Xét hệ của hàm toàn phương, f ( x ) — x T A x + a TX + 7, go ( x ) — I \x — XQ112 — a
và gi(x) — 11JC112 + b Ị x — Pi ,ỉ = 1, .. . ,m trong đó A E S,ỈX,Ỉ, B £ M/x/í với / e N và ữ, Xo, Pi £ R n. Trong trường hợp này, chúng ta có thể xét điều kiện số chiều mở rộng như sau
dim(Ker(A - Xmin(A)In) n K e r { B ) ) > 5 + 1 (2.2.9)
trong đó s là số chiều của không gian con sinh bởi { b ị , . . . , bm }.
Rõ ràng, nếu ma trận B bằng 0, thì hệ toàn phương trên và điều kiện số chiều mở rộng lần lượt là hệ toàn phương và điều kiện số chiều liên kết với nó, đã được nghiên cứu trong Mục 2-4 của chương 1. M ặt khác, trong trường hợp khi B có hạng n, không cần điều kiện số chiều (Ị2.2.9Ị) của chúng ta.
M ệnh đề 2.2.1. (Tính lồi ẩn của hệ toàn phương tổng quất) Cho f ( x ) — X TAx +
a Tx + 7, go(x) — 11* — X()||2— a và gi(x) — ||5 x||2 + bjX — Pi, ỉ — 1 A G S"x", B G M/x" với l G N và a, Xo; bị G M", 7, Oí, j8/ G M. Giả sử rằng điều kiện số chiều (Ị2.2.9Ị) là thỏa mãn
Khi đó,
go, g í , . . . , g m ) : = { ( / w , g o W , g ì : x g M " } + R + + 2
Chứng minh. Như chứng minh của Định lý 1.2.1 chúng ta có thể giả sử mà không mất tính tổng quát rằng A không là nửa xác đ ị n h dương. Định nghĩa h bỏi h(x) — minx^ỵn ị f ( x ) — I \x — X()112 < a + r, I ịBxị|2 + b j X < /3 + Si, i — 1 , . . . , ra} nếu X €
D : — {rĩ s ] ì . . . ì sm : I |jc — JCo 112 < a + r, \\Bx\\2 bTị X < Pi + SịVố i X b ấ tk ì,x E M " } và
h(x) = +oonếu XỆD. Chứng minh tương tự Định lí 1.2.1 t a c ó ơ ( / , go, =
epỉh. Hơn nữa, h là lồi nếu bài toán sự cực tiểu hóa
min { f ( x ) - Xmin (A) I \x - Xo 112 : I \x - x0112 < a + r, I \Bx\\2 + bỊX < Pi + Si} đạt cực tiểu tại X G với I |jc — Xo112 = Oí + r và I |5jt| 12 + b j x < Pi + S ị .
Thật vậy, bài toán tối ưu có điểm cực tiểu trên hình cầu. Suy ra tồn tại V G IR/ỉ\{ 0 } sao cho
V € í n bỉ j n K e M - {À)In)C\Ker(B). (2.2.10)
Trái lại, ( n rbf=Ị ) n Ker(A — Ằ,min(A)ỉ„) n Ker(B) — {0}. Khi đó, suy ra điều kiện số chiều mở rộng của chúng ta, dim(Ker(A — Ằmin(A)In )n Ker(B)) > 5 + 1 trong đó s là số chiều của không gian con sinh bởi { b\ , . . . , bm }, là
n + 1 = (s + 1) + (n — s) < dỉm(Ker(A — Ảnìin(A)In n K e r ( B ) ) + dim
= dim ịfCer(A — Ảmin(A)In) n K er ( B ) ) + Pl
í n b t n Ke r ( A - xmì„ (A)I„n K e r ( B ) ]
điều đó không xảy ra.
Do vậy, tương tự như trong định lí 1.2.1 ta suy ra kết luận. □
Gần đây, trong [2], tác giả đã xét bài toán miền tin cậy với một ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính bổ sung:
(P2) min{xTAx + a TX : I \x — Xo112 < cc, b \ x < P\ }
và chứng tỏ rằng đối ngẫu mạnh thỏa mãn đối với ( Pị )khi dim(ker(A — Xmin (A ) I n) > 2. Mở rộng điều này, chúng ta xét tối ưu toàn phương sau với một ràng buộc toàn
phương lồi bổ sung
(GP2) min{xTA x a TX : \\x — xo||2 < Cí, ||5 x||2+ b \ x < P\ }.
