Xét m ột tậ p con lồi khác rỗng A của Mn và m ột hàm số / : R n —>
(—00,00]. Xét bài toán
( p ) : min / (X) xeA
Khi đó, ta nói vectơ X* € A là m ột cực tiểu của / trên A nếu f (x*) = infxeA / (ж)- Ta cũng có thể gọi X* là một cực tiểu hoặc cực tiểu toàn cục
trên A. Ngoài ra, ta nói / đ ạt cực tiểu trên A tạ i X*, và ta viết
X* E Soi (p ) := arg min / (X).
Nếu X* là cực tiểu duy n h ất của / trên A, th ì ta viết
X* — arg min / (X).
Tương tự cho bài toán cực đại, tức là, m ột vectơ X* G A sao cho / (x*) = supx€ạ / (x) gọi là m ột cực đại của / trên A, và ta viết
X* € arg max / (X).
геД
Nếu д = R n hoặc nếu miền của / là tậ p Д (thay cho R n), ta cũng có thể gọi X* là m ột cực tiểu (toàn cục) hoặc cực đại (toàn cục) của / (không có "trên Д").
Một câu hỏi cơ bản trong bài to án tối ưu là có tồn tạ i nghiệm tối ưu hay không. Ta có th ể tìm được tậ p cực tiểu của / trên A bằng giao
điểm của A với các tậ p mức khác rỗng của / . Sử dụng điều này, ta có th ể chứng m inh tậ p các cực tiểu là khác rỗng nếu tậ p có dạng
{x e A |f ( x ) < 7 } ,
ở đây 7 là m ột số thực, là đóng và ít n h ất m ột trong số chúng là khác rỗng và compact. Đây là nội dung của Định lý W eierstrass cổ điển, phát biểu cho m ột hàm liên tụ c cực tiểu trên m ột tậ p compact.
Ta sẽ chứng m inh m ột phiên bản mở rộng hơn của Định lý này. Ta nói hàm / : R n —> (—00, 00] là bức trên một tập Д c R " nếu với mỗi dãy {ж*;} С A sao cho ll^jtll —¥ 00, thì lim f (xj.) = 00. Trong trường hợp
k—¥oo
Д = ta nói / là bức. Chú ý m ột hệ quả của định nghĩa, mọi tậ p mức khác rỗng của hàm bức / là bị chặn.
Đ ịn h lý 1 .4 .1 . [4] (Định lý Weierstrass). X é t m ột hàm lồi chính thường đóng f : Mn —)■ (—00,00], và giả sử m ột trong ba điều kiện sau đẫy là đúng:
(1) d o m ( f) là bị chặn.
(2) Tồn tại m ột số thực 7 sao cho tập mức { x \ f { x ) < 7 }
là khác rỗng và bị chặn.
(3) f là hàm bức.
Khi đó tập cực tiểu của f trên Mn là khác rỗng và compact.
Chứng minh. Giả sử điều kiện (1) đúng. Chú ý rằng vì / là chính thường, d o m ( f ) là khác rỗng. Xét dãy {zfc} с dom ( / ) sao cho
lim f { x k) = inf / (X)
к—too ùÊR"
Vì d o m ( f) là bị chặn nên dãy có ít n h ất m ột điểm giới hạn X*. Vì / đóng nên / là nửa liên tụ c dưới tạ i X *, do đó / (X*) < lim / (:Efc) = inf / (X),
k—>0o x € R n
và X* là m ột cực tiểu của / . Như vậy, S o l ( p ) , tậ p các cực tiểu của / trên là khác rỗng. Vì Sol ( P) c dom ( / ) và d o m ự) là bị chặn, Sol ( P) là bị chặn. Tuy nhiên S o l ( p ) là giao của tấ t cả các tậ p mức { x \ f (X) < 7} trong đó 7 > inf / (à?). Các tậ p mức là đóng vì / đóng, bởi vậy S o l ( p )
Miền xác định của / là tậ p { x \ f (X) < 7}. Nó bị chặn bởi giả th iết và đóng bởi tín h đóng của / . Vì thế, sử dụng tín h đóng của / , suy ra hàm / là đóng. Hơn nữa, tậ p cực tiểu của / bằng tậ p cực tiểu của / . Ap dụng điều kiện (1) ta có điều phải chứng minh.
