Trờng Đại học vinh khoa toán - - nguyễn Đậu Hùng xây dựng hệ thống lý thuyết tập giải tích phép biến hình nhằm rèn luyện lực giải toán Cho học sinh giỏi khoá luận tốt nghiệp đại Học ngành cử nhân s phạm toán Vinh-2004 Lời nói đầu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đào Tam, Th.S Thái Thị Hồng Lam đà h ớng dẫn nhiệt tình chu thân hoàn thành khoá luận Cũng thông qua dịp tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo môn ph ơng pháp khoa Toán đà tận tình giảng dạy, giúp đỡ, bảo cho chúng em - SV 41A Toán - ngày tháng học tập d ới mái tr ờng Đại học Vinh thân yêu Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đà động viên giúp đỡ cho thời gian qua Vì lực hạn chế thiếu kinh nghiệm giảng dạy nên khoá luận có thiếu sót Tác giả mong muốn nhận đ ợc góp ý thầy cô giáo bạn sinh viên Tôi xin chân thành cảm ơn ! Vinh ngày 23 tháng năm 2004 Ngun §Ëu Hïng Mơc lơc Trang A - Mở đầu B - Nội dung Chơng Cơ sở lý luận Đ1 Một số vấn đề phát triển lực giải toán bồi dỡng học sinh giỏi Đ2 Tích phép biến hình Chơng Hệ thống lý thuyết tích phép biến hình - ứng dụng vào giải toán hình học - Hệ thống tập 21 Đ1 Tích phép đối xứng tâm, tịnh tiến 25 Đ2 Tích phép đối xứng trục 32 Đ3 Phép quay - Tích phép quay 50 Đ4 Sự xác định phép dời hình 59 Đ5 Phép vị tự - Tích phép vị tự 61 Đ6 Phép đồng dạng 66 C - Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 A - mở đầu i- Lý chọn đề tài Bồi dỡng học sinh giỏi việc đợc quan tâm trờng THPT đợc thực thờng xuyên trờng chuyên, lớp chọn Học toán trờng phổ thông hoạt động toán học hình thức hoạt động chủ yếu học sinh giải tập toán Bài tập đợc coi "mắt xích chính" trình giảng dạy toán học Dạy học giải tập toán có vai trò định đến chất lợng dạy học góp phần båi dìng häc sinh giái §Ĩ båi dìng rÌn lun lực giải toán cho học sinh, giáo viên cần trang bị cho học sinh phơng pháp khác để giải toán Từ tìm phơng pháp dạy học thích hợp đối tợng học sinh giỏi môn toán, giúp em học tập thoải mái đặc biệt hứng thú, say mê học tập môn toán để em phát huy cao độ tiềm lực sẵn có mình, góp phần thực mục tiêu bồi dỡng nhân tài trờng chuyên lớp chọn Trong chơng trình môn toán THPT nay, phép biến hình đợc coi công cụ hiệu để nghiên cứu hình hình học để giải loại tập khác nh: chứng minh, dựng hình, tính toán, tìm tâp hợp điểm giải toán cực trịTích phép biến hình công cụ mới, hiệu để giải toán hình học, giúp học sinh khắc sâu thêm khái niệm khác nh vec tơ, phép biến hình, làm sâu sắc thêm phép toán đại số phổ thông Đặc biệt giúp cho học sinh hiểu sâu sắc thêm khái niệm ánh xạ, sở để phát triển t hàm loại hình t đợc quan tâm phát triển HS THPT Tích biến hình công cụ hiệu để giải toán liên quan đến thực tế Gắn liền toán học với thực tế chơng trình môn toán THPT hầu nh tích biến hình cha đợc đề cập đến Nó đợc đa vào nhiều chơng trình HH11 ban khoa học tự nhiên song dừng lại số vấn đề lý thuyết, lợng tập giải tích biến hình cha đợc trang bị Gần tích phép biến hình đà đợc số tác giả quan tâm đa vào nội dung nghiên cứu Một số tác giả viết thành