Phép đối xứng qua siêu phẳng và bài tập (KL06191)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== PHẠM THÙY LINH PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VÀ BÀI TẬP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học GV BÙI VĂN BÌNH HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực khoá luận em nhận đƣợc nhiều giúp đỡ quý báu bổ ích từ thầy cô bạn bè Em xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội tận tâm giảng dạy, truyền thụ kiến thức kinh nghiệm quý báu để em hoàn thành tốt khoá học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy Bùi Văn Bình, thầy trực tiếp hƣớng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ bảo em suốt trình thực khoá luận Em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Hình học – khoa Toán, thƣ viện nhà trƣờng, gia đình bạn bè tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ để em hoàn thành khoá luận Xuân Hòa, ngày 16 tháng năm 2014 Sinh viên Phạm Thùy Linh LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan khoá luận “Phép đối xứng qua siêu phẳng tập” kết nghiên cứu dƣới hƣớng dẫn thầy Bùi Văn Bình Tôi xin khẳng định kết nghiên cứu khoá luận không trùng với kết tác giả khác Nếu sai xót xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Xuân Hòa, ngày 16 tháng năm 2014 Sinh viên Phạm Thùy Linh MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Các khái niệm phép biến hình 1.1 Định nghĩa phép biến hình 1.2 Ví dụ Phép biến hình đẳng cự 2.1.Định nghĩa 2.2 Tính chất 2.3 Định lý Phép đối xứng qua siêu phẳng: 3.1 Định nghĩa 3.2 Tính chất CHƢƠNG II: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC Giải toán chứng minh 1.1 Bài toán chứng minh 1.2 Sử dụng phép đối xứng toán chứng minh 1.3 Khai thác toán chứng minh nhờ phép đối xứng 1.4 Một số ví dụ Giải toán tính toán 20 2.1 Bài toán tính toán 20 2.2 Sử dụng phép đối xứng toán tính toán 20 2.3 Một số ví dụ 22 Giải toán dựng hình 26 3.1 Bài toán dựng hình 26 3.2 Sử dụng phép đối xứng toán dựng hình 27 3.3 Khai thác toán dựng hình nhờ phép đối xứng 27 3.4 Một số ví dụ 28 4.Giải toán quỹ tích 36 4.1 Bài toán quỹ tích 36 4.2 Sử dụng phép đối xứng để giải toán quỹ tích 37 4.3 Sáng tạo toán quỹ tích nhờ phép đối xứng 37 4.4 Một số ví dụ 37 CHƢƠNG III: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG 42 PHẦN III: KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chƣơng trình toán THPT nƣớc ta nay, số phép biến hình đƣợc đƣa vào giảng dạy nhƣng áp dụng vào mặt phẳng Trên thực tế, việc vận dụng phép biến hình vào hình học không gian nhiều đem lại hiệu cao tránh cho học sinh số sai lầm ngộ nhận giải toán theo cách thông thƣờng Để giúp học sinh thấy đƣợc ứng dụng phép biến hình vào giải lớp toán: Bài toán chứng minh, Bài toán tính toán, Bài toán dựng hình, Bìa toán quỹ tích…và học sinh có thêm hứng thú học tập sáng tỏ thêm phần phép biến hình nên chọn đề tài :” Đối xứng qua siêu phẳng