Góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả năng dự đoán, suy luận có lí trong dạy học toán ở trường phổ thông

1 giáo dục đào tạo trờng đại học vinh - đặng đoàn huyền phơng Góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả dự đoán, suy luận có lý dạy học toán trờng phổ thông Chuyên ngành: Lý luận phơng pháp dạy học môn toán Mà số : 60 14 10 luận văn thạc sĩ giáo dục học Ngời hớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Thuận Vinh 2005 Mục lục Mở đầu Chơng Một số vấn đề sở lý luận thực tiễn 1.1 Bàn mục tiêu đào tạo 1.2 Quan niệm trình sáng tạo vai trò trực giác Trang 7 trình nhận thức sáng tạo Toán học 1.3 Về giai đoạn tiến trình nhận thức khoa học 1.4 Quan niệm dự đoán, suy ln cã lý 1.5 Vai trß, ý nghÜa cđa dự đoán, suy luận có lý nhìn từ quan điểm 15 20 khoa học luận 1.6 Đôi điều thay đổi chơng trình sách giáo khoa môn 25 Toán theo hớng tập cho học sinh dự đoán, suy luận có lý 1.7 Phân tích vai trò, ý nghĩa, dự đoán, suy luận có lý qua thực 29 tiễn giải Toán 1.8 Những hình thức dự đoán, suy luận có lý tơng đối phổ biến 35 môn Toán 1.9 Liên hệ vấn đề dạy dự đoán, suy ln cã lý víi Lý thut t×nh hng 1.10 Kết luận Chơng Chơng Những quan điểm chủ ®¹o viƯc tËp lun cho häc 50 74 78 sinh dự đoán, suy luận có lý 2.1 Bàn định hớng đổi phơng pháp dạy học 2.2 Về số phơng pháp xu hớng dạy học đáp ứng yêu cầu 79 79 đổi PPDH 2.3 Hai mức độ thích hợp việc dạy cho học sinh dự đoán, suy 82 luận có lý 2.4 Những vấn đề thích hợp với dự đoán, suy luận có lý? Cã 85 ph¶i bao giê cịng tËp cho häc sinh dự đoán? Những bất cập nó? 2.5 Những quan điểm chủ đạo việc tập cho học sinh dự đoán, 95 suy luận có lý 2.6 Minh họa trình dự đoán, suy luận có lý qua vÝ dơ thĨ 2.7 KÕt ln Ch¬ng Ch¬ng Thùc nghiƯm s ph¹m 98 105 117 118 3.1 Mục đích thực nghiệm 3.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 3.4 KÕt ln chung vỊ thùc nghiƯm KÕt ln Tµi liƯu tham kh¶o 118 118 122 123 124 125 Mở đầu Lý chọn đề tài 1.1 Nghị Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hớng vào việc đào tạo ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thờng gặp, qua mà góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nớc (dẫn theo Tài liệu Bồi dỡng giáo viên 2005, tr 1) Về phơng pháp giáo dục đào tạo, Nghị Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đà đề ra: Phải đổi phơng pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp t sáng tạo ngời học Từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến phơng tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t sáng tạo học sinh,; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem l¹i niỊm vui, høng thó häc tËp cho häc sinh” Chơng trình môn Toán thí điểm trờng THPT (2002) rõ: "Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển lực trí tuệ, hình thành khả suy luận đặc trng Toán học cần thiết cho sống, ; phát triển khả suy luận có lý, hợp lôgic tình cụ thể " 1.2 Sự phát triển xà hội công đổi đất nớc đòi hỏi cách cấp bách phải nâng cao chất lợng giáo dục đào tạo Nền kinh tế nớc ta chuyển từ chế bao cấp sang chế thị trờng có quản lý Nhà nớc Công đổi đòi hỏi phải có đổi hệ thống giáo dục, bên cạnh thay đổi nội dung cần có đổi PPDH Tuy nhiên, phải thừa nhận rằng, thực tiễn dạy học nhiều tồn phổ biến, là: - Thầy thuyết trình tràn lan; - Tri thức đợc truyền thụ dới dạng có sẵn, yếu tố tìm tòi phát hiện; - Thầy áp đặt, trò thụ động; - Thiên dạy, yếu học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo ngời học; - Không kiểm soát