Khóa luận tốt nghiệp toán học:Rèn luyện kỹ năng thực hành giải bài tập về đường cônic - hình học 10

MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu ........................................... 2 2.1. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 2 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 2 3. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 4. Cấu trúc của khóa luận ................................................................................ 2 PHẦN 2 : NỘI DUNG ...................................................................................... 4 1.1. Những lý luận chung về giải toán và kỹ năng thực hành giải các bài tập ........................................................................................................................... 4 1.1.1. Phương pháp dạy học giải toán ............................................................. 4 1.1.2. Các yêu cầu đối với lời giải .................................................................... 6 1.1.3. Khái niệm kĩ năng giải toán. .................................................................. 7 1.1.4. Đặc điểm của kĩ năng giải toán. ............................................................. 8 1.1.5. Kĩ năng thực hành giải bài tập .............................................................. 9 1.2. Một số cách luyện tập để rèn luyện kĩ năng thực hành giải .................. 11 1.3. Chức năng của bài tập toán học đối với việc rèn luyện kĩ năng thực hành giải toán ................................................................................................. 12 1.4. Ba đường cônic trong nhà trường phổ thông. ........................................ 12 CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP CƠ BẢN NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HÀNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BA ĐƯỜNG CÔNIC ... 15 2.1. Định hướng rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về ba đường cônic 15 2.2. Biện pháp rèn luyện kỹ năng thực hành giải một số dạng bài tập về ba đường cônic. .................................................................................................... 18 2.2.1. Biện pháp 1: ......................................................................................... 18 2.2.2. Biện pháp 2: .......................................................................................... 29 2.2.3. Biện pháp 3: .......................................................................................... 35 CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................... 40 3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 40 3.2. Phương pháp thực nghiệm ...................................................................... 40 3.3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................. 40 3.4. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................... 40 3.5. Kết quả thực nghiệm ............................................................................... 40 3.6. Kết luận rút ra từ thực nghiệm. .............................................................. 42 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 44 PHỤ LỤC 1 PHẦN 1 : MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một bộ môn quan trọng trong nhà trường phổ thông. Chúng ta chỉ có thể học tốt được toán khi nắm vững kiến thức và thực hành thành thạo các dạng bài tập có liên quan. Nói đến giải toán thì đường lối giải và việc thực hiện bước giải đó như thế nào là một vấn đề quan trọng đối với người giải toán. Cần thấy rõ từ chỗ tìm được phương hướng giải bài toán tới việc hoàn chỉnh bài toán là cả một quá trình bao gồm nhiều khâu. Từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung lý thuyết đến việc luyện tập thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất kỹ thuật. Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn và phương pháp làm việc khoa học của người giải toán. Có thể thấy việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán cho các bài tập có tính quan trọng trong việc giải toán. Thứ nhất: Dù đã nắm được lí thuyết, có kỹ thuật cao, có thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng kết quả thực hành giải không tốt thì không thể có lời giải chính xác cho bài toán. Thứ hai: Khi đã định hướng được lời giải thì việc trình bày, sắp xếp các dữ kiện của lời giải như thế nào đóng vai trò hết sức quan trọng vì rất dẫn đến sai lầm trong các phép tính, suy luận, sử dụng công thức, quy tắc, kí hiệu ngôn ngữ ... hoặc các thao tác thực hành sai trình tự lôgic. Thứ ba: Khi rèn luyện được kỹ năng thực hành lời giải cho các bài tập một cách thành thạo ta có thể phát huy kỹ năng làm việc độc lập, sáng tạo - một khả năng không thể thiếu được của người giải toán. Trong bộ môn toán nói chung và bộ môn hình học lớp 10 nói riêng học sinh thường gặp khó khăn khi giải quyết các bài tập về phần hình học, vì vậy học sinh khi giải toán thường chỉ thích học đại mà không thích học hình. Đặc biệt là chương trình hình học 10 có nhiều nội dung mới đối với học sinh như: vectơ, tích vô hướng của hai vectơ, phương trình đường tròn, ba đường cônic... Khi giải một bài toán thì người giải cần định hướng được lời giải, xây dựng được chương trình giải và thực hiện lời giải của bài toán đó. Việc thực hành lời giải bài toán nói lên kỹ năng cơ bản cần làm, trình bày những lập luận lôgic, các 2 thao tác cần thực hiện, cách sử dụng ngôn ngữ, công thức, ký hiệu,... đây là một khâu rất quan trọng khi giải toán. Chính vì những lý do trên mà tôi chọn đề tài nghiên cứu " Rèn luyện kỹ năng thực hành giải bài tập về đường cônic - hình học 10 ". 2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán cho học sinh 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lý luận về Rèn luyện kỹ năng thực hành lời giải cho

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THỊ THANH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HÀNH GIẢI BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG CÔNIC - HÌNH HỌC 10

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, năm 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THỊ THANH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HÀNH GIẢI BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG CÔNIC - HÌNH HỌC 10