sách tham khảo, phải kể đến số tác giả nh: PGS.TS Đào Tam, Nguyễn Mộng Hy, Lê Mậu Thống, Lê Mậu Thảo, Trần Văn Ký, Trong công trình tác giả đề cập đến vấn đề lý thuyết lợng tập cha đợc hệ thống Có thể nói tích biến hình vấn đề Đa tích biến hình vào giải toán hình học phù hợp với việc rèn luyện, phát triển lực toán häc, båi dìng häc sinh kh¸ giái ë trêng THPT Từ lý mà chọn đề tài:"Xây dựng hệ thống lý thuyết tập giải tích phép biến hình nhằm rèn luyện lực giải toán cho HS giỏi" II- Mục đích nghiên cứu Bổ sung hệ thống sở lý thuyết tích phép biến hình, sử dụng tích phép biến hình vào giải toán hình học, rèn luyện lực giải toán cho HS giỏi III - giả thuyết khoa học Nếu khai thác cách triệt để tiềm dạy học phép biến hình trờng THPT, đặc biệt khai th¸c c¸c øng dơng kh¸c cđa tÝch c¸c phÐp biến hình để giải toán hình học việc dạy học phép biến hình, tích phép biến hình góp phần tích cực hoá nhận thức học sinh, góp phần bồi dỡng học sinh giỏi, nâng cao hiệu dạy học trờng THPT iv- nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt đợc mục đích nghiên cứu cần thực nhiệm vụ sau: Nghiên cứu phép biến hình, sở xây dựng tích phép biến hình tính chất nã, xÐt vỊ øng dơng cđa chóng viƯc gi¶i toán hình học V - phơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận ,nghiên cứu phân tích tài liệu khoa học S phạm liên quan đến dạy học phép biến hình, tích phép biến hình Khai thác tiềm SGK THPT việc nâng cao kiến thức, phát triển lực tìm lời giải toán hình học tích phép biến hình cho HS Vi - đóng góp khoá luận Bổ sung đợc hệ thống lý thuyết tích phép biến hình, xây dựng đợc hệ thống tập áp dụng, góp phần bồi dỡng học sinh giỏi Vii - cấu trúc khoá luận A - Mở đầu B - Néi dung Ch¬ng - C¬ së lý luËn Ch¬ng - HƯ thèng lý thut vỊ tÝch c¸c phÐp biến hình - ứng dụng vào giải toán hình học - Hệ thống tập áp dụng C - Kết luận Tài liệu tham khảo 10 B - nội dung Chơng Cơ sở lý luận Đ số vấn đề phát triển lực giải toán bồi dỡng học sinh giỏi Năng lực, lực giải toán học 1.1 Năng lực Năng lực thuộc tính độc đáo cá nhân phù hợp với yêu cầu hoạt động định đảm bảo cho hoạt động có hiệu Năng lực chia thành loại: Năng lực chung lực riêng biệt - Năng lực chung lực cần thiết cho lĩnh vực hoạt hoạt động khác nhau, chẳng hạn thuộc tính thể lực trí tuệ (quan sát, trí nhớ, t duy, tởng tợng, ngôn ngữ) điều kiện cần thiết để giúp cho nhiều lĩnh vực hoạt động có hiệu - Năng lực riêng biệt (năng lực chuyên biệt, chuyên môn) thể độc đáo phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn nhằm đáp ứng nhu cầu lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết cao Chẳng hạn lực toán học, lực âm nhạc, lực thể dục thể thao Hai loại lực bổ sung hỗ trợ cho 1.2 Năng lực toán học Trong tâm lý học lực toán học đợc hiểu theo nghĩa với hai mức độ: Một theo ý nghĩa lực học tập (tái tạo) tức lực việc học toán, việc nắm giáo trình toán phổ thông, nắm cách nhanh có hiệu kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tơng ứng Hai theo lực sáng tạo hoạt động nghiên cứu khoa học tức lực hoạt động