đợc việc học Về thực trạng này, nhà Toán học Nguyễn Cảnh Toàn đà nhận định: Cách dạy phổ biến thầy đa kiến thức (khái niệm, định lý) giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng công thức định lý để tính toán, chứng minh (Nguyễn Cảnh Toàn 1997, tr 4) GS Hoàng Tụy phát biểu: Ta chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải toán oăm, giả tạo, chẳng giúp đến việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi chán nản " (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr 25) 1.3 Xuất phát từ đặc điểm t toán học, thống suy đoán suy diễn: Nếu trình bày lại kết toán học đà đạt đợc khoa học suy diễn tính lôgic bật lên Nhng, nhìn Toán học trình hình thành phát triển, phơng pháp có tìm tòi, dự đoán, có thực nghiệm quy nạp Vì vậy, dạy học Toán, phải ý tới hai phơng diện, suy luận chứng minh suy luận có lý khai thác đợc đầy đủ tiềm môn Toán để thực mục tiêu giáo dục toàn diện - nh G Polia phát biểu: "Nếu việc dạy Toán phản ánh mức độ việc hình thành Toán học nh nào, việc giảng dạy phải dành chỗ cho dự đoán, suy luận có lý" (G Polia 1995, tr 6) 1.4 Thực tế giải Toán cho thấy: có nhiều toán tìm đợc lời giải đoán đợc kết nó; ngợc lại, bế tắc khâu định hớng không dự đoán đợc kết toán Ví dụ nh dạng toán tìm quỹ tích, thờng phải dự đoán đợc kết quỹ tích phần thuận, sau kết hợp với phần đảo để chứng minh quỹ tích cần tìm Hay số toán liên quan đến chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN, thờng ta phải dự đoán dấu đẳng thức xẩy làm sở cho phép biến đổi dẫn đến kết toán, 1.5 Dự đoán, suy luận có lý có vai trò quan trọng trình phát triển t học sinh Nhng thực tế, cha đợc u tiên thích đáng xứng với vị trí Nguyên nhân dẫn đến tình trạng phải giáo viên cha ý thức đợc tầm quan trọng cha xây dựng đợc biện pháp s phạm thích hợp nhằm phát triển lực dự đoán, suy luận có lý cho học sinh? Một công trình tiếng nghiên cứu dự đoán, suy luận có lý tác phẩm Toán học suy luận có lý G Polia Tuy nhiên, ví dụ tác phẩm ông chủ yếu thiên lịch sử Toán (hầu hết ví dụ mô tả lại đờng dẫn đến phát minh nhà khoa học), thiếu ví dụ phù hợp với học sinh phổ thông Việt Nam, gần đà có số công trình nghiên cứu nhiều liên quan đến dự đoán, suy luận có lý; chẳng hạn nh Luận án TiÕn sÜ cđa TrÇn Ln (1996): "VËn dơng t tëng s phạm G Polia xây dựng nội dung phơng pháp dạy học sở hệ thống tập theo chủ đề nhằm phát huy lực sáng tạo học sinh chuyên toán cấp II" Nhng, cã thĨ nãi, cho ®Õn vÉn cha cã mét công trình nghiên cứu cách đầy đủ sâu sắc việc rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả dự đoán, suy luận có lý dạy học Toán trờng phổ thông Vì lý đây, chọn đề tài nghiên cứu Luận văn là: "Góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả dự đoán, suy luận có lý dạy học Toán trờng phổ thông" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc phát triển lực dự đoán, suy luận có lý học sinh việc dạy học Toán trờng phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn có nhiệm vụ giải đáp câu hỏi khoa học sau đây: 3.1 Thế dự đoán, suy luận có lý? Sự phân biệt chúng với suy luận diễn dịch gì? 3.2 Vai trò dự đoán suy luận có lý dạy học Toán nh nào? 3.3 Những đờng thông dụng để tiến hành hoạt động dự đoán, suy luận có lý gì? 3.4 Thực trạng việc rèn luyện khả dự đoán, suy luận có lý cho học sinh dạy học Toán trờng phổ thông nh nào? 3.5 Dạy dự đoán, suy luận có lý cho học sinh nên tuân theo quan điểm nào? 3.6 Phân tích vai trò dự đoán, suy luận có lý việc làm sáng tỏ ý nghĩa việc tìm kiếm