Khóa luận tốt nghiệp toán Phép đối xứng qua siêu phẳng và bài tập

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ===®^C3G3=== PHẠM THÙY LINH PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VÀ BÀI TẬP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học GV. BÙI VĂN BÌNH HÀ NỘI – 2014 ■ Trong quá trình thực hiện khoá luận em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ quý báu và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè. Em xin chân thảnh cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tâm giảng dạy, truyền thụ kiến thức và kinh nghiệm quý báu để em hoàn thành tốt khoá học. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy Bùi Văn Bình, thầy đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ và chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận. Em xin chân thảnh cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học - khoa Toán, thư viện nhà trường, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, giúp đỡ để em hoàn thành khoá luận này. Xuân Hòa, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên Phạm Thùy Lỉnh Tôi cam đoan khoá luận “Phép đối xứng qua siêu phẳng và bài tập” là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của thầy Bùi Văn Bình. Tôi xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong khoá luận này không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác. Nếu sai xót tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Xuân Hòa, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên LỜI CẢM ƠN Phạm Thùy Lỉnh LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC PHÀN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình toán THPT ở nước ta hiện nay, một số phép biến hình được đưa vào giảng dạy nhưng chỉ áp dụng vào trong mặt phẳng. Trên thực tế, việc vận dụng các phép biến hình vào hình học không gian nhiều khi sẽ đem lại hiệu quả cao và tránh cho học sinh một số sai lầm và ngộ nhận khi giải toán theo cách thông thường. Để giúp học sinh thấy được ứng dụng của phép biến hình vào giải các lớp bài toán: Bài toán chứng minh, Bài toán tính toán, Bài toán dựng hình, Bìa toán quỹ tích .và để cho học sinh có thêm hứng thú học tập và sáng tỏ thêm phần nào đó về phép biến hình nên tôi đã chọn đề tài Đối xứng qua siêu phẳng và bài tập”. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu sâu hơn về phép biến hình, đặc biệt là phép đối xứng qua siêu phẳng. - Làm rõ tính ưu việt của phép đối xứng trong giải toán hình học. 3. Đối tượng, phạm vỉ nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phép đối xứng qua siêu phẳng. - Phạm vi nghiên cứu: Giải các bài toán hình học không gian bằng phép đối xứng. 4. Nhiệm vụ nghiền cứu - Trình bày cơ sở lí thuyết về phép đối xứng - Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về phép đối xứng ừong không gian. - Đề xuất các phương pháp vận dụng phép đối xứng để giải quyết một số bài toán hình học. 5 - Xây dựng hệ thống bài tập và ví dụ minh họa. 5. Phương pháp nghiền cứu - Nghiên cứu sử dụng các lí luận, các công cụ Toán học. - Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu liên quan. 6. Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm 3 phàn: Phàn I: Mở đầu: Phần II: Nội dung: - Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: - Chương 2: Sử dụng phép đối xứng qua siêu phẳng để giải quyết các bài toán hình học. - Chương 3: Ví dụ minh họa: Phần III: Kết luận: PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. Các khái niệm về phép biến hình 1.1. Định nghĩa phép biến hình Mỗi song ánh f: E n -^E n được gọi là phép biến hình của không gian E n . Như vậy, cho một phép biến hình f:E n —»E n là cho một quy tắc để với bất kì điểm MeE n , ta tìm được một điểm M = f(M) hoàn toàn xác định thỏa mãn 2 điều kiện sau đây: - Nếu M, N là 2 điểm phân biệt của E n thì f(M), f(N) là 2 điểm phân biệt của E J J . - Với mỗi điểm M" eE n bao giờ cũng có một điểm MeE n sao cho f(M) = M'. Điểm f(M) được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f. Ngược lại, điểm M được gọi là tạo ảnh của điểm f(M) qua phép biến hình f 6 nói trên. Người ta nói, phép biến hình f biến điểm M thành điểm f(M) và ta có f(M) = M . Điểm M được gọi là điểm bất động của phép biến hình f nếu f(M) = M. Phép biến hình f được gọi là phép đồng nhất nếu mọi điểm M e E n đều là điểm bất động của f, kí hiệu là : e. 1.2. Ví du ■ Trong chương trình hình học lớp 