Luận văn bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng buộc tuyến tính

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PH M H NI N G U Y N VN PH BI TON T I U TON PH N G L i V I R N G B U C T U Y N T N H L U N V N T H C S T O N H C H N i - 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PH M H NI N guyn V n P h ỳ BI TON T I U TON PH N G L i V I R N G B U C T U Y N T N H C h u y n n g n h : T o ỏ n g i i tớc h M ó s: 60 46 01 02 L U N V N T H C S T O N H C N g i h n g d n k h o a h c: P G S T S N guyn N n g T õm H N i - 2015 LI CM N Lun c hon th n h ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo PGS TS Nguyn Nng Tõm S giỳp v hng dn tn tỡnh song rt nghiờm tỳc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng v cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc Tỏc gi xin chõn thnh cm n H Ni, ngy 10 thỏng 08 nm 2015 Tỏc gi Nguyn Vn Phỳ LI CAM OAN Lun c hon thnh ti trng i Hc S phm H Ni di s hng dn ca PGS TS Nguyn Nng Tõm Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon th n h lun tụi ó k th a nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõ n trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy 10 thỏng 08 nm 2015 Tỏc gi Nguyn Vn Phỳ M c lc Li c m n iii Li c a m o a n iv B n g k ý h i u v ii M u 1 K i n th c c h u n b 1.1 v hm l i 1.1.1 Tp l i 1.1.2 Nún lựi xa ca mt l i 1.1.3 Hm l i 1.2 Tp li H bt phng trỡnh tuyn tớnh v li a din 11 1.2.1 H bt phng trỡnh tuyn t n h 11 1.2.2 Tp li a d i n 13 1.3 Hm ton phng l i 13 1.4 Bi toỏn ti u li 15 B i to ỏ n t i u to n p h n g li vi r n g b u c tu y n tớ n h 20 2.1 P h ỏt biu bi t o ỏ n 20 2 S tn ti n g h i m 22 2.3 iu kin cc tr 27 2.4 Tớnh n nh ca nghim 41 2.5 2.4.1 Tớnh na liờn tc di ca ỏnh x nghim 42 2.4.2 Tớnh na liờn tc trờn ca ỏnh x nghim 46 Hm giỏ tr ti u ca bi toỏn cú tham s 52 K t lu n 58 T i liu th a m k h o 59 vi B N G K í H I U N Tp s t nhiờn R Tp s thc M _ |_ Tp s thc dng Tp hp rng Rn Khụng gian Euclide n chiu trờn trng s thc (x, y) = x Ty = X )"=1 XV Tớch vụ hng ca hai vect X v y IMI = Chun Euclide ca vect X B {x, ) Hỡnh cu m tõm X, bỏn kớnh ụ B (x, ụ) Hỡnh cu úng tõm X, bỏn kớnh ụ [z,/] on thng úng ni X v y 0+ ( ) Nún lựi xa ca li c / Hm bao úng ca / dom Tp hu dng ca hm / e p i ) Trờn th ca hm / / (đ) Di vi phõn ca / ti X v /(x ) Vect gradient ca / ti X 5o (P) Tp nghim ca bi toỏn (P) 5o/ (-D, ^4, c, 6) Tp nghim ca bi toỏn ti u ton phng (W ^mxn Bi toỏn ti u ton phng R nxn s AT Khụng gian cỏc m a tr n i xng n X n Ma tr n chuyn v ca A TA (x) Nún tip ca A ti X Kt thỳc chng minh Khụng gian cỏc m a tr n m X n M U Lý chn ti Quy hoch ton phng li l mt b phn ca quy hoch ton phng ó c nghiờn cu nhiu v gn nh ó mang tớnh hon thin mt cỏch chun mc Tuy vy, vic tỡm hiu nhng khớa cnh khỏc