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS Vũ Quốc Khánh

Sơn La, năm 2013

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành khóa luận em luôn được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của giảng viên - Tiến sĩ Vũ Quốc Khánh, sự ủng hộ, động viên và góp ý kiến của các giảng viên trong khoa Toán-Lý-Tin và các bạn sinh viên lớp K50-ĐHSP Toán, các thầy cô cùng các em học sinh trường THPT Bắc Yên - Sơn La Đồng thời, để hoàn thành khóa luận em cũng đã nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian, tài liệu tham khảo của phòng đào tạo, phòng Quản lý khoa học, phòng Quan hệ quốc tế, thư viện và một số phòng, ban, khoa trực thuộc trường Đại học Tây Bắc

Em chân thành bày tỏ lòng biết ơn sự ủng hộ giúp đỡ quý báu của các thầy

cô, các bạn sinh viên và các đơn vị nói trên

Sơn La, tháng 05 năm 2013

Người thực hiện

Sinh viên: Nguyễn Thị Thanh

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu 2

2.1 Mục đích nghiên cứu 2

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Cấu trúc của khóa luận 2

PHẦN 2 : NỘI DUNG 4

1.1 Những lý luận chung về giải toán và kỹ năng thực hành giải các bài tập 4

1.1.1 Phương pháp dạy học giải toán 4

1.1.2 Các yêu cầu đối với lời giải 6

1.1.3 Khái niệm kĩ năng giải toán 7

1.1.4 Đặc điểm của kĩ năng giải toán 8

1.1.5 Kĩ năng thực hành giải bài tập 9

1.2 Một số cách luyện tập để rèn luyện kĩ năng thực hành giải 11

1.3 Chức năng của bài tập toán học đối với việc rèn luyện kĩ năng thực hành giải toán 12

1.4 Ba đường cônic trong nhà trường phổ thông 12

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP CƠ BẢN NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HÀNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BA ĐƯỜNG CÔNIC 15

2.1 Định hướng rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về ba đường cônic 15 2.2 Biện pháp rèn luyện kỹ năng thực hành giải một số dạng bài tập về ba đường cônic 18

2.2.1 Biện pháp 1: 18

2.2.2 Biện pháp 2: 29

2.2.3 Biện pháp 3: 35

CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 40

3.1 Mục đích thực nghiệm 40

3.2 Phương pháp thực nghiệm 40

3.3 Nội dung thực nghiệm 40

3.4 Tổ chức thực nghiệm 40

3.5 Kết quả thực nghiệm 40

3.6 Kết luận rút ra từ thực nghiệm 42

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 PHỤ LỤC

Nói đến giải toán thì đường lối giải và việc thực hiện bước giải đó như thế nào là một vấn đề quan trọng đối với người giải toán Cần thấy rõ từ chỗ tìm được phương hướng giải bài toán tới việc hoàn chỉnh bài toán là cả một quá trình bao gồm nhiều khâu Từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung

lý thuyết đến việc luyện tập thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất kỹ thuật Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn và phương pháp làm việc khoa học của người giải toán

Có thể thấy việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán cho các bài tập có tính quan trọng trong việc giải toán

Thứ nhất: Dù đã nắm được lí thuyết, có kỹ thuật cao, có thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng kết quả thực hành giải không tốt thì không thể có lời giải chính xác cho bài toán

Thứ hai: Khi đã định hướng được lời giải thì việc trình bày, sắp xếp các dữ kiện của lời giải như thế nào đóng vai trò hết sức quan trọng vì rất dẫn đến sai lầm trong các phép tính, suy luận, sử dụng công thức, quy tắc, kí hiệu ngôn ngữ hoặc các thao tác thực hành sai trình tự lôgic

Thứ ba: Khi rèn luyện được kỹ năng thực hành lời giải cho các bài tập một cách thành thạo ta có thể phát huy kỹ năng làm việc độc lập, sáng tạo - một khả năng không thể thiếu được của người giải toán

Trong bộ môn toán nói chung và bộ môn hình học lớp 10 nói riêng học sinh thường gặp khó khăn khi giải quyết các bài tập về phần hình học, vì vậy học sinh khi giải toán thường chỉ thích học đại mà không thích học hình Đặc biệt là chương trình hình học 10 có nhiều nội dung mới đối với học sinh như: vectơ, tích vô hướng của hai vectơ, phương trình đường tròn, ba đường cônic Khi giải một bài toán thì người giải cần định hướng được lời giải, xây dựng được chương trình giải và thực hiện lời giải của bài toán đó Việc thực hành lời giải bài toán nói lên kỹ năng cơ bản cần làm, trình bày những lập luận lôgic, các

thao tác cần thực hiện, cách sử dụng ngôn ngữ, công thức, ký hiệu, đây là một khâu rất quan trọng khi giải toán

Chính vì những lý do trên mà tôi chọn đề tài nghiên cứu " Rèn luyện kỹ

năng thực hành giải bài tập về đường cônic - hình học 10 "

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán cho học sinh

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận về Rèn luyện kỹ năng thực hành lời giải cho học sinh Điều tra khảo sát thực tiễn kỹ năng thực hành lời giải của học sinh

Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng thực hành lời giải thông qua một số bài tập về ba đường cônic

Bước đầu thử nghiệm sư phạm về tính khả thi và hiệu quả của biện pháp đưa ra

3 Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu lý luận: Quan điểm, kết luận khoa học và kĩ năng thực hành giải toán của học sinh

+ Nghiên cứu thực tiễn, đề xuất các biện pháp rèn luyện cho từng dạng toán

cụ thể nhằm rèn luyện khả năng thực hành giải các bài tập về ba đường cônic cho học sinh lớp 10

+ Thực nghiệm sư phạm: Dạy thử cho học sinh lớp 10 và bước đầu kiểm

tra đánh giá tính khả thi, hiệu quả của biện pháp đưa ra

4 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận bao gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận

Chương 2: Một số biện pháp cơ bản nhằm rèn luyện kỹ năng thực hành giải các bài tập về 3 đường cônic

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

PHẦN 2 : NỘI DUNG

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Những lý luận chung về giải toán và kỹ năng thực hành giải các bài tập

Toán học là một bộ môn quan trọng trong nhà trường phổ thông Giải toán

là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái đã cho và cái phải tìm Người học toán khi đứng trước một bài toán luôn muốn mình giải được hoặc đáp ứng được các yêu cầu bài toán đặt ra Để giải một bài toán thì người giải phải trải qua rất nhiều khâu Từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản của nội dung lý thuyết đến việc luyện tập thành thạo các quy trình xây dựng bước giải

Và thực hành có hiệu quả các thao tác có tính chất kỹ thuật trong việc giải bài tập Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tình kiên nhẫn và một phương pháp làm việc khoa học của người giải toán

Khi dạy giải bài tập cho học sinh cần rèn luyên cho học sinh xác định hướng xem xét các kỹ năng thưc hành lời giải trước khi giải cụ thể Việc xác định hướng giải giúp cho lời giải đạt hiệu quả Nhờ định hướng giải khác nhau

học sinh có thể giải toán bài toán bằng nhiều cách khác nhau

Trong thực hành giải các thao tác phải thực hiện tốt Việc thực hiện lời giải phải khoa học, lập luận chặt chẽ Để làm tốt được điều này cần nghiên cứu kỹ bài toán đã cho mà chủ yếu căn cứ vào yêu cầu mà bài toán đó đòi hỏi để xác định đúng thể loại các bài toán đó, định hướng được lời giải Điều này đòi hỏi phải có một trí nhớ tốt, một tư duy lôgic biết kết nối các yếu tố của bài toán, một

hệ thống kĩ năng với các thao tác thành thạo

Ngoài việc nắm các đường lối chung thì người giải toán cần phải phát hiện

ra những cái riêng, cái độc đáo của bài toán cụ thể để lựa chọn được phương án thích hợp nhất và tối ưu nhất

1.1.1 Phương pháp dạy học giải toán

Các bước giải một bài toán

* Bước 1: Tìm hiểu đề toán

Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán đó Vì thế cần giúp học sinh tìm hiểu đề và cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò, hứng thú cho các em

+ Để hiểu rõ đề bài toán trước hết cần phải nắm vững mọi khái niệm đề cập đến trong bài toán Cần phải nhớ lại đề biết các khái niệm đó được định nghĩa như thế nào hoặc có thể định nghĩa bằng nhiều cách khác nhau như thế nào? + Sau đó phải nắm được yêu cầu của bài toán Phải biết được bài toán cho cái gì, và yêu cầu của bài toán là gì?

+ Nếu cần thiết phải vẽ hình cho bài toán Hình vẽ sẽ giúp ta hiểu được đề bài toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn Hình vẽ còn có tác dụng gợi ý cho việc tìm ra cách giải và giúp phát triển trí tưởng tượng không gian

* Bước 2: Tìm tòi lời giải, đề ra một chương trình giải

+ Hãy nghĩ đến những bài toán liên quan

Những bài toán liên quan có thể là những bài toán tương tự với bài toán đã cho, hoặc là bài toán tổng quát hơn bài toán đã cho, hoặc là trường hợp đặc biệt của những bài toán đã cho, thậm chí là bài toán na ná bài toán đã cho, Nghĩ đến các bài toán liên quan là để tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải của các bài toán đó

* Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Trình bày lời giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Đề ra một chương trình tìm được ý của cách giải không phải là dễ Muốn đạt được kết quả đòi hỏi phải có nhiều điều kiện: những kiến thức có sẵn, những thói quen suy nghĩ, sự tập trung và cả sự may mắn nữa Thực hiện chương trình thì dễ dàng hơn nhiều, ở đây đòi hỏi chủ yếu là sự kiên nhẫn.Chương trình chỉ vạch ra những nét tổng quát Chúng ta phải đảm bảo cho những chi tiết phù hợp với những nét tổng quát đó Do đó, phải kiên nhẫn khảo sát lần lượt từng chi tiết một cho tới khi rõ ràng, không còn những chỗ mơ hồ, có thể che giấu một sự sai lầm Nếu đã đề ra chương tình đưa đến lời giải, ta không ngần ngại gì mà dùng một suy luận tạm thời, có tính chất mò mẫm vì bất cứ điều gì có thể đưa đến một ý đúng thì điều đó là chính đáng Nhưng khi thực hiện chương trình chương trình lời giải thì phải thay đổi quan điểm đó và chỉ thừa nhận những lí do quyết định

và chặt chẽ Khi thực hiện lời giải phải nghiệm lại mọi chi tiết, không phải mọi chi tiết của lời giải đưa ra đều đúng Khi lập chương trình giải có thể tự do mò mẫm bao nhiêu thì khi thực hiện lời giải ta phải nghiệm lại cẩn thận bấy nhiêu

Ta phải trình bày lời giải có thứ tự, phải chú trọng tới các chi tiết của lời giải, không được quên một chi tiết nào, phải hiểu sự liên hệ của mỗi chi tiết với toàn bộ và sự liên hệ giữa các giai đoạn quan trọng với nhau

* Bước 4: Nhìn lại bài toán và lời giải

Sau khi giải xong, chúng ta nên thực hiện:

+ Kiểm tra lại kết quả và toàn bộ lời giải toán

+ Suy nghĩ xem có những lời giải không? Lời giải đã được lựa chọn có phải hay nhất không?

+ Từ những kết quả đã thu được tìm cách đề xuất những bài toán khác nhờ tương tự, tổng quát hóa

1.1.2 Các yêu cầu đối với lời giải

Để phát huy hết tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần phải nắm vững các yêu cầu của lời giải Nói một cách vắt tắt, lời giải phải đúng và tốt Nói như vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết nhưng cô đọng Để thuận lợi cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể

cụ thể hóa các yêu cầu chi tiết

i) Kết quả đúng kể cả bước chung gian

Kết quả cuối cùng phải là một đáp án đúng, 1biểu thức, 1hằng số, 1hình vẽ thỏa mãn các yêu cầu đề ra Kết quả của các bước chung gian cũng phải đúng Như vậy, lời giải không thể chứa đựng những sai lầm về tính toán, hình

vẽ, biến đổi biểu thức

ii)Lập luận chặt chẽ

Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cấu sau:

+ Lập luận phải nhất quán

+ Luận cứ phải đúng

+ Luận chứng phải hợp lôgic

3i)Lời giải phải đầy đủ

Yêu cầu này có ý nghĩa là lời giải không được bỏ xót một trường hợp nào, một chi tiết cần thiết nào

4i)Ngôn ngữ chính xác

Đây là yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn Việc dạy môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này

5i)Trình bày rõ ràng đảm bảo mĩ thuật

Yêu cầu này đặt ra với các lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách xắp xếp các yếu

tố (chữ, số, hình vẽ, kí hiệu ) trong lời giải

6i)Tìm ra nhiều cách giải , chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất trong số các cách giải đã tìm được

7i)Nghiên cứu giải các bài toán tương tự , mở rộng hay lật ngược vấn đề Bốn yêu cầu từ i) đến 4i) là các yêu cầu cơ bản; 5i) là yêu cầu về mặt trình bày; 6i),7i) là yêu cầu đề cao

1.1.3 Khái niệm kĩ năng giải toán

Trong lĩnh vực tâm lý học có nhiều công trình nghiên cứu đề cập đến kỹ năng nhưng vẫn chưa có định nghĩa nào được sử dụng duy nhất Có thể tóm lược một số khái niệm về kỹ năng được sử dụng như sau:

+ Theo P.A Rudich cho rằng: " Kĩ năng là động tác mà cơ sở của nó là sự vận dụng thực tế các kiến thức đã tiếp thu để đạt được kết quả trong một hình thức hoạt động cụ thể" Ở đây tác giả đã quan niệm kĩ năng là hoạt động vật chất, hàm chỉ vận động vật chất cụ thể Với quan niệm như vậy thuận lợi cho việc hình thành những kỹ năng vận động, những thao tác kĩ thuật,

+ Quan niệm thứ hai coi kĩ năng là khả năng thực hiện một công việc hay việc thực hiện một hoạt đông nào đó một cách có chất lượng và hiệu quả theo yêu cầu, theo mục đích xác định trong những điều kiện nhất định (thời gian, phương tiện, môi trường hoạt động, nguồn lực, ) Hoặc kĩ năng là khả năng của con người thực hiện công việc một cách có hiệu quả và chất lượng trong một khoảng thời gian thích hợp, trong những điều kiện nhất định dựa vào tri thức và thói quen hình thành được

