Tối ưu hóa hàm tuyến tính trên tập hữu hiệu của bài toán quy hoạch đa mục tiêu,

.Cho đến nay, rất nhiều tác giả đã đề xuất các thuật toán để xác định toàn bộ hoặc một phần tập nghiệm hữu hiệu EP của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu, chẳng hạn xem [2], [3],

QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN TIN

HÀ NỘI – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI -

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới

PGS.TS Trần Việt Dũng người đã tận tình và nghiêm khắc dạy bảo để luận văn

này được hoàn thành.Đồng thời, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Đào tạo Sau Đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Trường Đại học Kinh tế và Kỹ thuật Công nghiệp đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu Cảm ơn các thầy cô và đồng nghiệp đã trao đổi cùng tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quý báu để giúp cho luận văn được hoàn thiện hơn

Bên cạnh đó, sự quan tâm của gia đình, bạn bè là nguồn động viên không thể thiếu để giúp tác giả hoàn thành luận văn này Xin chân thành cảm ơn

Học viên : Lê Lệ Hằng Lớp : Toán Tin - Toán ứng dụng 2010

ii

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN i

MỤC LỤC ii

LỜI MỞ ĐẦU iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT v

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO 1

1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 1

1.1.1 Phát biểu bài toán 1

1.1.2 Cấu trúc tập nghiệm 8

1.1.3 Biểu diễn diện hữu hiệu thông qua tập mô tả 10

1.2 Bài toán tối ưu trên tập Pareto 12

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH SONG TUYẾN TÍNH 14

2.1 Phát biểu bài toán 14

2.2 Bài toán tương đương 14

2.3 Thuật toán giải bài toán song tuyến tính 18

2.4 Ví dụ minh họa 22

CHƯƠNG 3: THUẬT TOÁN SONG TUYẾN TÍNH GIẢI BÀI TOÁN (Q) 25

3.1 Cơ sở lý thuyết của thuật toán 26

3.2 Thuật toán 28

3.3 Sự hội tụ 30

3.4 Ví dụ minh họa 31

KẾT LUẬN CHUNG 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

LỜI MỞ ĐẦU

Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu là bài toán tối ưu đồng thời p ≥ 2 hàm mục tiêu tuyến tính , trong đó 〈 , 〉 , trong đó ∈ , = 1, … , , độc lập với nhau trên một tập lồi đa diện khác rỗng ∈ Đây là bài toán có ý nghĩa quan trọng trong thực tế, đặc biệt trong lý thuyết quyết định, kinh tế, tài chính, quản

lý, công nghiệp, .Cho đến nay, rất nhiều tác giả đã đề xuất các thuật toán để xác định toàn bộ hoặc một phần tập nghiệm hữu hiệu EP của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu, chẳng hạn xem [2], [3], [4], [6].Một bài toán quan trọng có liên quan chặt chẽ với bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu là bài toán tối ưu trên tập Pareto, ký hiệu là (Q) Đó là bài toán tối ưu một hàm thực f(x) trên tập nghiệm hữu hiệu EP của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu Việc giải bài toán này giúp ta chọn được nghiệm hữu hiệu tốt nhất theo một chuẩn nào đó mà không nhất thiết phải xác định toàn bộ tập EP Bài toán này được Philip đề xuất năm 1972 Đây

là bài toán khó và thuộc lớp bài toán tối ưu toàn cục, tức là nghiệm tối ưu địa phương chưa chắc đã là nghiệm tối ưu toàn cục Tuy nhiên, do nhu cầu ứng dụng, bài toán (Q) đã thu hút được sự quân tâm đặc biệt của rất nhiều tác giả Nhiều thuật toán theo các tiếp cận khác nhau đã được đề xuất để giải bài toán này, như H.Benson [5], H.Benson và Sayin [6] và một số tác giả khác, xem danh mục tài liệu tham khảo kèm theo.Mục đích chính của luận văn này là trình bày thuật toán để giải bài toán tối ưu trên tập Pareto Nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương

 Chương 1 "Bài toán tối ưu trên tập Pareto" Trình bày một số khái niệm

và tính chất cơ bản của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP) như điểm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu, điều kiện hữu hiệu, cấu trúc tập nghiệm của bài toán, biểu diễn diện hữu hiệu thông qua tập mô tả Tiếp đó, giới thiệu mô hình toán học của bài toán tối ưu trên tập Pareto

iv

 Chương 2 "Bài toán song tuyến tính" Trình bày một số khái niệm, tính

chất cơ bản, dạng tương đương của bài toán song tuyến tính cũng như thuật toán giải bài toán quy hoạch song tuyến tính theo phương pháp siêu phẳng cắt do R.Horst và H.Tuy [9] đề xuất

 Chương 3 "Thuật toán song tuyến tính giải bài toán (Q) " Trình bày cơ

sở lý thuyết và thuật toán song tuyến tính để giải bài toán (Q) Nội dung cơ bản chương này dựa trên bài báo của J.Jorge [11] đăng năm 2005 trên tạp chí Journal of Global Optimization

Luận văn được hoàn thành tại Viên Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học

Bách khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Trần Việt Dũng Mặc dù đã

rất cố gắng, song luận văn chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm 2012

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT

〈 , 〉 Tích vô hướng của x và y

| | Giá trị tuyệt đối của x

Điểm trong tương đối của tập A

( ) Nón pháp tuyến của tập X tại điểm x0

[ , ] Đoạn thẳng nối hai điểm v1 và v2

Bao a fin của tập A

vi

{ , … } Nón sinh bởi các véc tơ c1, ck

( , ) Hình tròn mở tâm a, bán kính  > 0

intA Phần trong tương đối của A

xt Véc tơ chuyển vị của véc tơ x

At Ma trận chuyển vị của ma trận A

v.đ.k Viết tắt của cụm từ "với điều kiện"

(Q) Kí hiệu của Bài toán tối ưu trên tập Pareto

(LPx) Kí hiệu của Bài toán quy hoạch tuyến tính

(BLP) Kí hiệu của Bài toán quy hoạch song tuyến tính

(BLPT) Kí hiệu của Bài toán tương đương với bài toán quy hoạch song tuyến tính

(MOLP) Kí hiệu của Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Chương 1:

BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO

Mục đích chính của chương này là giới thiệu vài nét cơ bản về bài toán tối ưu trên tập Pareto như mô hình toán học, nghiệm hữu hiệu, điều kiện hữu hiệu, cấu trúc tập nghiệm, biểu diễn diện hữu hiệu thông qua tập mô tả Nội dung chính của Chương 1 được tham khảo trong [1], [2], [3], [4], [9]

1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

1.1.1 Phát biểu bài toán

Thông thường, trong RP với p ≥ 2, người ta sử dụng thứ tự sau:

Cho = , , … , , = , , … , Ta nói:

≥ ⟺ ≥

> ⇔ ≥ ≠ ⇔ ≥ , ∀ = 1, … , , à ∃ ∈ {1, , }: > ; ≫ ⇒

> , ∀ = 1, … ,

Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu được phát biểu như sau:

VMax Cx, với ∈ , (MOLP) Trong đó C là ma trận mục tiêu cấp pxn, p ≥ 2 với p hàng là ∈ , =

1, … , ; ∈ là tập lồi đa diện khác rỗng Theo định nghĩa, tập lồi đa diện

∈ là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng Nói cách khác, tập lồi đa diện X là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính Tập lồi đa diện bị chặn được gọi là đa diện

Đinh nghia 1.1. Một điểm ∈ được gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP) nếu ∄ ∈ : ≥ à ≠

Nghiệm hữu hiệu còn được gọi là nghiệm tối ưu Pareto

Ký hiệu:

◊ EP là tập tất cả các nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP)

, bán kính > 0 và affA là bao affin của tập A

Định nghĩa 1.2 Cho tập lồi khác rỗng ⊂ Một tập con lồi khác rỗng ⊆ được gọi là một diện của A nếu bất cứ đoạn thẳng nào nằm trong A và có một điểm trong tương đối ∈ đều nằm trọn trong F , nghĩa là

∈ , = + (1 − ) , 0 < < 1; ∈ , ∈ ⇒ ∈ , ∈

Hệ quả 1.1 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP) Cho tập F là

một diện của tập lồi đa diện X nếu một điểm ∈ và x 0 là nghiệm hữu hiệu (tức là ∈ ) thì F⊂

