặp Nếu ký hiệu |EvP | tổng số điểm cực biên hữu hiệu toán (P) trường hợp xấu số vòng lặp thuật toán thực |EvP | + Cuối cùng, ghi nhớ tính chất ta chứng minh thuật toán đắn Hệ 2.2 Nếu E P = ∅ thuật toán tìm nghiệm tối ưu toàn cục xác toán (Q) kết luận (Q) không bị chặn (sup{d T x : x ∈ E P } = +∞) Chứng minh Do (P) có số hữu hạn diện hữu hiệu theo cách xây dựng vòng lặp thuật toán tìm diện hữu hiệu, cải tiến thực giá trị hàm mục tiêu toán (Q) nhận vòng lặp trước kết luận không tồn diện với tính chất đòi hỏi (Định lý 2.1) 2.4 Ví dụ minh họa Mục giải ví dụ R3 nhằm minh họa cho thuật toán trình bày Xét toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu sau đây: (P) V max x với x ∈ D, D ⊂ R3 tập lồi đa diện xác định D = {x ∈ R3 : x1 + x2 ≤ 5, ≤ x1 ≤ 3, ≤ x2 ≤ 3, ≤ x3 ≤ 1} Rõ ràng, tập hữu hiệu E P (P) cạnh nối hai đỉnh x2 = (3, 2, 1)T x3 = (2, 3, 1)T Hơn nữa, tập tất điểm cực biên hữu hiệu EvP = {x2 , x3 } Để minh họa thuật toán, ta xét toán tìm cực tiểu hàm mục tiêu thứ nhất, tức x1 , toán (P) tập hữu hiệu E P 36 Hình 2.2: Tập chấp nhận D toán (P) Điều tương đương với việc giải toán max{(−1, 0, 0)x : x ∈ E P } (Q) Lưu ý giá trị mục tiêu tối ưu toán cực tiểu ban đầu giá trị mục tiêu tối ưu toán (Q) đổi dấu Bằng đồ thị kiểm tra thấy giá trị lớn −x1 D Tuy nhiên, giá trị mục tiêu tối ưu toán (Q) −2 đạt đỉnh x3 Từ suy giá trị cực tiểu cần tìm x1 tập E P Để áp dụng thuật toán giải toán (Q) trình bày, ta cần đưa ràng buộc toán dạng tắc (các ràng buộc có dạng phương trình) cách thêm vào biến phụ không âm x4 , x5 , x6 , x7 Khi toán (P) viết lại thành: V max{Cx : Ax = b, x ≥ 0} (P) với  1 0  1 0  A= 0 0  0 0         0 0 0 3   0     ,b =  , C =  0 0      0 3 0 0 0 1 37 Ký hiệu d = (−1.0, 0)T Khi đó, toán (Q) max{d T x : x ∈ E P } (Q) Còn điều cần nói rõ thuật toán có tính trực quan hình học, tất nghiệm toán phụ (Qk ) nêu mà không ghi kèm giá trị cụ thể biến phụ x4 , x5 , x6 , x7 thêm vào Các bước thuật toán: Bước (Khởi tạo) Dùng phương pháp đơn hình giải quy hoạch tuyến tính, ta tìm nghiệm hữu hiệu ban đầu x0 = (3, 2, 1)T Để ý điểm đỉnh x2 Đặt số vòng lặp k = giá trị kỷ lục α0 = −3 Vòng lặp Bước (Thăm dò) Giải toán quy hoạch song tuyến tính (BP0 ) β0 = x1 s1 + x2 s2 + x3 s3 + x4 s4 + x5 s5 + x6 s6 + x7 s7 → min, λ1 + u1 + u2 + s1 = 0, λ2 + u1 + u3 + s2 = 0, λ3 + u4 + s3 = 0, u1 + s4 = 0, u2 + s5 = 0, u3 + s6 = 0, u4 + s7 = (⇔ λ T C + uT A + s = 0), x1 + x2 + x4 − 5y = 0, x1 + x5 − 3y = 0, x2 + x6 − 3y = 0, x3 + x7 − y = (⇔ Ax − by = 0), − x1 − (−3)y ≥ (⇔ d T x − αk y ≥ 1), x, s ≥ 0, λ1 , λ2 , λ3 , y ≥ (⇔ x, s ≥ 0, λ ≥ e, y ≥ 1) Bài toán có nghiệm với giá trị mục tiêu tối ưu (toàn cục) 38 nghiệm tối ưu toán (λ¯ , u¯0 , s¯0 , x¯0 , y¯0 )T , λ¯ = (1, 1, 1)T , u¯0 = (−1, 0, 0, −1)T , s¯0 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 1)T , x¯0 = (2, 3, 1, 0, 1, 0, 0)T , y¯0 = β0 = 0, Bước (Quy tắc dừng) Vì giá trị mục tiêu tối ưu (BP0 ) β0 = nên ta chuyển sang Bước Bước (Tìm diện hữu hiệu mới) Như J0 = {4, 7} tập mô tả cực đại tương ứng với diện F(J0 ), cạnh nối liền hai đỉnh x2 x3 Bây ta cần giải toán quy hoạch tuyến tính max{d T x : x ∈ F(J0 )}, (Q0 ) F(J0 ) = {x ∈ D : x j = 0, j = 4, 7} Cụ thể F(J0 ) = {x ∈ R3 : x1 + x2 = 5, ≤ x1 ≤ 3, ≤ x2 ≤ 3, x3 = 1} Ta nhận nghiệm tối ưu (Q0 ) x3 = (2, 3, 1)T với giá trị mục tiêu tối ưu α1 = −2 Đặt k = thực vòng lặp Vòng lặp Bước (Thăm dò) Giải toán quy hoạch song tuyến tính (BP1 ) β1 = x1 s1 + x2 s2 + x3 s3 + x4 s4 + x5 s5 + x6 s6 + x7 s7 → min, 39 λ1 + u1 + u2 + s1 = 0, λ2 + u1 + u3 + s2 = 0, λ3 + u4 + s3 = 0, u1 + s4 = 0, u2 + s5 = 0, u3 + s6 = 0, u4 + s7 = (⇔ λ T C + uT A + s = 0), x1 + x2 + x4 − 5y = 0, x1 + x5 − 3y = 0, x2 + x6 − 3y = 0, x3 + x7 − y = (⇔ Ax − by = 0), − x1 − (−2)y ≥ (⇔ d T x − αk y ≥ 1), x, s ≥ 0, λ1 , λ2 , λ3 , y ≥ (⇔ x, s ≥ 0, λ ≥ e, y ≥ 1) Bài toán (BP1 ) có nghiệm, với giá trị mục tiêu tối ưu (toàn cục) β1 = > Một nghiệm tối ưu (BP1 ) (λ¯ , u¯1 , s¯1 , x¯1 , y¯1 )T , λ¯ = (1, 1, 1)T , u¯1 = (−1, 0, 0, −1)T , s¯1 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 1)T , x¯1 = (1, 3, 1, 1, 2, 0, 0)T , y¯1 = βi = 1, Bước (Quy tắc dừng) Vì giá trị mục tiêu tối ưu (BP1 ) số dương nên ta dừng thuật toán Điểm cực biên x3 = (2, 3, 1)T nghiệm tối ưu toán (Q), với giá trị mục tiêu tối ưu (Q) α1 = −2 Kết luận chương Chương giới thiệu thuật toán (nêu [5]) tìm nghiệm tối ưu toàn cục xác toán tối ưu hai cấp (ký hiệu toán (Q)): "Cực đại hàm tuyến tính tập hữu hiệu toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu" Thuật toán gồm số hữu hạn vòng lặp, vòng lặp đòi hỏi giải hai toán phụ: toán song tuyến tính với tập ràng buộc rời toán toán tuyến tính thông thường Thuật toán không cần tới giả thiết tập hữu hiệu E P toán (P) bị chặn hàm mục tiêu d T x toán (Q) bị chặn 40 Kết luận Luận văn đề cập tới thuật toán tìm nghiệm tối ưu toàn cục xác toán cực đại hàm tuyến tính tập điểm hữu hiệu toán tối ưu tuyến tính đa hàm mục tiêu Đây dạng toán tối ưu toàn cục, thuộc lớp toán tối ưu hai cấp, có ứng dụng quan trọng tối ưu đa hàm mục tiêu nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu nhiều năm gần Luận văn trình bày số nội dung cụ thể sau: Nhắc lại số khái niệm kiến thức có liên quan tập lồi đa diện (cách xác định diện), toán quy hoạch song tuyến tính (nội dung, tính chất