Như vậy, quan niệm kĩ năng là quan niệm rộng hơn, không chỉ coi kĩ năng đơn thuần là hành động vật chất hay là động tác cụ thể mà bao gồm cả hành động trí óc Vấn đề kĩ năng vẫn còn là vấn đề có nhiều ý kiến, song về cơ bản các ý kiến cũng không có gì mâu thuẫn nhau Các tác giả tùy theo cách nhìn chủ quan của mình mà nhấn mạnh khía cạnh náy hay khía cạnh khác Tuy nhiên, từ những ý kiến trên chúng ta có thể hiểu kĩ năng một cách tổng quát như sau: kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động hay một hoạt động nào đó

bằng cách lựa chọn và vận dụng những tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với những điều kiện thực tiễn cho phép Kỹ năng thể hiện các thao tác tư duy, năng lực hành động và mặt kĩ thuật của hành động

Để trở thành một người có kĩ năng về hành động nào đó phải:

+ Có tri thức về hành động bao gồm mục đích của hành động, các điều kiện phương tiện để đạt mục đích, các cách thức thực hiện hành động

+ Tiến hành hành động đúng với yêu cầu của nó

+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra

+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau

Tuy nhiên, muốn có kĩ năng thì phải tính đến một quá trình hình thành kĩ năng, và để đạt được kết quả hành động cũng cần phải có sự rèn luyện, tập dượt nhất định để đạt được mục đích đặt ra

1.1.4 Đặc điểm của kĩ năng giải toán

Trong vận dụng, ta thường chú ý đến đặc điểm của kỹ năng:

- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi

vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích-biết cách thức đi đến kết hiểu những điều kiện để triển khai những cách thức đó

quả Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính, bản chất của đối tượng được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động

- Kĩ năng của con người không phải là yếu tố bất biến trong suốt cuộc đời

mà phụ thuộc vào người học thông qua chính hoạt động của họ trong mối quan

hệ của họ với người cộng đồng Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những kiến thức

đã lĩnh hội được để giải quyết những nhiệm vụ cụ thể

Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không biết phát hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đó phất hiện những mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tượng đó Trong trường hợp này, tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận thức và như vậy khối kiến thức mà họ có là khô cứng không gắn với tực tiễn, không biến thành cơ sở của kĩ năng

Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của các sự vật Như vậy để tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì cần biết lựa chọn

tri thức một cách đúng đắn và hợp lý Nói cách khác, cần lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất phù hợp với mục tiêu của hành động

1.1.5 Kĩ năng thực hành giải bài tập

Trong toán học, "kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện chứng minh cũng như phân tích, có thể phê phán các lời giải và chứng minh chưa nhận được" Kĩ năng giải toán được hiểu là kỹ năng vận dụng các tri thức Toán học để giải các bài tập Toán học (bằng suy luận, chứng minh, )

+ Theo Polya: Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được

Như vậy, kĩ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán học (bao gồm kiến thức, kĩ năng, phương pháp) Sau khi nắm vững lí thuyết trong quá trình luyện tập, củng cố kiến thức

Trong toán học thì kĩ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa kiến thức Toán học, hoạt động học tập môn Toán

Kĩ năng Toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các bước giải của một bài tập Toán học Kĩ năng có thể được rút ngắn, bổ sung và thay đổi trong quá trình hoạt động

Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Toán là học sinh phải nắm vứng kiến thức, có kĩ năng, kĩ xảo vận dụng trong thực hành giải toán Tùy theo từng nội dung, kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng Trong chương trình Toán phổ thông, cụ thể là khi rèn luyện kĩ năng thực hành giải bài tập về ba đường cônic ta có thể chỉ ra một

số kĩ năng sau:

+ Kĩ năng liên kết, phân tích các dữ liệu mà bài toán đã cho với cái phải tìm + Kĩ năng tính toán: Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luận độc lập, sáng tạo, ta không thể xem nhẹ việc rèn luyện kĩ năng tính toán vì nó có vai trò quan trọng đối với học sinh trong việc thực hiện lời giải một bài toán, rất dẫn đến sai lầm trong kết quả của bài toán và cuộc sống sau này Kĩ năng này đòi hỏi

sự tỉ mỉ, cẩn thận, tính đúng, tính nhanh và tính hợp lý trong từng bước tính toán

của một lời giải

+ Kĩ năng vận dụng các quy tắc, các phương trình chính tắc, phương trình tiếp tuyến, của ba đường cônic Về mặt kĩ năng này thì yêu cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc

+ Kĩ năng vận dụng các tri thức đã có vào giải các bài toán cụ thể về ba đường cônic: Học sinh phải rèn luyện kĩ năng này trong quá trình họ tìm tòi lời giải bài toán Nên hướng dẫn học sinh thực hiện giải bài toán theo quy trình giải toán của Polya gồm 4 bước: Tìm hiểu nội dung đề toán: Xây dựng chương trình giải; Thực hiện chương trình giải; Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

+ Kĩ năng chứng minh Toán học, cụ thể khi giải các bài tập về ba đường cônic là chứng minh một đường cong (C) là một đường cônic Theo Hoàng Chúng, để có kĩ năng chứng minh Toán học học sinh cần phải đạt được: Hình thành động cơ chứng minh; Rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh; Truyền thụ tri thức phương pháp về chứng minh, các phép suy luận

+ Kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều; là một điều kiện quan trọng để học sinh nắm vững và vận dụng kiến thức, đồng thời nó cũng là một thành phần tư duy quan trọng của Toán học Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều

và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận

+ Kĩ năng đọc và vẽ hình, đo đạc: Đây là kĩ năng cần thiết và phải rèn luyện cho học sinh một cách cẩn thận Đặc biệt, với kĩ năng vẽ hình, học sinh phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước, phù hợp với lí thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, có tính thẩm mĩ

+ Kĩ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn: Kĩ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức Toán học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập, giúp học sinh nắm được thực chất nội dung, vấn đề và tránh hiểu các sự kiện Toán học một cách hình thức + Kĩ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan đén sự tương ứng, những mối liên hệ, phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng Tư duy hàm đóng vai trò quan trọng và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông Những hoạt động tư duy hàm là: hoạt động phát triển và thiết lập sự tương ứng, hoạt động nghiên cứu tương ứng

+ Kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải thích và tránh sai lầm khi giải toán: " Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình" (Polya) Trong học tập giải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm đó của lời giải là một thành công của người học toán

Trên thực tế, có nhiều học sinh kể cả học sinh khá, giỏi vẫn mắc sai lầm khi giải toán Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen phát hiện những sai lầm nếu có sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích những nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó Qua đó học sinh cũng đã được rèn luyện thêm

về kĩ năng trình bày lời giải chẳng hạn như: câu chữ, các ký hiệu, vẽ hình chính xác, hình thức sạch đẹp, Việc hình thành kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá và tự điều chỉnh góp phần nâng cao chất lượng dạy và học

Để hình thành kĩ năng giải bài tập toán học nói chung cho học sinh giáo viên cần thực hiện tốt các vấn đề sau:

+ Xác định từng kĩ năng cụ thể trong hình thành giải bài tập toán học và mức độ ở mỗi lớp, mỗi cấp học tương ứng

+ Xác định hình thức giải bài tập toán học tương ứng chủ yếu cho học sinh luyện tập kĩ năng giải các bài tập cơ bản bài tập tổng hợp

+ Xác định sơ đồ định hướng khái quát các Angorit giải mỗi bài tập cơ bản điển hình và bài tập cơ sở để hướng dẫn học sinh giải bài tập

+ Hướng dẫn học sinh hoạt động tìm kiếm lời giải bài tập giúp học sinh lắm được sơ đồ hướng dẫn giải bài tập toán học nói chung và mỗi bài tập cụ thể

Sử dụng hình thức bài tập sau mỗi bài, mỗi chương giúp học sinh luyện tập theo mẫu, không theo mẫu, thường xuyên và theo hình thức giải khác nhau

1.2 Một số cách luyện tập để rèn luyện kĩ năng thực hành giải

Cho học sinh giải bài tập toán học tương tự bài tập mẫu, việc luyện tập này

có thể tiến hành ngay ở một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài hoặc bài tập ở nhà

Ví dụ: Để viết phương trình tiếp tuyến của ba đường cônic nói chúng ta có

2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: Biết tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước nào đó

Trường hợp 2: Biết một tính chất nào đó của tiếp tuyến (điểm này cho phép

ta xác định được dạng của phương trình tiếp tuyến, xác định được A, B, vấn đề đặt ra là phải tìm C dựa vào điều kiện tiếp xúc)

* Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những yêu cầu của bài tập được thay đổi từ đơn giản đến phức tạp Hệ thống bài tập phải được xắp xếp

từ dễ tới khó giúp học sinh phát triển các kĩ năng từ thấp đến cao khác nhau

* Luyện tập thường xuyên: Mỗi khái niệm được hình thành phải được học sinh thực hiện thành thạo vì thế cần tạo điều kiện để học sinh rèn luyện kĩ năng trong tiết học, trong hoạt động học tập ở nhà

* Luyện tập theo nhiếu hình thức giải các bài tập khác nhau:

Ngoài việc sử dụng đa dạng các bài tập toán học cần phối hợp nhiều loại bài tập để có nhiều hình thức rèn luyện kĩ năng thực hành giải như:

Ở thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập toán chứa đựng tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra) những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học

Tuy nhiên trên thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là có ý nói chức năng ấy được thể hiện ở một cách tường minh, công khai

Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài toán

mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị Người giáo viên chỉ có thể khám phá thực hiện được những dụng ý đó bằng năng lực sư phạm của mình

1.4 Ba đường cônic trong nhà trường phổ thông

Trong chương trình môn toán lớp 10 ở tường trung học phổ thông, học sinh được làm quen với các khái niệm về ba đường cônic Những năm học trước (2000-2001 đến 2006-2007) theo sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì nội dung

ba đường cônic được đưa vào giảng dạy ở lớp 12,còn hiện nay nội dung ba đường cônic được đưa vào giảng dạy ở lớp 10 (chương III-chương cuối cùng của sách giáo khoa hình học)

Qua điều tra quan sát và trao đổi với các thầy cô giáo dạy toán lớp 10, 12

và các em học sinh tôi nhận thấy rằng:

