Bình phương tối thiểu vững

Xét bài toán bình phương tối thiếu (LSP) dưới tính bất định dữ kiện (.LSP) min \\Ax — a\\2

v c l U "

trong đó dữ kiện (A,fl) e R kxn X R k là bất định và nó thuộc về một tập bất định ma trận lí. Một phần tương ứng vững của bài toán binh phương tối thiểu bất định có thể được phát biểu như sau :

(.RLSP) min max 11Ax — a 112

A-eM" ( A, a) eu

tìm kiếm một nghiệm x e R " mà cực tiểu hóa sai số dữ kiện trường hợp xấu nhất tương ứng với mọi giá trị có thể có của (A,a) G lí.

Đ ỉnh lý 2.1.1. (Đặc trưng (SDP) ỏ trong nghiệm (RSLP)). Cho X e Đối với bài toán (RSLP) với u được định nghĩa như trong 2.1.1 giả sử rằng k > s + \, trong đó k là số hàng trong dữ kiệu ma trận của lí và s là số chiều của không gian sinh bỏi (o )1, . . . ,(Om}, và {A : 11A — Ã\\F < p, (ú)j)TvecA < Pj, j = 1 , 0 . . Khi

đó, X là nghiệm (RLSP) khi và chỉ khi (x, Ẳ, Ao,. .. Ằ/) e R" X M X R + X • • • X M+ là

nghiệm bài toán quy hoạch nửa xác định tuyến tính sau:

min {x,Ằ.)€Un x ĩ l , k ữ,...,kl >0 1 / x < Ị ẳ : ( I k ® x ) T i Ằ ° /, A(°)x-aW M + ị ^ ỉ- 1 \ { A ^ x - a ^ ) T (-Ả°b+ ị YỈj=\ ũ)j)T Ằ -Ằ ° (r-||ồ ||2) - ĩ : ' = | xjpj

đối với Ằ G I và Ằ ° ,. . . , X1 > 0, trong đó X = (xT, — 1 )T £ Mn+I, b = vec(Ã) và

Ỵ = p 2 - T r ( Ã T Ã ) .

Chứng minh. Ta có X là nghiệm của min^ỊR« maX(4 IIAx — a\\2 khi và chỉ khi

tồn tại Ằ G M” sao cho (x,Ằ) là nghiệm m i n ^ ) GRnxjj ||Ax — a\\2 < X. Khi đó, bởi Bổ đề 2.1.1 chúng ta thấy rằng X e E" là nghiệm (RLSP) khi và chỉ khi (x, A, Ằ ° ,.. . X 1) £ M" X R X M+ X • • • X M+ là nghiệm bài toán quy hoạch nửa xác định tuyến tính sau min (ưitrxR, Ằữ... f ị Ik Ik ®x {ỉk®x)T *%„+!) -Ằ°b+ ị l!j=x V 0)j V ( A W x - a M ) T ( - Ầ ° b + ị ỵ'j =Ị Ả j (Oj ) T Ẳ - Ằ ° ( 7 - \\b\\2 ) - z ' j =i P J J X< Ị Ằ : 1

đối với Ằ £ M và Ẳ °, . . . , Ằ 1 > 0. □ Xét trường hợp đặc biệt của tập bất định, u , trong (Ị2.1.1Ị), trong đó / = 1, Ã = 0, co' = 0 và /3' = 1. Trong trường hợp này, khi l í quy về tập bất định chuẩn ma trận có dạng

K = {Ẩ° + A : A e l R Ẩ:x(,ỉ+l), I|A||/r < p } (2.1.4) và việc kiểm tra của bài toán bình phương tối thiểu vững (RLSP) đã được thiết lập bởi EL Ghoui và Lebret [6]. Trong hệ quá sau, chúng ta nhận được một đặc trưng SDP của tập (RLSP) đối với tập bất định (|2.1.4Ị).