lời giải số toán 3.7 Thực nghiệm s phạm Giả thuyết khoa học Nếu quan tâm mức đến việc rèn luyện khả dự ®o¸n, suy luËn cã lý cho häc sinh kh¸, giái dạy học Toán trờng phổ thông, nâng cao hiệu dạy học môn Toán, góp phần thực tốt mục tiêu nhiệm vụ đổi PPDH Toán giai đoạn Phơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận; 5.2 Điều tra, quan sát; 5.3 Thực nghiệm s phạm Đóng góp Luận văn 6.1 Góp phần làm sáng rõ thêm vai trò hoạt động dự đoán, suy luận có lý việc tổng hợp, phân tích sở lý luận nhà khoa học 6.2 Đề xuất đợc quan điểm việc rèn luyện cho học sinh khả dự đoán, suy luận có lý 6.3 Hiện thực hóa đợc hoạt động dự đoán, suy luận có lý trình tìm kiếm lời giải toán Cấu trúc Luận văn Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phơng pháp nghiên cứu Đóng góp luận văn Chơng Một số vấn đề sở lý luận thực tiễn 1.1 Bàn mục tiêu đào tạo 1.2 Quan niệm trình sáng tạo vai trò trực giác trình nhận thức sáng tạo Toán học 1.3 Về giai đoạn tiến trình nhận thức khoa học 1.4 Quan niệm dự đoán, suy luận có lý 1.5 Vai trò, ý nghĩa dự đoán, suy luận có lý nhìn từ quan điểm Khoa học luận 1.6 Đôi điều thay đổi Chơng trình sách giáo khoa môn Toán theo hớng tập cho học sinh dự đoán, suy luận có lý 1.7 Phân tích vai trò, ý nghĩa dự đoán, suy luận có lý qua thực tiễn giải Toán 1.8 Những hình thức dự đoán, suy luận có lý tơng đối phổ biến môn Toán 1.9 Liên hệ vấn đề dạy dự đoán, suy ln cã lý víi Lý thut t×nh hng 1.10 Kết luận Chơng Chơng Những quan điểm chủ đạo việc tập luyện cho học sinh dự đoán, suy luận có lý 2.1 Bàn định hớng đổi PPDH 2.2 Về số phơng pháp xu hớng dạy học đáp ứng yêu cầu đổi PPDH 2.3 Hai mức độ thích hợp việc dạy cho học sinh dự đoán, suy luận có lý 2.4 Những vấn đề thích hợp với dự đoán, suy luận có lý? Có phải dùng dự đoán, suy ln cã lý? Nh÷ng bÊt cËp cđa nã? 2.5 Những quan điểm chủ đạo việc tập luyện cho học sinh dự đoán, suy luận có lý 2.6 Minh họa trình mò mẫm, dự đoán, suy luận có lý qua nh÷ng vÝ dơ thĨ 2.7 KÕt ln Chơng Chơng Thực nghiệm s phạm 3.1 Mục ®Ých thùc nghiƯm 3.2 Tỉ chøc thùc nghiƯm 3.3 Néi dung thực nghiệm 3.4 Đánh giá kết thực nghiệm 10 Kết luận Tài liệu tham khảo Chơng Một số vấn đề sở lý luận thực tiễn 1.1 Bàn mục tiêu đào tạo Về mục tiêu giáo dục, Nghị Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam khóa VIII (1993) đà nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hớng vào đào tạo ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thờng gặp, qua góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nớc dân giàu, nớc mạnh, xà hội công bằng, dân chủ văn minh" Chúng ta sống thời kỳ công nghiệp hóa, đại hóa đất nớc, thời đại mà lợng thông tin phát triển mạnh nh vũ bÃo Từ năm 70 kỷ XX, đà xuất lời nhận xét: "Khối lợng tri thức khoa học tăng lên nhanh chóng cách lạ thờng, theo nhà bác học, năm lại tăng lên gấp đôi" (V A Cruchetxki, tr 112) Dòng thông tin khoa học phát triển mạnh làm cho khoảng cách tri thức khoa học nhân loại phận tri thức đợc lĩnh hội nhà trờng ngày tăng thêm Do đó, tham vọng giáo dục truyền thụ cho học sinh tất tri thức đủ để đảm bảo sống sau học sinh không tëng V A Cruchetxki cịng tõng nãi: "Kh«ng mét trêng học cung cấp cho ngời đủ phần tri thøc dï Ýt cÇn thiÕt" (V A Cruchetxki 1980, tr 113) Lợng tri thức phải kết trình học tập lâu dài, học nữa, học mÃi, học suốt đời ngồi ghế nhà trờng Vì vậy, giáo dục không dạy tri thức mà phải truyền thụ cho học sinh phơng pháp tự học tích cực, độc lập, sáng tạo, khả thích ứng tốt sống Để đáp