Khoá luận tốt nghiệp toán bài toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính

M ục đích ngh iên cứ u Mục đích của bài khóa luận nhằm trình bày hai mặt mạnh và hữu ích của bài toán miền tin cậy cổ điển tiếp tục được thỏa mãn cho bài toán miền tin cậy mở rộng với rà

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của bài khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới Thạc sỹ Hoàng Ngọc Tuấn người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận này

Xuân Hòa, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

N guyễn T hị Toán

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng em Trong khi nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình nào khác

Xuân Hòa, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

N guyễn T h i Toán

2.1.1 Bình phương tối thiểu vững

2.1.2 Bài toán quy hoạch nón bậc hai vững

M ở rộ n g và nghiên cứ u thêm

K ết lu ậ nTài liệu th a m k h ảo

44

5

10

16 242427293236372

1.Lí do chọn đề tà i

Ngày nay, bài toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính đã được quan tâm nghiên cứu rất nhiều cả về lý thuyết lẫn ứng dụng trong thực tiễn Mô hình bài toán này được phát triển mở rộng từ bài toán miền tin cậy cổ điển Bài toán miền tin cậy, tìm cực tiểu của hàm toàn phương không lồi trên một hình cầu, là bài toán con quan trọng trong phương pháp miền tin cậy để giải bài toán tối ưu phi tuyến Nó

có được nhiều tính chất quan trọng ví dụ như sự nới lỏng quy hoạch tuyến tính nửa xác định (sự nới lỏng SDP) chính xác và đối ngẫu mạnh Với việc chọn đề tài này

em mong muốn sẽ góp phần làm rõ tính chất và ứng dụng của bài toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính

2 M ục đích ngh iên cứ u

Mục đích của bài khóa luận nhằm trình bày hai mặt mạnh và hữu ích của bài toán miền tin cậy cổ điển tiếp tục được thỏa mãn cho bài toán miền tin cậy mở rộng với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính dưới một điều kiện số chiều mới Đầu tiên, chúng ta thiết lập rằng lớp của bài toán miền tin cậy mở rộng có sự nới lỏng SDP chính xác là thỏa mãn mà không cần ràng buộc tiêu chuẩn Slater Thứ hai, chúng ta chỉ ra rằng điều kiện số chiều cùng với điều kiện Slater đảm bảo rằng một tập hợp của các nhân tử Lagrange bậc một và bậc hai kết hợp là cần và đủ cho tối ưu toàn cục của bài toán miền tin cậy mở rộng và cho đối ngẫu mạnh Cuối cùng, chúng ta chỉ ra rằng điều kiện số chiều là dễ dàng thỏa mãn cho mô hình miền tin cậy mở rộng sinh ra từ sự sửa đổi của bài toán bình phương tối thiểu vững LSP cũng như bài toán mô hình quy hoạch nón bậc hai vững

Bố cục của bài khóa luận bao gồm hai chương

• Chương 1 của khóa luận trình bày tóm tắt về cd sở lí thuyết bao gồm: tính lồi ẩn, sự nới lỏng SDP chính xác, tính tối ưu toàn cục và đối ngẫu mạnh của bài toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính và minh họa chúng bằng một số ví dụ

L Ờ I M Ở ĐẦU

• Chương hai của khóa luận tập trung trình bày ứng dụng của bài toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính Đăc biệt chú trọng đến ứng dụng vào tối ưu vững của bài toán bình phương tối thiểu cũng như bài toán mô hình quy hoạch nón bậc hai.

Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Cơ sỏ lí thuyết

1.1 Giới thiệu chung

Xét bài toán mô hình miền tin cậy mỏ rộng với ràng buộc bất đẳng thức tuyếntính

0, ỉ' = 1 , ., m Bài toán mô hình của dạng này xuất phát từ việc áp dụng phương

pháp miền tin cậy đối với nghiệm bài toán tối ưu ràng buộc, ví dụ như bài toán quy hoạch phi tuyến với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính, bài toán tối ưu phi tuyến với các biến rời rạc [1], và bài toán tối ưu vững dưới chuẩn ma trận hoặc tính bất định đa diện [4]

Trong trường hợp đặc biệt của (P) trong đó (bị, Pi) — (0, 0), nó là mô hình

miền tin cậy nổi tiếng, và được nghiên cứu rộng rãi từ lý thuyết đến thuật toán Bài toán miền tin cậy cổ điển có được sự nới lỏng quy hoạch nửa xác định (sự nới lỏng SDP) chính xác và thừa nhận đối ngẫu mạnh Hơn nữa, nghiệm của nó có thể tìm bằng cách giải một hệ Lagrangian đối ngẫu Thật không may, những kết quả này, nói chung, không còn đúng với mô hình miền tin cậy mở rộng (P) của chúng ta Thật vậy, ngay trong trường hợp đơn giản nhất của (P) với ràng buộc bất đẳng thức

tuyến tính duy nhất, đã được chỉ ra rằng sự nới lỏng SDP là không chính xác [2] Tuy nhiên, trong trường hợp cho ràng buộc bất đẳng thức duy nhất, đối ngẫu mạnh

và sự nới lỏng SDP chính xác thỏa mãn dưới một điều kiện số chiều

1.2 Tính lồi ẩn của miền tin cậy mỏ rộng

Trong phần này, chúng ta nhận được tính chất về tính lồi ẩn quan trọng của hệ toàn phương miền tin cậy mở rộng cái mà giữ vai trò quan trọng trong nghiên cứu của chúng ta về sau về sự nới lỏng chính xác và đối ngẫu mạnh

Chúng ta bắt đầu bằng cách đặt các kí hiệu và định nghĩa sẽ được sử dụng về sau trong bài khóa luận Đường thẳng thực được kí hiệu bởi M và không gian Euclicle

thực n chiều được kí hiệu là M'2 Tập tất cả các vec-tơ không âm của R n được kí hiệu bởi R n + Không gian tất cả m a trận thực đối xứng cấp (n X n) được kí hiệu là

s nxn M a trận đơn vị cấp (n X rì) được kí hiệu bởi In Kí hiệu A y B có nghĩa là ma

trận A — B là nửa xác định dương Tuy nhiên, kí hiệu A y B là xác định dương Tập bao gồm tất cả các ma trận nửa xác định dương cấp n X n được kí hiệu là S" Cho

A, B e s nxn Tích trong của A và B được kí hiệu bỏi A • B = ị ị aịjbịj, trong

đó dịj là phần tử nằm ỏ dòng i cột j của A và bịj là phần tử nằm ở dòng i cột j của B Một sự kiện hữu ích về tích trong là A • (xx;7 ) = XT AX với mọi x G K " và A £ S'ỈX'\ Cho một ma trận A G s nxn, đặt Ker(A) := { d G R" : Ad = 0} Với một không gian

con L, người ta sử dụng dim L để kí hiệu số chiều của L

M ện h đề 1.2.1 Cho f(x) = xTAx + a Tx + 7, go(x) — II* — *o||2 — OL và gi(x) =

b j x — /3/, i = 1 , , ra, A G S'ỈX", a , Xo, bi G R ” VÀ 7, a , Pi £ R, i = 1 , , m Khi

N ghĩa là, (г, 50, S |, , S W) e ơ ( / , go, g \ , • • • ,8m)-D o vậy, ơ ( / , go, g l , , gm) là

Ví dụ một chiều đơn giản sau chứng tỏ rằng tập ơ ( / , go, g \ , , g m), nhìn

chung, không là tập lồi

V í dụ 1.2.1 (Tính không lồi của ơ ( / , go, g i , ,gm)) Đối với (P), cho n = 1, m —

1, f ( x ) = x — x2, go(jt) = x 2 — \ v àg i (;t) = —X Khi đó, f ( x ) = x TAx + а тX + r với

A = -1, a = 1 và r = 0, g o M = \ \x — *o||2 — Oí với Xo = 0, a = 1 v àg i (jc) = b \ x — ß\ với b\ — 1 và ßi — 0

Khi đó, tập ơ ( / , go, g i) không là tập lồi Đ ể thấy điều này, ta chú ý rằng / ( 0) = 0, go (0) = - 1 vàgi(O ) = O v à / ( l ) = 0, g o (l) = 0 v à g i (1) = - 1 Do vậy,

(0, —1,0) G u ( f , go, 8 \) và (0, 0, - 1 ) G U ( f , go, g i) Tuy nhiên, trung điểm của chúng (0, — ị , — ị ) ị u ( / , go5 g I )• Trái lại, tồn tại X G M sao cho

X — X < о, X — 1 < — — v à — X < — -

Dễ dàng kiểm tra rằng hệ bất phương trình trên vô nghiệm Đây là một mâu thuẫn,

và do đó ( 0 , - ị , - ị ) ệ u ( f , go, gi) Do vậy, ơ ( / , go, g\ ) là không lồi.