Tương tự chứng minh của mục 1.3 và 1 .4 chương 1 và sử dụng mệnh đề trước, chúng ta rút ra sự nới lỏng SDP và kết quả đối ngẫu mạnh đối với (GP\ ) dưới điều kiện số chiều dỉm(Ker(A — Xmin(A)In) n Ker(B)) > 2. Tuy nhiên, cần chú ý rằng, điều kiện số chiều không cần phải thỏa mãn khi B có hạng n (điều kiện số chiều của không gian cơ bản). Thật vậy, khi B có hạng n, một ví dụ đã được đưa ra trong [8], trang 263 EX1 ] cho thấy rằng mô hình (GP2) không có được sự nới lỏng chính xác cũng như đối ngẫu mạnh trong tổng quát.
Đ ịnh lý 2.2.1. Đối với bài toán (GP2), giả sử rằng dim(Ker(A — Ả„ị„(A)I„) n
Ker(B)) > 2. Khi đó, {GP2) đạt được sự nới lỏng SDP chính xác. Hơn nữa, thêm giả thiết rằng tồn tại X sao cho ||jẽ — X()||2 < 0^ VÀ ||# x||2-\-bTxx < P\. Khi đó, thỏa
mãn đối ngẫu mạnh đối với bài toán (GP2), tức là,
m i n { x TAx-\- a TX : I |jc — JCO112 < a, | | 5 a : | | 2 + b ] x < )
= max min ịXTAx + a Tx + Ả o d ị x —xo\\2 — ot) + Ả] (\\Bx\\2 + b ĩ X —B] ) } .
Ao,A|>OxeM" L J
Chứng minh. Từ M ệnh đề 2.2.2 và giả định dim(Ker(A — Xmin (,A)In) r \ Ke r (B)) > 2, chúng ta thấy rằng ơ ( / , go, g i ) là lồi trong đó f ( x ) = x TA x + a TX, go(x) = II* — Xo 112 — Ci và gi (x) = I\Bx\\2 + b \ x — P \ . Vì vậy, kết luận đầu tiên tương tự như trong Định lí 1.3.1 trong còn kết luận thứ hai sẽ tương tự như Định lí 1.4.1 và Hệ quả
1.4.1. □
V í d ụ 2.2.1. Xét bài toán sự cực tiểu hóa toàn phương sau
(p) min —x2] —x ị —xị — 2x\
thỏa mãn x 2ị + xị + xị + X] < 1,
x2ị +X\ < 0.
Bài toán toàn phương có thể viết như (GP2) với f ( x ) = X TAx + a TX với A = —/3 v à 0 = ( - 2 , 0 , 0 ) , g 0 ( x ) = | | . r - . r 0 | | 2 - a v ớ i x 0 = ( - ị , 0 , 0 ) , a = I v à g i ( x ) =
/ 1 0 o \
I |5x| |2 + b ] x — P\ với B = 0 0 0 , b\ = (1, 0, 0) và j8ị = 0. Dễ dàng thấy rằng \ 0 0 0 j
tại X — (—ị , 0 , 0 ) r điều kiện tính chấp nhận được chặt là thỏa mãn và
dim(Ker(A — Xmịn{A)ỉn) П Ker(B)) — 2.
Tiếp theo, chúng ta chứng tỏ rằng thỏa mãn sự nới lỏng SDP chính xác và đối ngẫu mạnh. Đ ể thấy điều này, chúng tôi chú ý rằng, với điểm X bất kì chấp nhận được X = (xi ,х2,хз), ta có —x ị - x ị > x \ - \ - x \ — 1 và — 1 < X ị < 0 và do vậy,
—x 2ị —x ị —xỊ — 2x\ > —X] — 1 > — 1.
Vì vậy, dễ dàng thấy rằng giá trị tối ưu của (P) là -1 và (0 ,1 ,0 ) là điểm cực tiểu toàn cục. Cho Ao = 1 và Ằi = 1. Khi đó
mi n{ f(x ) + AogoC*) + M } — tnỉnịxị — 1} = — 1 = min(p).
Do vậy, bất đẳng thức max(D) < min(SDRP) < min(p) có nghĩa rằng thỏa mãn sự nới lỏng SDP chính xác đối ngẫu mạnh và.
K Ế T LUẬN
Trong đề tài này em đã trình bày về các tính chất của bài toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính cùng với những úng dụng của chúng. Nội dung chính của khóa luận là:
1 Tính lồi ẩn của miền tin cậy mỏ rộng. 2 Sự nới lỏng SDP chính xác.
3 Tính tối ưu toàn cục và đối ngẫu mạnh. 4 ứ n g dụng vào tối ưu vững.
Hơn nữa, sau một thời gian tìm hiểu về phần mềm soạn thảo văn bản Latex, khóa luận đã được trình bày và hoàn thiện bằng phần mềm này.
Tuy nhiên, do thời gian thực hiện đề tài khóa luận không nhiều, còn có những sai sót em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.