3.1. Bài toán dựng hình
Bài toán dựng hình được phát biểu dưới dạng : Dựng một hình thỏa mãn các điều kiện (yêu cầu) sau...
Giải bài toán dựng hình : là chỉ ra một số hữu hạn những phép dựng cơ bản thực hiện theo thứ tự xác định để có được hình thỏa mãn theo yêu cầu của bài toán đã cho.
=> - °
Nghiệm hình : Mỗi hình thỏa mãn các yêu cầu đặt ra của một bài toán gọi là nghiệm hình. Hai hình không bằng nhau thỏa mãn yêu cầu của bài toán được xem là hai nghiệm hình khác nhau
- Nếu trong bài toán không có yêu cầu về vị trí của hình càn dựng thì những hình bằng nhau thỏa mãn các yêu cầu của bài toán gọi là một nghiệm hình.
- Nếu trong bài toán có yêu cầu về vị trí thì những hình bằng nhau nhưng có vị trí khác nhau thỏa mãn các yêu cầu của bài toán được xem là những nghiệm hình khác nhau.
Các bước giải bài toán dựng hình :
Giải bài toán dựng hình là tìm tất cả nghiệm hình của nó. Thông thường giải bài toán dựng hình gồm 4 bước sau : Bước 1 : Phân tích :
- Giả sử đã dựng được hình thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
- Tìm ra các bộ phận của hình đã dựng được ngay ( có thể vẽ thêm hình phụ).
- Đưa việc dựng các yếu tố còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình mà mình đã biết.
Bước 2 : Cách dựng :
- Dựa vào kết quả của phần phân tích, ta trình bày trình tự các phép dựng hình cơ bản để tạo ra hình càn dựng.
Bước 3 : Chứng minh :
- Chứng minh rằng với cách dựng trên hình đã dựng phù hợp với yêu cầu của bài toán.
Bước 4 : Biện luận :
Kiểm tra lại với những điểu kiện nào của các giả thiêt thì bài toán giải được và khi giải được thì có bao nhiêu nghiệm hình.
3.2. Sử dụng phép đối xứng trong bài toán dựng hình
Nhờ tính chất bất biến của phép đối xứng ta có thể thấy mối liên hệ cần thiết của hình vẽ trong các mắt xích của bước phân tích. Đó là vì hình càn dựng có thể quy về việc dựng một số điểm, ta thường tìm hai tập hợp chứa đồng thời điểm cần dựng, sau đó ta dựng các tập họp điểm đó và điểm cần dựng sẽ nằm ừên giao của chúng (nhưng chưa chắc đã là tất cả). Một trong số các tập hợp đó có thể nhận được nhờ sử dụng phép đối xứng.
3.3. Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép đổi xứng
Đề xuất bài toán : Vói bài toán dựng hình H có tính chất OL nào đó đã cho.
Sử dụng phép đối xứng Đ biến hình H thành hình H có tính chất OL có được do chuyển các tính chất a tương ứng qua Đ (nhờ tính chất bất biến của Đ) ta nhận được bài toán dựng hình H có tính chất a . Lúc đó nếu một trong hai bài toán giải được thì bài toán còn lại cũng giải được.
Xét một số trường hợp đặc biệt của bài toán : Sử dụng thao tác đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa bằng cách thay đổi các tập hợp điểm (hình này) bằng các tập hợp điểm khác (hình khác) nhờ sử dụng sự ừợ giúp của phép đối xứng.
3.4. Một số ví dụ
Ví du 1 : Trong mặt phẳng, cho góc xOy và điểm A trong nó. Hãy dựng
các điểm В, с lần lượt trên Ox, Oy để ДАВС có chu vi nhỏ nhất. Lời siải:
•Phân tích:
Giả sử ta đã dựng được điểm в G Ох, с G Oy sao cho ДАВС có chu vi nhỏ nhất.
Ta có: Đox : А и Ai
AiA2 nOx = Bi Đ0y : А I—> A2
А1А2 r^\ Oy = Cl Ái
Ta có : AB + ВС + CA — AiB + ВС + CA2 ^ A1A2 Mà A1A2= A1B1 + B1C1 + AjCj
— ABi + B1C1 + ACi =>AB + BC + CA ^ ABi + B1C1 + ACi Do ЛАВС có chu vi nhỏ nhất nên В — ВI ; С —С [.
• Cách dựng:
+) Dựng điểm Al, Aal Đox : а и Ai Đ0y • A I— > A2 A1A2 nOx = В] , AiA2 n Oy = Cl Khi đó В, С là điểm cần dựng, (hình 3.1)
• Chứng mình
Lấy điểm B' e Ох, с e Oy.
Đ0x • А I—> Al
Đ0y • A I—> Ả.2 A1A2 о Ox = Bl , A1A2 О Oy = Cl Ta có:
AB'+B'C+AC= AiB' + B'C+A2C>A1B + BC + A2C = AB + BC+CA
=>AABC có chu vi nhỏ nhất.
•Bien luân
• •
+) Neu xOy < 90° thì bài toán có một nghiệm hình +) Nếu xỌy > 90° thì ДОА, = 2xỌy > 180° =>AiA2 không cắt Ox, Oy
( hoặc chúng cắt tại о khi A1A2 đi qua O). Với VB, с eOx, Oy ta đều có:
AB
+ BC + CA = AiB + BC + CA2 > AiO + OA2 =>AABC có chu vi nhỏ nhất khi в =с = 0 ^AABC suy biến thành đoạn CA.
=>Bài toán không có nghiệm hình.
Ví du 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. АЪ'СТ)'. Hãy tìm điểm M e( АЪ'СТ)') sao cho MA + MB + MD nhỏ nhất.
Lời eiải: •Phân tích
+) Giả sử ta đã dựng được điểm M e( АЪ'СТ)') sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất.
Тя. co I A I—ỳ Aj