Các điều kiện về số chiều sau đóng một vai trò quan trọng trong phần còn lại

của bài khóa luận Nhắc lại rằng với mọi ma trận A £ s n, Ằmin(A) kí hiệu giá trị

riêng nhỏ nhất của A

Đ ịnh ng h ĩa 1.2.1 (Điều kện số chiều) Xét hệ của hàm số f ( x ) — XTAx + a Tx + 7, go(;t) = ||jt — xo||2 — Of 5 8i(x ) — b ] X — ßi, i = 1 ,w, trong đó A G s nxn, a , Xo, bi €

M" rà 7, a , ßi £ R , i = 1 , ,ra Cho s là số chiều của không gian con sinh bởi

Khi đỏ, chúng ta nói rằng điều kiện số chiều thỏa mãn hệ khi

tro n g đ ó D = {( r ,S \f, ,sm) : I|jc — Xo112 < ОС + г, b j x < ßi + Si, đ ố i với J c G l " }

Đ ịnh lý 1.2.1 [Đều kiện số chiều dẫn t ớ i tính lồi ẩn] Cho f ( x ) — X T Ax + а тX +

7, go w = ||x —*o||2 — a và giịx) = b f x — ßi, i — 1 ,ra, A G s nxn, a, X(), bị € шп

và Ỵ, ОС, Д- € м , i = 1 , ., т Giả sử rằng điều kiện số chiều ị 1.2.2 ) là thỏa mãn.

Khi đó,

u ( / , go, g i , , g m) := { ( /( * ) , g o W , gi (■*)>• ■■>£«(*)) : XG Mn} + M++2

là một tập lồi.

Chứng minh Đầu tiên chúng ta chú ý rằng, nếu A là nửa xác định dương, thì

/ , gi, i = 0 , 1 , , m là các hàm lồi Do vậy, trong trường hợp này Ư ( / , go, g 1, , gm )

luôn là lồi Vì vậy, chúng ta có thể giả sử rằng A không là nửa xác định dương và

do đó Ằmin(A) < 0.

[U (/, go, g i , , g w)] = epỉ h Cho D = {(r, : | | x - * o||2 < « +

r, b j X < ßi + 5/} với X e Mn} Rõ ràng, D là một tập lồi Khi đó, theo định nghĩa,

chúng ta có u ( / , go, g i , , gm) = epih.

[Tính lồi của h àm giá tr i h] Đ ể thấy điều này, ta khẳng định rằng, với mỗi

(r, S \, , sm ) G D , bài toán sự cực tiểu hóa

min {/(*) - xmịn (A) 11* - Xo 112 : I \x - * 0112 < « + r, bỊX < ßi + Si}

Chú ý rằng

F(x) := f ( x ) - hùn (A) I \x - Xo 112

— X (A Ằmỉ/7 -I- ( ứ- ị -2 ằ ot/jị ( A ) x o ) Ằmỉ/7( A ) I Ị.XO Ị Ị )

là một hàm lồi, và do vậy, (r,5i , , s m) I—y minxelK« { F ( x ) : \\x — X()||2 < a + r, b j x <

pi + V,-} cũng là lồi Suy ra rằng

(r, S \ , , sm) I-» min { f ( x ) : I \x — Xo 112 < a + r, bỊ X < p + 51/, ỉ' = 1 , ., m}

x e R n

là lồi Do đó, h là lồi, và như vậy, u ( / , go, g b • • • ì8m) = epi h là lồi.