Giả sử điều kiện (3) đúng. Vì / là chính thường, nên có m ột vài tậ p mức khác rỗng. Vì / là bức, nên các tậ p mức khác rỗng bị chặn, do
đó điều kiện (2) là th ỏ a mãn. □
Thường th ì bài to án tối ưu chúng ta phải đề cập đến dạng yếu hơn của cực tiểu, tức là chỉ khi so sánh giá trị ở các điểm "lân cận" với nhau.
Đặc biệt, cho m ột tậ p con A của R n và m ột hàm số / : Mn —ằ■ (—00, 00], ta nói vectơ X* £ A là cực tiểu địa phương của / trên A nếu tồn tại
£ > 0 sao cho
Nếu A = Mn hoặc miền xác định của / là tậ p A (thay cho Mn), ta có thể gọi X* là m ột cực tiểu địa phương của / (không có "trên A "). Một cực tiểu địa phương X* được gọi là ngặt nếu không có cực tiểu địa phương khác ở trong cùng m ột lân cận của X*. Cực đại địa phương được định nghĩa tương tự.
/ (2*) < / ( x ) , Va; e A : IIX — £*11 < £.
Trong các ứng dụng thực tế ta thường quan tâm đến cực tiểu toàn cục, nhưng ta phải làm việc với cực tiểu địa phương vì không có nhiều điều kiện tối ưu và các th u ậ t to án để phân biệt giữa hai loại cực tiểu này. Đây có th ể là khó khăn lớn, nhưng m ột ý nghĩa quan trọng của tính lồi của / và A là tấ t cả cực tiểu địa phương đều là cực tiểu to àn cục được th ể hiện trong m ệnh đề sau.
M ệ n h đ ề 1 .4 .8 . [4] Nếu A là tập con lồi của Mn và f : R n —> (—00, 00] ỉà m ột hàm ỉồỉ chính thường, thì cực tiểu địa phương của f trên A cũng là cực tiểu toàn cục của f trên A. Ngoài ra, nếu f là lồi ngặt, thì tồn tại nhiều nhất là m ột cực đại toàn cục của f trên A.
Chứng minh. Cho / lồi, và giả th iết ngược lại, rằng X* là cực tiểu địa phương của / trên A sao cho nó không to àn cục. Khi đó, tồn tạ i X G A sao cho / (x) < f (£*). Theo tín h lồi, với mọi a G (0,1),
/ (a x * + (1 - à) x) < a f (x*) + (1 - a) f (x) < f ( x *) .
Như vậy, / là giá trị nhỏ hơn f ( x*) tạ i mỗi điểm trên đoạn thẳng nối X*
với X, ngoại trừ X*. Khi A là lồi, đoạn thẳng thuộc A, do đó m âu th u ẫn với X * là cực tiểu địa phương.
Cho / lồi ngặt, và giả th iết ngược lại, rằng tồn tạ i hai cực tiểu toàn cục X và y phân biệt của / trên A. Khi đó, tru n g điểm (x + y ) / 2 có th ể thuộc A, từ đó A là lồi. Hơn nữa, vì tín h lồi ngặt của / nên giá trị của / có th ể nhỏ hơn tạ i tru n g điểm của X và y. T ừ đó X và y là cực
tiểu toàn cục. Dẫn tới m âu thuẫn. □
K ế t lu ậ n c h ư ơ n g 1
Chương này nhằm trìn h bày những khái niệm cơ bản n h ất và những tín h chất đặc trưng về tậ p lồi, hàm lồi, nón lùi xa của m ột tập lùi, tậ p lồi đa diện, hệ b ất phương trìn h tuyến tính, hàm to àn phương lồi và bài toán tối ưu lồi, ... sẽ được sử dụng cho chương sau.
Nội dung của chương này được trích dẫn chủ yếu từ các tà i liệu [1] - [4].
Chương 2
B ài toán tố i ưu toàn phương lồi với ràng buộc tu yến tín h
Trong chương này, chúng tôi trìn h bày về bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng buộc tuyến tính, sự tồn tạ i nghiệm của bài toán, điều kiện cực trị và tín h ổn định của tậ p nghiệm.
Nội dung của chương này được tham khảo dựa trên các tà i liệu [2] -[7].