Định nghĩa 1.3 Một diện F là một diện hữu hiệu (efficient face) nếu tất cả các phần

tử của F đều là nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP)

Đặt

= { , … , }: = ∈ = , ≥ 0, = 1, … ,

Thông thường, K được gọi là nón sinh bởi { , … , }

Cho tập lồi khác rỗng ⊂ Nón pháp tuyến của M tại ∈ ký hiệu là ( ), được định nghĩa là: ( ): = { ∈ |〈 , − 〉 ≤ 0, ∀ ∈ }

Sau đây là điều kiện để một điểm ∈ là nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP) được phát biểu theo ngôn ngữ nón pháp tuyến

khi ( ) ∩ ≠ ∅, trong đó ( ) là nón pháp tuyến của tập lồi đa diện X tại điểm x 0 và = { , … , }

Mệnh đề 1.2 Giả sử tập lồi đa diện X là tập nghiệm của hệ bất đẳng thức tuyến

Trong thực tế tính toán người ta sử dụng dạng tương đương sau của Mệnh đ ề 1.1

X được xác định bởi (1.1), khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

Ta có = −1 3

−1 −3 ⇒

= (−1,3)

= (−1, −3)

nón = { , } , tập chấp nhận được và nón pháp tuyến tại một số điểm của tập chấp nhận được minh họa ở Hình 1.1

Từ Hình 1.1, ta thấy

( ) ∩ ≠ ∅ ⇒ ∈( ) ∩ = ∅ ⇒ ∉

Ví dụ 1.2 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính hai mục tiêu

với các ràng buộc

− ≥ −2, ≥ 0

Ta có = −1 1

= (−1,1)

= (0,1) nón = { , } , tập chấp nhận được và nón pháp tuyến tại một số điểm của tập chấp nhận được minh họa ở Hình 1.2

Từ Hình 1.2, ta thấy

( ) ∩ ≠ ∅ ⇒ ∈( ) ∩ = ∅ ⇒ ∉

x=x 0 , quy hoạch tuyến tính (LP x ) sau

v.đ.k.Cz-s=Cx

∈ s≥0

có một giá trị tối ưu vx=0, trong đó = (1, … ,1) ∈

Sau đây là điều kiện tồn tại nghiệm:

Như là một hệ quả trực tiếp của Định lý 1.1, dễ thấy rằng nếu tập chấp nhận được

⊂ của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP) là đa diện, tức là tập lồi đa diện X bị chặn, thì bài toán (MOLP) luôn có nghiệm hữu hiệu Cụ thể:

Mệnh đề 1.4 Nếu ⊂ là đa diện thì tập nghiệm hữu hiệu E P của bài toán (MOLP) là tập compact khác rỗng

Nếu ⊂ là tập lồi đa diện không bị chặn thì bài toán (MOLP) chưa chắc đã có nghiệm hữu hiệu Kết quả sau cho phép xác định được sự tồn tại nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP) và tìm được một nghiệm hữu hiệu đầu tiên trong trường hợp

⊂ là tập lồi đa diện xác định bởi hệ bất đẳng thức (1.1)

Mệnh đề 1.5 Tập nghiệm hữu hiệu E P của bài toán (MOLP) bằng rỗng khi và chỉ

Theo hình học giải quy hoạch tuyến tính (Hình 1.3), ta có

{〈 , 〉, ∈ } = [ , ]

trong đó [ , ] là đoạn thẳng nối điểm v1

1.1.2 Cấu trúc tập nghiệm

Định lý 1.3 [2] Tập nghiệm hữu hiệu EP của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP) là liên thông đường gấp khúc và là hợp của một số hữu hạn các diện đóng của tập lồi đa diện ràng buộc X

Nhắc lại rằng, một tập ⊂ được gọi là liên thông đường gấp khúc nếu với mỗi cặp điểm , ∈ có thể tìm được một số hữu hạn điểm , … , ∈ sao cho x1=x, xs=y và đoạn thẳng [ , ] ⊆ , = 1, … , − 1

1.1.3 Biểu diễn diện hữu hiệu thông qua tập mô tả

Định nghĩa 1.4 Một tập chỉ số J ⊆ I = {1,2, … , p} được gọi là tập mô tả cho diện

F của tập X khi và chỉ khi F=F(J’) với

( ) = ∈ = 0, ∀ ∈ Ngược lại, mọi diện khác rỗng của X đều được biểu diễn dưới dạng này