[Cực tiểu đ ạ t được trê n h ìn h cầu] Chúng ta tiến hành chứng minh theo

p h ư ơ n g p h á p p h ả n c h ứ n g v à g i ả s ử r ằ n g m ọ i đ i ể m c ự c t i ể u X* c ủ a

thỏa mãn I ịx* — XQ112 < a + r và b j X* < /3; + Sị Ta chú ý rằng tồn tại V € R n\{ 0 } sao cho

[Trái lại, ( n - l , b-}-) n Ker(A — 7imin(Ạ)In) — {0} Nhắc lại rằng điều kiện số chiều của chúng ta là dimKer(A — Xmin(Á)In) > 5+ 1, trong đó s là số chiều của không gian con sinh bởi {^1, Khi đó, từ định lý số chiều suy ra

n + 1 = ( 5 + 1) + (72 - s)

điều này là không thể và do đó (|l.2 3 |) là đúng], c ố định bất kì điểm cực tiểu X* của

min^ỊK» {F(x) : I\x — JC0I|2 < Oí + r, b Ị x < Pi + 5/} Bây giờ, ta xét hai trường hợp:

Trường hơp 1, (a + 2Xmin(A)xq)t v — 0; Trường hơp 2, (a + 2Xmin(A)xo)r V Ỷ 0- Giả sử trường hợp 1 đúng, tức là, (a + 2Ằmin(A)xo)TV = 0 Xét x(ỉ) = X* + ỉv

Vì I \x* — Xo 112 < Cí + r nên tồn tại to > 0 sao cho I \x(to) — JCo 112 = Oí + r Chú ý rằng

m in {F(x) : I \x — X()112 < a + r, b j X < pị + Sj}

(1.2.3)

= dim Ker(A - Ằmin(A)In) + f b ị n Ker(A - Xmịn(A)In)

< dimKer [A — Xmin [A)Ịn) + dir

F(x')-Điều này mâu thuẫn với giả sử của chúng ta rằng X* là điểm cực tiểu bất kì của

minxGK» (F(jc) : \\x — xo||2 < a + r, b j X < Pi + Sị} thỏa mãn \\x* — X()||2 < a + r.

Giả sử trường hợp 2 đúng, tức là, (a + 2Ằnìin(A)xo)TV Ỷ 0- Bởi phép thế V với

-V n ế u c ầ n t h i ế t , c h ú n g t a c ó t h ể g i ả s ử m à k h ô n g l à m m ấ t t í n h t ổ n g q u á t r ằ n g

(ạ + 2Xmin(A)TX())TV < 0 VI I|jc* — JC()112 < a + r tồn tại to > 0 sao cho \\x(t) —

*0112 < a + r với mọi t G (0, í()] Chú ý rằng bjx(to) — b j (x* + íov) = b Ị X* < /3/ + Si

Như một hệ quá, chúng ta suy ra tính lồi ẩn của hệ miền tin cậy nổi tiếng

Hệ q u ả 1.2.1 Cho f(jt) = XT Ax + a TX + 7 và go(x) = I — JCo112 — OIÍ trong đỏ

A e S'ỈX", ứ, *0 E K” và 7, ơ, G M Khi đó, u ( / , go) là lồi.

Chứng minh Cho bị = 0, ỉ — 1 , ,ra (do vậy, số chiều của không gian con sinh

Kún{A)In) > 1 là luôn được thỏa mãn Do vậy, Định líjl.2.ljchứ ng tỏ u ( / , go) luôn

trong đó rank(X) kí hiệu hạng của ma trận X và Xn+\_n+\ là phần tử của X nằm ở

dòng thứ n+1 và cột thứ n +1 Bỏ đi ràng buộc hạng là một, chúng ta thu được sự nới lỏng nửa xác định của (P) như sau

Xes'ị+I

t h ỏ a m ã n T r ( H QX ) < 0 ,

Tr(HịX) < 0, i = 11+ 1 ,n+ 1 1 •

Bài toán sự nới lỏng nửa xác định (SDRP) là một quy hoạch lồi trên một không gian

ma trận Bài toán đối ngẫu lồi có thể được phát biểu như sau

Nếu A là nửa xác định dương, thì bài toán (P) là bài toán tối ưu toàn phương lồi đã được biết đến với những tính chất tốt ví dụ như đối ngẫu mạnh và và sự nới lỏng chính xác Vì thế, từ bây giờ , chúng ta giả thiết rằng A không là nửa xác định dương và do vậy, có ít nhất một giá trị âm

Đ ịnh lý 1.3.1 (Sự nới lỏng SDP chính xấc) Giả sử rằng điều kiện số chiều ị 1.2.2)