2.1. P h á t biểu bài toán
Đ ịn h n g h ĩa 2 .1 .1 . [4] Ta nói rằng f : Mn —> M là m ột hàm toàn phương tuyến tính nếu tồn tại m ột ma trận D e Mnxn; m ột vectơ c € Kn và m ột số thực a thỏa mãn
№l ■ = ^ (x, D x) + (c, x) + a M
với mọi i ễ I " . Nếu
ớ (ỡ ô11 ... (ỡ a i n \ ớ rCl ^
Xl ì
D = ... , c = ... , X = ...
^ dni ••• d nn j \ c n ) ^ n Ị
20
khi đó (2.1) có nghĩa là
^ / n n \ n
ỉ = 2 ( dijXiXj j + ^ 2 CịXi + a.
\ j = 1 i = i J i = i
T ừ đó XTD x = - X T { p + DT) X cho mỗi X £ R n, biểu diễn (2.1) vẫn z
đúng nếu ta th ay D bằng các m a trậ n đối xứng - (D + DT). Vì lý do z
này, ta sẽ giả sử rằng các m a trậ n vuông trong các biểu diễn của một hàm tuyến tín h là đối xứng. Các không gian của m a trậ n đối xứng cỡ n X n sẽ được ký hiệu là Ms nxn.
Cho D G R ”xn, A € Mmxn, c G Mn, b G Mm. Xét bài toán tối ưu toàn phương
í M i n / (a:) := —x TD x + CTX
{QP) { _ v y 2
X G Mn, Ax < ò.
Đ ịn h n g h ĩa 2 .1 .2 . [4] Bài toán (Q P) được gọi là bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng buộc tuyến tính (hoặc bài toán quy hoạch toàn phương) nếu f là m ột hàm toàn phương lồi, tuyến tính và A là m ột tập lồi đa diện.
Trong (2.1), nếu D là m a trậ n không, th ì / là m ột hàm affine. Do đó các bài toán quy hoạch tuyến tín h là m ột lớp con của lớp bài toán tối ưu toàn phương.
V í d ụ 2 .1 .1 . Giải bài toán
min ị / (a;) = —x\ H— x ị : —X\ + x 2 < 1, Xị + 2x2 > 2, Xị < 3 ^ . ở đây / là một hàm lồi, ta có miền chấp nhận được
D = {x € M2| — Xị + x2 < 1, Xị + 2x2 > 2, Xị < 3} .
f /2 2'
Tập nghiệm của bài toán trên là Sol (p ) = j I —, —
Rõ ràng là nếu ta bỏ đi hằng số a trong các biểu diễn (2.1) của / th ì tậ p nghiệm của bài toán min { / (x) : X £ A} không th ay đổi, trong đó A c K" là m ột tậ p lồi đa diện. Vì vậy th ay vì (2.1) ta thường sử dụng các dạng đơn giản cho hàm mục tiêu là / (x) = - X TD x + CTX.
z Ta gọi
min I - x TD x + CTX : X e Mn, A x < b
là dạng chính tắc của bài toán tối ưu toàn phương lồi với ràng buộc tuyến tính.
2.2. Sự tồ n tạ i nghiệm
Trong mục này chúng tôi trìn h bày Định lý về sự tồn tạ i nghiệm của bài toán (Q P). X ét bài toán quy hoạch to àn phương
minf(a;) := —x T D x + CT X
với x G l " th ỏ a mãn
g i(z) := A\ X + òi < 0, g2{x) := A 2x + b2 < 0,
ỗm(*^) • -^m*^ “l” bm — 0)
N
Với A ịT E R n,bị e M, i = 1 , m.
Bài toán trên được p h át biểu lại như sau:
miníía:) := - X TD x + CTX,1
r 2 (2-2)
X G Mn:gj(;c) := AịX + bi < 0, i = 1 , 2 , m,
với D là m a trậ n đối xứng nửa xác định dương, A iT Ễ R n,ftj E 1 . Với mỗi £ = (£i, £2, ■■■, £ n ) T , ta đ ặt
X ( e ) := {x e Mn : Qi{x) < £i,i = 1,2
Đ ịn h lý 2 .2 .1 . [4] Nếu X { e k) Ỷ 0 với m ột dẫy dương {efc} nào đó hội tụ tới 0 thì -^ (0) Ф 0.