sáng tạo toán học, tạo kết mới, khách quan cống hiến cho loài ngời công trình toán học có giá trị phát triển khoa học nói riêng ®èi víi ho¹t ®éng thùc tiƠn x· héi nãi chung 11 Giữa hai mức độ hoạt động toán học ngăn cách tuyệt đối Nói đến lực học tập toán học không đề cập tới lực sáng tạo Có nhiều học sinh có lực đà nắm giáo trình toán cách độc đáo sáng tạo, đà tự đặt giải toán không phức tạp lắm, đà tự tìm đờng, phơng pháp sáng tạo để chứng minh định lý, độc lập suy đợc công thức, tự tìm phơng pháp giải độc đáo cho toán không mẫu mực Xét chất lực toán học tính chất bẩm sinh mà đợc tạo thành sống, hoạt động sáng tạo dựa sở số mầm mống xác định Việc rèn luyện phát triển lực toán học học sinh việc quan trọng ngời thầy giáo Bởi vì: - Thứ nhất, toán học có vai trò to lớn phát triển nghành khoa học, kỹ thuật nghiệp cách mạng cần thiết có đội ngũ ngời có lực toán học - Thứ hai, nhà trờng nơi cung cấp cho học sinh sở toán học, không khác thầy giáo ngời chăm vun xới cho mầm mống khiếu toán học học sinh thui chột chúng 1.3 Năng lực giải tập toán Đó lực học tập toán Nói đến lực giải toán nói đến khả vận dụng kiến thức vào toán - Tìm liên hệ kiện đầu vào kiện đầu Qúa trình biến đổi kiện vào cho kết phù hợp yêu cầu toán - Khả vận dụng phơng pháp toán học khác để giải toán Nhìn nhận toán dới nhiều nội dung khác (khía cạnh khác nhau) Từ vận dụng kiến thức để giải toán - Khả chuyển từ toán khó thành nhiều toán đơn giản phải huy động kiến thức có liên quan đến khái niệm, khái niệm từ 12 lựa chọn số kiến thức kiến thức gần gũi với kiện để giải toán Vấn đề giải toán bồi dỡng học sinh giỏi 2.1 Vai trò giải tập toán - Hình thành khắc sâu tri thức kỹ năng, kỹ xảo toán học giai đoạn khác trình dạy học -Bồi dỡng thÕ giíi quan vËt biƯn chøng høng thó häc tập, niềm tin phẩm chất đạo đức ngời lao động - Bài tập nhằm phát triển lực t học sinh đặc biệt rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất t khoa học - Bài tập nhằm đánh giá kết dạy học, đánh giá khả độc lập học toán trình độ phát triển học sinh Khi nói đến vai trò, vị trí việc giải tập nhà s phạm, nhà giáo dục học G.Polya có viết: "Việc dạy giải toán phải phận nhiều giáo trình, trình toán học có ích phổ thông" Nắm vững môn toán, "Biết giải toán không toán thông thờng mà toán đòi hỏi t độc lập định, có óc phán đoán, tính độc đáo sáng tạo Bởi nhiệm vụ hàng đầu chủ yếu giáo trình toán học trờng trung học phải nhấn mạnh mặt phơng pháp trình giải toán A.A.Xtotiar "Giáo dục môn học Toán " cho "Dạy học qua tập toán vấn đề đà biết từ lâu đợc thảo luận rộng rÃi tài liệu giáo dục toán học Tuy nhiên cha có cách giải thoả đáng Cách giải thích hợp đòi hỏi phải soạn thảo hệ thống tập tơng ứng với chơng trình thích hợp với hoạt động toán học v.v" P.M.Ecdunhiep " Việc nắm vững toán học đợc thực trình giải tập, phát triển phơng pháp dạy học toán theo đờng vận dụng hình thức dạng tập toán nhằm kích thích tính tích cực t học sinh" 13 Khi theo hệ (định lý 13) ta có: Đ3 oĐ2 o Đ1= Đ phép đối xứng trục Trong ảnh qua phép quay QO+(2,3) Từ trờng hợp ta suy số hệ sau : * Tích phép quay QO phép đối xứng trục với trục không qua O phép đối xứng trợt Thật vậy: xét QO o Đ Ta phân tích QO = Đ2 o Đ1 (1, ∆2 qua O, (∆1,∆2) = α/2, ∆1// ∆) Nh vËy QOα o §∆ =§∆2 o §∆1 o §∆ ( ∆1//∆ , (1) cắt 2) Theo trờng hợp ta suy ra: Đ2 o Đ1 o Đ phép đối xứng trợt (đpcm) *Tích môt phép tịnh tiÕn T v víi phÐp ®èi xøng trơc ∆ (∆ không vuông góc với v ) phép đối xứng trợt Thật vậy: T v o Đ =Đ2 oĐ1 oĐ Trong đó: 1//2 T1 v : Khi cắt Theo trờng hợp 3: Tích Đ2 oĐ1 oĐ phép đối xứng trợt (đpcm) Trờng hợp 5: ∆1 ∆2={A}, ∆2 ∆3 = {B}, ∆3 1={C} nh hình vẽ Xét tích Đ3 o Đ2 o §∆1 Ta cã: §∆3 o§∆2 o§∆1= §∆3 o(§∆2 o§∆1) oQA2(1,2) = Đ3 o QA2(1,2) Phân tích QA2(1,2) thành tích hai phép đối xứng trục.Ta có QA2(1,2) = Đ ' Đ ' Trong 2' // 3', 1'cắt 2', 52 Làm tơng tự nh trờng hợp 3, ta có Đ3.Đ2.Đ1 phép đối xứng trợt Từ trờng hợp định lý suy ra: Tích phép đối xứng trục phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép quay phép đối xứng trợt Qua nội dung xét ta nhận thấy, từ ba định lý: - Định lý thuận định lý đảo tích hai phép đối xứng trục qua hai trục song song - Định lý thuận ®¶o vỊ tÝch hai phÐp ®èi xøng trơc qua hai trục cắt - Định lý thuận đảo tích hai phép tịnh tiến Có thể phát triển chứng minh tích phép dời hình Trong chứng minh vận dụng cách nhuần nhuyễn định lý Ví dụ: Phép quay đợc phân tích cách tiện lợi thành tích hai phép đối xứng trục mà trục coi đờng thẳng qua tâm quay 2.4 ứng dụng tích ba phép đối xứng trục vào giải toán Trớc tiên ta xét số toán khó nhng có cách giải đặc thù cho việc vận dụng tích phép đối xứng trục sử dụng tính chất điểm bất động Bài toán 11: HÃy nội tiếp đờng tròn (O) cho trớc tam giác ABC có cạnh AB, BC, CA song song với ba đờng thẳng a, b, c cho trớc (a, b, c đôi cắt nhau) Phân tích: Giả sử dựng đợc ABC nội tiếp đờng tròn (O) thoả mÃn điều kiện toán Khi xét đờng 53 thẳng trung trực la , lb , lc lần lợt cạnh AB, BC,CA l a , lb , lc lần lợt vuông góc với a, b, c qua O § l a (A) = B Ta cã : § l b (B) = C § l c (C) = A Suy Đla Đlb Đlc (A) =A nên A điểm bất động Đla Đlb Đlc Mặt khác Đla Đlb Đlc tích ba phép đối xứng trục có trục đồng quy nên Đla Đlb Đlc phép đối xứng trục l (l qua A) Mà A(O) Từ ta có cách dựng: + Dựng đờng thẳng la ,lb ,lc qua O lần lợt vuông góc với a,b,c + Xác định đờng thẳng l (l qua O ) l thoả mÃn Đl = Đla Đlb Đlc + Xác định giao điểm l (O) cắt A + Từ A kẻ song song với a,c cắt đờng tròn B C Suy ABC dựng đợc Chứng minh: Theo cách dựng ta dễ dàng c/m ABC thoả mÃn điều kiện toán Vì l cắt (O) điểm phân biệt nên có điểm A thoả mÃn Vậy toán có nghiệm hình Bài toán 12: HÃy nội tiếp đờng tròn cho trớc tứ giác có cạnh song với đờng thẳng cho trớc Đây toán mở rộng so với toán 11 Sử dụng tính chất phép đối xứng trục điểm bất động ta giải toán nh sau Hớng dẫn giải: Giả sử dựng đợc tứ giác ABCD, dựng đờng thẳng trung trực la, lb, lc, ld lần lợt cạnh AB, BC, CD, DA ta có la, lb, lc, ld đồng quy O Suy la, lb, lc, ld hoàn toàn dựng đợc Do chúng qua O lần lợt vuông góc với a, b, c, d Và ta có: B = Đla(A); C = Đlb(B); 54 D = §lc(C); A = §ld(A) Suy ra: §ld.