Vai trò của tính lồi trong bài toán tối ưu

I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC NGUYN LM H VAI TRề CA TNH LI TRONG BI TON TI U LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN 2015 I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC NGUYN LM H VAI TRề CA TNH LI TRONG BI TON TI U Chuyờn ngnh: TON NG DNG Mó s: 60 46 01 12 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: GS TSKH Lấ DNG MU THI NGUYấN 2015 ử ỡ ữỡ ỗ ỗ t t t ỗ t t ỵ t t t ỗ ỗ t t ỵ ỡ ữợ ỗ t tố ữ ỗ t tố ữ õ ỡ t t tố ữ ỗ t t ữợ Pữỡ ữợ t t ữợ ữỡ trỏ t ỗ tr t tố ữ t t ỡ ữủ t t trữớ ữợ sỹ ữợ ụ ữ ổ tọ ỏ t ỡ s s ố ợ t sỹ t t t t ữợ t tr t ỳ t ự tr sốt q tr t tỹ ổ t ỡ ỏ t t trữớ ũ t ổ t õ q t ú ù tr sốt tớ t t trữớ ố ũ tổ ỷ ỡ tợ trữớ P ũ ỗ ú ù t tổ t ự ổ t ỡ t r tớ t õ ự ỹ số t ỵ tt t ỗ ỗ õ ởt tr q trồ tr t q t ữ t ỗ tố ữ õ t t t ởt tờ qt ỗ ợ ởt số t t ỡ ữủ sỷ rở r tr t ỵ tt ụ ữ t ự r ự t tữớ t tố ữ ỗ t t t tố ữ ỗ t tố ữ ỗ ụ ữ trỏ t ỗ tr t tố ữ ỳ t tr õ ỳ t t ỡ rt t ỗ t ỳ tũ r ộ t ỹ tr t t ữớ t ữ r ữủ ỳ ữỡ qt ộ t t t ỗ tr t tố ữ t ỡ tổ t trỏ t ỗ tr t tố ữ ỗ ữỡ t t t ữỡ tr tự ỡ t ỗ t ỗ ỗ t t ỗ ữợ ỗ t tố ữ ỗ t tố ữ ỗ ữ trú t ữỡ ữợ t tố ữ ỗ ữỡ ợ t t tố ữ ỗ t tố ữ ỗ t ợ t tt t ữợ t tt t ữợ t tố ữ ỗ ổ t ự rữớ t ữỡ ỗ ỗ r ú t s ợ ổ tr trữớ số tỹ R Rn ữỡ tr ởt số tự ỡ t t ỗ ỗ ũ ợ ởt số t t trữ õ s ữủ sỷ tr ữỡ ữủ tr tứ t t t t t ỗ t t A X x1 x2 A t ố x1 x2 õ {x X : x = x1 + x2 , , R, + = 1} ữớ t q x1 x2 ữủ {x R : x = x1 + x2 , 0, 0, + = 1} ởt t A ữủ A ự ữớ t q x1, x2 t tở A tự x1 , x2 A, R t x1 + (1 )x2 A sỷ a Rn ởt tỡ R õ ỷ ổ õ {x : aT x > } ỷ ổ A X ữủ ỗ {x : aT x } x1 , x2 A, R : t x1 + (1 )x2 A X t ỗ ỷ ổ tr R2 R3 t ỗ trỏ tr t ỡ tr ổ tr ổ rt t ỗ ỗ õ ợ ợ ởt số tỹ tự C D t ỗ tr Rn t C D C + D ụ t ỗ ởt tũ ỵ t ỗ tr Rn ởt t ỗ tr Rn ự sỷ A Rn( I) t ỗ ợ I t số A = I A ỗ tũ ỵ x1 x2 A õ x1 x2 A ợ I A ỗ x1 + (1 )x2 A ợ [0, 1] x1 + (1 )x2 A A t ỗ t t ự t sỷ Ai ỗ i R(i = 1, 2, , m) õ A1 + A2 + + m Am ỗ tỡ x Rn ữủ tờ ủ ỗ tỡ x1 , x2 , , xm Rn Rn m i 0, i = 1, 2, , m, m i = : x = i=1 i xi i=1 A Rn ỗ õ ự tờ ủ ỗ tỡ õ tự A Rn ỗ m m N, , , m : m i = 1, x1 , , xm A i=1 i xi A i=1 ự m = ú ự q sỷ m A , , m A t ỗ t tũ ỵ x1 , , xm m i = 1; x = ự m = : x1 A; = x A m = : x1 , x2 A; + = A sỷ x A ú ợ m t õ m i=1 ợ ợ i = 1; i 0; i N m1 i xi = i=1 ợ x = x1 + x2 A i=1 m x= ỗ s r m i xi A; xi A; t x A i=1 i=1 i xi + m xm i=1 m = x A m = = = m1 = x = xm A < < t õ m = + + m1 > 0, i 0(i = 1, , m 1) m m1 i = i=1 m y A xm A t õ m > m1 t tt q xi A y = ợ i=1 (1 m ) + m = x = (1 m )y + m xm A ởt t ỗ A ữủ t ọ t ự A ổ s s ợ A ữủ dimA t ữủ A ữủ af f A x0 t ỗ A Rn ữủ tr tữỡ ố A ợ x af f A õ ởt số > s x0 + (x x0 ) A P tr tữỡ ố A t tr tữỡ ố A ữủ riA A Rn ữủ õ a A, > t x A õ A ữủ õ õ ổ ự ữớ t õ A ữủ õ ỗ A t ỗ A ởt t ỗ t t õ õ s A õ ỗ ởt q trồ õ ỗ tr Rn õ rtt ữỡ Rn+ = {(x1 , x2 , , xn ) : xi 0, i = 1, 2, , n} sỷ A Rn t ỗ x0 A NA (x0 ) = {x Rn : x , x x0 0, x A}, ữủ õ t A t x0 NA(x0) t õ NA(x0) õ ỗ õ ỵ t ỵ t t ỗ ởt tr ỳ ỡ q trồ t t ỗ tr ổ Rn t tt õ {x Rn : aT x = }, tr õ a Rn tỡ R õ {x Rn : a, x }, ữủ ỷ ổ õ tr õ a = R t ự rữợ t t õ sỷ r = 0 > t tứ trt t ũ t õ m k i gi (x ) 0= + i=1 i = t tỗ t k i gi (x) j=1 ữ m àj hj (x ) àj hj (x), x X + i=1 j=1 i ợ ởt i i = ợ j ứ trữớ ủ t t x0 tỗ t àj > ợ t ữỡ tr tr t ữủ m k i gi (x ) 0= m àj hj (x ) + i=1 k i gi (x0 ) j=1 àj hj (x0 ) < + i=1 j=1 ổ ỵ ợ trữớ ủ tự t õ k k àj hj (x ) 0= j=0 ứ intX = hj àj hj (x ), x X j=0 ợ j r r k àj hj (x) = 0, x X j=0 sỷ hj t t tr X t õ t s àj = ợ j t ợ tỹ t ổ tt i àj > ứ > t > t õ t sỷ r r õ r m k i gi (x) L(x, , à) = f (x) + àj hj (x) + i=1 j=1 ỷ ởt ỳ trt t ũ t õ ợ õ t x t m k i gi (x ) f (x ) = f (x ) + i=1 àj hj (x ) + j=1 m k i gi (x) f (x) + i=1 õ r r x àj hj (x) f (x), + j=1 tố ữ t P t ró ỡ trỏ t ỗ tr ỵ rs r t t s min{f (x) = x2 , x X}, P ợ r gi (x) 0, i = 1, tr õ 1 g1 (x) = x2 x g2 (x) = x X = , 2 ự õ ữủ D = {x X | gi (x) 0, i = 1, 2} = 0, sỷ tỗ t i ổ ỗ tớ s L(x , ) = L(x, ) gi (x ) = 0, i = 1, > xX ứ ỵ rs r s r t (P ) x tố ữ f (x ) f (x) (x )2 x2 x = 0, x D ữủ x = rs r s r tỗ t tớ s L(x , ) = L(x, ) gi (x ) = 0, i = 1, xX (P ) t tứ ỵ i 0, i = 0, 1, ổ ỗ t õ L(x , ) = L(x, ) L(x, ) L(x , ), x X xX f (x) i gi (x) + f (x ) i gi (x ), x X + i=1 i=1 õ i gi (x ) = i = i 0, i = 1, i 0, i = 0, 1, ổ ỗ tớ = = ợ x X t õ x2 + (x2 x) x x2 > = = = ợ x X t õ x2 + (x2 x) x (0 + 1)x2 2x = 0, = ợ xX = 1, = ợ xX t õ x2 + (x2 x) x x2 x ổ tỗ t ổ tỗ t t õ x2 + (x2 x) x (0 + 1)x2 x tố ữ t P ổ tỗ t = 1 = = tỷ r tữỡ ự sỷ tr t tr t t t f (x) = x2 t t ổ ỗ õ tr ỵ rs r ổ ỏ ú ỳ ú ỵ X t t X t ổ t tứ ỵ r r trt t õ m k j gj (x ) f (x ) + j=1 ài + i=1 hi (x ) f tt gj t õ m 0= k j f0 (x ) + ài gj (x ) + j=1 hi (x ) i=1 rữớ ủ ữợ ữủ ởt tỡ d = ữủ ởt ữợ ữủ C t x C x + d C, ợ > ọ C(x) t tt ữợ ữủ C t x C(x) õ sỷ f tr ởt t ự C x ởt ỹ t ữỡ f tr C t dT f (x ) 