được thỏa mãn Khi đó, sự nới lỏng nửa xấc định là chính xấc, tức là, min (P) = min(SDRP).

có quãng cách đối ngẫu giữa (P) và (D) dưới điều kiện số chiều Ý nghĩa rằng ta chứng tỏ rằng hàm giá trị tối ưu của (P)

v ( s q , s \ , , s m ) i n f ị x T A x + a T X : \ \ x — J t()||2 < a + So,

JCGR"

b j x < Pi + Si, ỉ =

là nửa liên tục dưới và là hàm lồi trên Mm + 1 Đ ể thấy điều này, chúng ta lưu ý rằng

e p i v = u ( f , go, g i , , g m) trong đó f ( x ) = xTAx + aTX, g o W = ||* - * o || - «

và gi (x) = b j X — /3/, ỉ = 1 , ., m Vì vậy, từ M ệnh đề 1.2.1 epi V là một tập lồi, và

do vậy V là một hàm lồi Tính liên tục dưới của V sẽ được suy ra từ Mệnh đề 1.2.1

vì £ /( /, go, g i , , g w) là một tập đóng.

Ịmin(P) = min(SDRP)] Bằng cách xây dựng của bài toán sự nới lỏng (SDP) bài toán (SDRP) và đối ngẫu (D), chúng ta dễ dàng thấy rằng

min(p) > mỉn(SDRP) > max(D).

Như vậy không có quãng cách đối ngẫu giữa (P) và (D), chúng ta rút ra được min(P)

Hj, ỉ — 1 , ,m được định nghĩa như trong ( 1.3.4> Điều này dẫn tới

Vì x k >: 0, chúng ta có Yk — y k(ỵk) T >: 0 Do vậy,

l l / l l2 = Tr(yk(yk)T) < Tr( Yk) < - | M |2 + a + 2 ( / ) 7*0

Do vậy, ỵ k là bị chặn, và do đó Tr(Yk) cũng là một dãy bị chặn Theo đó, cả Yk

và y k đều bị chặn Điều này kéo theo x k là bị chặn, mâu thuẫn với thực tế rằng

Cần lưu ý rằng tính lồi của tập u ( / , go ->g IJ • • • J gm) giữ một vai trò quan trọng

trong việc xây dựng sự nới lỏng SDP chính xác của (P) Tuy nhiên, như chúng ta thấy trong các ví dụ sau đây, tính lồi không suy ra rằng bài toán (P) tương đương với bài toán tối ưu lồi theo nghĩa chúng có cùng tập nghiệm tối ưu

V í d ụ 1.3.1 Xét f ( x ) — X 2 , go(x) — X2 — 1 và gi (jt) = —X2 + 1 Ta kiểm tra rằng

u ự , go, gì ) = {02, X2 - 1, - x2 + 1) : x e M} = {(z, z - 1, - z + 1) :z > 0},

là đóng và là tập lồi Nói cách khác, bài toán tối ưu tương ứng min^eK{(x 2 :x2 - ì <

0, —X2 + 1 < 0)} không thể tương đương với bài toán tối ưu lồi vì tập nghiệm của

nó là { — 1, 1} không là tập lồi

Một mặt mạnh hấp dẫn của kết quả sự nới lỏng SDP của chúng ta là sự chính xác của nó độc lập với điều kiện Slater Ví dụ sau minh họa rằng sự nới lỏng SDP của chúng ta có thể chính xác mà không cần điều kiện Slater

v í d ụ 1.3.2 (Sự nới lỏng SDP chính xác mà không cần điều kiện Slater) Xét bài toán tối ưu toàn phương ba chiều với hai bất đẳng thức tuyến tính

(X| ,X2,X3)gR3thỏa mãn (xi — 1 )2 + xị + xị < 1,

(1 ,1 ,1 ) và = p 2 — 0 Rõ ràng, điểm chấp nhận được duy nhất là (0,0,0) và do

vậy, min(EP) = 0 Chúng ta cũng chú ý rằng không cần điều kiện Slater Cho không

gian con sinh bởi { b ] , b 2 } có số chiều s = 2 Chúng ta thấy rằng

dimKer(A — Ằmin(A)In) = 3 = s + 1.