ca quy hoch ton phng li mt cỏch th u ỏo hn luụn l mt vic lm cú nhiu ý ngha (xem [2], [4] v nhng ti liu tham kho ú) Sau c hc nhng kin thc v Toỏn gii tớch, vi mong mun tỡm hiu sõu hn v nhng kin thc ó hc, mi quan h v ng dng ca chỳng, tụi ó chn ti nghiờn cu: B i to ỏ n t i u to n p h n g li vi r n g b u c tu y n tớ n h M c ớch nghiờn cu Nghiờn cu chi tit v ton din v nhng tớnh cht nh tớnh ca bi toỏn ti u ton phng li vi rng buc tuyn tớnh N h im v nghiờn cu Nghiờn cu bi toỏn ti u ton phng li vi rng buc tuyn tớnh da trờn nhng ti liu ó cú Phõn tớch bi toỏn v sau ú nghiờn cu cỏc khớa cnh c bn ca bi toỏn i tng v phm vi nghin cu Hm ti u ton phng li H bt phng trỡnh tuyn tớnh Bi toỏn ti u li iu kin cc tr S tn ti nghim v tớnh n nh nghim ca bi toỏn ti u ton phng li vi rng buc tuyn tớnh Phng phỏp nghiờn cu T hu th p thụng tin v bi toỏn ti u ton phng li vi rng buc tuyn tớnh Su tm , nghiờn cu cỏc ti liu liờn quan Suy lun logic, phõn tớch, tng hp v sp xp v trỡnh by cỏc kin thc thu th p c theo phng phỏp ca Gii tớch ún g gúp mi ca lun Lun trỡnh by mt tng quan cú h thng cựng vi s phõn tớch sõu sc, chi tit v m t s tớnh cht ca bi toỏn ti u ton phng li vi rng buc tuyn tớnh Chng K in thc chun b 1.1 Tp li v hm li Trong phn ny chỳng tụi trỡnh by mt s khỏi nim c bn liờn quan n li v hm li õy l nhng kin thc c bn lm nn tng cho vic nghiờn cu bi toỏn ti u ton phng li vi rng buc tuyn tớnh Ni dung ca chng ny c tham kho da trờn cỏc ti liu [1] - [3] 1.1.1 T p li n h n g h a 1.1.1 [1] Tp c ca Mn c gi li nu a x + (1 a )y c , Vx, y c , Va e [0,1] Chỳ ý rng, ta quy c rng l li M n h 1.1.1 [1] (a) Giao n iaiC ca h cỏc li {C \i G 1} l li c2ca hai li Ci v c2 li c li thỡ xc li vi mi X Hn na, (b) Tng C + (c) Nu nu c l mt 44 Bõy gi, gi s rng cỏc dóy {xfc} l b chn Khụng m t tớnh tng quỏt ta gi s rng X \\xk \\ 1x k Ơ V, V (A, 0) c nh mi A (A , b ) T (a2) cú tn ti m t dóy {Ê*} ,Ê G A (A k,bk) , VA; v Êk >X Chia bt ng thc ~ ( x k) TD kx k + (ck) Tx k < ~(Êk) TD kÊk + (ck) Te cho ^2 v ly > oo ta c vTD v < Nu vTD v < thỡ Sol (D , A, 0,0) = 0, trỏi vi (ai) Nu VTD v = th ỡ ta cú V Sol (D , A, 0, 0), ú l iu khụng th H q u [4] Nu h (2.29) l chớnh quy v nu A (A,b) l b chn, thỡ Soi (.) l na liờn tc trờn ti (D, A , c , b ) Chng minh T h (2.29) l chớnh quy, A (A, b) l khụng rng S b chn ca A (i4, b) ng ý rng (, 0) = {0} Do ú, Sol (D , A, 0,0) = {0}, v theo nh lý 2.4.1 ta cú cỏc tớnh cht cn chng minh iu kin (i) núi rng x TD x > vi mi G (, 0) \ {0}, cỏc dng ton phng x TD x l ng dng ngt trờn nún (, 0) n h lý 2.4.2 [4] Gi s rng (60 S ( D , A , 0,0) = {0} , (62) h A x < l chớnh quy Khi ú, vi mi (c,b) G Mn X , hm a tr So (.) l na liờn tc trờn ti (D , A, c, ) Chng minh Gi s rng khng nh ca nh lý l sai Khi ú tn ti cp (c, b) G Mn X Mm cho Sol (D, A ,c,b) v tn ti mt m cha Sol (D , A, c, b), m t dóy { (D fe, A k,ck,bh)} hi t ti (D , A, c, b), mt dóy cho x h G Sol { p k, A k, ck: bh) \Q vi mi &N Nu m t dóy {a;fc} l b chn, ú ta gi s rng x k x vi mi 45 x Mn Ta cú x e (, ), c nh mi i A (, 6) Gi s (&2) ch h (2.29) l chớnh quy Khi ú tn ti dóy {Êfc} , G A (A k,bk) , V: G N, cho lim = X T ú / (*) < / (Êfc), ly ằ oo ta thu c / (0) < / (x) Nh th x G (So (Z), , , b) Q iu ny m õu thun vi thc t l x k ớ, Mk Gi s rng {a^} l khụng b chn Bng cỏch ly m t dóy nu cn, ta cú th gi s rng \\xk \\ vi mi cú oo T ú x k So ( D k, A k, ck: tn ti Afc e R m cho D kx k _ (A k j Tk + * < 0, A kx k - bk < 0, (2.31) x k > 0, (2.32) (z fc) T (.Dkx k - ( A k) Tx k + c*) + (A*)T (.A kx k - bk) = (2.33) T ú II( x k, \ k) I ; X khụng mt tớnh tng quỏt ta cũ th gi s rng ||( z * ,A * ) ||^ o , Vfc, v dóy ca cỏc vect (.Xk, x k) / ll(s* ,A * )ll = V è K ^ y P x kx k\ | | ( ổ fe, A fc) y hi t n m t s (, ) e R n X Mm vi II (, ) II = Chia c hai v ca (2.31) v ca (2.32) cho II ( , x k) ||, chia c hai v ca (2.33) cho \\(x k >A ) ||2, v ly cỏc gii hn Ơ oo, ta thu c D x - \ < 0, A x < 0, (2.34) > 0, (2.35) XT (D x - \ ) + \ TA x = (2.36) H (2.34) - (2.36) chng m inh rng X G s ( D , A , 0,0) Theo (&i), X = Vỡ th - A T\ < 0, > (2.37) Kt hp (2.37) v (&2) ta cú = 0, vỡ th II ( ổ, ) II = 0, mõu thun 46 2.4.2 T ớnh na liờn t c trờn ca ỏnh x nghim Theo nh ngha, hm a tr Sol (.) l liờn tc ti (D , A , c , b ) nu nú ng thi na liờn tc trờn v na liờn tc di ti im ú n h lý [4] nh x nghim So (.) ca (p ) l na liờn tc di ti (D , A, c, b) nu v ch nu ba iu kin sau õy c tha món: (a) h A x < b l chớnh quy, (b) Sol (D, A, 0,0) = {0}, (c) \Sol (D, A, c, 6)1 = chng m inh nh lý trờn ta cn m t s B B 2.4.3 [7] Nu Sol (.) l na liờn tc di ti (D , A, c, b), thỡ h A x < b l chớnh quy Chng minh Nu h A x < b l khụng chớnh quy, ú theo [7, lemma 3], tn ti dóy ( Ak,bk) e Rmxn x R m tin ti (^4, 6) cho A ( Ak, bk) = cho mi k Vỡ th, So (D, A k, c, bk) = cho mi k, trỏi vi gi thit na liờn tc di ca nghim B 4 [4] Nu hm a tr Sol (.) l na liờn tc di ti (D , A, c, b), thỡ Sol (Ê>,,4,0,0) = {0} Chng minh Ngc li, gi s rng Sol (D , A, 0,0) 0- Sau ú cú mt vect khỏc khụng M * cho A x < 0, x TD x < (2.38) T ú A (A, b) 05 t (2.38) ta cú A (A, b) l khụng xỏc nh Cho mi Ê > 0, ta nhn c t (2.38) rng XT (D e E ) X < Vỡ th, cho bt kỡ X e A (A, 6), / (x + tx) = - { x + t x ) T (D e E ) (X + t x ) + CT ( x + tx) oo 47 t > 00 Nh th, Sol (D eE, A, c, b) = iu ny m õu thun vi gi s rng Soi (.) l na liờn tc di ti (D , A, c, b) B [4] (i) Nu S o l ( D , A , 0,0) = {0} ú, cho bt kỡ (c,b) e X R m, Sol (D , A, c, ũ) l mt compact () Nu Sol (D , , , 0) = {0} v (, b) l khụng rng, thỡ Sol (D , , , &) / khụng rng vi mi G R n Chng minh, (i) Gi s rng