ứng đợc đơn đặt hàng xà hội, nhà trờng cần phải đổi phơng pháp dạy học: "Phải đổi phơng pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục 100 hàm số y = x +1 , tìm hai điểm A B thuộc hai nhánh khác đồ x thị cho AB có độ dài ngắn nhất" Nếu giáo viên hỏi "Em có dự đoán vị trí hai điểm A, B?" chắn đa phần học sinh trực giác trả lời rằng, hai điểm cực trị đồ thị Ta thấy tiệm cận đứng đồ thị x = Vì hai điểm nằm phía tiệm cận, nên thực chất Bài toán quy tìm a < < b cho 2  a +1    b +1 M = (b − a) + ữ đạt GTNN b a     2 + 2÷ DÔ thÊy M = (b − a)  − ab a b   ViƯc t×m GTNN cđa M gợi lên suy nghĩ phải đánh giá M theo chiều "" Muốn vậy, ta nghiêng xu hớng đánh giá biểu thức dấu ngoặc theo chiều "" Dĩ nhiên, Bất đẳng thức nghĩ tới (b - a) 0, nhng đánh giá tầm thờng không giúp ích đợc cho Bài toán Lại phải huy động kiến thức ®· biÕt kh¸c ®Ĩ ®¸nh gi¸ (b - a) vÉn theo chiỊu "≥" Trong biĨu thøc xt hiƯn dÊu "-" nhng lại "-" số âm, nên để thuận tiện, ta nên khử dấu "-" để làm việc số dơng Lúc đó, M đợc viết dới dạng: + 2 ữ = 8bc + + Ta cã M ≥ 4bc  + bc b c  bc  4  =  8bc + ÷ + ≥ 32 + = 8( +1) bc  M đạt GTNN b = c = 2 hay b = 2 ,a =− 2 101 Cuối kết Bài toán cho thấy A, B hai điểm cực trị Qua Ví dụ ta thấy rằng, dự đoán thay đợc cho chứng minh Trong dạy học, thầy giáo không lu ý đến việc chọn toán điển hình với dụng ý nh trên, sau nhiều lần dự đoán đúng, khiến học sinh có ý nghĩ sai lầm rằng, dự đoán giải Toán ta cần dự đoán nêu kết luận (?!) Tóm lại, không quan tâm đến vai trò việc rèn luyện cho học sinh lực dự đoán, nhng quan tâm phải mức, phải biết kết hợp hữu dự đoán suy diễn Tốt cho học sinh thấy đợc dự đoán có tác dụng lớn lao việc vạch phơng hớng giải vấn đề 2.5 Những quan điểm chủ đạo việc tập luyện cho học sinh dự đoán, suy luận có lý Quan điểm 1: Cần trọng tập luyện cho học sinh dự đoán suy luận có lý tình thích hợp Rèn luyện khả dự đoán, suy luận có lý nhiệm vụ quan trọng, góp phần phát triển t học sinh Tuy nhiên, với cách dạy nh "t tính cách bị chìm kiến thức" (Nguyễn Cảnh Toàn 1997, tr 15) "Do ý truyền thụ kiến thức mà không ý dạy cho học sinh tìm tòi kiến thức nên phơng pháp thực nghiệm, quy nạp bị coi nhẹ" (Nguyễn Cảnh Toàn 1997, tr 98) Lời nhận xét GS Nguyễn Cảnh Toàn đà phần cho thấy thực trạng dạy học Toán Phải thừa nhận rằng, có nhiều giáo viên tâm huyết với nghề, luôn trăn trở để có giảng sinh động, hiệu Nhng không giáo viên cha cải tiến đợc phơng pháp dạy học kiểu dạy học cũ - hiệu không cao, dờng nh pha để học sinh tìm tòi, dự đoán Chẳng hạn, đứng trớc Bài toán: "Giả sử x, y hai số 102 thay đổi nhng thỏa m·n ®iỊu kiƯn x + y = 6, x ≥ H·y t×m GTNN cđa biĨu thøc x2 + y2" Phần đa giáo viên đa lời giải cách khiên cỡng: Vì x + y = 6, x ≥ nªn y ≤ 2; (x - y)2 ≥ Mặt khác: x2 + y2 = = [(x + y)2 + (x - y)2] 2 [6 + (x - y)2] ≥ (62 + 4) = 20 2 x = DÊu "=" x¶y ⇔  y = VËy GTNN cña x2 + y2 20, đạt x = 4, y = Đơng nhiên Lời giải mà giáo viên đa hoàn toàn đúng, nhng tốt phơng diện phơng pháp dạy học Liệu học sinh học đợc từ Lời giải ngắn gọn trên, mà thân họ không hiểu giáo viên l¹i biÕt biĨu diƠn x2 + y2 qua (x + y)2 vµ (x - y)2 (x2 + y2 = [(x + y)2 + (x - y)2]), cã nhiều cách biểu diễn khác, cách giải HS lại không đến kết quả, HS đà sai đâu? Thực tiễn s phạm cho thấy nhiều HS giải Bài toán nh sau: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai số (1, 1) vµ (x, y), ta cã: (1.x + 1.y)2 ≤ (12 + 12)(x2 + y2) ⇒ (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) ⇒ (x2 + y2) ≥ 1 (x + y)2 = 