§lc.§lb Đla(A) = A A điểm bất động qua tích §ld.§lc.§lb §la (1) Do tÝch phÐp ®èi xøng trơc phép đối xứng trục Tích (1) phép quay phép đồng + Nếu tích (1) phép quay đờng tròn điểm điểm bất động Suy toán nghiệm hình + Nếu tích (1) phép đồng đờng tròn điểm điểm bất động Suy toán có vô số nghiệm hình * Đối với học sinh giỏi: Bằng việc sử dụng phơng pháp tích phép biến hình em giải toán mức độ khó Bài toán 13: HÃy nội tiếp đờng tròn cho trớc góc n giác có cạnh song song với n đờng thẳng cho trớc Hớng dẫn giải: Giả sử đa giác A1, A2, ,An đà dựng đợc Kẻ qua tâm O đờng tròn đờng trung trực l1, l2 ,, ln hoàn toàn đợc xác định Vì đờng thẳng qua O vuông góc với đờng thẳng đà cho A2 = §l1(A1); A3 = §l2(A2) … ,A1 = §ln(An) A1 lµ ®iĨm bÊt biÕn qua tÝch §ln o §ln-1 o o Đl2 o Đl1 (1) * Nếu n lẻ: Tích (1) phép đối xứng trục ( trục quay O) Trên đờng tròn có điểm bất động Suy toán có nghiệm hình * Nếu n chẵn: Tích (1) phép quay phép đồng + Nếu phép đồng Trên đờng tròn điểm điểm bất động cuảt tích (1) Bài toán có vô số nghiệm hình + Nếu tích phép quay đờng tròn điểm bất động Bài toán nghiệm hình 55 Dựa vào tích 3, 4, , n phép đối xứng trục điểm bất động ta giải toán tơng tự với toán Bài toán 14: Qua tâm O đờng tròn kẻ dờng thẳng a, b,c HÃy ngoại tiếp đờng tròn (O) tam giác ABC thoả mÃn A a, B b, Cc Hớng dẫn giải: Giả sử ABC dựng đợc ta có a, b, c lần lợt đờng thẳng góc A, B, C Khi gọi tiếp điểm A B1 C1 tơng ứng cạnh BC, CA, AB với đờng tròn tâm O Ta cã §c §a §b: (A1) = A1 (A1 điểm kép) Tích Đc Đa Đb phép đối xứng trục có trục l qua O hoàn toàn xác định dợc Mà A1 (O) Từ hoàn toàn xác định đợc A1 A1 = l (O) Khi A1, B1 ,C1 dựng đợc ta dựng đợc ABC Bài toán 15: ( Mở rộng toán 14) Cho đờng tròn tâm O Qua O kẻ đờng thẳng a, b, c, d Dựng tam giác ABC ngoại tiếp đờng tròn (O) thoả mÃn A a, B b, C c D d Tơng tự 14 Ta dựng tứ giác A1B1C1D1 nội tiếp đờng tròn (giống 12) Trong A1,B1 ,C1 ,D1 tiếp điểm cạnh tứ giác ABCD với đờng tròn (O) Từ dựng tứ giác ABCD Bài toán 16: ( Bài toán tổng quát 14 bài15) Qua tâm O đờng tròn kẻ n đờng thẳng HÃy ngoại tiếp quanh đờng tròn n giác có đỉnh nằm đờng thẳng + Bài toán có nghiệm hình, vô số nghiệm hình nghiệm hình * Sau xét số toán mang đậm phơng pháp hình học truyền thống nhng giải phơng pháp sử dụng tích phép đối xứng trục có tính chất 56 Bài toán17: Cho đờng thẳng 1,2,3 đồng quy O P điểm cho trớc Dựng tam giác ABC cho tam giác nhận 1, 2, làm đờng trung trực BC qua P Việc dùng ∆ABC quy vỊ viƯc dùng ®Ønh ABC Giả sử cần dựng điểm B Nhìn toán dới ngôn ngữ biến hình Do 1,2,3 lần lợt trung trực AB ,AC ,BC ta cã: §∆1(B) =A , §∆2(A) = C , §∆3(C) = B Suy Đ3.Đ2.Đ1(B) = B ( B điểm bất động ) Mà Đ3.Đ2.Đ1 = Đ (xác định đợc trục ,( qua O ) B ) Mặt khác : Bl (l đờng thẳng qua P vuông góc với ) Hớng dẫn giải : - Dựng đờng thẳng l qua P vuông góc với Bl Có Đ3.Đ2.