nghiệm toán quy hoạch lõm tương đương), toán tối ưu tuyến tính đa hàm mục tiêu (cách xác định đỉnh, diện hữu hiệu) toán tối ưu hai cấp (bài toán NP - khó) Giới thiệu thuật toán (nêu [5]) tìm nghiệm tối ưu toàn cục xác toán tối ưu hai cấp (bài toán (Q)): “Cực đại hàm tuyến tính tập điểm hữu hiệu toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu (bài toán (P))” Thuật toán gồm số hữu hạn vòng lặp, vòng lặp cần giải hai toán phụ: toán song tuyến tính với tập ràng buộc rời toán quy hoạch tuyến tính thông thường Thuật toán không cần tới giả thiết tập điểm hữu hiệu E P toán (P) bị chặn hàm mục tiêu d T x toán (Q) bị chặn Nội dung trình bày luận văn kiến thức tác giả tìm hiểu toán tối ưu hai cấp tối ưu đa mục tiêu thuật toán dựa quy hoạch song tuyến tính giải toán Các kiến thức tạo sở để sau tác giả có dịp 41 tìm hiểu thêm toán thuật toán khác toán ứng dụng 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Thị Hiền Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [3] J F Bard (1991), “Some Properties of the Bilevel Programming Problem”, JOTA, 68(2), 371–378 [4] M Ehrgott (2007), “Lecture 2: Multiobjective Linear Programming”, International Doctoral School Algorithmic Decision Theory, MCDA and MOO, Han sur Lesse, September, 17 - 21 [5] J M Jorge (2005), “A Bilinear Algorithm for Optimizing a Linear Function over the Efficient Set of a Multiple Objective Linear Programming Problem”, Journal of Global Optimization, 31, 1–16 [6] T Q Phong, H Q Tuyen (2000), “Bisection Search Algorithm for Optimizing Over the Eficient Set”, Vietnam Journal of Mathematics, 28(3), 217 226 43 [7] T V Thieu (1988), “A Note on the Solution of Bilinear Programming Problems by Reduction to Concave Minimisation” Math Program., 41, 249 260 44 Một số thuật ngữ thường sử dụng Bài toán tối ưu tuyến tính đa hàm mục tiêu (Bài toán (P)) Bài toán cực đại hàm tuyến tính tập điểm hữu hiệu (Bài toán (Q)) Bài toán quy hoạch tuyến tính xác định đỉnh hữu hiệu (Bài toán (LP0)) Bài toán quy hoạch song tuyến tính (Bài toán (BP)) Bài toán quy hoạch lõm tuyến tính khúc (Bài toán (1.3)) Bao afin, bao lồi (Định nghĩa 1.2) Diện (Định nghĩa 1.6), diện hữu hiệu (Định nghĩa 1.11) Đa diện lồi (Định nghĩa 1.5) Đỉnh (Định nghĩa 1.6), đỉnh hữu hiệu (Định nghĩa 1.10) Hàm song tuyến tính (Định nghĩa 1.9) Nón lồi (Định nghĩa 1.4), nón lồi đa diện (Định nghĩa 1.5) Nửa không gian đóng, mở (Định nghĩa 1.1) Siêu phẳng (Định nghĩa 1.1) Tập afin (Định nghĩa 1.1) Tập lồi (Định nghĩa 1.1), tập lồi đa diện (Định nghĩa 1.5) Tập mô tả (Định nghĩa 1.7), tập mô tả cực đại (Định nghĩa 1.8) Thứ nguyên (số chiều) tập lồi (Định nghĩa 1.3)