62 = 18 (v× x + y = 6) 2 VËy GTNN cña x2+ y2 18 Sai lầm lời giải học sinh cha sử dụng hết điều kiện ràng buộc Bài toán; cha hiểu đợc cách thấu đáo rằng, biểu thức A 103 có giá trị a cha đủ để kết luận GTNN a (khi cha khẳng định đợc dấu "=" xảy ra) Có học sinh cẩn thận trình bày lời giải Em đà chứng minh nh dẫn đến x2 + y2 18, sau tìm số x, y thỏa mÃn điều kiện đà nêu Bài toán cho x2 + y2 = 18 x + y =  Do nhËn thấy hệ x vô nghiệm, nên học sinh kÕt luËn r»ng, x + y = 18  biĨu thøc x2 + y2 kh«ng cã GTNN víi điều kiện x, y Giả thiết đây, em học sinh lại mắc sai lầm cho rằng, A lớn a GTNN cđa A nÕu cã, chØ cã thĨ lµ a; mà A a đợc, dẫn ®Õn kÕt luËn A kh«ng cã GTNN Thùc ra, nÕu A lớn a A lớn số b lớn a Mặc dầu A a nhng lại b Vậy đấy! toán mà chứa đựng "vấn đề" học sinh Nếu nh giáo viên sợ thiếu thời gian mà chạy theo số lợng toán làm sửa chữa sai lầm cho học sinh, để dẫn đến tình trạng "sai lầm nối tiếp sai lầm" Chúng ta biết rằng, mức độ đó, hoạt động học sinh gần giống với hoạt động nghiên cứu nhà khoa học Trong khoa học, vấn đề đà đợc giải nhng với thân học sinh, xem nh em thực quy trình "khám phá lại" Để đến phát minh cho nhân loại, nhà khoa học đà phải mò mẫm sai lầm họ, họ phải thử, sai thử lại Vậy trình giải Toán, đảm bảo đợc em không mắc phải sai lầm, nh dân gian thờng nói: Không có sai lầm biết đợc Để hoạt động dạy học có hiệu quả, giáo viên nên quan tâm mức đến việc tạo tình dễ mắc sai lầm để học sinh phát sửa 104 chữa nó, "không đợc tiếc thời gian để sửa chữa sai lầm, thời gian đợc trả công hậu, nhờ mà tránh đợc dự lẫn lộn! (G Polia 1997, tr 35) Trở lại Bài toán trên, để phát huy hoạt động tích cực, giáo viên nên học sinh "mò mẫm sai lầm mình" Sau đó, định hớng cho học sinh thử số trờng hợp nhằm hình thành nên điều dự đoán - làm sở cho việc tìm lời giải Bài toán Nhìn lại Lời giải Bài toán, thấy khâu mấu chốt, "nút" chỗ biÕt biĨu diƠn x2 + y2 = 2 1 ( x + y ) + ( x − y ) ; dự đoán, suy luận có lý đà gợi ý cho học sinh lựa chọn cách phân tích nhiều cách phân tích khác Thực tế dạy học cho thấy, nhiều giáo viên sợ thiếu thời gian nên thờng áp đặt cho học sinh trớc thao tác nh kẻ đờng phụ; biến đổi thêm, bớt biểu thức; phân chia trờng hợp riêng; mà bỏ qua giai đoạn tìm tòi dự đoán Thực ra, cho học sinh mò mẫm, tìm tòi dự đoán có tốn thời gian gian thật, nhng "sẽ đợc đền bù nhanh chóng t độc lập học sinh đà đợc phát triển" (Hoàng Chúng, dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr 65) Cụ thể - M Crugliắc đà nói: "Sự lĩnh hội chân có đợc sù hiĨu biÕt vỊ mét sù kiƯn vµ quy lt kiện hiểu đợc rằng, có tợng ấy, chế ớc nó, " (M Crugliắc 1976, tr 64) Ví dụ 2: Cho đờng tròn (O) với hai dây cung song song AB CD; M điểm chạy đờng tròn Đờng thẳng MD cắt đờng thẳng AB Q Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp MCQ M di động đờng tròn nên gợi cho ta xét vị trí đặc biệt M: 1) Khi M tiến đến D cát tuyến MD tiến đến tiếp tuyến Dt đờng tròn (O); 105 Q giao điểm MD víi AB sÏ tiÕn tíi giao ®iĨm T cđa AB Dt, nên tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác CDT (giao điểm đờng trung trực CD DT) điểm thuộc quỹ tích 2) Khi M tiến đến C MC tiến tíi tiÕp tun Cs: trung trùc cđa MC tiÕn tíi ®êng kÝnh qua C cđa ®êng trßn ®· cho; MD tiÕn tíi CD, song song víi AB Do ®ã M gần C Q chạy xa đờng thẳng AB trung trực CQ cung chạy xa mÃi Vậy M gần C tâm chạy xa dọc theo ®êng kÝnh qua C cđa ®êng trßn ®· cho Do đó, dự đoán quỹ tích đờng thẳng song song với đờng kính CO Mặt khác theo dự đoán trên, I