4. Giảỉ bài toán quỹ tích 1 Bài toán quỹ tích
4.3. Sáng tạo bài toán quỹ tích nhờ phép đối xứng
Xuất phát từ bài toán cơ bản 8, của N hay bài toán quỹ tích càn
tìm những điểm N có tính chất a đã giải được và quỹ tích là £ bằng phép đối xứng Đ hoặc tích của các phép đối xứng biến điểm N thành M rồi chuyển tính chất a của điểm N thảnh tính chất a của điểm M sao cho:
N có tính chất a M có tính chất a
Lúc đó ta sẽ có bài toán quỹ tích mới là : “ Tìm quỹ tích những điểm M có tính chất Oi ” mà kết quả quỹ tích của M chính là Đ ^
4.4. Một số ví dụ
Ví du 1: Góc xỌy. Tìm tập hợp điểm M ừong không gian sao cho tia OM hçrp với các tia Ox, Oy những góc bằng nhau.
Lời eỉảỉ:
Gọi (P) là mặt phẳng đối xứng biến xOM thành yOM [Oz _L (P) Với VM E ( P ) ta luôn có xOM = yOM
Quỹ tích của M là mặt phang (P).
Ví du 2 : Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. Với mỗi điểm M bất kì trong không gian, ta gọi Mi là điểm đối xứng với M qua (P). M2 là điểm đối xứng với Mi qua (Q) và M3 là điểm đối xứng với M2 qua (P).
Lời eỉảỉ:
Ta c ó i Đ ^ : M h-> Mi (MMi _L(P)tạiI) Đ(Q) : Mi h-» M (M1M2 -L(Q)tạiJ)
: M2 ^ M3 (M2M3 l ( P ) t ạ i K )
Taứiấy: Đ (p): Mi I—> M2 => Đ(P): M1M2I—> M2M3 M2 I—» M3
Hay trung điểm J của M1M2 biến thành T là trung điểm của MM3. V Ì J e ( Q ) ^ J e (Q).
Vậy quỹ tích trung điểm MM3 là ảnh của mặt phẳng (Q) qua phép đối xứng qua mặt phẳng (P).
Ví du 3 : Cho ÀABC nội tiếp trong một đường tròn. Gọi M là 1 điểm di động ừên đường tròn ấy và Mi, M2, M3 theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB. Tìm tập họp các điểm Mi, M2, M3.
Hình
Lời
( Hình 4.2) Dựng (Oi) : : (O) h-> (Oi)
+) Ta có: Đ ^ Q : M I—» Mi (O) h-» (OO
Mà M di động trên đường tròn ngoại tiếp AABC =>M! cũng di động trên đường tròn đối xứng với đường tròn (O) qua Đ (BQ
Vì Đ(BC): : (O) I—» (Oi)
=>Quỹ tích của Mi là đường ừòn (Oi) +) Ta có: Đ(AC): M I—> M2 (O) i-> (02)
Mà M di động trên đường tròn ngoại tiếp ÀABC =>M2 cũng di động trên đường tròn đối xứng với đường tròn (O) qua Đ (AC).
V Ì Đ( A Q: ( 0 ) ^ (02)
=>Quỹ tích của M2 là đường ừòn (02) +) Ta có: Đ(AB): M I—> M3 (O) i-> (03)
Mà M di động trên đường tròn ngoại tiếp AABC =>M3 cũng di động trên đường tròn đối xứng với đường tròn (O) qua Đ (AB).
V Ì Đ( A B ): ( 0 ) ^ (03).
=> Quỹ tích của M3 là đường tròn (O3). Ví
du 4: Cho hình vuông ABCD có tâm o. Vẽ đường thẳng (d) quay quanh o cắt hai cạnh AD và BC làn lượt tại E và F (E và F không trùng với các đỉnh của hình).Từ E và F lần lượt kẻ các đoạn thẳng song song với BD và AC cắt nhau tại I.
Lời siải:+ Phàn thuận: (hình 4.3)
Ta thấy BD là trục đối xứng của hình vuông ABCD và IE // BD.
=>• BD là đường trung trực của IE (1).
Tương tự, ta cũng có: AC là đường trung trực của IF (2).
Từ (1) và (2): 01 = OE = 0F
=>0 là tâm đường tròn ngoại tiếp A h a y l e Giới hạn: Khi (d) di động đến AC thì 1 =
Khi (d) di động đến BD thì 1 =
Vậy quỹ tích điểm I là đoạn thẳng AB trừ hai điểm A và B. + Phần đảo:
Ta có: o là tâm đối xứng của hình vuông ABCD nên o cũng là tâm đối xứng của EF.
Ta có: BD_L
BD là trục đối xứng của hình vuông ABCD. =>BD là đường trung trực của IF => I F / / A C