Khoá luận tốt nghiệp toán bài toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính

TRƯ Ờ N G ĐẠI H Ọ C s PH Ạ M HÀ N Ộ I KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ TOÁN BÀI TOÁN CON MIỀN TIN CẬY VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC TUYẾN TÍNH K HÓA LUẬN T Ố T N G H IỆ P Đ ẠI H Ọ C C huyên n g àn h : G iải tích Người hướng dẫn khoa học: ThS HOÀNG NGỌC TUẤN LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sỹ Hoàng Ngọc Tuấn người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận Xuân Hòa, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn T hị Toán LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận công trình nghiên cứu riêng em Trong nghiên cứu em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa công bố công trình khác Xuân Hòa, tháng 05 năm 2015 Sinh viên N guyễn T hi Toán Mục lục Lồi M Đ ầu C hương Cơ sở lí thuyết 1.1 Giói thiệu chung 1.2 Tính lồi ẩn m iền tin cậy m ỗ rộng 1.3 Sự nới lỏng SD P xác 10 1.4 Tối u to àn cục đối ngẫu m ạnh 16 C hương ứ n g dụng 24 2.1 ứ n g d ụ n g vào u vững 24 Bình phương tối thiểu vững Bài toán quy hoạch nón bậc hai vững 2.2 M rộ n g nghiên u thêm 27 29 32 K ết lu ận 36 Tài liệu th a m khảo 37 L Ờ I M Ở ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Ngày nay, toán miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính quan tâm nghiên cứu nhiều lý thuyết lẫn ứng dụng thực tiễn Mô hình toán phát triển mở rộng từ toán miền tin cậy cổ điển Bài toán miền tin cậy, tìm cực tiểu hàm toàn phương không lồi hình cầu, toán quan trọng phương pháp miền tin cậy để giải toán tối ưu phi tuyến Nó có nhiều tính chất quan trọng ví dụ nới lỏng quy hoạch tuyến tính nửa xác định (sự nới lỏng SDP) xác đối ngẫu mạnh Với việc chọn đề tài em mong muốn góp phần làm rõ tính chất ứng dụng toán miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính M ục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận nhằm trình bày hai mặt mạnh hữu ích toán miền tin cậy cổ điển tiếp tục thỏa mãn cho toán miền tin cậy mở rộng với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính điều kiện số chiều Đầu tiên, thiết lập lớp toán miền tin cậy mở rộng có nới lỏng SDP xác thỏa mãn mà không cần ràng buộc tiêu chuẩn Slater Thứ hai, điều kiện số chiều với điều kiện Slater đảm bảo tập hợp nhân tử Lagrange bậc bậc hai kết hợp cần đủ cho tối ưu toàn cục toán miền tin cậy mở rộng cho đối ngẫu mạnh Cuối cùng, điều kiện số chiều dễ dàng thỏa mãn cho mô hình miền tin cậy mở rộng sinh từ sửa đổi toán bình phương tối thiểu vững LSP toán mô hình quy hoạch nón bậc hai vững P hư ơng p h áp nghiên cứu Nghiên cứu nhằm đưa nội dung tìm hiểu rõ toán miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính P h ạm vi nghiên cứu Do thời gian không nhiều nên khóa luận tìm hiểu số điều toán miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính Bố cục đề tài Bố cục khóa luận bao gồm hai chương • Chương khóa luận trình bày tóm tắt cd sở lí thuyết bao gồm: tính lồi ẩn, nới lỏng SDP xác, tính tối ưu toàn cục đối ngẫu mạnh toán miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính minh họa chúng số ví dụ • Chương hai khóa luận tập trung trình bày ứng dụng toán miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính Đăc biệt trọng đến ứng dụng vào tối ưu vững toán bình phương tối thiểu toán mô hình quy hoạch nón bậc hai Do