Sol (D , A, , 0) = {0}, nhng Sol (D , A, c, b) l bt nh vi vi (c, b) Khi ú cú mt dóy cho ||a:fc|| >oo ; Sol (D , A, , b) 00 c nh mi X G A (A ,b ): ta cú ~ { x k) T D x k + cT x k < - X T D x + CT X, (2.39) A x k < b (2.40) Ta cú th gi s rng dóy ||^ fc|| l x k hi t ti X vi ||x|| = S dng (2.39) v (2.40) d dng cho thy rng XT D x < , A x < iu ny m õu thun vi Sol (D , , 0,0) = {0} Ta chng m inh rng Sol (D , A, c, b) l mt b chn Khi ú Sol (D , A, 0,0) = {0} b úng, l m t compact (ii) Ly Soi ( D : , 0,0) = {0}, A (A,b) - v ly G M71 mt cỏch tựy ý Nu dng ton phng / (X) = x TD x + CTX b chn di a din (, ), ú hp nghim Sol (D , A, c, b) l khụng rng vi mi k, ||xfc|| > ~ ( x k) TD x k + (ck) Tx k < z 00, v \ \ x k \\ l x k hi t ti X (2.41) > o o Nú n gin cho thy rng X e ( ,0) Chia c v ca cho ^2 v ly > oo ta cú XTD x < Cng nh ||x| Sol (D , A, 0, 0) {0}) ú l khụng th (2.41) = 1, c 48 B [4] Nu hm a tr Soi (.) l na liờn tc di ti (D , A, c, b), thỡ Sol ( D ,A , c , b ) l hu hn B [4] Cho G := {(D , A ) : Sol (D, A, 0,0) = {0}} l m x R mxn Chng minh Ngc li, gi s rng cú mt dóy { ( D k, A k) } hi t ti ( D ,A ) e G cho Soi (D k, A k, , ) {0}, VA; Khi ú vi mi tn ti mt vect x k cho ^ = v A kx k < 0, (x k) TD kx k < (2.42) Khụng m t tớnh tng quỏt, ta cú th gi s rng {xfc} hi t ti x vi |||| = Ly gii hn (2.42) ằoo, ta thu c A x < 0, [x)TDx < iu ny m õu thun vi gi s Sol (D , A, 0,0) = {0} B [4] Nu ỏnh x nghim Soi (D , A , c , b ) l hu hn thỡ vi bt kỡ { , m } v ò { , n}, ta cú ISol (D , A, c, b) F (a , ò)\ < B [4] Nu hm a tr Soi (.) l na liờn tc di ti (D , A, c, b) thỡ ISoi (D ,A ,c , b ) \ = Chng minh Ngc li, gi s Sol (D , A , c , b ) ta cú th tỡm thy hai vect khỏc X, Ly J (X) = { j : Xj = 0}, J ( ) = { j : j = 0} Nu J () J {) th ỡ tn ti j cho Xj = 0, j0 > hoc tn ti ji cho Xj > 0, jj = Do i xng, nờn ta xột cỏc trng hp u tiờn Cho Sol (D, A ,c,b) v Uj0, cú m t m ca 49 cho / (y) > f (y) v yj0 > vi mi y G c nh mi Ê > v t () = (Ci (e)) nh sau Ci Ci {Ê) = k h i jo < I C + Ê %= j Ly f Ê (X) = f (x) + ÊXj, m trc ú / () = - D x + CTX Xột bi toỏn ton phng M i n f Ê (x) vi X G A (A, b), cú nghim l Soi (D , A , C ( e ) , b) Cho mi y Ê ta cú fe ( ) = / () + ez/jo > f {) > f () = / (x) = (đ) Vỡ th y ^ /So/ (D ,A ,C ( e ) , ) Tuy nhiờn o ( D , A , c ( e ) , ) n = (2.43) T ú Ê > cú th nh tựy ý, (2.43) m õu thun vi gi thit rng (So/ (.) l na liờn tc di ti (D , , , 6) Ta gi s rng J (x) = J ( ) Ly a , a ' l chs cho X e F (a, ò ) , e F ( a ' , ò ) , õy ò l bự ca J (x) J ( ) { , n} T B 2.4.6, Sol (D , A, c, b) l hu hn Khi ú, t B 2.4.8, a' Vỡ th ớt nht mt cỏc o;\q;/, a ' \ a cú th khụng rng Bi tớnh i xng, ta cú th xột trng hp u tiờn Ly i G a \ a Khi ú, ta cú (A x )io < bi, (A)io = bio (2.44) Vi Sol (D , A , c , b )l hu hn, cú th