Đ1 = Đ (1) Tìm giao điểm l ta có điểm B Dựng A =Đ1(B) ,C =Đ3(B) Ta có ABC cần dựng * Đối với học sinh giỏi, giải toán mở rộng cho tr ờng hợp tổng quát Các luyện tập Bài CMR đa giác có số ( lớn ) trục đối xứng trục đồng quy điểm Bài CMR đa giác phẳng có số chẵn trục đối xứng có tâm đối xứng Bài Đờng tròn nội tiếp , tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB ABC điểm M, N, P Giả sử M', N', P' ảnh điểm qua phép đối xứng với trục đờng phân giác góc A, B, C tơng ứng a> CMR M'N' // AB 57 b> Gäi trung ®iĨm cạnh ABC M1 ,N1 ,P1 CMR ABC cân M1M',N1N'và P1P' đồng quy điểm Bài Cho hình vuông ABCD Trên đờng chéo BD lấy E Gọi O 1,O2 tâm đờng tròn ngoại tiếp ABE , ADE Chứng minh AO1EO2 hình vuông Bài Hai đờng thẳng cắt theo góc cào cào nhảy từ đờng thẳng sang đờng thẳng , lần nhảy mét cào cào không nhảy ngợc lại chỗ cũ nh nhảy đợc đến chỗ CMR trình nhảy lặp lặp lại theo chu kì / số hữu tỉ Đ3- Phép quay Tích phép quay Ta ®· biÕt: phÐp quay lµ tÝch cđa phÐp ®èi xøng trơc cã trơc c¾t Mäi phÐp quay lại đợc phân tích cách tiện lợi thành tích phép đối xứng trục Chính tích phép quay tích phép quay với phép dời hình khác xây dựng sở tích phép đối xứng trục 3.1 Tích hai phép quay Định lý 14: Tích cđa hai phÐp quay QO11 vµ QO22 lµ mét phÐp quay phép tịnh tiến + Chøng minh: - NÕu O1≡ O2 ≡ O dƠ dµng nhËn thÊy: TÝch QO11 QO22 = QO1 Xét O1 O2 Ta gọi đờng thẳng O1O2 đờng thẳng Chọn đờng thẳng đờng thẳng qua O1 đờng thẳng qua O2 cho (∆1 ,∆2) = (∆2,∆3 ) = α2 Khi : QO11 = Đ 2Đ1 QO22 = §∆3 ° §∆2 58 α1 , α α Suy QO22 QO11 = §∆3 °§∆2° §∆ 2°§∆1 = Đ3Đ1 Nếu cắt O3 tích QO22 QO11 phép quay QO33 với α3 = α1 + α2 ThËt vËy α3 = 2(∆1,∆3) = 2[( ∆1,∆2) + ( ∆2,∆3)] = 2( α1 α + 2) 2 ⇒ α3 = α1 + α2 α α - NÕu ∆1 // ∆3 ( α1 = -α2 ) ta cã QO22 ° QO11 phép tịnh tiến Chú ý : Tích phép quay tính chất giao hoán ThËt vËy : +Trong TH α1 ≠ - α2 QOα22 QO11 = QO33 Bằng cách phân tích tơng tự α α α Ta cã QO22 ° QO11 = QO33 ' 3' -3 Đ O O (O3) = O3' α α α α + TH : α1 = α2 NÕu tÝch QO22 ° QO11 = Tv th× tÝch QO11 ° QO22 = T−v 3.2 Tích phép quay với phép dời hình khác *> TÝch phÐp quay víi phÐp ®èi xøng trơc Cho phép quay QO phép đối xứng trục Đ + Nếu O QO Đ phÐp ®èi xøng trơc (C/m ë tríc) α α + Nếu O tích QO Đ Đ QO phép đối xứng trợt *> Tích phép quay QO với phép đối xứng tâm ĐA Xét tích QO ĐA Phân tích ĐA : ĐA =Đ2 Đ1 Trong ®ã ∆1 ⊥∆2 , ∆1 ∆2 = {A} vµ qua O 59 Còn QO = Đ3Đ2 với (∆2, ∆3) = α α Ta cã QO °§∆ = §∆3°§∆2° §∆ 2°§∆1 = §∆3° §∆ α + Nếu //3 suy QO Đ phép tịnh tiến Trong TH này: = 1800 ( QO phép đối xứng tâm O) + NÕu ∆1 ∆3 =O' suy Trong ®ã α' = 2(∆1,∆3) = 2[( ∆1,∆2) + ( ∆2,∆3)] = 2( ∏ α + ) = Π+α 2 VËy tích phép quay phép đối xứng tâm phép quay phép tịnh tiến * Tích phÐp quay QOα víi phÐp tÞnh tiÕn Tv XÐt tích QO Tv Phân tích: QO = Đ2Đ1 Tv Theo định lý 10: Đ1 Tv = Đ'1('1 ảnh cña ∆ qua T 1 − v ) α Do QO Tv = Đ2Đ'1 = QO ' V× [ ∆1// ∆2 ⇒ ( ∆'1, ∆2) = α] , O' = ∆1 ∆2 α T¬ng tù ta cã thÓ xÐt tÝch Tv ° QO Tv ° QOα = QOα1 ' ( O'1 ®èi xøng O' qua O) Từ đó: Tích n phép quay phép quay phép tịnh tiến 3.3 ứng dụng tích phép quay vào giải toán Chú ý: Phép quay QO (α ≠ 0) chØ cã ®iĨm bÊt ®éng nhÊt lµ O α α α Víi O1 ≠O2 : QO22 QO11 = QO3 Thì O3 đợc xác ®Þnh ∆O1O2O3 cã 60 ∠O3O2O1 = α1 α ; ∠O1O2O3 = 2 B©y giê ta xÐt mét hƯ thống toán sau: Bài toán18: Cho ABC phía ABC dựng vuông cân ABM ,BCN vuông cân M,N CMR OMN vuông cân O (O trung điểm AC) Hớng dẫn giải: 0 Xét hai phÐp quay : QM90 , QN90 Ta cã : QM90 (A) = B QN90 (B) = C 0 Suy QN90 ° QM90 (A) = C N 0 180 90 90 Mµ tÝch QN QM = QO1 = ĐO1 Do ĐO1(A) =C nên O1 trung điểm AC hay O1 O OMN có OMN =ONM = 450 MON=900 Do OMN vuông cân O Trên toán sử dụng tích hai phép quay góc 90 Bài toán toán gốc vận dụng ta giải đợc số toán khác Việc đa bầi toán gốc giúp học sinh rèn luyện lực giải toán Giúp học sinh có sức bật nhanh việc tìm tòi lời giải toán Bài toán 19: Cho hai tam giác vuông cân ABC CDE với đỉnh B,D cho tríc, ®Ønh C chung (chiỊu quay tõ AB →BC vµ tõ CD →DE nh nhau) Chøng minh r»ng trung điểm AC không phụ thuộc cách chọn điểm C 0 90 90 Híng dÉn gi¶i: Ta cã QD ° QB (A) = E Mµ QD90 0 ° QB90 = QI90 = §I 61 Có ĐI(A) = E suy I trung điểm AE Mặt khác tâm QD90 QB90 đỉnh vuông cân BID (cạnh huyền BD) Từ suy I cố định , I không phụ thuộc điểm C Dới to¸n sư dơng tÝch cđa hai phÐp quay gãc 90 nhng mức độ khó Bài toán 20: Cho tứ giác lồi ABCD phía dng hình vuông lần lợt chứa cạnh AB,BC,CD,DA tứ giác CMR đoạn thẳng nối tâm hình vuông đối có độ dài vuông góc với Hớng dẫn giải: gọi O1,O2,O3,O4 tâm hình vuông có cạnh AB, BC,CD, DA Cần chứng minh O1O2 ⊥ O2 O4, O1 O4 = O2O4 Sö dụng 18: Ta có với O trung điểm AC O1OO2 vuông cân O Hay QB90 (O1) =O2 (*) Tơng tự: O3 OO4 vuông cân O Hay QO90 (O3) = O4 (**) Tõ (*) vµ (**) suy ra: QO90 : O1O3 → O2O4 Theo tÝnh chÊt phÐp quay ta cã: O1O3 ⊥ O2O4, O1O3 = O2O4 (đpcm) Nhờ thao tác phân tích tổng hợp , khái quát hoá, đặc biệt hoá để đến toán Với toán 20 tứ giác ABCD hình bình hành Khi ®ã ta cã trung ®iĨm O cđa AC cịng trung điểm BD Do ta có : QO90 : O1 O2 62 O2 O3 Tức tứ giác O1O2O3O4 hình O3 O4 vuông tâm O Tức ta có toán O4 O1 toán sau Bài toán 21: Trên cạnh hình bình hành ABCD Dựng phía tam giác vuông cân nhận cạnh hình bình hành làm cạnh huyền CMR đỉnh lại tam giac cân tạo thành hình vuông toán ta dựng vuông cân phía tứ giác dựng phía tứ giác kết nh ? Ta có toán Bài toán 22 Cho tứ giác lồi ABCD.Bên dựng vuông cân ABO1 , BCO2 , CDO3 , DAO4 đỉnh lần lợt O1,O2,O3,O4 CMR : Nếu O1 O3 O2 O4 Hớng dẫn giải: Sử dụng tích phép quay gãc 90 0 NÕu O1≡ O3 ta cã: ( QD90 ° QC90 )°( 0 0 180 180 QB90 ° Q A90 ) = QO3 ° QO1 = e ( e phép đồng ) Mặt khác: e = Q A90 e Q A−90 0 = Q A90 ° QD90 ° QC90 ° QB90 0 QC−90 ° 0 0 = ( Q A90 ° QD90 ° ( QC90 ° QB90 ) 0 0 180 = QO180 hay QO180 QO180 =e Tøc lµ O2 O4 QO 4 Sau xin giới thiệu số tập giải sử dụng tích phép biến hình phép quay góc 90 Các luyện tập: 63 Bài Trên cạnh ABC phía dựng hình vuông có tâm P, Q, R Trên cạnh PQR phía dựng hình vuông CMR tâm chúng trung điểm cạnh ABC Hớng dẫn: Sử dụng toán 18 Bài Cho ABC phía dựng tam giac vuông cân ®Ønh A ∆O1AB vµ ∆O2AC Gäi O3 lµ điểm t/m O3BC vuông cân O3 CMR : O1O2O3 vuông cân điểm O3 ( Tợng tự toán 22) Bài Trên cạnh tứ giác lồi ABCD phía dựng tam giác vuông cân với ®Ønh