Chứng minh. Ta chứng m inh quy nạp theo m (số các ràng buộc toàn phương).
i) Với 771 = 1, giả sử bất phương trình gi ( x) < Eị có một nghiệm x k , với e\ ị 0. Với mọi к ta có
A1x fc + &1 < e f . (2.3) Nếu (xh) có m ột dãy con hội tụ th ì m ột điểm tụ của dãy chính là nghiệm của gi(x) < 0, định lý đúng trong trường hợp này. Xét trường hợp \\xk \\ —>00, chia cả hai vế của (2.3) cho Цж*II2, lấy giới hạn khi к —ằ■ 0 0, ta được
lim su p < 0. k—¥oo 11*E II K hông giảm tín h tổng quát, giả sử
и := lỉm Ta có
A ị U < 0.
X ét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: AịU < 0. Với t > 0, ta có
fl ( t u ) = t A ị U + ửl-
Do đó,
gi (tù) < 0 \ft >
suy ra -X”(0) Ф 0.
x k f c - ằ o c II Ж * I
A ị U
Trường hợp 2: AiU = 0. Không giảm tín h tổng quát, giả sử x k là nghiệm có chuẩn nhỏ n h ất th ỏ a m ãn b ất phương trìn h gi(x) < £ị.
X ét hệ phương trìn h tuyến tín h sau
A \ X = A ị X k (2-4)
Theo Bổ đề Hoffman [3], tồn tạ i m ột nghiệm x k của (2.4) th ỏ a m ãn
\\xk \\ < p \ A lXk \
với p > 0 là m ột hằng số không phụ thuộc vào k. Vì gi ( xk) = 9i {xk) < e\ và x k là nghiệm có chuẩn nhỏ n h ất nên ta có
l l ^ l l < \\xk\\ < p \ A xx k\.
Chia cả hai vế của b ất phương trìn h trên cho ||:rfc|| và chuyển qua giới hạn khi k —> oo ta được
1 < p \ A ị u \ .
Điều này m âu th u ẫn với giả th iết AiU = 0. Định lý được chứng m inh với 771= 1.
ii) Giả sử định lý đúng với mọi m < l.
iii) Ta chứng m inh định lý đúng với m = l + 1.
Giả sử x k là nghiệm có chuẩn nhỏ n h ất trong X { e k). Nếu (xk) có một dãy con hội tụ thì một điểm tụ nào đó của dãy thuộc vào X (0), định lý đúng trong trường hợp này.
Tiếp tục, xét trường hợp ||x fc|| —>00. Không giảm tín h tổng quát, giả sử
u := ỉim TT-rrr. x k k-¥0ũ llrc^ll
Lập luận tương tự như chứng m inh ở phần trên, ta có AịU < 0 , i = 1, 2, . . . , / + 1 .
X ét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Tồn tạ i j th ỏ a m ãn A j U < 0. Không giảm tín h tổng quát, giả sử j = ỉ + 1. Vì hệ b ất phương trìn h
9i{ xk) < e \ , g 2{xk) < e ị , g i { x k) < e\
có nghiệm với mọi k nên theo giả th iết quy nạp tồn tại X th ỏ a m ãn gi{x) < 0ì g2{x) < 0 < 0.
X ét vectơ X (t) = x + tu, với t > 0. Ta có g i(x(t)) = g i(x) + t Vg i ( x ) Tu
= g i ( x ) + t A ị U
< gi(^) < 0 ,Ví > 0, i Ta có
gi+1{x(t)) = gi+i{x) + t A l+1u ễl+l(x)
< 0 , Ví >
Lấy t = ễl+l{x) Ai+1u
Ải+iU
ta được X (í) là m ột nghiệm của A"(0).
Trường hợp 2: A ị U = 0, ỉ = 1, 2 , + 1 . Xét hệ phương trìn h tuyến tín h sau
A ị X = A ị X k , ỉ = 1 , 2 , + 1. (2.5) Theo Bổ đề Hoffman [3], tồn tại m ột nghiệm x k của (2.5) th ỏ a m ãn
| | x fe II < p \ A i X k I ,
với p > 0 là m ột hằng số không phụ thuộc vào k. Vì g i ( x k) =
9 i { x k) < £ * ,2= 1,2, z + 1 và x k là nghiệm có chuẩn nhỏ n h ất nên
X
Chia cả hai vế của b ất phương trìn h trên cho ||:rfc|| và chuyển qua giới hạn khi k —¥ oo ta được
1 < p \ A ị u \ .