điểm thuộc quỹ tích nên quỹ tích đờng thẳng qua I song song với CO, tức vuông góc với CS Dễ thấy tứ giác CDTS hình thang cân nên I nằm trung trực CS Vậy phải quỹ tích trung trực đoạn CS (?!) Công việc lại xác minh điều dự đoán Muốn chứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp MCQ nằm trung trực CS, ta cần chứng minh tứ giác MCQS nội tiếp Điều không khó, ( ) 1 » · ¼ - CA » CSB = sđ CDB = sđCD 2 ằ ẳ M∈ CABD  s®CD · CMQ = » » 180 − s®CD nÕu M ∈ CD  M s A I t B T S C D · · VËy CSB hc b»ng hc bù tức tứ giác MCQS nội CMQ tiếp Đối với Bài toán trên, dựa vào hình vẽ từ giả thiết thật khó mà tìm đợc lời giải Nhờ dự đoán, suy luận có lý mà nghĩ đến việc kẻ thêm đờng phụ gåm: TiÕp tun t¹i C cđa (O); tiÕp tun t¹i D; trung trực 106 CD Dự đoán, SL có lý đa đến điều kỳ diệu cần chứng minh tứ giác MCQS nội tiếp Trong dạy học, điều quan trọng chỗ giáo viên trao cho học sinh phơng pháp chứng minh đúng, mà phải làm cho em hiểu rõ mục đích bớc chứng minh - nh G Polia đà phát biểu "Khi ®äc s¸ch To¸n cã hai ®iỊu mong mn Thø nhÊt xác nhận đợc bớc chứng minh đọc đúng; thứ hai hiểu rõ đợc mục đích bớc Ngời nghe thông minh nghe giảng Toán có điều mong muốn nh Một ông thầy hay tác giả thông minh phải có ý thức hai điều Tất nhiên cần phải viết nãi ®óng, nhng nh thÕ cha ®đ Mét sù suy lý trình bày sách hay bảng khó hiểu chẳng có ích gì, nh, ngời đọc ngời nghe hiểu tác giả làm cách để có đợc chứng minh nh vËy" (G Polia 1975, tr 152, 153) Quan điểm 2: Trong trình tập luyện cho học sinh dự đoán suy luận có lý, cần biết động viên, khích lệ học sinh; nhng đồng thời thể rõ mối quan hệ biện chứng quy nạp suy diễn Trong trình học sinh dự đoán, học sinh thành công hay thất bại, học sinh đà tự giác nỗ lực t giáo viên cần phải trân trọng điều Rất HS đa câu trả lời vấn đề không Khi đó, GV không nên bác bỏ cách độc đoán, không nên đa lời bác bỏ nh "Em đà đoán sai!", mà thay vào đó, GV hÃy đa phản ví dụ để giúp học sinh điều chỉnh lại hớng dự đoán thân họ "Chỉ có hoạt động đợc GV thờng xuyên khích lệ, nhng luôn tự việc mò mẫm sai lầm, đa đến độc lập mặt trí tuệ" (J Piaget, dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr 67) Nhng mặt khác, thầy giáo biết học sinh đà dự đoán đúng, không nên nói "Em đà dự đoán đúng!" thay vào đó, thầy 107 nói: "Em kiểm tra lại dự đoán thêm lần không? việc tiếp tục thử thêm trờng hợp chẳng hạn!" Ví dụ nh hớng dẫn học sinh giải Bài toán Ví dụ 1, giáo viên hỏi học sinh: + HÃy cho (x, y) số cặp giá trị cụ thể, chẳng hạn (4; 2), (4,1; 1,9), (4,5; 1,5) tìm giá trị A tơng ứng, em có dự đoán diễn biến A? Chúng ta mong đợi học sinh trả lời rằng, x lớn A lớn + Đấy điều dự đoán, tạm thời xem nh Giả thuyết Trong đề ta thấy có hai số x y, nói vỊ x - y x cµng lín? Râ rµng là, (x + y) không đổi nên x lớn y bé (x - y) lớn Thầy giáo không để học sinh dừng lại đó, mà tiếp tục yêu cầu HS phải biĨu diƠn x2 + y2 qua (x + y) vµ (x - y), để đến lời giải chặt chẽ Cũng phải nói thêm rằng, câu trả lời học sinh đợc nh thầy giáo mong đợi Khi tùy vào hoàn cảnh cụ thể (thời gian, trình độ học sinh, đặc điểm vấn đề, ), thầy giáo dẫn dắt thêm tạm thời hạ thấp yêu cầu, đảm bảo phù hợp với Lý thuyết L X Vgôtxki "vùng phát triển gần nhất" Chẳng hạn, học sinh gặp khó khăn việc biểu diễn x2 + y2 qua x +y vµ x - y, GV cã thể dẫn dắt thêm: HÃy để ý đến bậc (x + y2), cách làm xuất bậc này? "Trong tình dạy học, giúp đỡ thầy cần đợc kiềm chế tối đa đợc thực tùy theo mức độ cần thiết" (Nguyễn Bá Kim 2004, tr 220) Quan điểm 