M, N, P, Q CMR: Trung ®iÓm I, J, K, L lần l ợt cảu cạnh AC, BD, MP, NQ tạo thành hình vuông ( Đây toán nâng cao 14) Bây xét số toán khác sử dụng tích phép quay khác tính chất Bài toán 23: Cho ABC phía dựng tam giác ABM, CAN Gọi O tâm BM S trung điểm BC Tính góc OSN * Với toán giải nhiều cách khác nhau, phơng pháp truyền thống đa phơng pháp giải tích phép quay Gi¶i : Ta cã QO120 (B) = A 0 QN60 ° QO120 ( (A) = C 0 ⇒ Suy QN60 ° QO120 (B) = C 0 Mà QN60 QO120 = Q180 = Đ I I Ta có ĐI(B) = C Suy I trung diÓm BC hay I ≡ S 0 Do ®ã QN60 ° QO120 = QS180 64 Theo tÝnh chÊt cña phÐp quay ta cã: ∠ SON = 120 60 = 600, ∠ONS = =300 2 VËy ∆ ABC: Cã ∠OSN =900 ∠OSN =300, SON = 600 Bài toán 24: Cho ABC Dựng phía ABC tam giác ABC1, BCA1, CAB1 CMR tâm tam giác tạo thành tam giác Giải: Gọi O1, O2 ,O3 lần lợt tâm ABC, BCA, CAB1 Khi ®ã ta cã: : (A) = B QO120 : (B) = C QO120 0 120 Suy QO120 (A) = C ° QO 0 120 Mặt khác QO120 = QO240 ° QO Trong ®ã O tho· m·n ∆OO1O2 tam giác 0 120 1200 2400 1200 3600 Mµ QO3 ° QO120 = = = Tv Q Q Q ° QO ° O B I 120 1200 Nhng QO3 ° QO120 (A) = A ( A điểm bất động) QO Tv (A) = A ⇒ 1200 O2 ° ⇒Q 120 v = o ⇒ Tv lµ phÐp ®ång nhÊt hay QO 1200 O1 Q 0 −120 240 = QO3 = QO3 240 ⇒ QO240 = QO3 ⇒ O ≡ O3 VËy O1O2O3 giác Các luyện tập: 65 0 ° 120 QO120 ° QO1 = e Bài Trên cạnh ABC dựng tam giác A'BC, B'AC phía C'AB phía Gọi M tâm C'AB CMR A'B'M tam giác cân với A1MB1 = 1200 Hớng dẫn: Sử dụng tích phép quay 600 Bài Trên cạnh lục giác có tâm đối xứng dựng phía tam giác CMR trung điểmcủa đoạn thẳng nối đỉnh chúng tạo thành lục giác ( đỉnh không nằm cạnh lục giác ) Hớng dẫn: Sử dơng tÝch cưa c¸c phÐp quay 600 Sư dơng tÝch phép quay góc giải toán sau: Bài Dựng n giác biết n điểm đỉnh cân dựng cạnh n giác có góc đỉnh 1, n Bài Trên cạnh ABC dựng phía cân A'BC,AB'C,ABC' Các điểm A'B'C' điểm tam giác cân đó, góc đỉnh tơng ứng , , ∂ víi α+β+∂ = 2π Chøng minh r»ng c¸c gãc cña ∆ A'B'C" b»ng α β ∂ , , 2 Bài AKL AMN cân đồng dạng với có chung đỉnh A có góc đỉnh Giả sử GNK G'LM cân đồng dạng với với gãc ë ®Ønh = π - α CMR G ≡ G' (Các tam giác coi định hớng) Đ 4- Sự xác định phép dời hình Vấn đề đặt ra: Cho tam giác ABC A'B'C' b»ng (AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C') có hay không, có (nếu có) Phép dời hình mặt phẳng biến A A', B B', C C' Ta có định lý trả lời cho vấn đề Định lý 15: Cho ABC = A'B'C'.Bao xác định phép dời hình mặt phẳng thoà mÃn (A) = A', ƒ(B) = B', ƒ(C) = C' 66 ... luyện lực giải toán cho HS giỏi" II- Mục đích nghiên cứu Bổ sung hệ thống sở lý thuyết tích phép biến hình, sử dụng tích phép biến hình vào giải toán hình học, rèn luyện lực giải toán cho HS giỏi. .. đề phát triển lực giải toán bồi dỡng học sinh giỏi Đ2 Tích phép biến hình Chơng Hệ thống lý thuyết tích phép biến hình - ứng dụng vào giải toán hình học - Hệ thống tập 21 Đ1 Tích phép đối xứng... chơng trình nhằm bồi dỡng học sinh giỏi trờng THPT Chính cần quan tâm xây dựng hệ thống lý thuyết tập giải phơng pháp sử dụng tích phép biến hình 27 Chơng hệ thống lý thuyết tích phép biến hình -