tỡm thy m t w ca cho Sol (D, A,c,b) n w = {} (2.45) 50 C nh Ê > v t b (e) = (b (e)), õy b % in () = { ^ b + Ê %= Q Theo (2.44), tn t i > cho A (A, b (e)) vi mi Ê Ê (0, ) T A (A, b (s)) A {A, b), ta cú inf / (X ) > inf / (X ) = xzA (A,b(s)) xA (A,b) f (x) Do ú, vi mi Ê G (0, ), X G Sol (D , A, c, b (e)) Ngoi ra, 5o (D, A, c, b (e)) o/ (D, A, c, b) Rừ rng l A (, b (e)) Khi ú 5/ (Ê), , , ()) ằSo/ (Ê), , , ệ) \ {} Vỡ th, theo (2.45), 5o (D, , c, b (e)) w = vi mi Ê G (0, ) iu ny m õu thun vi na liờn tc di ca Soi (.) ti (D, A, c, b) Sau õy chỳng ta chng minh nh lý 2.4.3 Chng minh Nu Soi (.) l na liờn tc di ti (D , A , c , b ) thỡ t B 2.4.3, 2.4.4 v 2.4.9, ta c (a), (b) v (c) Ngc li, gi s rng cỏc iu kin (a), (b) v (c) l tha Ly Q l m cha cỏc nghim nht X Sol (D ,A ,c,b ) Theo (a), tn ti i > cho A ( A ' , ) v^i mi cp (A',b') tha m ón m a x {IIA' A\\ , ||ũ7 ũ||} < i Theo (b) v B 2.4.7, tn ti > cho Sol (D A ' , 0,0) = {0} vi mi cp (D A ') tha max {\\D D II , IIA' A||} < Cho := {i, 2}, theo khng nh th ca B 2.4.5 ta cú Soi (D ' , A 1, c', ) {0} v 0, ta cú X + tx G (, ) v / { x + t x, c, D k) = (:X + t x ) TD k (X + t x ) + CT (x + t x ) Ơ oo t > 00 iu ny ng ý rng, vi mi k, Soi [ Dk, A ,c,b) = v 4> { Dk, , c, h) = 00 Dn n mõu thun, vỡ ip (.) l liờn tc ti c v >(c) oo Do ú (b) ỳng iu kin : Gi s rng (a), (b) l tha m ón v { ( D \ A k, ck,bk) } n 55 l m t dóy hi t ti t T B 2.4.2, iu kin (a) suy s tn ti ca mt s nguyờn dng ko cho A (A k, &fc) vi mi > - iu kin (b) suy G := {( D, A ) G MÊxn X R mxn : Sol (D, A, 0, 0) = {0}} l m Vỡ th tn ti s nguyờn dng k > k0 cho Soi { p k, A k, 0, o) = {0} vi mi > k Theo B 2.5.1, Soi {Dk, A k,ck,bk) v k o ú, vi mi > k tn ti x k G Mn tha if (D \ A k, c \ bk) = ~ ( x k) TD x k + (ck) Tx k, (2.53) A kx k < bk (2.54) T ú ip (c) 00, nh lý Frank-Wolfe cho thy rng Soi (D , A , c , b ) Ly bt kỡ x Ê Sol (D , A, c, b), ta cú >(D , A, c, b) = ~ ( x ) TDx + cTx , (2.55) A x < b (2.56) Theo B 2.4.2, cú tn ti mt dóy { y k} Mn hi t n x vI A ky k < b \ Mk > kớ (2.57) T (2.57) suy rng y k G A (A k, bk) vi > k Nh vy ^ ( D , A , c ,6 ) < ( / ) Tụ V + (c ) V (2.58) T (2.58) suy rng lim s u p ip ( Dk, A k, ck,bk) ƠOC "1 < lim sup (yk) D ky k + (ck) y k /c->00 = lim k oo (yk) TD ky k + (ck) Ty k Vỡ th, t (2.55) v (2.56), ta cú lim sup ) (D k, A k, ck, bh) < ) (D , , c, b) k-> 00 (2.59) 56 Gi ta khng nh rng dóy {a;*} , k > ki, l b chn T h t vy, nu nú l khụng xỏc nh, th ỡ bng cỏch ly mt dóy nu cn, ta cú th A kX ^ < x k\\ \\xk \ Ly k > 00, ta thu c A x < (2.60) T (2.53) v (2.58), 1- { x k) TD ỡx k + (c ) V < ( i /*)T0 V + (c ) V Chia c hai v ca (2.61) cho ||ớcfe||2 v ly gii hn khik (2.61) oo, ta c x TD x < (2.62) T (2.60) v (2.62), ta cú Sol (D, A, 0, 0) {0}- iu ny m õu thun (b) Nh th ta