BiC n В'С =к AiD nAÜ=I
Do A1B1 // = AB, ABỈỈ = CD =3>AiBi // = CD
^AiBiCD là hình bình hành =>(A!BiCD) n(A'B'CD') = IK Ta có
MA + MC = MAi + MC > AiC MB + MD = MBi + MD > BiD
Do MA + MB + MC + MD nhỏ nhất
^>M =A]C n B]D hay M =B'D' n A'C
• Cách dựng:
+) Dựng điểm Ai, Bi : Đ (AB.cư) : A h) Ai B I—) AiC n B ' C = K B,D n AD' = I A' c n BD' = o Khi đó, M = o chính là điểm cần dựng, (hình 3.2) • Chứng minh: Ta có: Đ(AB,cd,} : AB I—> A1B1 Khi đó A1B1 //= AB Mà AB //= CD => A1B1 //= CD X- + + 3 + - =
Ta có (A1B1CD) n( ABCD') = IK (theo cách dựng) IK đi qua giao điểm của A' c và BD'.
Hiển nhiên
MA + MC = MAi + MC > A!C
MBi + MD > BiD
Do độ dài của AiC và BiD không phụ thuộc vào vị trí của M và AiC nBiD = A' с n BD'
M = o. Khi đó, MA + MB + MC + MD nhỏ nhất •Biện
luận:
Bài toán có một nghiệm hình.
Ví du 3: : Cho hai nủa đường thẳng OA, OB về cùng một phía đối với mặt phẳng (P) và О G (P). Tìm trong mặt phẳng (P) đường thẳng tạo với OA, OB các góc số đo nhỏ nhất.
Lời eiải:
• Phân tích
+) Giả sử đã dựng được đường thẳng d thỏa mãn đầu bài, không làm mất tính tổng quát, ta giả sử о G d ( nếu о G d thì đường thẳng d' //
d, О G d' cũng thỏa mãn bài toán) + Xét Đ (P) • ® I—1
GọiD ed ; D ф о Vì d <z (P) => Đ(P) : d I—>d
=^> DOB = DOB Ta có:
AOD + DOB = AOD + DOB' > AOB'
( tính chất góc tam diện ) Dấu “ =” xảy ra ki d с ( АОВ ) Mà d с: (P) =^> (P) n (AOB') = d
1Chứng minh
Vì (P) n (AOB') = OD nên AOD + DOB = AOD + DOB' = AOB'
Hình 3.3 • Cách dựng Dựng B' : Đjpj ; B I—) B AB' n(P) = D Đường thẳng d đi qua o và D là đường thẳng cần dựng, (hình 3.3) d' G (P) ; d' Ф d ; о G d' ^ВШ = ВШ
=>AOd' + d'OB = AOd + đOB' > AOB' Vậy góc AOB' là góc nhỏ nhất
•Biên luân
• •
Bài toán có duy nhất một nghiệm hình.
Ví du 4: Cho đường tròn (O) và (O') nằm về một phía với đường thẳng PQ. Tìm M G PQ để tiếp tuyến tại M với (O) và (O') là Mt và Mt' sao cho PMt = QMt'.
Lời eiải:
•Phân tích Hình3.4
+ Giả sử đã dựng được điểm M sao cho PMt = QMt'. Ta thấy: Mt và M t' đối xứng với nhau qua đường vuông góc với PQ tại M.
Nếu ta lấy đối xứng qua PQ thì: Đ(PQ): (O)I—» (S)
Mt I—> Ms => PMt = PMs Mà PMt = QMt'
=> PMt = PMs => M t' và Ms trực đối => t' s là tiếp tuyến chung của (0') và (S).
•Dựng hình
+) Dựng đường tròn (S): Đ (PQ): (O) I—» (S) +) Dựng tiếp tuyến chung t' s của 2 đường tròn (O') và (S) +) t's nPQ = M
=> M là điểm đối xứng, (hình 3.4)
• Chứng minh
TaccKĐ^: (O)I—> (S) MtI—> Ms Hay PMt = PMs Mà PMt = QMt' (2 góc đối đỉnh M, theo cách dựng) =>PMt = QMt' • Biên luân: ■ •
Do (O) và (ơ) nằm cùng phía của PQ nên (ơ) và (S') nằm về hai phía cuả PQ.
=> (S) và (ơ) có 4 tiếp tuyến chung đều cắt PQ ^ Bài toán có 4 nghiệm hình.