thời gian thực đề tài không nhiều, kiến thức hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Chương Cơ sỏ lí thuyết 1.1 Giới thiệu chung Xét toán mô hình miền tin cậy mỏ rộng với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính (p) xTAx + aTX xeM " thỏa mãn \\x —JCo112 < Oí, bỊX < /3/, ỉ — , ,m, A ma trận đối xứng cấp ( n x n ) , a , bị, JC() G M" a , Pi e R , a > 0, ỉ' = , , m Bài toán mô hình dạng xuất phát từ việc áp dụng phương pháp miền tin cậy nghiệm toán tối ưu ràng buộc, ví dụ toán quy hoạch phi tuyến với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính, toán tối ưu phi tuyến với biến rời rạc [ ], toán tối ưu vững chuẩn ma trận tính bất định đa diện [4] Trong trường hợp đặc biệt (P) (bị, Pi) — (0, 0), mô hình miền tin cậy tiếng, nghiên cứu rộng rãi từ lý thuyết đến thuật toán Bài toán miền tin cậy cổ điển có nới lỏng quy hoạch nửa xác định (sự nới lỏng SDP) xác thừa nhận đối ngẫu mạnh Hơn nữa, nghiệm tìm cách giải hệ Lagrangian đối ngẫu Thật không may, kết này, nói chung, không với mô hình miền tin cậy mở rộng (P) Thật vậy, trường hợp đơn giản (P) với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính nhất, nới lỏng SDP không xác [2] Tuy nhiên, trường hợp cho ràng buộc bất đẳng thức nhất, đối ngẫu mạnh nới lỏng SDP xác thỏa mãn điều kiện số chiều 1.2 Tính lồi ẩn miền tin cậy mỏ rộng Trong phần này, nhận tính chất tính lồi ẩn quan trọng hệ toàn phương miền tin cậy mở rộng mà giữ vai trò quan trọng nghiên cứu sau nới lỏng xác đối ngẫu mạnh Chúng ta bắt đầu cách đặt kí hiệu định nghĩa sử dụng sau khóa luận Đường thẳng thực kí hiệu M không gian Euclicle thực n chiều kí hiệu M'2 Tập tất vec-tơ không âm R n kí hiệu R n + Không gian tất ma trận thực đối xứng cấp (n X n) kí hiệu s nxn M a trận đơn vị cấp (n X rì) kí hiệu In Kí hiệu A y B có nghĩa ma trận A —B nửa xác định dương Tuy nhiên, kí hiệu A y B xác định dương Tập bao gồm tất ma trận nửa xác định dương cấp n X n kí hiệu S" Cho A, B e s nxn Tích A B kí hiệu bỏi A •B = ị ị aịjbịj, dịj phần tử nằm ỏ dòng i cột j A bịj phần tử nằm dòng i cột j B Một kiện hữu ích tích A • (xx;7 ) = XTAX với x G K " A £ S'ỈX'\ Cho ma trận A G s nxn, đặt Ker(A) := { d G R" : Ad = 0} Với không gian L, người ta sử dụng dim L để kí hiệu số chiều L M ệnh đề 1.2.1 Cho f(x) = xTAx + aTx + , go(x) — II* —*o ||2 —OL gi(x) = b j x — /3/, i = , , ra, A G S'ỈX", a , Xo, bi G R ” VÀ , a , Pi £ R, i = , , m Khi đó, u ( / , go, g \ , , g m) l đóng Chứng minh C h o ( /, sk0 , s \ ĩ , s kJ e ( / , go, g i , ,gm) với ( r \ số, skì : , s i ) ->• , So, Si Bởi định nghĩa, với k, tồn X* G M cho /(/) < | | / - * o ||2 < a + , b ] x k < /3] + s \ , , b m Txk < Pm +s^ ( ) Điều chứng tỏ ^ bị chặn, vậy, cách cho tiến đến dãy con, có thê giả thiết xk - ì X Khi đó, chuyển qua giới hạn q1.2 lị), có f ( x ) < r , \\x- x0\\2 < a + So, b]X < Pị + s \ , , b m Tx < p„ + sm Nghĩa là, (г, 50, S |, ,S W) e ( / , go, g \ , • • • ,8m)-D o vậy, ( / , go, g l , , gm) đóng □ Ví dụ chiều đơn giản sau chứng tỏ tập ( / , go, g \ , , g m), nhìn chung, không tập lồi Ví dụ 1.2.1 (Tính không lồi ( / , go, g i , ,gm)) Đối với (P), cho n = 1, m — 1, f( x ) = x —x2, go(jt) = x — \ v àg i (;t) = —X Khi đó, f ( x ) = x TAx + атX + r với A = -1, a = r = 0, g o M = \ \x —*o ||2 —Oí với Xo = 0, a = v àg i (jc) = b \ x —ß\ với b\ — ßi — Khi đó, tập ( / , go, g i) không tập lồi