Do vậy, điều kiện số chiều được thỏa mãn

Nói cách khác, sự nới lỏng (SDP) của (EP) được cho bởi

Điều này cho biết rằng

-2 z 4 < Z\ - 2 z 4 + Z5 + Z8 < 0

và do vậy Z 4 > 0 Vì Z 4 < 0, chúng ta có Z 4 — 0 và do vậy z 1 + Zs + Z8 < 0 Do đó,

Zị = Z 5 — Z8 = 0 và Zi — Z 9 — 0 VI vậy, m in( SDRP e ) = 0 = min(EP).

Trong phần sau, chúng ta sử dụng bài toán tối ưu toàn phương một chiều đơn giản để chứng tỏ rằng sự nới lỏng SDP có thể không chính xác nếu điều kiện số chiều đầy đủ (1.2.2) của chúng ta không được thỏa mãn

V í d ụ 1.3.3 (Tầm quan trọng của điều kiện số chiều đầy đủ) Xét bài toán sự cực tiểu hóa

Rất dễ dàng thấy rằng m in (£'P i) = 0 và min(SDRPE\ ) = — 1 Do vậy, sự nới lỏng

SDP của (EPị) là không chính xác.

Xét bài toán tối ưu toàn phương với một ràng buộc chuẩn và một ràng buộc bất đẳng thức toàn phương hạng một

Bài toán mô hình của dạng này xuất phát từ ứng dụng của phương pháp miền tin cậy đối với sự cực tiểu hóa cuả một hàm phi tuyến với ràng buộc gián đoạn Ví

dụ, xét bài toán xấp xỉ miền tin cậy

trong đó, lần lượt, tương ứng đến (Pq) với r — 1

Sự nới lỏng SDP của (ffo) được cho bỏi

H ệ q u ả 1.3.1 (Mô hình miền tin cậy với ràng buộc hạng một) Giả sử rằng dimKer(A

Knin{A)In) > 2 Khi đó, sự nới lỏng nửa xác định là chính xác đối với (P q ), nghĩa là, mỉn(Po) = min(SDRPo).

Chứng minh Chú ý rằng (bTx )2 < r là tương đương với —y / r < bTX < y/r Trong

trường hợp này, điều kiện số chiều của Định lí 1.3.1 quy về giả thiết rằng

dimKer(A — Ằmin (A)In) > dim s panịb, —b} +

Hệ quả được suy ra từ Định lý 1.3.1 và thực tế rằng không gian con sinh bởi {/?, —b}

1.4 Tối ưu toàn cục và đối ngẫu mạnh

Trong phần này, chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để tối ưu toàn cục cho (P) và nhờ đó, đạt được đối ngẫu mạnh giữa (P) và (D) khi điều kiện số chiều được thỏa mãn và điều kiện Slater đúng đối với (P)

Đ ỉnh lý 1.4.1 (Điều kiện cần và đủ của bài toán tối ưu toàn cục) Đối với (P),

giả sử rằng tồn tại X £ với I — X()||2 < a và bjX < /3n i — 1 , , m, và giả

sử rằng điều kiện số chiều trong ị 1.2.2) là thỏa mãn Cho X* là điểm chấp nhận được của (P) Khi đỏ, X* là điểm cực tiểu toàn cục của (P) khi và chỉ khi tồn tại

(A<), X\ , , Xm) G M++ 1 sao cho điều kiện sau thỏa mãn:

2 (( A + ẰqI„)x*) = - ( a + 2 Ả{)(x* - X o )

A<)( Il-XT* — -XTo112 — oc) = 0 và Ằị(bjx* — Ị5ị) = 0,

Chứng minh [Điều k iện cần đ ể tối ư u] Cho X* là điểm cực tiểu toàn cục của (P)

Khi đó, hệ bất phương trình sau vô nghiệm:

I I * - -XoH2 < 0^5 b Ị X < f t , i = 1 , , m , X T A x - \ - a T X < ( x * ) T A x * + a T x *

Đặc biệt, cho 7= — + a TX*), hệ bất phương trình sau cũng vô nghiệm:

II*- *o||2 < OÉ, bjX < Pi, i — 1 , ,m, XTAx + a Tx + 7 < 0.

Ư ( f , go, g i, •••,£»,) := { ( /0), goO ), gi gmO)) : x e R n} + R n Ị +2