Giả sử = { ∈ , = , ≥ 0} , trong đó ∈ × và ∈ là các ma trận

Khi đó tập X được viết rõ thông qua tập mô tả là

Dễ thấy rằng, nói chung, tập mô tả càng rộng thị diện mô tả càng hẹp

Định nghĩa 1.5 Một tập con J ⊆ J là một tập mô tả cực đại khi và chỉ khi không tồn tại tập con J ⊆ J thỏa mãn F(J'')=F(J')

Ví dụ 1.5 Cho X là đa diện được xác đinh bởi

= { ∈ | − = 0, + = 0}

Ta có, X là đoạn thẳng trong R3 nối diểm à , trong đó =(0,0,1) và =(1,1,0)

Dễ thấy, các diện của X có thể được chỉ rõ trong cách biểu diễn sau:

= (∅)

{ ̅} = ({1}) = ({2}) = ({1,2}), { } = ({3}),

∅ = ({1,3}) = ({2,3}) = ({1,2,3})

Ta thấy ′ = ∅ là một tập mô tả cực đại cho X vì điểm = (0.5,0.5,0.5) ∈ X

Định lý 1.4 [10] Mọi diện khác rỗng ⊂ có duy nhất một tập mô tả cực đại

Chứng minh Theo Định nghĩa 1 thì mọi diện ⊂ khác rỗng đều được biểu diễn bởi một tập mô tả Giả sử phản chứng là tập mô tả đó không duy nhất, tức là có tồn tại hai tập chỉ số J',J'' ⊂ J sao cho J' ≠ J'' là các tập mô tả cực đại cho diện F

Do đó, F=F(J')=F(J'') Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng có tồn tại chỉ

số ∈ à ∉ ′′

Vì ∈ nên ta có xt = 0 với mọi x∈

Mặt khác, vì ∉ ′′ mà J'' là một tập mô tả cực đại, do đó có tồn tại điểm ∈( ) = sao cho > 0 Điều này vô lý □

Một diện F ⊂ X được gọi là hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOLP) nếu tất cả thành phần của F là hữu hiệu Nghĩa là ⊆

Ký hiệu là tập diện hữu hiệu của bài toán (MOLP)

Nhắc lại rằng, Ep có thể được mô tả là hợp của tất cả các diện hữu hiệu của bài toán (MOLP)

Lấy ∈ ta định nghĩa một họ các bài toán chứa tham số được kết hợp để giải bài toán (MOLP) như sau

Ký hiệu là tập các nghiệm tối ưu của bài toán , ta có các kết quả sau

Định lý 1.5 [8] Điểm ̅ là một nghiệm hữu hiệu của Bài toán (MOLP) khi và chỉ khi tồn tại ∈ sao cho ̅ là nghiệm tối ưu của bài toán ( ) Nói cách khác

̅ ∈ ⇔ ∃ ∈ | ̅ ∈

Áp dụng lý thuyết đối ngẫu, Định lý 1.5 có thể dẫn về một khẳng định để kiểm tra một diện có phải là diện hữu hiệu hay không thông qua tập mô tả của nó Khẳng

định này được thể hiện thông qua định lý sau

Định lý 1.6 [10] Cho J' là một tập mô tả cực đại, khi đó F(J') là diện hữu hiệu khi

+ + = 0 và s J-J’ = 0

''⇐'' Cho ̅ ∈ , ̅ ∈ , ∈ thỏa mãn ̅ + + ̅ = 0 và ̅ = 0 Vì

∀ ∈ ( ) ⇒ ̅ = 0 Áp dụng lý thuyết đối ngẫu cho quy hoạch tuyến tính, ta có ( ′ ⊆ và do đó, theo Định lý 1.5 ta có ( ) ∈ □

1.2 Bài toán tối ưu trên tập Pareto

Bài toán tối ưu trên tập Pareto được phát biểu như sau

{ ( ) = : ∈ }

(Q)

trong đó ∈ , f(x) là hàm mục tiêu, và Ep là tập nghiệm hữu hiệu của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP) , đóng vai trò như tập ràng buộc