11, chúng ta đã được học một số phép biến hình, ví dụ như: Phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng, cho điểm o cố định. Phép biến hình biến mỗi điểm o thành chính nó, biến mỗi điểm M khác o thảnh điểm M’ sao cho o là trung điểm cảu đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm o. Điểm o được goi là tâm của phép đối xứng đó và là điểm bất động duy nhất của phép đối xứng tâm o, kí hiêu Đ 0 . Phép đối xứng trục: Cho đường thẳng A e E n . Phép biến hình biến mỗi điểm M không thuộc A thành M’ sao cho A là đường trung trực của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng trục, kí hiệu là Đ A . Các điểm thuộc A đều là điểm bất động cảu phép Đ A . 2. Phép biến hình đẳng cự 2.1. Định nghĩa Phép biến hình f: E n —»E n được gọi là phép biến hình đẳng cự của E n nếu nó bảo toàn khoảng cách của 2 điểm bất kì, tức là: f là phép biến hình đẳng cự nếu d(M,N) = d (f(M),f(N)) VM,N eE n ừong đó d(M,N) là khoảng cách của 2 điểm M,N. 2.2. Tính chất a. Phép biến hình đẳng cự là phép biến hình afin. 7 b. Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc. c. Phép biến hình đẳng cự biến 1 siêu cầu của E n thành một siêu cầu có cùng bán kính. 2.3. Định lý Tập hợp các phép biến hình của E n lập thảnh một nhóm với phép toán lấy tích ánh xạ và được kí hiệu là Isom(E n ). 3. Phép đối xứng qua siêu phẳng: 3.1. Định nghĩa Trong En cho siêu phẳng OL Phép biến hình của không gian cho ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định như sau: a. MM’ vuông góc với siêu phang a. b. MM’ cắt a tại o là trung điểm của nó. Gọi là phép đối xứng qua siêu phẳng a, phép đối xứng này kí hiệu là Đ a . Siêu phẳng a được gọi là siêu phẳng đối xứng của phép đối xứng. 3.2. Tính chất a. Phép đổi xứng qua siêu phẳng là 1 phép biến hình đẳng cự nên nó có đầy đủ tính chất của phép biển hình đẳng cự. Chứng minh: Gọi M,N là 2 điểm bất kì trong E n . Xét phép đối xứng qua siêu phẳng a Đ a : M -► M’ N->N’ Gọi I, J làn lượt là trung điểm của MM’, NN’ thì ta có: ITIITẤ _1_ li.1_1_ 8 LT11 1 ™1T11 I Jt; ■ «IX ^ f -i -▼1—iTXA ■ Jt; ■ t/i. 1■ ' ‘‘ ▼ J r T “A “V Vậy d(M,N)= ~ - , I -«vMTO Phép đối xứng qua siêu phẳng là phép biến hình đẳng cự. b. Đ a là phép đổi hợp. Chứng minh: Gọi M’ = Đ a (M) ta có: Đ a (Đ a (M)) = Đ a (M’) = M = id(M) => Đ a là phép đối hợp c. Oi là quỹ tích điểm bất động của Đ a . CHƯƠNG II: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐẺ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC. 1. Giải bài toán chứng minh 1.1. Bài toán chứng minh Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các lạo bài toán hình học khác: các bài toán tính toán, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích. Đó là bài toán cần chứng minh mệnh đề A=> B với A là giả thiết, B là kết luận. Ta đi từ giả thiết A đến kết luận B bằng những suy luận toán học hợp logic ừên cơ sở các định lí, định nghĩa, tính chất. 1.2. Sử dụng phép đổi xứng trong bài toán chứng minh Nếu ta thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đường đã cho ừong giả thiết A với các điểm hay các đường trong kết luận B thông qua phép đối xứng thì nhờ tính chất đẳng cự của phép đối xứng, ta nhận được kết quả về tính đồng quy, thẳng hang, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các tam giác, các đường tròn bằng nhau Từ đó ta sẽ dễ dàng giải quyết được bài toán chứng minh. 9 1.3. Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng Nếu mệnh đề A=> đã được khẳng định nhờ sử dụng phép đối xứng thì ta có thể sử dụng phép đối xứng xét mệnh đề đảo B=^ , xét các trường hợp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa của mệnh đề này ta sẽ được bài toán mới. 1.4. Một sổ ví dụ Ví du 1: Cho hình chóp S.ABC đều. Gọi A, B , c làn lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng : Tứ diện S.ABA và S.BCB bằng nhau. 1 [...]... trong phép đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ Lời siải : Mặt cầu (W) có tâm I x0,y0,z0 và có bán kính R Phép đối xứng qua mặt phẳng (Oxy) biến mặt cầu (W) thành mặt càu (W) và có tâm I x0,y0,z0 là ảnh của I x0,y0,z0 qua phép đối xứng đó và có bán kính bằng bán kính mặt càu (W) Tacó:I x0,y0,— Vậy mặt cầu (W ) có phương trình : X- + - + + = Tương tự, ta có : + Phương trình mặt cầu (W ) đối xứng với (W) qua. .. tính toán 3 Tiến hành tính toán theo dữ liệu đã được thiết lập 2.