3: Làm cho học sinh ý thức đợc ý nghĩa hoạt động dự đoán suy luận có lý 108 Qua phân tích phần trên, thấy đợc vai trò dự đoán, suy luận có lý dạy Toán học Toán Tuy nhiên, cha hẳn học sinh đà ý thức đợc điều này, họ tiến hành hoạt động dự đoán, suy luận có lý tình thích hợp Để học sinh ý thức đợc ý nghĩa hoạt động dự đoán SLCL, sau học sinh giải xong vấn đề liên quan đến dự đoán SLCL, thầy giáo nên nhấn mạnh hiệu hoạt động dự đoán SLCL việc giải vấn đề đặt Chẳng hạn Ví dụ 2, thầy giáo bình luận thêm rằng: Khâu then chốt lời giải dự đoán đợc quỹ tích điểm M; có trình đoán trớc đợc quỹ tích đó, biết kẻ thêm đờng phụ cần thiết chuyển từ toán quỹ tích ban đầu toán chứng minh đơn giản nhiều (chứng minh tứ giác MCQS nội tiếp) Việc làm thực chất gợi động kết thúc hoạt động Theo Nguyễn Bá Kim "gợi động kết thúc có tác dụng nâng cao tính tự giác hoạt động học tập nh cách gợi động khác Mặc dầu tác dụng kích thích nội dung đà qua hoạt động đà thực hiện, nhng góp phần gợi động thúc đẩy hoạt động học tập nói chung nhiều việc gợi động kết thúc trờng hợp lại chuẩn bị gợi động mở đầu cho trờng hợp tơng tự sau này" (Nguyễn Bá Kim 2004, tr 152) 2.6 Minh họa trình dự ®o¸n, suy ln cã lý qua c¸c vÝ dơ thể Trong thực tiễn giải Toán, có nhiều toán giải đợc nhờ thực tốt khâu mò mẫm, dự đoán Ví dụ 1: Trong mặt phẳng chứa tam giác ABC, tìm điểm M cho tổng khoảng cách từ M tới đỉnh tam giác bé Đây toán khó, trớc hết Bài toán không rõ mặt phẳng có tồn điểm M thỏa mÃn điều kiện không, cóA điểm Vì M M' B C M1 109 vËy, chóng sÏ t×m cách dự đoán vị trí điểm phải tìm (nếu có) cách mò mẫm từ trờng hợp đặc biệt Nhận xét tam giác chia mặt phẳng thành hai miền, miền tam giác (phần cạnh) miền tam giác Chúng ta thử xem có giới hạn lại đHình ợc miền quỹ tích hay không? Nếu M miền tam giác ABC ba đoạn MA, MB, MC cắt cạnh ABC M' Lóc ®ã MA + MB + MC > M'A + M'B + M'C; ba đoạn MA, MB, MC không cắt cạnh ABC (điểm M1, xem Hình 1), lóc ®ã: MA + MB + MC > CA + CB Vậy điểm cần tìm phải điểm ABC cạnh ABC Ta trờng hợp đặc biệt, ABC tam giác Vì tính đối xứng tam giác mà điểm cần tìm, có, có tính chất đối xứng đỉnh Mặt khác, tam giác có điểm đáng ý cả, O - vừa tâm đờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp, vừa trọng tâm, trực tâm; nên ta thiên dự đoán O điểm cần tìm, nghĩa là, OA + OB + OC < MA + A MB + MC với M điểm khác O ABC Chứng minh điều không cã g× khã: Tõ M vÏ MI' ⊥ BC; MJ' ⊥ AC; MK' ⊥ AB J K Ta cã: OA + OI < MA + MI' K' OB + OJ < MB + MJ' OC + OK < MC + MK' M B I' I H×nh J' C 110 Do ®ã: OA + OB + OC + OI + OJ + OK < MA + MB + MC + MI' + MJ' + MK'; mµ OI + OJ + OK = MI' + MJ' + MK' (vì ABC đều) nªn OA + OB + OC < MA + MB +MC Nh vậy, Bài toán đà cho đà đợc giải trờng hợp ABC Chuyển sang trờng hợp tổng quát với tam giác bất kỳ, khó khăn dự đoán xem O điểm nào? tâm đờng tròn nội tiếp, trọng tâm hay trực tâm?, Tiếp tục mò mẫm trờng hợp đặc biệt khác: Xem xét tam giác cân Vì tam giác cân, điểm đặc biệt nằm đờng cao ứng với đáy nên dễ khảo sát Để dễ bề tính toán, ta lại chọn tam giác vuông cân có cạnh góc vuông đơn vị; trực tâm đỉnh A; tâm đờng tròn ngoại tiếp điểm G BC; trọng tâm P; tâm đờng tròn nội tiếp Q (H 3) GA + GB + GC = 2+ > = AB + AC A Cho nên G, tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC điểm cần tìm Q TiÕp tơc so s¸nh: 2 PA = = 3 PB = PC = nªn: 2 PA + PB + PC = + = 3 ãP B G C Hình +2 < = AB + AC Do A, trực tâm tam giác ABC điểm cần tìm Ta phải xét trọng tâm P tâm đờng tròn nội tiếp Q QBC Cã thĨ so