tập” Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu sâu phép biến hình, đặc biệt phép đối xứng qua siêu phẳng - Làm rõ tính ƣu việt phép đối xứng giải toán hình học Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Phép đối xứng qua siêu phẳng - Phạm vi nghiên cứu: Giải toán hình học không gian phép đối xứng Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sở lí thuyết phép đối xứng - Nghiên cứu kiến thức phép đối xứng không gian - Đề xuất phƣơng pháp vận dụng phép đối xứng để giải số toán hình học - Xây dựng hệ thống tập ví dụ minh họa Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sử dụng lí luận, công cụ Toán học - Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu liên quan Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm phần: Phần I: Mở đầu: Phần II: Nội dung: - Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị: - Chƣơng 2: Sử dụng phép đối xứng qua siêu phẳng để giải toán hình học - Chƣơng 3: Ví dụ minh họa: Phần III: Kết luận: PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Các khái niệm phép biến hình 1.1 Định nghĩa phép biến hình Mỗi song ánh f: En  En đƣợc gọi phép biến hình không gian En Nhƣ vậy, cho phép biến hình f:En  En cho quy tắc để với điểm M  En , ta tìm đƣợc điểm M' = f(M) hoàn toàn xác định thỏa mãn điều kiện sau đây: - Nếu M, N điểm phân biệt En f(M) , f(N) điểm phân biệt En - Với điểm M'  En có điểm M  En cho f(M) = M' Điểm f(M) đƣợc gọi ảnh điểm M qua phép biến hình f Ngƣợc lại, điểm M đƣợc gọi tạo ảnh điểm f(M) qua phép biến hình f nói Ngƣời ta nói, phép biến hình f biến điểm M thành điểm f(M) ta có f(M) = M' Điểm M đƣợc gọi điểm bất động phép biến hình f f(M) = M Phép biến hình f đƣợc gọi phép đồng điểm M  En điểm bất động f, kí hiệu : e 1.2 Ví dụ Trong chƣơng trình hình học lớp 11, đƣợc học số phép biến hình, ví dụ nhƣ: - Phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định Phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho O trung điểm cảu đoạn thẳng MM’ đƣợc gọi phép đối xứng tâm O Điểm O đƣợc goi tâm phép đối xứng điểm bất động phép đối xứng tâm O, kí hiêu ĐO - Phép đối xứng trục: Cho đƣờng thẳng Δ  En Phép biến hình biến điểm M không thuộc  thành M’ cho  đƣờng trung trực đoạn MM’ đƣợc gọi phép đối xứng trục, kí hiệu Đ ∆ Các điểm thuộc  điểm bất động cảu phép Đ∆ Phép biến hình đẳng cự 2.1.Định nghĩa Phép biến hình f : En  En đƣợc gọi phép biến hình đẳng cự En bảo toàn khoảng cách điểm bất kì, tức là: f phép biến hình đẳng cự d(M,N) = d (f(M),f(N)) M,N En d(M,N) khoảng cách điểm M,N 2.2 Tính chất a Phép biến hình đẳng cự phép biến hình afin b Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn góc c Phép biến hình đẳng cự biến siêu cầu En thành siêu cầu có bán kính 2.3 Định lý Tập hợp phép biến hình En lập thành nhóm với phép toán lấy tích ánh xạ đƣợc kí hiệu Isom(En) Phép đối xứng qua siêu phẳng: 3.1 Định nghĩa Trong En cho siêu phẳng  Phép biến hình không gian cho ứng điểm M với điểm M’ xác định nhƣ sau: a MM’ vuông góc với siêu phẳng  b MM’ cắt  O trung điểm Gọi phép đối xứng qua siêu phẳng , phép đối xứng kí hiệu Đ Siêu phẳng  đƣợc gọi siêu phẳng đối xứng phép đối xứng 3.2 Tính chất a Phép đối xứng qua siêu phẳng phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ tính chất phép biến hình đẳng cự Chứng minh: Gọi M,N điểm En Xét phép đối xứng qua siêu phẳng  Đ : M  M’ N  N’ Gọi I, J lần lƣợt trung điểm MM’, NN’ MM'  IJ,NN'  IJ ta có: 2 2 MN=MI+IJ+JN  MN =MI +IJ +JN +2MI.JN 2 2 M'N'=M'I+IJ+JN'  M'N' =M'I +IJ +JN' +2M'I.JN' 2    =MI +IJ +JN +2 -MI -JN  Bài toán có nghiệm hình 4.Giải toán quỹ tích 4.1 Bài toán quỹ tích Bài toán quỹ tích: toán tìm tập hợp điểm (hay hình) có chung tính chất cho trƣớc Giải toán quỹ tích: Thông thƣờng để giải toán quỹ tích cần tìm hiểu kĩ toán, yếu tố đặc trƣng toán, giúp ta hình dung đƣợc hình dạng, vị trí quỹ tích đến dự đoán quỹ tích K điểm M có tính chất hình H.Để chứng minh mệnh đề ta cần chứng minh phần: Phần thuận phần đảo - Chứng minh phần thuận ( chứng minh điều kiện đủ): K tập H, nghĩa điểm có tính chất nằm hình H ( đảm bảo tính chất không thiếu quỹ tích) - Chứng minh phần đảo (chứng minh điều kiện cần): H tập K tức điểm thuộc H có tính chất (đảm bảo tính chất không thiếu quỹ tích) Giới hạn quỹ tích: Trong chứng minh phần thuận nhiều toán quỹ tích ta thƣờng tìm đƣợc hình H’ chứa điểm M có tính chất Nhƣng điều kiện hạn chế khác giả thiết toán, tập hợp điểm M cần tìm tập H H’ Khi đó, ta cần phải tiến hành giới hạn quỹ tích để loại bỏ điểm không thuộc quỹ tích cần tìm từ hình H’ để timg đƣợc hình H Biện luận quỹ tích: Khí số toán chƣa đƣợc xác định hoàn toàn( vị trí, kích thƣớc toán có tham số…)thì ta phải biết cách tiến hành biện luận quỹ tích, tức cần phải đề cập đến tât trƣờng hợp xảy toán quỹ tích 36 4.2 Sử dụng phép đối xứng để giải toán quỹ tích Phân tích toán để chọn xác định điểm N thỏa mãn điều kiện sau: - Tồn phép đối xứng Đ biến điểm N thành điểm M Đ: N M - Quỹ tích điểm N đƣợc xác định - Giả sử điểm N đƣợc xác định, ta tiến hành tìm quỹ tích điểm N, giả sử hình (H) - Khi đó, Đ: N M nên N H điểm M H' , (H’) ảnh hình (H) qua phép đối xứng Đ nói 4.3 Sáng tạo toán quỹ tích nhờ phép đối xứng Xuất phát từ toán tìm điểm N có tính chất N hay toán quỹ tích cần giải đƣợc quỹ tích phép đối xứng Đ tích phép đối xứng biến điểm N thành M chuyển tính chất điểm N thành tính chất ' điểm M cho: N có tính chất M có tính chất ' Lúc ta có toán quỹ tích : “ Tìm quỹ tích điểm M có tính chất ' ” mà kết quỹ tích M Đ 4.4 Một số ví dụ Ví dụ 1: Góc xOy Tìm tập hợp điểm M không gian cho tia OM hợp với tia Ox, Oy góc Lời giải: x Kẻ tia Oz tia phân giác góc xOy ( hình 4.1) M z O P 37 y Gọi (P) mặt phẳng đối xứng biến xOM thành yOM (P)  (xOy) Khi đó:  Oz  (P) Với  M (P) ta có xOM = yOM Quỹ tích M mặt phẳng (P) Ví dụ : Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt Với điểm M không gian, ta gọi M1 điểm đối xứng với M qua (P) M2 