Điều này m âu th u ẫn với AịU = 0, Vi = 1 , 2 , / + 1.
□
Sử dụng Định lý trên, ta sẽ chứng m inh Định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương lồi dưới đây.
Đ ịn h lý 2 .2 .2 . [4] Bài toán (2.2) có nghiệm nếu hàm mục tiêu bị chặn dưới trên miền ràng buộc.
Chứng minh. Giả sử a > — oo là infimum của hàm mục tiêu f ( x) trên miền ràng buộc của bài to án (2.2). Khi đó, tồn tạ i m ột dãy (xk) thuộc miền ràng buộc th ỏ a m ãn
Ị f ( z * ) < o + ỉ I g i(z‘ ) < 0, i = 1,2 T ừ Định lý 2.2.1, suy ra hệ
I f(z) < a,
{ gi (x) < 0 , * = 1 ,2, m
có m ột nghiệm X. Khi đó, X là m ột nghiệm của bài toán (2.2). □ Năm 1956, Frank - Wolfe đã chỉ ra sự tồn tạ i nghiệm của bài toán (|Q P) trong trường hợp / là hàm toàn phương không lồi.
Đ ịn h lý 2 .2 .3 . [4] (Định lý Frank - Wolfe). Nếu một hàm toàn phương f bị chặn dưới trên một tập lồi đa diện khác rỗng thì f đạt giá trị nhỏ nhất trên tập đó.
V í d ụ 2 .2 .1 . X ét bài toán tối ưu hai biến
min ị f (x) = xỊ + 2xị — X1X2 : — Xi + x 2 < l , X i > 0, x 2 > 0} . Trong bài này / (X) = xỊ + 2xị — XịX2 = - (xi — X2)2 + xỊ + 3xị > 0 với mọi X G M2 và A = { x G M2 : —Xi + x 2 = 1, Xi > 0, x 2 > 0 } là tập lồi đa diện không bị chặn. Do f ( x) bị chặn dưới trên A nên theo Định lý Frank - Wolfe, bài to án đã cho có nghiệm. Có th ể th ấy nghiệm cực tiểu của bài to án là X* — ( 0 ,1)T với / min = / (a;*) = 2.
V í d ụ 2 .2 .2 . X ét bài toán tối ưu sau
min (a:) = - ( ị x ị — £2) + 2^1 : 2xi + x 2 > 3, 2xi — x 2 > l ị . Ta có
/ (x ) = 2 (4 x i - x ĩ) + 2 x ỉ = ị { ( 2xi + 1)2 ~ x z) ~ 2
= 2 (2;ri + ^2 + 1) (2^1 — x 2 + 1) — - > - (3 + 1) (1 + 1) — - =
Do f ( x) bị chặn dưới trên A = | i Ễ M2 : 2xi + x 2 > 3,2xi — x 2 > 1} nên theo Định lý Prank - Wolfe, bài to án trên có nghiệm. Có th ể thấy nghiệm cực tiểu của bài to án là X* = (1,1) và / min = / (x*) = — (4 — 1)+
2 = - . 2
2.3. Đ iều kiện cực trị
Trong phần này chúng tôi trìn h bày chi tiế t về điều kiện cần và đủ cực trị địa phương của bài toán (Q P). Các kết quả chính theo hướng này đã được M ajthay (1971) và Contesse (1980) chứng minh.
Cho D e Ms nxn, A G R mxn, c G R n, b £ R m. Xét bài toán tối ưu to àn phương
min I - X T D x + CT X : X G Mn, A x < 6 Ị (2.6)
Đ ịn h lý 2 .3 .1 . [4] (Majthay (1971), Contesse (1980)). Điều kiện cần và đủ cho một điểm X € Mn là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (2.6) là tồn tại vectơ
à = ( A b ...,V ) € Г "
sao cho (i) hệ
I D x — А т X + с = 0,
А х — & < о, Л > о, (2.7)
лт (Ах - Ь ) = 0.
là thỏa mẫn, và
(ii) Nếu V G R n\ {0} sao cho A Ixv = 0, Aj2v < 0, mà
l i = {i : AịX = bị, Ằị > 0} , I 2 = {i : AịX = bị, Xị = o} , (2.8)
k h i đ ó V T D v > 0.
X ét bài toán (2.6) và tập
A = { ì ẽ Г : A x < b } .