Đ ể thấy điều này, ta ý / ( 0) = 0, go (0) = - vàgi(O ) = O v / ( l ) = 0, g o (l) = v g i (1) = - Do vậy, (0, —1,0) G u ( f , go, 8\) (0, 0, - ) G U ( f , go, g i) Tuy nhiên, trung điểm chúng (0, —ị , —ị ) ị u ( / , go g I )• Trái lại, tồn X G M cho ^ V X —X < о, X — < ——v —X < —- 2 Dễ dàng kiểm tra hệ bất phương trình vô nghiệm Đây mâu thuẫn, ( , - ị , - ị ) ệ u ( f , go, gi) Do vậy, ( / , go, g\) không lồi Các điều kiện số chiều sau đóng vai trò quan trọng phần lại khóa luận Nhắc lại với ma trận A £ s n, Ằmin(A) kí hiệu giá trị riêng nhỏ A Đ ịnh nghĩa 1.2.1 (Điều kện số chiều) Xét hệ hàm số f( x ) —XTAx + aTx + , go(;t) = ||jt —xo ||2 —Of5 8i(x) —b ] X —ßi, i = ,w, A G s nxn, a , Xo, bi € M" rà , a , ßi £ R, i = , ,ra Cho s số chiều không gian sinh Khi đỏ, nói điều kiện số chiều thỏa mãn hệ dỉmKer(A —Xmịn(A)In) > s + (1.2.2) Nói cách khác, điều kiện số chiều khẳng định bội giá trị riêng A nhỏ s+1 Nhắc lại hàm giá trị tối ưu h: R w+I -> M u {+°°} (P) cho h(r,s]ĩ, , s m) { /(* ) : ||x - * o ||2 < « + r, b j x < ß + Sj, i = , ,ra}, (r,s 15, , s m) e D} + 00, trái lại, đ ó D = { (r , S \ f, , s m) : I|jc — Xo112 < ОС+ г, b j x < ßi + Si , đ ố i với J c G l " } Đ ịnh lý 1.2.1 [Đều kiện số chiều dẫn tới tính lồi ẩn] Cho f( x) — X T Ax + атX + , go w = ||x —*o ||2 —a giịx) = b f x —ßi, i — ,ra, A G s nxn, a, X(), bị € шп Ỵ, Д- € м , i = , , т Giả sử điều kiện số chiều ị 1.2.2 ) thỏa mãn ОС, Khi đó, u ( / , go, g i , , g m) := { (/(* ), g o W , gi (■*)>• ■■>£«(*)) : XG Mn} + M++2 tập lồi Chứng minh Đầu tiên ý rằng, A nửa xác định dương, / , gi, i = , , , m hàm lồi Do vậy, trường hợp Ư ( / , go, g , , gm) lồi Vì vậy, giả sử A không nửa xác định dương Ằmin(A) < [U (/, go, g i , , g w)] = epỉh Cho D = {(r, : | | x - * o ||2 < « + r, b j X < ßi + 5/} với X e Mn} Rõ ràng, D tập lồi Khi đó, theo định nghĩa, có u ( / , go, g i , ,gm) = epih [Tính lồi h àm giá tri h] Đ ể thấy điều này, ta khẳng định rằng, với (r, S\, , sm) G D , toán cực tiểu hóa {/(*) - xmịn(A) 11* - Xo112 : I\x - *0112 < « + r, bỊX < ßi + Si} vCĨữn đạt cực tiểu số I G M" với I|jt —X()| |2 = a + r b j X < ßi + Sị Thừa nhận điều này, có m in { f ( x ) л-еК" = > Ằnũn { A ) I \ x - Xo 112 : I \ x - Xo 112 < a + r , b j X < ß i + S i } f( x ) - Ằnĩin( A ) { a ^ r ) mị n{ f(x ) : | | x - x 0||2 < a + r, bỊX < ß + s i} - X min(A)(a + r) xeRn — m in {f ( x ) —Ằmin(Л) ( a + r) : I\x —X()112 < а + r, bỊx < ß + Si} xeRn > m ì n{ f(x ) - Ảmin(A)ịịx - Xị)\\2 : Цх-X o ll < a + r, b J x < ß i + Si}, xeRn bất đẳng thức cuối suy Ằ (A) < Điều dẫn tới ị f ( x ) : I\x —Xo 112 < oc + r, b j X < ß + Si, i = m} xeM " = m in{ f ( x ) ~ Xmỉn(A)I|x —* 0112 : l k - ^ o ||2 < « + /■, b f x < Д- + 5,-} JCGM" “I“ Л ) ( Oí -|- r ) này, xét hàm toàn phương chiều sau điều kiện số chiều thỏa mãn f(x) — X g o M — x D ễ dàng thấy < =>- f ( x ) > 0] Mặt khác, với [g o M Ằ > 0, inf { f ( x ) + Ằ g{x)} = X — —oo, Do đó, Hệ 1.4.3 không điều kiện tính chấp nhận chặt không thỏa mãn Mặt khác, không cần điều kiện tính chấp nhận chặt, ta chứng tỏ thỏa mãn bổ đề s tiệm cận H ệ q u ả 1.4.4 ( B ổđ ề s tiệm cận) Cho A E s n, JCo, a , bị G R" , j3/, Oí G M, i = m với {x : I\x —Xo112 < ot, bjX < Pi, / = , , m} ỹá Giả thiết điều kiện số chiều ( 2 ) thỏa mãn Khi đó, điều kiện sau tương đương : (1) Ị\x —Xo112 —Oí < 0, bỊ x —Ị5ị < 0, i = 1, , m =4> XTAx + aTX + > (2) (V £ > 