thy rng dóy { z fc} , k > kớ, l b chn; vỡ th nú l dóy hi t Khụng m t tớnh tng quỏt gi s x k > X R n lim ip (D k, A k, ck, bk) = - X TD x + CTX = / (x, c, D ) , k >00 A x < b (2.63) (2-64) T (2.64) cho thy rng X e A (^4, b) Vỡ th / {x, c, D) > ip (D , A , c , b ) Do ú, t (2.63), lim ip (D \ A k, c \ bk) > 00 Kt hp (2.59) vi (2.65) dn ti lim ip (D k, A k, ck: bk) = ) (D , A, c, 6) k>00 iu ny cho thy rng If l liờn tc ti (D , A, c,b) 57 K t lun chng Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by v m t s liờn quan n bi toỏn ti u ton phng li vi rng buc tuyn tớnh, bao gm: s tn ti nghim, iu kin ti u, tớnh liờn tc ca ỏnh x nghim v tớnh liờn tc ca hm giỏ tr ti u Ni dung ca chng ny c tham kho da trờn cỏc ti liu [2] -[7] 58 KT LUN Lun trung nghiờn cu "Bi toỏn ti u ton phng li vi rng buc tuyn tớnh" C th lun ó trỡnh by nhng kin thc chun b chng 1, gm li v hm li, h bt phng trỡnh tuyn tớnh, hm ton phng li, bi toỏn ti u li Chng trỡnh by v bi toỏn, s tn ti nghim, iu kin cc tr, tớnh n nh ca nghim v hm giỏ tr ti u ca bi toỏn cú tham s Lun s l mt tng quan khoa hc v bi toỏn ti u ton phng li vi rng buc tuyn tớnh Vi kh nng v thi gian cú hn, chc chn lun khụng trỏnh nhng thiu sút Kớnh mong quý thy cụ v cỏc bn gúp ý lun c hon thin hn Tụi xin chõn thnh cm n ! [...]... lùi, tập lồi đa diện, hệ bất phương trình tuyến tính, hàm toàn phương lồi và bài toán tối ưu lồi, sẽ được sử dụng cho chương sau 19 Nội dung của chương này được trích dẫn chủ yếu từ các tài liệu [1] - [4] Chương 2 Bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng buộc tuyến tính Trong chương này, chúng tôi trình bày về bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng buộc tuyến tính, sự tồn tại nghiệm của bài toán, ... tuyến tính là đối xứng Các không gian của m a trậ n đối xứng cỡ n X n sẽ được ký hiệu là Ms nxn Cho D G R ”xn, A € Mmxn, c G Mn, b G Mm Xét bài toán tối ưu toàn phương í M i n / (a:) := —x TD x + CTX {QP) { _ v y 2 X GMn,Ax < ò Đ ịn h n g h ĩa 2 1 2 [4] Bài toán (Q P ) được gọi là bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng buộc tuyến tính (hoặc bài toán quy hoạch toàn phương) nếu f là một hàm toàn phương. .. hoạch toàn phương) nếu f là một hàm toàn phương lồi, tuyến tính và A là một tập lồi đa diện Trong (2.1), nếu D là m a trận không, th ì / là một hàm affine Do đó các bài toán quy hoạch tuyến tính là m ột lớp con của lớp bài toán tối ưu toàn phương V í d ụ 2 1 1 Giải bài toán min ị / (a;) = —x\ H— xị : —X\ + x 2 < 1, Xị + 2x2> 2, Xị < 3 ^ ở đây / là một hàm lồi, ta có miền chấp nhận được D = {x € M2|—Xị... chính tắc của bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng buộc tuyến tính 2.2 Sự tồ n tạ i nghiệm Trong mục này chúng tôi trình bày Định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán (Q P ) Xét bài toán quy hoạch toàn phương minf(a;) := —x T D x + CT X với x G l " thỏa mãn gi(z) := A\ X + òi < 0, g2{x) := A 2x + b2 < 0, N ỗm(*^) • -^m*^ “l” bm — 0) Với AịT E R n,bị e M, i = 1 , m Bài toán trên được phát biểu lại như... < g ( u 2), với bất đẳng thức ngặt nếu / là lồi ngặt Vì thế g là dãy đơn điệu tăng □ với a , và ngặt nếu / là lồi ngặt Một hệ quả đơn giản của Mệnh đề 1.1.5(a): nếu / : Mn —»• M là một hàm lồi và V / (X*) = 0, sau khi X* cực tiểu / trên Mn Đây là lớp điều kiện đủ bài toán tối ưu không ràng buộc, được đề xuất bởi Ferm at năm 1637 Đối với hàm lồi khả vi cấp 2, ta có đặc trưng khác của tính lồi trong mệnh... nghiệm X Khi đó, X là một nghiệm của bài toán (2.2) □ Năm 1956, Frank - Wolfe đã chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán (|Q P ) trong trường hợp / là hàm toàn phương không lồi Đ ịn h lý 2 2 3 [4] (Định lý Frank - Wolfe) Nếu một hàm toàn phương f bị chặn dưới trên một tập lồi đa diện khác rỗng thì f đạt giá trị nhỏ nhất trên tập đó 27 V í d ụ 2 2 1 Xét bài toán tối ưu hai biến min ị f (x) = xỊ + 2xị... sẽ chứng minh Định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương lồi dưới đây Đ ịn h lý 2.2.2 [4] Bài toán (2.2) có nghiệm nếu hàm mục tiêu bị chặn dưới trên miền ràng buộc Chứng minh Giả sử a > —oo là infimum của hàm mục tiêu f ( x ) trên miền ràng buộc của bài toán (2.2) Khi đó, tồn tại một dãy (x k) thuộc miền ràng buộc thỏa mãn Ị f(z * )< o + ỉ I gi(z‘ ) < 0, i = 1,2 Từ Định lý 2.2.1,... 0, x 2 > 0} Trong bài này / (X) = xỊ + 2xị — XịX2 = - (xi — X2)2 + xỊ + 3xị với mọi X G M2 và A = { x G M2 : —Xi + x 2 = 1, Xi > 0, x 2 > 0 > 0 } là tập lồi đa diện không bị chặn Do f ( x ) bị chặn dưới trên A nên theo Định lý Frank - Wolfe, bài toán đã cho có nghiệm Có thể thấy nghiệm cực tiểu của bài toán là X* — (0 ,1)T với / min = / (a;*) = 2 V í d ụ 2 2 2 Xét bài toán tối ưu sau min (a:) = -... Wolfe, bài toán trên có nghiệm Có thể thấy nghiệm cực tiểu của bài toán là X* = (1,1) và / min = / (x*) = —(4 — 1)+ 2 = - 2 2.3 Đ iều kiện cực trị Trong phần này chúng tôi trình bày chi tiết về điều kiện cần và đủ cực trị địa phương của bài toán (Q P ) Các kết quả chính theo hướng này đã được M ajthay (1971) và Contesse (1980) chứng minh Cho D e Ms nxn, A G R mxn, c G R n, b £ R m Xét bài toán tối ưu toàn. .. của bài toán trên là Sol (p ) = j I —, — 22 Rõ ràng là nếu ta bỏ đi hằng số a trong các biểu diễn (2.1) của / th ì tập nghiệm của bài toán min { / (x) : X £ A} không thay đổi, trong đó A c K" là một tập lồi đa diện Vì vậy thay vì (2 1 ) ta thường sử dụng các dạng đơn giản cho hàm mục tiêu là / (x) = - X TD x + CTX z Ta gọi min I - x TD x + CTX : X e Mn, A x < b là dạng chính tắc của bài toán tối ưu toàn