Ký hiệu hàm mục tiêu của (2.6) bằng f ( x ) . Ký hiệu ( V / (ж))"1 là không gian vectơ trực giao với V / (ж), nghĩa là
( V / (x))1 = {v & R n : ( V f ( x ) : v ) = 0 } . Để chứng m inh Định lý trên, ta cần kết quả sau.
B ổ đ ề 2 .3 .1 . [2] Cho X G R n,A G Km sao cho hệ (2.7) là thỏa mãn.
Cho li và Ỉ2 như trong (ii). Khỉ đó
{г? G Mn : A Iỵv = 0, Aị2v < 0}
= {v Ễ 1 " : A Iov < 0} п ( V / (x))±
= Тд (х) п ( V / (ãT))\
trong đó I 0 := /1U/2 = {i : A ị X = bị}, và Тд (X) ký hiệu nón tiếp của А tại X .
Chứng minh. Ta có
TA (x) = {v £ R n : A Iov < 0} . (2.9) Giả sử rằng V € R n, A Iỵv = 0, Aị2v < 0. Định nghĩa I = {1, 2, m } . T ừ (2.7) ta có
( V / ( x ) , V) = ( D x + с)тV = ( Л г Л ) Г г?
= A —TA v
= А д Л д г ? + Л /2 Л /2г> + A / ự 0Ajụ ữv
=0 =0 =0
= о
Vì th ế V E ( V / (ж))-1. Tiếp theo
{г> E M n : A Iỵv = 0 , Aj2v < 0 }
С {v G Mn : A Iov < 0} n ( V / (ãr))"1.
Để có được bao hàm thức ngược, giả sử rằng V € M.n, A j 0v < ũ, V G ( А / (ж))-1. Ta cần chỉ ra rằng A j ±v = 0. T ừ (2.7) ta suy ra rằng
0 = ( V / (X), V) = (D x + с)тV
”—\TV
= ( ^ Ã ) -
= \ TAv
= AỊ1 A j rv + Xj2 Aj2v.
> 0 < 0 = 0
Vì th ế Aị xv = 0. □
Chú ý rằng Định lý 2.3.1 có th ể được xây dựng lại trong các dạng tương đương sau đây m à không đòi hỏi việc sử dụng các nhân tử La
grange.
Đ ịn h lý 2 .3 .2 . [2] Điều kiện cần và đủ để một điểm ĩ ẽ l " ỉà nghiệm của bài toán (2.6) là hai tính chất dưới đây thỏa mãn
(%) ( V / (X) , v) = (D x + c f v > 0 với mỗi
V G Ta (X) = {v G R n : A Iov < 0}, mà I ữ = {i : AịX = bị} ; (ii) v TD v > 0 với mỗi V G Ta (x) n ( V / (^ ))± mà
( V / ( ĩ ) ) 1 = {o 6 R ” : ( V / ( ĩ ) , v) = 0} .
Thực tế các tín h chất trên là tương đương với sự tồn tạ i của vectơ A e Mm th ỏ a m ãn hệ (2.7) có th ể th iết lập bằng cách sử dụng Bổ đề Farkas[l] và m ột vài lập luận tương tự như trong các phần chứng m inh Bổ đề 2.3.1. Sự tương đương giữa tín h chất (ii) trong Định lý 2.3.2 và tín h chất (ii) trong Định lý 2.3.1 được xây dựng bởi nhân tử Lagrange À G R m, tiếp tụ c từ Bổ đề 2.3.1. Vì th ế Định lý 2.3.2 là tương đương với Định lý 2.3.1.
Sau đây chúng ta chứng m inh của Định lý 2.3.1
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử rằng X là nghiệm của (2.6). Khi đó có tồn tại £ > 0 sao cho
/ ( ì ) - / ( ĩ ) > 0, Vs Ễ A n B (x, e ) . (2.10) Tồn tạ i A G R m sao cho điều kiện (i) được th ỏ a mãn. Lấy / i và / 2 được định nghĩa như trong (ii). Giả sử rằng tín h chất (ii) là sai. Khi đó ta có th ể tìm V € Mn\ {0} sao cho
A j J j = 0, Aị2v < 0, VTD v < 0.