0)(3 Ằ/ > 0, ỉ = , ,m)(Vx G R") (xTAx + aTX + ỵ ) + Ao (11* —-XTo112 —oc) + ^ Ằị(bỊX — Pi) + £ > i= Chứng minh [(1) ==> (2)] Giả sử (1) Cho f ( x ) = XTAx + aTX + g o M = II* — 112 — gi(x) = bỊX —j3j, i = , ,ra Khi đó, với £ > ,( —£, 0, , ,0 ) ^ ( / , go, g \ , , g m) Điều kiện số chiều (Ị1.2.2Ị) thỏa mãn, từ Mệnh đề 1.2.1 Định lí 1.2.1 Ư ( / , go , g i , , gm) tập lồi đóng Khi đó, định lý tách mạnh cho ta thấy (jU, Ão, Ấ i, ,Ằ m) G M++ 2\{ } ô £ R cho m —ụ £ < ô < ỊẤ f ( x ) + ẴiW) với jc g R " i= Khi đó, ỊẦ > Trái lại, ỊẤ = Khi đó, Ằ;g;(jc) > ổ > với X G M” Điều không xảy ra, ỵ™= J Xigi(a) < với a £ {x : gi(x) < , / = , Do vậy, ta suy (2) với Ằị — , ra} i — , , m [(2) =4> (1)] Đối với X với gí(x) < 0, (2 ) có nghĩa với £ > 0, tồn Ằ/ > cho với Jt G R ", m + e < f( x ) + £ < f( x ) + i=0 Cho £ —> 0, thấy f( x ) > suy (1) 22 □ Trước kết thúc phần này, sử dụng ví dụ trước để minh họa dạng bổ đề s tiệm cận Ví d ụ 1.4.2 (Ví dụ minh họa bổ đề s tiệm cận) Xét hàm toàn phương chiều sau f ( x ) — X go(x) = X2 Dễ dàng kiểm tra [x2 < о => X > 0] điều kiện số c h iề u th ỏ a m ã n B â y g iờ , v i m ỗ i £ > о, vậy, thỏa mãn bổ đề s tiệm cận 23 X + -Ị^x2 + £ = ^ 2/ " ^ Chương ứng dụng 2.1 ứng dụng vào tối ưu vững Đối với ma trận M cấp (p x q ), vec(M) kí hiệu vec-tơ R pq nhận cách xếp chồng cột M Tích số tensor /„ ma trận M e R pxp kí hiệu í M 0 M 0 \ In ® M : = V - M O M Ị Xét tập bất định mô tả ràng buộc chuẩn ma trận ràng buộc đa diện, nghĩa u = {Ẩ(())+ A : A e R kx{n+]\ ||A —Ãll/r < p , (coj )Tv e c A < P j , j = Ã(°) := (2 1) G K ÍX" x R k — MẨ:X(/Ỉ+|) kiện mô hình cho, kiểm tra Mục I\M\\f chuẩn Frobenius định nghĩa I\M\\F = y / T r(MTM ) Trong trường đặc biệt = 2, có1 = —Cử1 /3 = —/32 = 1, tập bất định quy giao hai elipsoids kiểm tra [4] Chúng ta nói (*, Ằ) € R n X M chấp nhận vững ràng buộc toàn phương dạng 11Ax — a\ |2 < X với ý tập lí bất định maX(Aa)eU I\Ax — a\ |2 < X 24 Đây dạng ràng buộc toàn phương xuất mô hình bình phương tối thiếu vững ví dụ như mô hình quy hoạch nón bậc hai Bây kiểm tra tính chấp nhận vững tương đương với giải SDP, điều kiện phù hợp Bổ đề 2.1.1 (Thiết lập SD P tính chấp nhận vững) Cho (x, X) e l ^ x R IX cho (Ị2 Ị) Giả sử k > s + 1, k số hàng kiệu ma trận u s số chiều không gian sinh {ứ}1, , Cở1}, {A : A £ M/:x(n + |), 11A —Ã\\f < p , (co7)7 vecA < / j — , Khi đó, (;t, Ằ) chấp nhận vững ràng buộc toàn phương 11Ax —a\ \2 < Ằ tập u bất định tồn Ằ °, , Ằl > cho y Awx _ Ik Ik®X ụk®x)T hữh(n+1) ( _ Ằoè + ịĩ.j l =ỉxjữ)j)T (/ 1( 0) x _ f l ( ) ) r a (0) Ả ° b + ị £ ' =l Ảj «) j Ả Ả°(Ỵ-\\b\\2)-'ĩ:lj=ỊẢjạj ) - đố X = (xr , —1)T G M"+ l, b = vec(A) Ỵ = p —Tr(Àr À) Chứng minh Cho À = (Ai4, Aa) G M/ỉ+l x R ^ R kx(tl+]\ Đối với Jt G R", kí hiệu X = (xr , —1)T £ M" + Từ đ ịn h nghĩa IX, ý maX(Aì(l)£u I — a\\2 < Ả chí ||A —Ã||^ < p 2, (coj )Tvec(Ả) < Pj, j — , / ||A ^ X — + A x ||2 < Ằ, mà tương đương với suy diễn sau 7>(Ar A —2Ãr A + Ã7 Ã) < p 2, {coj )Tvec{A) < p j , = , / => Tr(AxxT AT + 2(Ẩ(0)X - a{0) )xT A + (A(0)x - a {0)) (A(0)x - a {0))T) - X < Chú ý với ma trận Ấ ,C G R pxs B №>pxp, Tr(ATBA) = vec(A)T(Is ®B)vec{A) 7>(Ấr C) = vec(A)Tvec(C) (2.1.2) Cho u — y^c(A) G R k(n+ÌK Khi đó, cách sử dụng đẳng thức (Ị2.1.2Ị), ta thấy m ax^ a)ẽU 11Ax —a\\2 < X điều kiện sau thỏa mãn ||w —b\\2 < , ( ) Tu < p j , j = =4> UTQu + aTM+ (r + Ằ) > Q — —(4 k > s + \ dimKer(Q - Ằmin(Q)Ik{n+ị)) + > (í + 1) + (k(n + - s) > k(n + ) + , 1) k(n +1) số chiều kiện ma trận cho Từ u khác rỗng, thuật lại mở rộng bổ đề s, ta thấy maX(A 11Ax a\ \2 < Ằ — tồn Ằ°, Ằ 1, , Ằl > cho với u G R k(n+1) (uTQu + qTu + r + Ằ) + Ằ°(||m —b\\2 — ỵ ) + Ằ; ị^(cũ-ì)Tu —/37^ > tương đương với ị(* - 2l°b + i ' =1VcoJ) Q+ y ị ( q - Ằ ° b + ĩ lìj = ì V ( o n T (2 {3) r + Ả - i ữ{Ỵ - \ \ b \ \ 2) - ỵ ! j = x Ả j ^ Bây áp dụng phương pháp bổ sung Schur rằng, Mị e s n, ỉ — 1,2,3 với A/j ^ 0, ^ ^ ^ ị M —MỊ Mị- 1M y 0, để th iế t lập (|2.1.3|)vào bất đẳng thức ma trận tuyến tính Đ ể thấy điều này, ý Q = - (llc®XXT) = -{I lc® x) Ự k® x) T q = - v e c ( x ( A (0)x - a íữ))T^ = - ự k ® x) {A (ữ)x - a {ữ]) r = —Tr [ ( A ^ x - a ^ ) ( A ^ x - a {ữ))T) = - 1\A^X - a m 112, cho M\ = , M — (/* jẽ, A ^ x — M í A °V h> \ ( - Ả ° b + i L ' = 1Ằ ' V y Khi đó, \ h0m Ằ - Ằ ( - | | è | | 2) - l Ị = Ằ ^ v ) maX(AIIAx — a\\2 < Ằ tương đương với toán bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau: tồn Ằ°, Ằ 1, , X1 > cho / ỉk A (0); t - r t ( 0) Ik ® x *%„+!) \ (A (°)A fl(°))r -*°^ + ị { - Ằ ũb + ị l!j = x Ằj ( oi ) T \ > : = J i - x ữ{ y - \ \ h \ \ ) - ỵ } = xv p j ) □ 26 2.1.1 Bình phương tối thiểu vững Xét toán bình phương tối thiếu (LSP) tính bất định kiện (.LSP) \\Ax —a\\2 vclU" kiện (A,fl) e R kxn X R k bất định thuộc tập bất định ma trận lí Một phần tương ứng vững toán binh phương tối thiểu bất định phát biểu sau : (.RLSP) max 11Ax —a 112 A-eM" ( A, a) eu tìm kiếm nghiệm x e R " mà cực tiểu hóa sai số kiện trường hợp xấu tương ứng với giá trị có (A,a) G lí Đ ỉnh lý 2.1.1 (Đặc trưng (SDP) ỏ nghiệm (RSLP)) Cho X e Đối với toán (RSLP) với u định nghĩa 2.1.1 giả sử k > s + \, k số hàng kiệu ma trận l í s số chiều không gian sinh bỏi (o ) , , (Om}, {A : 11A—Ã\\F < p, (ú)j)TvecA < Pj, j = , Khi đó, X nghiệm (RLSP) (x, Ẳ, Ao, Ằ/) e R" X M X R + X • • • X M+ nghiệm toán quy hoạch nửa xác định tuyến tính sau: {x,Ằ.)€Un xĩ l , kữ, ,kl >0 A(°)x-aW 1/ x < Ịẳ: i Ằ ° /, (Ik ® x ) T \ { A ^ x - a ^ ) T (-Ả°b+ ị YỈj=\ M + ị ^ ỉ -1 ũ)j)T Ằ -Ằ ° (r-||ồ || 2) - ĩ : ' =| xjpj Ằ G I Ằ ° , , X1 > 0, X = (xT, —1)T £ Mn+I, b = vec(Ã) Ỵ = p - T r ( à T Ã) Chứng minh Ta có X nghiệm min^ỊR« maX(4 IIAx —a\\2 tồn Ằ G M” cho (x,Ằ) nghiệm m i n ^ ) GRnxjj ||Ax —a\\2 < X Khi đó, Bổ đề 2.1.1 thấy X e E" nghiệm (RLSP) (x, A, Ằ ° , X 1) £ M" X R X M+ X • • • X M+ nghiệm toán quy hoạch nửa xác định tuyến tính sau (ưitrxR, Ằ ữ f X< Ị Ằ : ị Ik Ik ®x {ỉk®x)T *%„+!) V ( A W x - aM ) T (-Ầ°b+ ị -Ằ°b+ ị l!j=x V 0)j ỵ'j =Ị Ảj (Oj ) T 27 Ẳ - Ằ ° ( - \\b\\2) - z ' j =i PJ J Ằ £ M Ẳ°, , Ằ > □ Xét trường hợp đặc biệt tập bất định, u , (Ị2.1.1Ị),trong / = 1, à = 0, co' = /3' = Trong trường hợp này, lí quy tập bất định chuẩn ma trận có dạng K = {Ẩ° + A :A e lR Ẩ:x(,ỉ+l), I|A||/r < p} (2.1.4) việc kiểm tra toán bình phương tối thiểu vững (RLSP) thiết lập EL Ghoui Lebret [6] Trong hệ sau, nhận đặc trưng SDP tập (RLSP) tập bất định (|2.1.4Ị) H ệ q u ả 2.1.1 (Tính bất định chuẩn ma trận ) Cho X £ R" Đối với toán (RSLP) với u định nghĩa (Ị2.1.4Ị) giả thiết p > Khi đó, ) M" x R x M+ nghiệm (RLSP) (x,Ả,Ằ° X X e K" R + nghiệm toán quy hoạch nửa xác định tuyến tính sau: (A-,Ằ)eK"xR, Ằ°,Ằ' >0 / /*jc A(0^ - ữ (°) ^ Ỉ/C&X / h ^0 , k số hàng kiện ma trận u, (RLSP) khỉ (jt, Ằ, Ằ°, Â/, Ả2) giả thiết G K" X I r ằ n g p > X R+ X Khi đó, X nghiệm R + nghiệm