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán tính toán Ta sử dụng các tính chất của phép đối xứng để tìm ra các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các tam giác hay đường tròn bằng nhau Từ đó dựa vào những yếu tố đã biết của bài toán và các kết quả ta vừa tìm được nhờ sử dụng tính chất của phép đối xứng để tìm ra đại lượng càn tính toán. .. điểm, ta thường tìm hai tập hợp chứa đồng thời điểm cần dựng, sau đó ta dựng các tập họp điểm đó và điểm cần dựng sẽ nằm ừên giao của chúng (nhưng chưa chắc đã là tất cả) Một trong số các tập hợp đó có thể nhận được nhờ sử dụng phép đối xứng 3.3 Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép đổi xứng Đề xuất bài toán : Vói bài toán dựng hình H có tính chất OL nào đó đã cho Sử dụng phép đối xứng Đ biến hình H thành... mặt phẳng (ABM), ta thấy ® AMB • Al—>■ =>• Phép Đ biến tứ diện đều ABCD thành chính nó =Ф(АВМ) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện + Tương tự xét với trường hợp А, с là điểm bất động và A, D là điểm bất động.ta nhận thấy mặt phẳng đi qua AC và trung điểm cạnh BD và mặt phẳng đi qua cạnh AD và trung điểm cạnh BC là mặt phẳng đối xứng của hình tó diện đều ABCD => Điểm A bất động ta có tương ứng 3 mặt phẳng. .. mặt phẳng (ABC’D’) đi qua 2 cạnh đối diện của hình lập phương Vì hình lập phương có 6 cặp cạnh đối diện là (AB,C’D’); (CD, А’В’); (АСД’С5); (BD, B’D’); (A’B,D’C); (AB’, DC’) nên hình lập phương có 6 mặt phẳng đối xứng Xét mặt phẳng (ABC’D’) có nên ta xét phép đối I xứng qua mặt phẳng (ABC’D’) : Đ(ABCE)1) :Ah^ B( > D A'b-> B' > С'и D’l Ta thấy: Đ(ABC,D0: ABCDA'B'C'DW lA'B'C'D' Vậy khi mặt phẳng đối xứng. .. đi qua đỉnh bất động thì không tồn tại (P) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện ABCD Vậy tứ diện đều ABCD có tất cả 6 mặt phẳng đối xứng mà mỗi mặt chứa một cạnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện, (đpcm) Ví du 4: Chứng minh rằng: Hình lập phương ABCDA’B’C’B’ có 9 mặt phẳng đối xứng Lời eiảỉ: Giả sử hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có mặt phẳng đối xứng phẳng (P) biến hình lập phương thành chính nó (hình... Vì N’ đối xứng với N qua mặt phẳng (P) nên H là trung điểm của NN\ Trong đó : t = + + + 2.3 Môt số ví du • ■ Ví du 1 : Tìm ảnh của đường thẳng (d) có phương trình trong phép đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ I Lời giải : Tacó N a,b,c G =>• là vectơ chỉ phương của (d) Ta gọi N là điểm đối xứng của N qua mặt phẳng (Oxy) => KS± У а, и, — Ta xét: M x0;y0;z0 G Đ „ : Ml—■> Оху — + Đường thẳng (d ) đối xứng. .. mà mỗi mặt đi qua trung điểm của 4 cạnh song song thuộc 2 mặt đối diện song song Ví du 5: Cho góc tam diện Oxyz Chứng minh rằng: 3 mặt phẳng đối xứng của 3 góc phẳng không chứa các góc đó cắt nhau theo một giao tuyến Lời siải: • Gọi (P) là mặt phẳng đối xứng của yOz Vì (P) không chứa mặt phẳng xOy => _L • Trên Oy và Oz lấy 2điểm в Từ (1) và (2) => (P) và và с sao cho OB = ОС (Q)cắt mặt phẳng theo giao... trình tự các phép dựng hình cơ bản để tạo ra hình càn dựng Bước 3 : Chứng minh : - Chứng minh rằng với cách dựng trên hình đã dựng phù hợp với yêu cầu của bài toán Bước 4 : Biện luận : Kiểm tra lại với những điểu kiện nào của các giả thiêt thì bài toán giải được và khi giải được thì có bao nhiêu nghiệm hình 3.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán dựng hình Nhờ tính chất bất biến của phép đối xứng ta có... 3 mặt phẳng đối xứng + Ta đi xét lần lượt khi B, c, D là điểm bất động mỗi trường hợp ta thấy có 3 mặt phẳng đối xứng Tứ diện đều ABCD có 6 cạnh=> có 6 mặt phẳng trung trực của các cạnh đó => tứ diện đều ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện =>Khi (P) đi qua 1 đỉnh bất động của hình tứ diện đều thì hình tứ diện có 6 mặt phẳng đối xứng Khi (P) không đi qua đỉnh bất . nó. Gọi là phép đối xứng qua siêu phẳng a, phép đối xứng này kí hiệu là Đ a . Siêu phẳng a được gọi là siêu phẳng đối xứng của phép đối xứng. 3.2. Tính chất a. Phép đổi xứng qua siêu phẳng là 1 phép. II: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐẺ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC. 1. Giải bài toán chứng minh 1.1. Bài toán chứng minh Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các lạo bài toán hình học. qua siêu phẳng và bài tập . 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu sâu hơn về phép biến hình, đặc biệt là phép đối xứng qua siêu phẳng. - Làm rõ tính ưu việt của phép đối xứng trong giải toán hình