Bằng Bổ đề 2.3.1, ( D x + c)TV = (V / (x) ,v) = 0. Do đó, cho mỗi t E (0,1) ta có
t 2 _ 1 _
f (x + tv) — / (iẼ) = t ( D x + c)TV + —v TD v = - t 2v TD v < 0.
2 2
Ta có X 4- tv € А п в (x, s) với mọi t e (0,1) đủ nhỏ, dẫn đến m âu th u ẫn với (2.10). Do đó (i) phải đúng.
Điều kiện đủ: Giả sử ĩ Ẽ l n sao cho có tồn tạ i Л e R m sao cho điều kiện (i) và (ii) th ỏ a mãn. Ta sẽ chứng m inh rằng X là nghiệm của (2.6). Ý tưởng chính của chứng m inh là phân tích nón tiếp Тд (X) th àn h tổng của m ột không gian con và m ột nón lồi đa diện nhọn. Tập I = { 1 , 2 ,m } , I ữ = {г e I : AịX = bị} , và ta nhận xét rằng I 0 = l ị и I 2.
Định nghĩa
M = {v G R n : A j 0v = 0},
M 1- = {u G 1 " : (v, и) = 0, Vu g M } . Để
К = {v G M 1 : V = z — и , z E Тд ( х ) , и G M }
= P r (Гд ( г ) ) ,
M L
m à P rM_L (.) ký hiệu phép chiếu trực giao của Mn lên M L . Từ đú К = P rM_L (Тд (X)) và M С Тд (ổ), ta suy ra rằng
Тд(ж) = м + # . (2.11)
Ta có
К = м ± ПТА{х). (2.1 2)
T h ậ t vậy, nếu V ầ. К khi đú г? G M -1 v ầ v = z — u cho m ột vài (ổ) và и E M . Vì th ế
A Iữu = 0, A Iữz < 0.
Vì th ế
A Iữv = A Ioz - A Iou = A Iữz < 0.
Vì vậy V G M L п Тд (X). Sau đó th ấy rằng к с M L п Тд (X). Để chứng m inh bao hàm thức ngược lại, nó đủ để lưu ý rằng mỗi V G M L п Тд (X) thừa nhận phép biểu diễn V = V — 0 mà w ễ Ĩ a ( ĩ ) , 0 ễ M .
Tiếp theo, ta th ấy rằng к là m ột hình nón lồi đa diện nhọn. Nhắc lại rằng m ột hình nón к c l " được cho là m ột điểm nếu к п (—К ) =
{0}. T ừ (2.12) tiếp tụ c cho th ấy rằng к là m ột hình nón lồi đa diện.
Tuy nhiên ta chỉ cần chứng m inh rằng к là m ột điểm. Nếu i f không là m ột điểm, sẽ có V ẽ K \ {0} sao cho —V ẽ K . M ặt khác, từ (2.9) và
(2.12) ta suy ra rằng
A Iov < 0, A Io ( - v ) < 0.
Điều này ngụ ý rằng AIov = 0. Vậy V G M . M ặt khác, vì V ẽ. к , nên từ (2.12) ta có V € M L . Do đó V € M П M L — {0}, dẫn đến m âu thuẫn.
Định nghĩa K ữ — {v к : ( V / ( x ) , v) — 0}. 'Vi к là m ột nón lồi đa diện nhọn, ta th ấy rằng Kq cũng là m ột hình nón lồi đa diện nhọn.
T ừ (i) ta suy ra rằng
( V / (ọf), v) > 0, Vv G Тд ( х) . (2.13) T h ậ t vậy, lấy V G Ta (x). Bằng (i) và (2.9),
( V / ( x) , v) = (D x + c f v = ( A T\ ) Tv
= Л —TA v
> 0.
Vì M с Тд (x) và —V £ M mỗi V £ M , ta suy ra rằng
( V / ( x ) , v) = 0, Vv G M . (2.14) T ừ (2.13) và định nghĩa của K ữ, ta có
( V f { x ) , v ) > 0 , V v G K \ K 0. (2.15) Vì К là m ột nón lồi đa diện, theo [6, Theorem 19.1], к là m ột nón hữu hạn sinh. Khi đó, tồn tạ i m ột hệ hữu hạn các vectơ khác không
{ z 1, z 9}, được gọi là phần tử sinh của K , sao cho К = ị v = ỵ2 t j Z j : tj > 0 , j = 1 , q >
l j=1
(2.16)