địa phương của bài toán (Q) nếu tồn tại một  lân cận ( , ) của điểm ∈ sao cho ( ) ≥ ( ), ∀ ∈ ( , ) ∩

toán (Q) nếu ( ) ≥ ( ) à ( ) ≠ ( ) ∀ ∈

Như đã biết, tập nghiệm hữu hiệu Ep là liên thông nhưng nói chung, Ep là một tập con không lồi của X và có cấu trúc phức tạp Vì vậy, bài toán (Q) là một bài toán quy hoạch không lồi, tức là một nghiệm địa phương bất kỳ của bài toán nhưng chưa chắc là nghiệm toàn cục

Bài toán (Q) được Philip đề xuất lần đầu tiên vào năm 1972 Do nhu cầu ứng dụng, bài toán này đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả Nhiều thuật toán

đã được đề xuất để giải bài toán này (xem [5], [6], ) và danh mục tài liệu tham khảo kèm theo Sau đây là ví dụ thực tế có mô hình toán học là bài toán tối ưu trên tập Pareto

Ví dụ 1.6 Một Tổng công ty gồm 12 nhà máy, sản xuất 6 loại sản phẩm khác nhau

Gọi xj là số đơn vị sản phẩm loại j , j=1, ,6 mà tổng công ty cần sản xuất Véc tơ x=(x1, x2, x3, x4, x5, x6) được gọi là phương án sản xuất Ký hiệu ⊂ là tập tất

cả các phương án sản xuất thỏa mãn điều kiện cho phép của tổng công ty Như

thường lệ, X còn được gọi là tập chấp nhận được Với mỗi phương án chấp nhận được ∈ , giả sử rằng 〈 , 〉 là lợi nhuận mà tổng công ty thu được, 〈 , 〉 là mức sử dụng lao động ở nhà máy j, j=1, ,12, trong đó , ∈ Mục đích của Tổng công ty là xác định được phương án sản xuất cho lợi nhuận lớn nhất trong khi vẫn duy trì được mức sử dụng lao động cao ở mỗi nhà máy Khi đó, mô hình toán học của bài toán này như sau:

đường gấp khúc Ep Do đó ta có tính chất nghiệm tối ưu của Bài toán (Q)

Định lý 1.7 [9] Bài toán (Q) đạt nghiệm tối ưu tại ít nhất một đỉnh hữu hiệu x0 của bài toán (MOLP), tức ∈ ∩ ( )

Chương này đã giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản liên quan đến bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP) và bài toán tối ưu trên tập Pareto (Q) Chương 2 của luận văn sẽ trình bày bài toán quy hoạch song tuyến tính (BLP)

và thuật toán giải bài toán (BLP)

Chương 2:

BÀI TOÁN QUY HOẠCH SONG TUYẾN TÍNH

Chương này dành để trình bày thuật toán giải bài toán quy hoạch song tuyến Sau khi phát biểu bài toán và trình bày một số tính chất về nghiệm của bài toán, chi tiết thuật toán giải bài toán quy hoạch song tuyến tính được mô tả theo phương pháp siêu phẳng cắt Những kiến thức trình bày chương này được tham khảo trong tài liệu [9], [13]

2.1 Phát biểu bài toán

Cho một ánh xạ song tuyến ( , ): = + ( ) + , ∈ , ∈ ; với X,Y là hai tập lồi đa diện khác rỗng, bị chặn và được cho như sau

= { ∈ : ≤ , ≥ 0},

= { ∈ : ≤ , ≥ 0}, trong đó, ∈ , ∈ , ∈ , ∈ , C, A, B lần lượt là ma trận cấp n'×n, m×n, m’×n'

Bài toán quy hoạch song tuyến tính ký hiệu là (BLP), là phải tìm một cặp véc tơ

(x * ,y *) ∈ × sao cho giá trị hàm F(x,y) tại đó đạt giá trị nhỏ nhất

min { ( , ): ∈ , ∈ } (BLP)

2.2 Bài toán tương đương

Ký hiệu V(X), V(Y) lần lượt là tập đỉnh của X, Y

Cho Y là tập đa diện khác rỗng và bị chặn Theo quy hoạch tuyến tính, với mỗi ∈ , nghiệm của bài toán

min { ( , ): ∈ } đạt tại ít nhất một đỉnh của Y Bài toán quy hoạch song tuyến tính có thể viết lại như sau