0, d C(x ) ự ứ tr r f (x + d) = f (x ) + ứ x f (x ), d + o(||d||) ỹ t ữỡ f (x + d) f (x ) 0, ợ >0 ọ õ dT f (x ) + o(||d||) 0, ợ >0 ọ dT ởt C x C f (x ) > 0, d C(x ) tọ ữủ f tr ú ỵ r f ổ ỗ t ởt ứ õ t ổ C = [1, 2] t õ x = f (x) ữ ỹ t f (x) tr C t x = ởt ỹ t ữỡ f (x) = x3 tr t t P f (x), s x C := {x X, gj (x) 0, hi (x) = 0, j = 1, , m.i = 1, , k} t x0 C A(x0 ) := {j : gj (x0 ) = 0} t S(x0 ) t số t t t s hi (x0 ), d = 0, i = 1, , k, gj (x0 ), d 0, j A(x0 ), t C(x0 ) S(x0 ) q tọ t x0 S(x0) = C(x0) r sỷ f, gj , hi tử t x ởt tố ữ ữỡ P tọ q t tỗ t tỷ r õ r = (1 , , m ) 0, = (à1 , , àk ), s m k j f (x ) + j=1 ài gj (x ) + hi (x ) = 0, ji=1 ũ f, gi ỗ hi ợ i t õ P t ỗ t ợ ộ x C s tọ tố ữ P j g(x ) = 0, j = 1, , m ự ũ tr r f (x + d) = f (x ) + f (x ), d + r(d), f (x ), d ợ d C(x ) ứ C(x ) = S(x ) t õ f (x ), d ợ d S(x ) rs ợ tr A õ gj (x ) j A(x ) hi (x ), hi (x ) i = 1, , k t õ số j j A(x ) i i i = 1, , k s t õ k j f (x ) + jA(x ) j = ợ (i i ) gj (x ) + hi (x ) = i=1 j = A(x ) ài = i i ợ i t õ hj ợ i t x C tố ữ P ỹ x ổ tố ữ t tỗ t x C s f (x) < f (x ) ố d = x x = õ f (x + td) f (x ) f (x ), d = lim < t0 t t j gj (x ) = ợ j t õ j = j = A(x ) ứ x C t õ sỷ f, gi ỗ gj (x ), x x gj (x) gj (x ) 0, j A(x ) r j ợ hi gj (x ), d 0, j t t t ợ i t õ hi (x ), d = r ợ ộ ài ài hi (x ), d = 0, i, t ủ tt ợ t õ m k j f (x ), d + j=1 t ợ ài gj (x ), d + i=1 hi (x ), d < t t q ỗ ợ t minf (x) = x21 + x22 , ợ r x21 + x22 x x2 x + 2x = t f= 2x1 2x1 1 , g1 = , g2 = , g3 = , h1 = 2x2 2x2 sỷ tỗ t tỷ r = (1 , , m ) 0, = (à1 , , àk ), s 2x1 2x1 1 + + + + à1 = 0, 2x2 2x2 (x21 + x22 5) = (x ) = (x2 ) = 0, i = 1, 2, i t x = 4/5 8/5 ứ tr t õ = = = 8/5 + à1 =0 16/5 õ t ỵ r t t à1 = x = 4/5 8/5 ữỡ tố ữ ú ỵ r m L(x, , à) := f (x) + k j gj (x) + j=1 ài hi (x), i=1 t õ m x L(x , ,à ) k j gj (x ) f (x ) + j=1 ài hi (x ) = + i=1 sỷ tr t f, gj , hi ợ j, i tử t x ữủ tọ r dT P Lxx (x , , )d 0, d S0 (x ), t x tố ữ t ữỡ P tr õ S0(x) t d tọ hi (x ), d = 0, i, gj (x ), d = 0, gj (x ) = 0, j > 0, gj (x ), d 0, gj (x ) = 0, j = ự ỷ ổ tự r t t ữợ ởt tr ỳ tt t ữủ ự ự tr t tố ữ õ ởt ữ ỵ t t ữợ ú t t t t ỗ t t min{f (x) : x D}, P Pữỡ ữợ sỷ D t õ f tử t Lf (x0 ) := {x D : f (x) f (x0 )}, x0 D tr õ ợ x >0 z(x) := PD (x õ t f (x)) ữợ ợ ỏ t r x0 D, , (0, 1) k = k ợ ộ k = 0, 1, õ x f (xk ) = t ứ ữủ k k t z := PD (x f (xk )) z k = xk ứ ữủ dk = z k xk ỏ t r số tỹ ọ t mk s f (xk + mk dk ) f (xk ) + mk (dk )T f (xk ) àk = mk , xk+1 := xk + àk dk k ợ k := k + sỷ f tử õ x D s t ự Lf (x0) õ {xk } s r ữỡ ữủ ró tt t ổ ứ t {xk } t tử õ tử tử ứ t t ữợ t t P t t P S(f, D) x D t P t ổ õ f (x) f (x ) 0, x D số tỹ {k } õ t tọ k = k k 0, k N k2 < + õ t õ tt t ữủ ữợ sỡ ỗ ố ữ s x0 D j = +, j2 < k := k k+1 g k f (xk ) xk+1 = PD (xk k g k ) k := k , k := max{1, ||g k ||} k xk+1 = xk xk ú ỵ f t g(xk ) = { f (xk )}, g k = f (xk ) tử sỷ t õ ởt tố ữ f ữợ tr D õ {xk } tử P ự r s P õ k ||gk || k , k ||xk+1 xk || k , k ự (i) k k ||g || k k k := PD (x k g k ) tứ t t ữủ s r tứ (ii) xk+1 k = õ xk k g k xk+1 , x xk+1 0, x D x = xk t s t õ ||xk+1 xk ||2 k g k , xk xk+1 k ||g k ||||xk+1 xk || ||xk+1 xk || ự ỵ ự r t x xk xk+1 t õ ||xk+1 x ||2 = ||xk x ||2 ||xk+a xk ||2 + xk xk+1 , x xk+1 ||xk x ||2 + xk xk+1 , x xk+1 xk+1 = PD (xk k g k ) xk k g k xk+1 , x xk+1 xk xk+1 , x xk+1 k g k , x xk+1 tứ t õ ||xk+1 x ||2 ||xk x ||2 + 2k g k , x xk+1 t g k , x xk+1 = g k , x xk + xk xk+1 , t õ ||xk+1 x ||2 ||xk x ||2 + 2k g k , x xk + 2k g k , xk xk+1 ||xk x ||2 + 2k g k , x xk + 2k ||g k ||||xk+1 xk || ||xk x ||2 + 2k g k , x xk + 2k ||xk+1 xk || ||xk x ||2 + 2k g k , x xk + 2k2 , t ữỡ tr ố s r tứ ú ỵ r tứ g k f (x ) t õ g k , x xk f (x ) f (xk ) tứ t ||xk+1 x ||2 ||xk x ||2 + 2k2 , k k2 < + t õ t s tứ r ||xk x || {xk } tỗ t C > s g(xk ) C ợ ộ ứ tử k sỷ t õ t t ||xk+1 x ||2 ||xk x ||2 + 2k [f (x ) f (xk )] + 2k2 , k, 2k [f (xk ) f (x )] ||xk x ||2 ||xk+1 x ||2 + 2k2 , k ủ k tứ m t ữủ m j [f (xj ) f (x )] ||x0 x ||2 + 02 2j2 < + j=0 ú ợ m j [f (xj ) f (x )] < , j=0 j [f (xj ) f (x )] j=1 C j j k ợ j := max{1, ||g ||} j C lim j > t lim[f (xj ) f (x )] = j = + j := ứ t õ t s r ữ f (xj ) f (x ) t õ lim[f (xj ) f (x )] lim[f (xj ) f (x )] = ợ r {||xk x ||} tử ợ ộ k x õ {x } õ ởt tử tr t k ợ s t t {x } tử s ú ỵ t f ứ tt t t t ữủ trỏ q trồ ố ợ r D f ổ ỗ t t ổ ữủ ữợ tr t D ổ tỗ t t D ổ ỗ t t trỏ t ỗ tr t tố ữ tr ỳ s ởt số tự ỡ t ỗ t ỗ ỗ t t ỗ ữợ ỗ t tố ữ ỗ r tt t tố ữ ỗ t t t tố ữ ỗ t tố ữ õ ỡ t tt t ữợ ũ tổ t ố tú tr q tr t t ữ tớ õ ỏ õ t sõt tổ rt ữủ ỵ õ õ qỵ t ổ ỗ ữủ t ỡ t t ộ ữ P t ỗ tt ụ ữ ổ ữỡ tố ữ tt r ụ t qố tr tố ữ P rtss ss tt r rst Prss s r trt t tt r tỹ ổ ss tt rr ...I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC NGUYN LM H VAI TRề CA TNH LI TRONG BI TON TI U Chuyờn ngnh: TON NG DNG Mó s: 60 46 01 12 LUN VN THC S TON HC Ngi hng