H ệ q u ả 2.1.1. (Tính bất định chuẩn ma trận ) Cho X £ R". Đối với bài toán (RSLP) với u được định nghĩa như trong (Ị2.1.4Ị) và giả thiết rằng p > 0. Khi đó, X e K"

là nghiệm (RLSP) khi và chỉ khi (x,Ả,Ằ° ) 6M" x R x M+ X R + là nghiệm bài toán quy hoạch nửa xác định tuyến tính sau:

min (A-,Ằ)eK"xR, Ằ°,Ằ' >0 /*<g>jc A(0^ - ữ (°) ^ ^ 0 / / h Ỉ/C&X < X : (Ik ® x ) T ^0^k(n+1) 0 l < A (0)x _ a (0))T 0 Ầ - Ằ ° p2- v ) và Ằ°, Ằ' > 0 , t r o n g đ ó X = (xr, —\ ) T GM,Ỉ+1 C h o / = 1, Ã = 0, Cở1 = 0 và P1 = 1. Khi đó, s là số

gian con sinh bởi {co1}, s = 0 và do vậy k > 1 = ^ + 1 . Hơn nũa, vì p > 0, điều kiện tính chấp nhận được chặt là thỏa mãn đối với A = 0. Do vậy, kết luận được suy ra từ

định lý trước. □

Xét trường hợp đặc biệt của tập bất định, lí, trong (Ị2.1.l|), khi / = 2, Ã = 0, Cở2 —

— co] và /3' = — p 2 = 1. Trong trường hợp này, IX đơn giản thành giao điểm của hai elipsoids viết dưới dạng

lt = {Ẩ° + A: A e M * x("+1), ||A||f < p, — 1 < (a)')7 vé>cA< 1}

= {Ẩ° + A: A e R kx{n+ỉ\ T r ( A TA) < p 2, T r ( A TBA) < 1} (2.1.5)

trong đó B = (cỡ]) (cở]) t . Trong trường hợp này, một đặc trưng SDP của nghiệm vững đã được Beck và Eldar thiết lập trong [3]. Trong trường hợp đó, chúng ta có được những hệ quả sau.

H ệ q u ả 2.1.2. (Giao c ủ a b ấ t đ ị n h h a i e l ỉ p s o ỉ d s ) Cho X 6 K". Đối v ớ i b à i t o á n

(RSLP) với u được định nghĩa như trong (2 .1.5Ị) và giả sử rằng k > 2 , trong đó k là

s ố hàng trong dữ kiện ma t r ậ n của u, v à giả thiết r ằ n g p > 0 . Khi đ ó , X là n g h i ệ m

(RLSP) khi và chỉ khỉ (jt, Ằ, Ằ°, Â/, Ả2) G K" X I X R + X R + là nghiệm bài toán

quy hoạch nửa xác định tuyến tính sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

( 4 4<g)jc — ^

(4 <s>£)7 hữh(n+\) ^-(A1 co1 - Ằ 2co') ^ 0

\ ( A ^ x - a ^ y { { V ( 0 r - x 2col )r Ằ - X ữp 2 - ( V - X 2) ) đối với Ằ e M nÀơ rà Ằ ° , Ằ 2 > 0, X = (x7, — 1 )r G M/ỉ+1.

Chứng minh. Cho / = 2, Ã = 0, &>2 = — C01 và /3' = — p 2 — 1. Khi đó, s là số chiều của không gian con sinh bởi {co1, co2}, .9 < 1, và do vậy k > 2 > s + l . Hơn nữa, vì p > 0 điều kiện tính chấp nhận được chặt là thỏa mãn đối với A = 0. Do vậy, từ

định lí 2.1.1 suy ra được hệ quả. □

2.1.2. Bài toán quy hoạch nón bậc hai vững

Xét các quy hoạch nón bậc hai tuyến tính (SOCP) dưới tính bất định dữ kiện ràng buộc

(SOCP) min a Tx

x e R n

thỏa mãn 11B ị X — bị \ \ < d ị, ỉ — 1, ra

trong đó dữ kiện Ẽ = (B ị, bị) E R kịXn x R k‘ = Rkịx(n+1), i — 1, . . . , m là bất định và phụ thuộc tập bất định ma trận lí/. Một phần tương ứng vững của bài toán nón bậc hai bất định có thể được phát biểu như sau

(RSOCP) min a T X

x e W'

thỏa mãn \ \BịX — b ị \ \ < d ị , V(fij, bị) G Ui, i = 1 ,... ,m.

Chú ý rằng, măc dù (RSOCP), nhìn chung, là không dễ kiểm tra khi lí/ được cho bởi giao của hữu hạn elipsoids, gần đây, Beck [4] đã xác định được một lớp con dễ kiểm tra m à Uị được mô tả bỏi nhiều nhất k bất đẳng thức toàn phương dưới một điều kiện thích hợp.

Ở đây, chúng ta xét (RSOCP) trong trường hợp khi tập bất định được cho bởi giao của ràng buộc chuẩn ma trận và ràng buộc đa diện, tức là,

Ui = {ỗj + A i: 4 e M*<*(«.+ !), 114 -Ă ill/r < p„ ((oj)TvecAị

< ß i , } = 1,...,//}

>(0) , (0)

(2.1.6) với ẽ \ — (Bị ,bị ) e R kịXnX R k = ^ kix (n+]) và \\M\\F là chuẩn Frobenius định nghĩa bởi ||M ||F = ^ T r { M TM). Chúng ta định nghĩa S i , i = 1 , . . . ,m là số chiều của không gian con sinh bởi {co/, . . . , coỊ}.

Đ ịnh lý 2.1.2. (Đặc trưng SDP ở trong nghiệm (RSOCP) ) Đối với bài toán (RSOCP) với định nghĩa Uị như trong (2 .1 .6 ). Giả sử rằng, với mỗi i = 1 ,... ,m, ki > Sj + 1

và {À; : ||A; — Ã/ll/r < p h {( ởị y ve cAị < /3/, j = 1, Ỷ 0- Một điểm X G

là nghiệm (RSOCP) khi và chỉ khi (x, X\, . . . ,Ằm) £ M" X MỈị+l X • • • X R /" + 1 là

nghiệm của bài toán quy hoạch nửa xác định tuyến tính sau:

1

h . ® X

■' I *1 I I I I

(lkị® x ) T Ằ'0 Ikị(n+i) - ự h + ị eJ_, xỊ a>i I b() Ị V (b\0)x - b{f ])T (-xfbi + ị eJ=1 ằ/ (ữị)T d? - ự(ỹ; - \\bi\\2) - ĩ!j=, ằ/ <oỊ)t } )

đối với Xị = ( X f, Ằ /, . . . , ằ/' ) £ R lị+ 1, i = 1 , .. ., m, trong đó X = (xT, — 1T) G M/ỉ+1

và bị — vec(Ãị) và Ỹi — p f . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Chứng minh. Chú ý rằng một điểm X là chấp nhận được vững, nếu với mọi i =

1, . . . ,m, có

max \ \ B i X — bị\\2 < df (Bị^eUị

Do vậy, Bổ đề 2.1.1 có nghĩa rằng tính chấp nhận được vững của X có thể viết tương đương như bài toán bất đẳng thức m a trận tuyến tính sau: với mọi i —1, . . . , m, tồn tại (Ằ,0, Ằz2, . . . , Ằ/) > 0 sao cho

4;Ki

ựkị ® x)T xflkị{n+1} -xfbi + ị ĩ!ị=l ẰUo

\ { B f ]x - b f ] ) T ( - ự b ị + ị l j =1 ả/ũj/ )t d f - X?{Ỹi - ll^ll2) - l j =1 )

>=0.

Xét trường hợp đặc biệt của tập thay đổi (Ị2.1.6Ị) khi lị —1, Ã = 0, (ữị — 0 và /3/ = 1, i — 1, . . . ,m. Trong trường hợp lí/ biến đổi để tập thay đổi chuẩn m a trận có dạng

U/ = {Ẩl(0)+ A / :A,-eM*iX(',+ l)}, ||A;||f < p. (2.1.7)

Một đặc trưng SDP của nghiệm vững của bài toán quy hoạch nón bậc hai đã được thiết lập trong [5].