Số lượng tiết ít nhưng nội dung kiến thức và bài tập tương đối nhiều, đây cũng là lượng kiến thức mới tương đối khó Ngoài thời gian học trên lớp các em không có thời gian nghiên cứu sâu, mở rộng khai thác ứng dụng nhiều chiều các khái niệm, tính chất, việc chứng minh định lý có chỗ còn chưa triệt để sâu sắc nhiều định lý còn chưa được chứng minh Điều này hạn chế không nhỏ đến việc huy động vốn kiến thức của học sinh, việc phát huy tính tích cực, độc lập suy nghĩ của học sinh trong quá trình học tập

Hệ thống bài tập sau mỗi phần nhằm khắc sâu ứng dụng ngay khái niệm, định lý còn ít Nên trong khi vận dụng những kiến thức đã cho vào việc giải toán còn nhiều lúng túng, chưa rèn luyện đầy đủ, thành thạo về kỹ năng thực hiện lời giải bài toán về ba đường cônic, chưa kích thích được sự ham mê tìm tòi khám phá tri thức cho học sinh nên có thể dẫn tới tình trạng hời hợt không sâu sắc vấn đề

Ngoài ra, dựa vào các đặc điểm của các đường cônic người ta đưa ra một số dạng bài toán về tìm quỹ tích các điểm, mà quỹ tích ấy có liên quan tới phương trình chính tắc của ba đường cônic Việc tìm quỹ tích bằng phương pháp này chỉ

là xác định mối liên hệ giữa các tọa độ của điểm quỹ tích thỏa mãn phương trình của ba đường cônic Do đó học sinh ngoài phải nắm chắc các kiến thức có liên quan đến ba đường cônic còn phải quan sát các đậc điểm chuyển động để có thể

có những kết luận chính xác

Trong thực trạng giải bài tập về ba đường cônic học sinh còn mắc nhiều sai lầm khi viết phương trình chính tắc, xác định các yếu tố của ba đường cônic, các bài toán có liên quan,

Để khắc phục phần nào tình trạng đó, chúng tôi thấy rằng: Các giáo viên cần phải vận dụng tối đa giờ lên lớp, dạy thêm nội dung này trong các giờ ngoại khóa, chuẩn bị một cách hệ thống bài tập mới bổ sung cho sách giáo khoa, phải huy động mọi biện pháp để tạo ra môi trường hoạt động tích cực giúp học sinh nắm vững kiến thức một cách cơ bản và vững chắc

Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu nội dung này, chúng tôi nhận thấy

có một số thuận lợi và khó khăn sau:

- Những thuận lợi:

+ Cách trình bày, diễn đạt kiến thức của sách giáo khoa mới là tương đối dễ hiểu, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh

+ Số lượng bài toán là vừa phải không gây tình trạng quá tải với đa số mà vẫn đảm bảo việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải bài tập.Tuy nhiên nó có những khó khăn sau

- Những khó khăn:

+ Đối với học sinh trung học phổ thông thì ba đường cônic là các kiến thức mới và khó, lần đầu tiên học sinh đươc tiếp xúc vì thế không thể tránh khỏi những bỡ ngỡ và lúng túng khi học nội dung này

+ Số tiết dành cho chương trình còn hạn chế, nó bất cập với lượng kiến thức mới và khó mà học sinh phải lĩnh hội nên dễ gây ra tâm lý ngại khó, đặc biệt là khi giải bài toán ở nội dung này

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP CƠ BẢN NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HÀNH GIẢI

CÁC BÀI TOÁN VỀ BA ĐƯỜNG CÔNIC

Từ những nghiên cứu ở chương I nội dung chương II nghiên cứu các biện pháp áp dụng cho từng dạng toán nhằm rèn luyện khả năng thực hành giải các bài tập về ba đường cônic cho học sinh lớp 10

2.1 Định hướng rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về ba đường cônic

Một số kiến thức cơ bản về ba đường cônic

* Đường Elip

+ Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định F1, F2 với F1F2  2cc 0 và số 2aa 0

Elip  E là tập hợp các điểm M sao cho MF1MF2  2a

  E  M :MF1MF2  2a

F1, F2 gọi là các tiêu điểm, khoảng cách F1F2  2c gọi là tiêu cự của  E

+ Phương trình chính tắc của elip có dạng :

a  

* Đường Hypebol

+ Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định F1, F2 với F1F2  2cc 0 và số 2aa 0

Hypebol  H là tập hợp các điểm M sao cho |MF1MF2 |  2a

F gọi là tiêu điểm,  là đường chuẩn, pdM;  0 gọi là tham số qua tiêu của  P

+ Phương tình chính tắc của parapol: y 2pxp 0

* Đường cônic

Ba đường cong elip, hypebol, parabol được gọi là 3 đường cônic Chúng được sinh ra khi cắt mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng Tùy theo vị trí của mặt phẳng với mặt nón mà ta được giao là các đường elip, hypebol hay parabol

Định nghĩa đường cônic

Cho điểm F cố định và đường thẳng  cố định không đi qua F Tập hợp các điểm M sao cho tỉ số