toán quy hoạch nửa xác định tuyến tính sau: ( 4 > s + l Hơn nữa, p > điều kiện tính chấp nhận chặt thỏa mãn A = Do vậy, từ định lí 1.1 suy hệ 2.1.2 □ Bài toán quy hoạch nón bậc hai vững Xét quy hoạch nón bậc hai tuyến tính (SOCP) tính bất định kiện ràng buộc (SOCP) a Tx xeRn thỏa mãn 11B ị X — bị \ \ < dị, ỉ — 1, kiện Ẽ = (Bị, bị) E R kịXn x R k‘ = R kịx(n+1), i — 1, , m bất định phụ thuộc tập bất định ma trận lí/ Một phần tương ứng vững toán nón bậc hai bất định phát biểu sau (RSOCP) aTX x e W' thỏa mãn \ \BịX —bị \ \ < dị, V(fij, bị) G Ui, i = , ,m Chú ý rằng, măc dù (RSOCP), nhìn chung, không dễ kiểm tra lí/ cho giao hữu hạn elipsoids, gần đây, Beck [4] xác định lớp dễ kiểm tra mà Uị mô tả bỏi nhiều k bất đẳng thức toàn phương điều kiện thích hợp 29 Ở đây, xét (RSOCP) trường hợp tập bất định cho giao ràng buộc chuẩn ma trận ràng buộc đa diện, tức là, Ui = {ỗj + A i: e M*(0) ,bị với ẽ\ X R k = ^ kix (n+]) \\M\\F chuẩn Frobenius định nghĩa ||M ||F = ^ T r { M TM) Chúng ta định nghĩa i = , ,m số chiều Si, không gian sinh {co/, , coỊ} Đ ịnh lý 2.1.2 (Đặc trưng SDP nghiệm (RSOCP)) Đối với toán (RSOCP) với định nghĩa Uị (2.1.6) Giả sử rằng, với i = , ,m, ki > Sj + {À; : ||A; —Ã/ll/r < p h {(ởịyvecAị < /3/, j = 1, Ỷ 0- Một điểm X G nghiệm (RSOCP) (x, X\, ,Ằm) £ M" X MỈị+l X ••• X R /" + nghiệm toán quy hoạch nửa xác định tuyến tính sau: ■' I h ® X (lkị® x ) T Ằ'0 Ikị(n+i) *1I -ự h + ị eJ_, xỊ a>i I b() Ị V (b\0)x - b{f ])T (-xfbi + ị eJ =1 ằ/ (ữị)T d? - ự(ỹ; - \\bi\\2) - ĩ!j=, ằ/ , (2 1.8) Ớ = {(ờl)((ớly , / = \ Hệ q u ả 2.1.4 (Giao điểm bất định nhiều elipsoids) Cho X £ M" Đối với toán (RSOCP) với Ui định nghĩa (2.1.8Ị) giả sử Pi > Một 31 điểm X e Mn nghiệm (RSOCP) (x , Ằ\, , Xm) e M" X Mị* X ••• X nghiệm toán quỵ hoạch nửa xác định tuyến tính sau: mi n Ằ° [ ị «!0>'- " ! 0) >t, 'I ì ('*,■«flr ĩ t e */-£?:! v +1" '» ') t0 - i/ 0,i7' j(e* ịỊ 1/ -eỊ.ịỊữ*k~'ai)T j Ị - lỹeỊ- ĩ* ; Ị i/+ ĩ* ;Ị xỉ*k~ ') \ x “rj:: ( Xị — (Ằ^, , ằ Ị) G , i — 1, , m, X — (XT, —l ) G M/l+1 Chứng minh Cho kị — k — 1, Ảị — 0, CởỊ — —COlị +k~ ] — (ở1 Ị5Ị — —p li +k~ ] — 1, 1— , ,2 kị, ỉ — , ,m Khi đó, Sị không gian sinh {cơ1, , co2^ -1 )}, Sj < k — 1, vậy, kị = k > Si + Hơn nữa, Pi > 0, điều kiện tính chấp nhận chặt thỏa mãn À = Do vậy, từ định lý trước ta suy kết luận 2.2 □ Mở rộng nghỉên cứu thêm Xét hệ hàm toàn phương, f ( x ) — x T A x + a TX + , go ( x ) — I\x — XQ112 — a gi(x) — 11JC112 + bỊx —Pi ,ỉ = 1, ,m A E S,ỈX,Ỉ, B £ M/x/í với / e N ữ, Xo, Pi £ R n Trong trường hợp này, xét điều kiện số chiều mở rộng sau dim(Ker(A - Xmin(A)In) n K e r { B ) ) > + (2.2.9) s số chiều không gian sinh { b ị , , bm } Rõ ràng, ma trận B 0, hệ toàn phương điều kiện số chiều mở rộng hệ toàn phương điều kiện số chiều liên kết với nó, nghiên cứu Mục 2-4 chương M ặt khác, trường hợp B có hạng n, không cần điều kiện số chiều (Ị2.2.9Ị) M ệnh đề 2.2.1 (Tính lồi ẩn hệ toàn phương tổng quất) Cho f ( x ) — X T Ax aTx + , go(x) — 11* —X()||2 — a gi(x) — ||5 x ||2 + bjX — Pi, ỉ — + A G S"x", B G M/x" với l G N a, Xo; bị G M", , Oí, j8/ G M Giả sử điều kiện số chiều (Ị2.2.9Ị) thỏa mãn Khi đó, go, g í , , g m ) : = { ( / w , g o W , tập lồi 32 : x g M " } + R + +2 Chứng minh Như chứng minh Định lý 1.2.1 giả sử mà không tính tổng quát A không nửa xác đ ịn h dương Định nghĩa h bỏi h(x) — minx^ỵn ị f ( x ) — I\x —X()112 < a + r, IịBxị |2 + bjX < /3 + Si, i — , , ra} X € D : — {rĩs]ì ìsm : I|jc —JCo112 < a + r, \\Bx\\2 bT ị X < Pi + SịVố i X b ấ tk ì,x E M " } h(x) = +oonếu XỆD Chứng minh tương tự Định lí 1.2.1 t a c ó ( / , go, = epỉh Hơn nữa, h lồi toán cực tiểu hóa { f ( x ) - Xmin (A) I\x - Xo 112 : I\x - x 112 < a + r, I\Bx\\2 + bỊX < Pi + Si} đạt cực tiểu X G với I |jc —Xo112 = Oí + r I |5jt| 12 + b j x < Pi + S ị Thật vậy, toán tối ưu có điểm cực tiểu hình cầu Suy tồn V G IR/ỉ\{ } cho V € í n bỉ j n KeM - ( 2 10) {À)In)C\Ker(B) Trái lại, ( n r bf=Ị) n Ker(A — Ằ,min(A)ỉ„) n Ker(B) — {0} Khi đó, suy điều kiện số chiều mở rộng chúng ta, dim(Ker(A — Ằmin(A)In ) n Ker(B)) > + s số chiều không gian sinh { b \ , , bm}, n + = (s + 1) + (n —s) < dỉm(Ker(A —Ảnìin(A)InnKer(B)) + dim = dim ịfCer(A —Ảmin(A)In) nKer(B)) + Pl í n b t n Ker ( A - xmì„(A)I„ n Ke r( B) ] điều không xảy Do vậy, tương tự định lí 1.2.1 ta suy kết luận □ Gần đây, [2], tác giả xét toán miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính bổ sung: (P2 ) min{xTAx + aTX : I\x —Xo112 < cc, b \ x < P\ } chứng tỏ đối ngẫu mạnh thỏa mãn ( Pị ) dim(ker(A —Xmin (A ) I n ) > Mở rộng điều này, xét tối ưu toàn phương sau với ràng buộc toàn 33 phương lồi bổ sung (GP2 ) min{xTA x aTX : \\x —xo ||2 < Cí, ||5 x ||2 + b \ x < P \ } Tương tự chứng minh mục 1.3 chương sử dụng mệnh đề trước, rút nới lỏng SDP kết đối ngẫu mạnh (GP\ ) điều kiện số chiều dỉm(Ker(A —Xmin(A)In) n Ker(B)) > Tuy nhiên, cần ý rằng, điều kiện số chiều không cần phải thỏa mãn B có hạng n (điều kiện số chiều không gian bản) Thật vậy, B có hạng n, ví dụ đưa [8], trang 263 EX 1] cho thấy mô hình (GP2 ) nới lỏng xác đối ngẫu mạnh tổng quát Đ ịnh lý 2.2.1 Đối với toán (GP2 ), giả sử dim(Ker(A —Ả„ị„(A)I„) n Ker(B)) > Khi đó, {GP2 ) đạt nới lỏng SDP xác Hơn nữa, thêm giả thiết tồn X cho ||jẽ —X()||2 < 0^ VÀ ||# x ||2 -\-bT xx < P\ Khi đó, thỏa mãn đối ngẫu mạnh toán (GP2 ), tức là, m in = { x TAx-\- aTX : I |jc — JCO112 < a , ||5 a : ||2 + b]x < ) max ịXTAx + a Tx +Ả o dị x —xo\\2 —ot) + Ả] (\\Bx\\2 + b ĩ X —B] )} Ao,A|>OxeM" L J Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2.2 giả định dim(Ker(A —Xmin (,A)In)r\Ker(B)) > 2, thấy ( / , go, g i ) lồi f ( x ) = x TAx + aTX, go(x) = II* — Xo 112 —Ci gi (x) = I\Bx\\2 + b \ x — P \ Vì vậy, kết luận tương tự Định lí 1.3.1 kết luận thứ hai tương tự Định lí 1.4.1 Hệ 1.4.1 □ Ví d ụ 2.2.1 Xét toán cực tiểu hóa toàn phương sau (p) —x2] —x ị —xị —2x\ thỏa mãn x2ị + xị + xị + X] < 1, x2ị +X\ < Bài toán toàn phương viết (GP2 ) với f( x ) = = ( - , , ) , g (x) = || r - r ||2 - a với x = X T Ax + aTX với A = —/3 ( - ị , 0,0), a = I gi (x) = / 0o\ I|5x| |2 + b ] x —P\ với B = 0 , b\ = (1,0,0) j8ị = Dễ dàng thấy \0 0j 34 X — (—ị , , ) r điều kiện tính chấp nhận chặt thỏa mãn dim(Ker(A —Xmịn{A)ỉn) П Ker(B)) — Tiếp theo, chứng tỏ thỏa mãn nới lỏng SDP xác đối ngẫu mạnh Đ ể thấy điều này, ý rằng, với điểm X chấp nhận X = (xi ,х ,хз), ta có —x ị - x ị > x \ - \ - x \ — —1 < Xị < vậy, —x 2ị —x ị —xỊ — 2x\ > —X] — > —1 Vì vậy, dễ dàng thấy giá trị tối ưu (P) -1 (0 ,1 ,0 ) điểm cực tiểu toàn cục Cho Ao = Ằi = Khi min{f(x) + AogoC*) + M } — tnỉnịxị — 1} = —1 = min(p) Do vậy, bất đẳng thức max(D) < min(SDRP) < min(p) có nghĩa thỏa mãn nới lỏng SDP xác đối ngẫu mạnh 35 K Ế T LUẬN Trong đề tài em trình bày tính chất toán miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính với úng dụng chúng Nội dung khóa luận là: Tính lồi ẩn miền tin cậy mỏ rộng Sự nới lỏng SDP xác Tính tối ưu toàn cục đối ngẫu mạnh ứ n g dụng vào tối ưu vững Hơn nữa, sau thời gian tìm hiểu phần mềm soạn thảo văn Latex, khóa luận trình bày hoàn thiện phần mềm Tuy nhiên, thời gian thực đề tài khóa luận không nhiều, có sai sót em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc 36 [...]