H ệ q u ả 2.1.3. (Tính bất định chuẩn ma trận ). Cho X e M'2. Đối với bài toán

(RSOCP) với định nghĩa IX như trong ị 2 .1.7Ị), giả thiết rằng p > 0. Khỉ đó, X là

nghiệm (RSOCP) khi và chỉ khi (jt, Ả, Ằ,0, Ằị ) 6 1 " X I X M+ X M+ là nghiệm của bài toán quy hoạch nửa xác định tuyến tính sau:

min (x,ằ)gR "xK ,ằ° ,ẳ.i> 0 / h h ® x A ^ x - a ^ \ (Ik ® x ) T M , ( / Ỉ+1) 0 ^ 0 Ằ - Ả j )p 2 - Ằ lì đ ố i v ớ i Ằ g M n à o đ ỏ v à , x j > 0 , t r o n g đ ó X — ( x r , — 1 ) T £ R " + 1 .

Chứng minh. Cho /j = 1, A = 0 , (ũỊ = 0 và /3 / = 1, i = 1 , . . ., m . Khi đó, Sị là không gian con sinh bởi {co/}, Sj — 0, và do vậy kị > 1 = Sị + 1. Hơn nữa, vì p > 0, điều kiện tính chấp nhận được chặt là thỏa mãn đối với À = 0. Do đó, từ Định lí

2.1.2 suy ra kết luận. □

Xét trường hợp đặc biết khác của tập thay đổi (Ị2.1.6Ị) khi kị — k — 1, Ã/ = 0, pỊ — ~ P Ị+k~ 1 = 1 và CửỊ = —(oị+k~ 1= Cở1, l — 1, . . . , 2kị, i — 1 , . . . ,m. Trong trường hợp này, tập bất định Ui đơn giản để giao của k elipsoids có dạng

Ui={Ấ((0) + Aj : Ai e Kt><("+I), ||A,||f < P i , - l < ( w' ) TvecAi < 1, / = 1 , . . . , * — 1} ={Ã,(0)+A, :&i: e R ‘ x | , t l 1 , T r { & f A , ) < p f , Tr ( Áf ClA,) < I , / = 1 , I >,

(2.1.8)

trong đó Ớ = {(ờl )((ớly , / = \ 1.

Hệ q u ả 2.1.4. (Giao điểm của bất định nhiều elipsoids). Cho X £ M". Đối với bài toán (RSOCP) với Ui được định nghĩa như trong (2.1.8Ị) giả sử rằng Pi > 0. Một

điểm X e Mn nghiệm (RSOCP) khi và chỉ khi ( x , Ằ \, . . . ,Xm) e M" X Mị* 1 X • • • X

1 là nghiệm bài toán quỵ hoạch nửa xác định tuyến tính sau:

mi n

Ằ°...

[ ị >t, «!0>'- " ! 0) 'I ì

x “rj:: ('*,■«flr ĩ t e * /-£ ?:! v +1" '» ') t0

( - i /0, i7' j(e * ịỊ 1/ -e Ị.ịỊữ*k~'ai)T j Ị - lỹeỊ- ĩ* ; Ị i/+ ĩ* ;Ị xỉ*k~ ' ) \ đối với Xị — (Ằ^, . . . , ằỊ) G 1, i — 1, . . . , m, trong đó X — (XT, — l 7 ) G M/l+1.

Chứng minh. Cho kị — k — 1, Ảị — 0, CởỊ — —COlị +k~ ] — (ở1 và Ị5Ị — —p li +k~ ] — (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

1, 1— 1 ,... ,2kị, ỉ — 1 ,... ,m. Khi đó, Sị là không gian con sinh bởi {cơ1, . . . , co2^ -1 )},

S j < k — 1, và do vậy, kị = k > Si + 1. Hơn nữa, vì Pi > 0, điều kiện tính chấp nhận được chặt là thỏa mãn đối với À = 0. Do vậy, từ định lý trước ta suy ra kết luận. □