)

; (M 

Elip là đường cônic có tâm sai e 1

Parabol là đường cônic có tâm sai e 1

Hypebol là đường cônic có tâm sai e 1

* Phương trình tiếp tuyến của ba đường cônic

a Tiếp tuyến của elip

Cho elip có phương trình chính tắc  E : 2

2

a

x 

2 2

b Tiếp tuyến của Hypebol

Cho Hypebol có phương trình  H : 2

c Tiếp tuyến của Parabol

Cho parabol có phương trình y2  2px, M0x0; y0là một điểm của parabol Phương trình tiếp tuyến của parabol tại M0x0; y0 là:

b

y

1

 khi và chỉ khi: a2A2b2B2 C2C 0

b) Đường thẳng  là tiếp tuyến của Hypebol: 2

- 1 = 0 (2) Trong đó x0; y0 là tọa độ của tiếp điểm M0, nghĩa là :

2

2 0

C

A a x

C

2 0

2 0

,

Thay thế các giá trị này vào (3) ta có : 2 2

2 4

a C

A a

2 2

2 4





b C

B b

hay:

2 2 2 2 2

C B b A

b) Chứng minh tương tự câu a)

c)  là tiếp tuyến của parabol: y2  2px khi và chỉ khi nó có phương trình:

y0y  px px0  pxy0y px0  0 (4) Trong đó tọa độ x0; y0 là tọa độ của tiếp điểm M0, tức là y0 2 px0 (5)

Vì 2 phương trình (4) và (1) đều là phương trình tổng quát của 

nên A;B;C phải tỷ lệ với p; y0;px0 do đó:

Thay x0, y0 từ các đẳng thức trên vào (5) ta được :

a Cơ sở lý luận

Nắm vững định nghĩa là nắm bản chất kiến thức Hệ thống kiến thức xuất

phát từ định nghĩa Sử dụng định nghĩa để giải bài tập xuất phát từ bản chất bài toán phản ánh các nội dung khác nhau của kiến thức Dịnh nghĩa là dạng cơ bản nhất của môn học, khi không nắm chắc được hệ thống định nghĩa thì không thể hiểu được nội dung và các kết quả khác của kiến thức từ định nghĩatính chấtđịnh lýhệ quảbài tập Vận dụng định nghĩa là yêu cầu quan trọng bậc nhất để hoàn thiện kiến thức

Các kiến thức về ba đường cônic là hoàn toàn mới đối với học sinh nên học sinh hay gặp khó khăn khi làm các bài tập đặc biệt là khi áp dụng lý thuyết vào thực hành Học sinh chỉ có thể xác định chính xác và viết được phương trình chính tắc của các đường cônic khi nắm vững các kiến thức như: định nghĩa, phương trình chính tắc, dấu hiệu nhận biết, tâm sai, tiêu cự của từng đường cônic

Khi hướng dẫn học sinh thực hành giải các bài tập về ba đường cônic cần rèn luyện cho học sinh xác định chính xác dạng chính tắc của đường cônic, các

thuộc tính của chúng: tâm sai, tiêu cự, đường chuẩn điểm khác biệt giữa elip,

parabol, hypebol là gì? ; các mối quan hệ của chúng

Dự kiến các sai lầm đối với dạng bài tập này là:

- Kiến thức chưa vững dẫn đến sai lầm về các dạng chính tắc, dấu hiệu

nhận biết của ba đường cônic

- Sai lầm trong xác định a, b

b Ý nghĩa mục đích của biện pháp

Biện pháp đưa ra nhằm tăng cường khả năng nhận thức, sử lý tình huống,

khắc sau kiến thức từ việc luyện tập thành thạo các bài tập mang tính chất củng

+ Kĩ năng thao tác biểu diễn kết quả suy nghĩ

+ Kĩ năng chuyển hóa quan hệ

+ Kĩ năng biểu diễn kết quả các quan hệ đã cho

c Tổ chức thực hiện

Biện pháp được áp dụng chủ yếu trên 2 dạng toán sau:

+ Dạng: Phương trình chính tắc và các thuộc tính của ba đường cônic

Bài toán 1: Phương trình chính tắc và các thuộc tính của  E

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu của  E về dạng chính tắc

Trục bé B1B2  2b nằm trên Oy

Các đỉnh: A1a; 0  ,A2 a; 0 ; B10 ; b  ,B2 0 ;b

Hai tiêu điểm: F1c; 0  ,F2 c; 0 với 2 2 2

b a

c   Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x a,y  b

Bán kính qua tiêu của điểm Mx M;y M   E

M M

M M

x a

c a ex a MF

x a

c a ex a MF

* Khả năng 2: Nếu ab, ta được:

+ (E) có trục lớn thuộc Oy, độ dài bằng b chứa hai tiêu điểm

F10 ; c  ,F2 0 ;c với 2 2 2

a b

 E :

2

2

) (

a

x 

1 ) (

X x y

Y

x X

Bài toán 2: Phương trình chính tắc và các thuộc tính của  H

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu của  H về dạng chính tắc

=  1