... rằng, đối với bài toán mô hình miền tin cậy mở rộng với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính, Hệ quả 1.4.1 của chúng ta cho thấy rằng tỉ lệ giữa giá trị tối ưu của bài toán cơ bản và bài toán sự nới lỏng SDP liên kết với nó là một khi điều kiện số chiều đã được thỏa mãn Xét một bài toán tối ưu toàn phương không lồi sau với một ràng buộc chuẩn và một ràng buộc tuyến tính : (p2) min хеш" xTAx + aTx \\x... 14 Bài toán mô hình của dạng này xuất phát từ ứng dụng của phương pháp miền tin cậy đối với sự cực tiểu hóa cuả một hàm phi tuyến với ràng buộc gián đoạn Ví dụ, xét bài toán xấp xỉ miền tin cậy min хежп X Ax + a X thỏa mãn ||jt —JCo112 < а , bTX 6 { 1 , - 1 } Sự nới lỏng liên tục của bài toán trở thành min xTAx + aTx thỏa mãn I|jc —JCo112 < а , 1 < bTX < 1 , trong đó, lần lượt, tương ứng đến (Pq) với. .. chiều của không gian con sinh bởi { b \ , , bm}, là n + 1 = (s + 1) + (n —s) < dỉm(Ker(A —Ảnìin(A)InnKer(B)) + dim = dim ịfCer(A —Ảmin(A)In) nKer(B)) + Pl í n b t n Ker ( A - xmì„(A)I„ n Ke r( B) ] điều đó không xảy ra Do vậy, tương tự như trong định lí 1.2.1 ta suy ra kết luận □ Gần đây, trong [2], tác giả đã xét bài toán miền tin cậy với một ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính bổ sung: (P2 ) min{xTAx... toán quy hoạch tuyến tính nửa xác định và do vậy có thể giải được một cách hữu hiệu, trong khi bài toán (P) ban đầu là một quy hoạch toàn phương không lồi với nhiều ràng buộc, nói chung, là một bài toán tính toán khó Vì vậy, ta nghiên cứu vấn đề này khi sự nới lỏng nửa xác định là chính xác theo nghĩa rằng min(P)= min(SDRP) Nếu A là nửa xác định dương, thì bài toán (P) là bài toán tối ưu toàn phương... lập đối ngẫu mạnh cho (P\ ) tương tự như đã được thiết lập trong [2 ] Hệ q u ả 1.4.2 ịMô hình miền tin cậy với ràng buộc tuyến tính duy nhất) Đối với bài toán (Pị), giả sử rằng dim(Ker(A —Ằmịn( A ) / , ; ) ) > 2, và giả sử rằng tồn tại X sao cho ||x —X()||2 < a và b \ x < ß \ Khi đó, đối ngẫu mạnh thỏa mãn đối với (P\), nghĩa là, min ỊxTAx + атX : lljt —JCo112 < 01, b ĩ x < ß ] \ J Л-€М" 1 = max min... b \ x —ị3i với b\ = 1 và P\ = 0 Rõ ràng, dimKer{A —Ằmịn(A)In) = 1 < 2 = dim s p a n ị b ị } + 1 Sự nới lỏng SDP của (EP\ ) được cho bởi (.S D R P e ỉ ) min -Zỉ+Z2 Xes2 thỏa mãn Zi — 1 < 0 —Z2 ... toán miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính P h ạm vi nghiên cứu Do thời gian không nhiều nên khóa luận tìm hiểu số điều toán miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính Bố... Bài toán mô hình dạng xuất phát từ việc áp dụng phương pháp miền tin cậy nghiệm toán tối ưu ràng buộc, ví dụ toán quy hoạch phi tuyến với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính, toán tối ưu phi tuyến. .. phần làm rõ tính chất ứng dụng toán miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính M ục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận nhằm trình bày hai mặt mạnh hữu ích toán miền tin cậy cổ điển tiếp