điểm đối xứng với M1 qua (Q) M3 điểm đối xứng với M2 qua (P) Lời giải: M1 ( MM1  (P) I) Ta có: Đ (P) : M Đ (Q) : M1 M ( M1M2  (Q) J) Đ (P) : M3 ( M2M3  (P) K ) Ta thấy: M2 M2  Đ (P) : M1 M2 Đ (P) : M1M2 M2M3 M3 Hay trung điểm J M1M2 biến thành J' trung điểm MM3 Vì J  (Q)  J'  (Q) Vậy quỹ tích trung điểm MM3 ảnh mặt phẳng (Q) qua phép đối xứng qua mặt phẳng (P) 38 Ví dụ : Cho ∆ABC nội tiếp đƣờng tròn Gọi M điểm di động đƣờng tròn M1, M2, M3 theo thứ tự điểm đối xứng M qua BC, CA, AB Tìm tập hợp điểm M1, M2, M3 A O1 O3 O C O2 B Lời giải: Hình 4.2 ( Hình 4.2) Dựng (O1) : Đ (BC) : (O) (O2) : Đ (AC) : (O) (O3) : Đ (AB) : (O) (O2) (O3) 39 (O1) +) Ta có: Đ (BC) : M (O) M1 (O1) Mà M di động đƣờng tròn ngoại tiếp ∆ABC M1 di động đƣờng tròn đối xứng với đƣờng tròn (O) qua Đ (BC) Vì Đ (BC) : Đ (BC) : (O) (O1) Quỹ tích M1 đƣờng tròn (O1) +) Ta có: Đ (AC) : (O) M M2 (O2) Mà M di động đƣờng tròn ngoại tiếp ∆ABC M2 di động đƣờng tròn đối xứng với đƣờng tròn (O) qua Đ (AC) Vì Đ (AC) : (O) (O2) Quỹ tích M2 đƣờng tròn (O2) +) Ta có: Đ (AB) : (O) M M3 (O3) Mà M di động đƣờng tròn ngoại tiếp ∆ABC M3 di động đƣờng tròn đối xứng với đƣờng tròn (O) qua Đ (AB) Vì Đ (AB) : (O) (O3)  Quỹ tích M3 đƣờng tròn (O3) Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD có tâm O Vẽ đƣờng thẳng (d) quay quanh O cắt hai cạnh AD BC lần lƣợt E F (E F không trùng với đỉnh hình).Từ E F lần lƣợt kẻ đoạn thẳng song song với BD AC cắt I Tìm quỹ tích điểm I D C Lời giải: E 40 O F + Phần thuận: ( hình 4.3) Ta thấy BD trục đối xứng hình vuông ABCD IE // BD BD đƣờng trung trực IE (1) Tƣơng tự, ta có: AC đƣờng trung trực IF (2) Từ (1) (2): OI = OE = OF O tâm đƣờng tròn ngoại tiếp O;OI IEF hay I Giới hạn: Khi (d) di động đến AC I A Khi (d) di động đến BD I B Vậy quỹ tích điểm I đoạn thẳng AB trừ hai điểm A B + Phần đảo: Ta có: O tâm đối xứng hình vuông ABCD nên O tâm đối xứng EF Ta có: BD IF BD trục đối xứng hình vuông ABCD BD đƣờng trung trực IF IF // AC 41 CHƢƠNG III: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG Bài : Cho tứ diện ABCD a Chứng minh : Mặt phẳng trung trực cạnh AB mặt phẳng đối xứng hình tứ diện b Ta lấy điểm K ACD gọi E giao điểm BK với mặt phẳng đối xứng Chứng minh : EA EK AB Lời giải : A a Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng qua M CD K mặt phẳng trung trực AB (hình 5.1) H Ta có: Đ MCD : A B C D C D M D E P C B Hình 5.1 Vậy mặt phẳng trung trực cạnh AB mặt phẳng đối xứng hình tứ diện b Gọi H chân đƣờng cao tứ diện hạ từ B xuống (ACD) BH AB Vì K điểm ACD nên BK 42 BH E giao điểm cảu BF với mặt phẳng đối xứng nên AE = BE EA EK Mà BK BH EB EK BK BK AB (đpcm).h Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt không vuông góc với Gọi (R) ảnh (Q) qua phép đối xứng Đ P Chứng minh rằng: Đ P Đ Q Đ P ĐR Lời giải: Đặt Đ ĐP ĐQ ĐP Theo giả thiết: Đ P : Q R Ta có: + Với M ĐP :M M' R ta có : Đ Q : M' M' Đ P : M' M Đ:M M Vậy (R) mặt phẳng bất động phép biến đổi Đ + Với M R ta có : Đ P : M M1 ( MM1 P I ) Đ Q : M1 M2 ( M1M2 Q K ) Đ P : M2 M' ( M2M' P H ) Nhƣ vậy, Đ P : M1 M M2 M' Do : Đ P : M1M2 K MM' K' ( K’ trung điểm MM’ ) 43 Vì K K' Q Vậy Đ: M R mà M1M2 Q nên MM' R R trung điểm K’ MM’ ) M' ( MM' Đ có (R) mặt phẳng bất động Đ ĐR ( đpcm) Bài : Cho điểm phân biệt B, C cố định( BC không đƣờng kính) đƣờng tròn (O), điểm A di động (O) Chứng minh rằng: Khi A di động (O) trực tâm ABC di động đƣờng tròn Lời giải: Gọi : H trực tâm ABC I, H’ lần lƣợt giao điểm tia AH với đoạn thẳng BC đƣờng tròn (O) (hình 5.2) A Ta có : AMH BAH CNH HCB mà BAH D M O H'CB H N (2 góc chắn cung BH' ) HCB H'CB B C HCH' tam giác cân ĐBC : H H' H' Hình 5.2 Khi A chạy đƣờng tròn (O) H’ chạy đƣờng tròn (O) Khi A di động đƣờng tròn (O) trực tâm ABC di động đƣờng tròn ảnh đƣờng tròn (O) qua phép đối xứng trục BC 44 Bài : Cho hình bát diện ABCDEF Chứng minh :Bốn đỉnh A, B, C, D nằm mặt phẳng mặt phẳng đối xứng hình bát diện Lời giải : Vì điểm A, B, C, D cách đỉểm E F nên bốn điểm nằm mặt phẳng trung trực EF A, B, C, D nằm mặt phẳng Xét phép đối xứng qua mặt phẳng (ABCD) (hình 5.3) E Ta có : Đ ABCD : A B C D E F A B C D F E A B D C F Hình 5.3 Vậy (ABCD) làm mặt phẳng đối xứng hình bát diện ABCDEF Bài : Cho đƣờng tròn (O;R) hai điểm A, B thuộc đƣờng tròn Đƣờng tròn (I,r) tiếp xúc với đƣờng tròn (O;R) A Một điểm M 45 di động đƣờng tròn (O;R), tia MA cắt đƣờng tròn (I,r) điểm thứ hai C Qua C vẽ đƣờng thẳng song song với AB cắt đƣờng thẳng MB D Tìm quỹ tích điểm D Lời giải : Gọi E giao điểm CD với (I;r) Vẽ tiếp tuyến chung (O;R) (I;r) xt (hình 5.4) Ta có ABM=xAM; CEA=tAC xAM=tAC ABM=EDB (CD//AB)  CEA=EDB nên tứ giác ABDE hình thang cân t d D C E I' I B A O x M Hình 5.4 Gọi d đƣờng trung trực đoạn thẳng AB thi (d) đƣờng trung trực đoạn ED Phép đối xứng Đd: E  D 46 Khi M di động đƣờng tròn (O; R) E di động đƣờng tròn (I;r) nên quỹ tích điểm D đƣờng tròn (I'; r) ảnh đƣờng tròn (I; r) qua phép đối xứng Đd Do đƣờng tròn (I; r) tiếp xúc với đƣờng tròn (O; R) A nên đƣờng tròn (I'; r) tiếp xúc với đƣờng tròn (O; R) B Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi tâm O SO vuông góc với đáy Gọi M,N lần lƣợt trung điểm cạnh SA SC Trên BM DN ta lần lƣợt lấy hai điểm H K cho BH BM DH Gọi I trung điểm HK Chứng minh : S, I, O DN thẳng hàng Lời giải: Xét phép đối xứng ĐSO qua đƣờng thẳng SO Ta có : ĐSO : A S C B D M N BH BM DN mà BM N DK DN I M BH = DK Giả sử ĐSO : H H’, ta cần H K C B chứng minh H K O A D Hình 5.5 Do H nằm B M nên H’ nằm D N ta có BH = DH’ Suy H’ K hay ĐSO : H 47 K Vậy H, K điểm tƣơng ứng qua phép đối xứng ĐSO nên trung điểm I HK phải thuộc SO S, I O thẳng hàng 48 PHẦN III: KẾT LUẬN Việc đƣa phép biến hình vào chƣơng trình Toán phổ thông, đặc biệt việc đƣa phép biến hình vào hình học không gian giúp học sinh nhận biết đƣợc mối quan hệ hình học phẳng hình học không gian Nó cung cấp công cụ hữu hiệu để giải lớp toán hình học không gian, phát triển tƣ cho học sinh Luận văn đƣa hệ thống lý thuyết, ví dụ minh họa việc áp dụng phép đối xứng qua siêu phẳng, hệ thống tập minh họa cho dạng tập bƣớc đầu thể tính ƣu việt phƣơng pháp biến hình việc giải toán biến hình không gian Nhƣ vậy, đề tài “ Đối xứng qua siêu phẳng tập” hoàn thành nội dung đạt đƣợc mục đích nghiên cứu Bƣớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắn luận văn tránh khỏi thiếu xót Tôi mong muốn thầy cô, bạn sinh viên, độc giả đóng góp ý kiến, trao đổi để luận văn hoàn thiện thực tài liệu tham khảo bổ ích 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Văn Bình – Nguyễn Văn Vạn, Giáo trình hình học sơ cấp, ĐHSP Hà Nội 2, 1993 [2] Bùi Văn Bình, Bài tập hình học sơ cấp, ĐHSP Hà Nội 2, 1993 [3] Đỗ Thanh Sơn, Các phép biến hình không gian, NXB Giáo dục, 2005 [4] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục, 2000 [5] Văn Nhƣ Cƣơng - Tạ Mân, Hình học afin hình học Ơclit, NXB Giáo dục, 2000 50 [...]... =d(M',N')  Phép đối xứng qua siêu phẳng là phép biến hình đẳng cự b Đ là phép đối hợp Chứng minh: Gọi M’ = Đ(M) ta có: Đ(Đ(M)) = Đ(M’) = M = id(M)  Đ là phép đối hợp c  là quỹ tích điểm bất động của Đ 6 CHƢƠNG II: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 1 Giải bài toán chứng minh 1.1 Bài toán chứng minh Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các lạo bài toán hình... dụng phép đối xứng trong bài toán tính toán Ta sử dụng các tính chất của phép đối xứng để tìm ra các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các tam giác hay đƣờng tròn bằng nhau…Từ đó dựa vào những yếu tố đã biết của bài toán và các kết quả ta vừa tìm đƣợc nhờ sử dụng tính chất của phép đối xứng để tìm ra đại lƣợng cần tính toán + Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng : 20 Cho mặt phẳng. .. mặt phẳng trung trực của CD (ABM) chính là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều ABCD Mặt khác, xét mặt phẳng (ABM), ta thấy Đ AMB : A A 13 B C D B D C Phép Đ AMB biến tứ diện đều ABCD thành chính nó (ABM) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện + Tƣơng tự xét với trƣờng hợp A, C là điểm bất động và A, D là điểm bất động.ta nhận thấy mặt phẳng đi qua AC và trung điểm cạnh BD và mặt phẳng đi qua cạnh AD và trung... thông qua phép đối xứng thì nhờ tính chất đẳng cự của phép đối xứng, ta nhận đƣợc kết quả về tính đồng quy, thẳng hang, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các tam giác, các đƣờng tròn bằng nhau… Từ đó ta sẽ dễ dàng giải quyết đƣợc bài toán chứng minh 1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng Nếu mệnh đề A B đã đƣợc khẳng định nhờ sử dụng phép đối. .. đi qua M và vuông góc với ON Phƣơng trình mặt phẳng (P’) có dạng : Ax + By - Cz + D = 0 Tƣơng tự , ta có : + Phƣơng trình mặt phẳng (P’’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng (Oxz) có dạng : Ax - By + Cz + D = 0 23 + Phƣơng trình mặt phẳng (P’’’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng (Oyz) có dạng : - Ax + By + Cz + D = 0 Ví dụ 3 : Tìm ảnh của mặt cầu (W) có phƣơng trình : x xo 2 y yo 2 z zo 2 R2 trong phép đối xứng. .. điểm, ta thƣờng tìm hai tập hợp chứa đồng thời điểm cần dựng, sau đó ta dựng các tập hợp điểm đó và điểm cần dựng sẽ nằm trên giao của chúng (nhƣng chƣa chắc đã là tất cả) Một trong số các tập hợp đó có thể nhận đƣợc nhờ sử dụng phép đối xứng 3.3 Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép đối xứng Đề xuất bài toán : Với bài toán dựng hình H có tính chất nào đó đã cho Sử dụng phép đối xứng Đ biến hình H thành... xứng qua các mặt phẳng tọa độ Lời giải : Mặt cầu (W) có tâm I xo ,yo ,zo và có bán kính R Phép đối xứng qua mặt phẳng (Oxy) biến mặt cầu (W) thành mặt cầu (W’) và có tâm I' x'o ,y'o ,z'o là ảnh của I xo ,yo ,zo qua phép đối xứng đó và có bán kính bằng bán kính mặt cầu (W) Ta có : I' xo , yo , zo Vậy mặt cầu (W’) có phƣơng trình : x xo 2 y yo 2 z zo 2 R2 Tƣơng tự, ta có : + Phƣơng trình mặt cầu (W’’) đối. .. trung điểm cạnh BC là mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều ABCD Điểm A bất động ta có tƣơng ứng 3 mặt phẳng đối xứng + Ta đi xét lần lƣợt khi B, C, D là điểm bất động mỗi trƣờng hợp ta thấy có 3 mặt phẳng đối xứng Tứ diện đều ABCD có 6 cạnh có 6 mặt phẳng trung trực của các cạnh đó tứ diện đều ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện Khi (P) đi qua 1 đỉnh bất động của... đi qua C và vuông góc với AB tại trung điểm của nó C là điểm bất động) (P) chứa điểm C ( hay Mâu thuẫn với giả thiết (P) không đi qua đỉnh bất động thì không tồn tại (P) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện ABCD Vậy tứ diện đều ABCD có tất cả 6 mặt phẳng đối xứng mà mỗi mặt chứa một cạnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện (đpcm) Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Hình lập phƣơng ABCDA’B’C’B’ có 9 mặt phẳng đối. .. hình bình hành Vì (d) ABCD nên (ABCD) bất động (d) là trục đối xứng của hình vuông ABCD Gọi (d') P (d’) là trục đối xứng của hình A'B'C'D' vuông A’B’C’D’ Vậy mặt phẳng đối xứng của hình lập phƣơng đi qua trung điểm của 4 cạnh song song thuộc 2 mặt đối diện song song Vì hình lập phƣơng có 3 cặp mặt phẳng đối diện song song nên có 3 mặt phẳng đối xứng thỏa mãn điều kiện trên Thử lại Gọi M, N, P, Q lần lƣợt ... đề tài :” Đối xứng qua siêu phẳng tập Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu sâu phép biến hình, đặc biệt phép đối xứng qua siêu phẳng - Làm rõ tính ƣu việt phép đối xứng giải toán hình học Đối tƣợng,... phép đối xứng kí hiệu Đ Siêu phẳng  đƣợc gọi siêu phẳng đối xứng phép đối xứng 3.2 Tính chất a Phép đối xứng qua siêu phẳng phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ tính chất phép biến hình đẳng cự... cho siêu phẳng  Phép biến hình không gian cho ứng điểm M với điểm M’ xác định nhƣ sau: a MM’ vuông góc với siêu phẳng  b MM’ cắt  O trung điểm Gọi phép đối xứng qua siêu phẳng , phép đối xứng