s¸nh tỉng (PA + PB + PC) với tổng (QA +QB + QC) để loại trừ bớt hai điểm P Q Nhng việc so sánh phức tạp Ta tiến hành cách 111 khác, thử tìm cách chứng minh P điểm phải tìm (nếu không đợc thử cho điểm Q) Để sử dụng đợc kết đà tìm đợc với tam giác đều, ta vẽ tam giác A'BC có tâm O (H 4), nh đà chứng minh trªn ta cã: OA' + OB + OC < PA' + PB + PC, trõ vµo hai vÕ cho AA' ta đợc: A' OA + OB + OC < PA + PB + PC Tức P điểm cần tìm A Vậy phải điểm cần tìm ®iÓm O? LÊy M bÊt kú ∆ABC, M ≠ O ta cã: •O •P OB + OC + OA' < MB + MC + MA' B H×nh C ⇒ OB + OC + OA = OB + OC + OA' - AA' < MB + MC + MA' - AA' < MB + MC + MA (V× MA' - AA' < MA) Trong ∆ABC, ®iĨm O cã tÝnh chất gì? Đó điểm mà ta đà dự đoán (trọng tâm; trực tâm; tâm đờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp) mà điểm nhìn cạnh ABC dới góc 1200 (Đây điều bất ngờ!) Bây ta xét Bài toán trờng hợp tổng quát: Giả sử cã ®iĨm O · · · cho: BOA = COB = AOC = 120 Ta chøng minh OA + OB + OC < MA + MB + MC với M O áp dụng kết trờng hợp tam giác vuông cân: kéo dài OA phÝa A, OB vỊ phÝa B (H 5) ®Ĩ cã OA' = OB' = OC (gi¶ sư OC > OA OB) Tam giác A'B'C nên: OA' + OB' + OC < MA' + MB' + MC A' < V× vËy: OA + OB + OC = (OA' - AA') + (OB' - BB') + OC < MA' - AA' + MB' - BB' + MC < MA + MB + MC A (V× MA' - AA' < MA; MB' - BB' < MB) ⇒ ®pcm M O B B' 112 Vậy ABC điểm O nhìn cạnh dới góc, tức ABC có góc 1200, điểm cần tìm ®iĨm nµo? NÕu A = 1200, ta cã thĨ xem A nh A' Hình điểm "giới hạn", nhìn ba cạnh ABC dới góc (A lµ giao cđa A ba cung chøa gãc 120 vÏ ba cạnh vẽ M B phía góc ABC) nên A Hình điểm cần t×m C Cã thĨ chøng minh trùc tiÕp nh sau: vÏ AA' cho: · AB = A' · AC = 120 (H 6) A' Trong ∆A'BC, ®iĨm A điểm nhìn ba cạnh tam giác dới mét gãc nªn: AA' + AB + AC < MA' + MB + MC ⇒ AB + AC < MA' - AA' + MB + MC < MA + MB + MC đpcm Nếu A > 1200 phải A điểm cần tìm? Muốn chứng minh điều ta tìm cách vận dụng trờng hợp A = 1200: · ' AC = 1200 (H 7), theo chøng minh trªn ta cã: VÏ AB' cho B AB' + AC < MA + MB' + MC Ta ph¶i chøng minh: AB + AC < MA + MB + MC hay AB' + AC + (AB - AB') < MA + MB' + MC + (MB - MB') A VËy chØ cÇn chøng minh AB - AB' < MB - MB' hay AB + MB' < AB' + MB Điều D hai tam giác DAB vµ DMB' (D lµ giao cđa AB' vµ MB) cã: M B B' H×nh C 113 AB' + MB = (AD + DB') + (BD + DM) = (AD + DB) + (DB' + DM) > AB + MB' Nếu M tam giác AB'B ta vẽ AC' (C' cạnh BC) cho à BAC ' = 120 chứng minh nh Bài toán đà đợc giải xong Cách giải có đợc nhờ vào mò mẫm, dự đoán dựa nhiều trờng hợp đặc biệt Chúng ta đà trờng hợp đơn giản tam giác để đến dự đoán: điểm cần tìm tâm đờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm Sau tiếp tục xét Bài toán trờng hợp đặc biệt khác tam giác vuông cân, để thấy điểm cần tìm điểm đà dự đoán (trong bớc ta đà điều chỉnh dự đoán mình) Cuối cùng, ta sử dụng phơng pháp chứng minh hai trờng hợp đặc biệt để giải toán tổng quát Quá trình tìm tòi lời giải Bài toán khẳng định thêm lần rằng, đà không uổng công xét toán trờng hợp đặc biệt Ta tiếp cận Bài toán đà cho mức độ đơn giản hơn, nhằm làm quen với dạng toán phơng pháp giải, chuẩn bị cho Bài toán đà đề Cũng với Bài toán trên, HS đà đợc học phép biến hình mặt phẳng, GV đa Lời giải ngắn gọn nhiều: Đầu tiên, bắt đầu trờng hợp tơng tự đơn giản hơn: Trong mặt phẳng cho điểm A, B Tìm vị trí điểm M cho (MA + MB) đạt GTNN M Ta dễ dàng có đợc kết Bài toán: M điểm nằm đoạn thẳng AB Lúc đó, hÃy nhìn Bài toán góc độ khác: Trong đờng gấp khúc có hai đầu mút cố định đoạn thẳng có độ dài bé A Hình áp dụng cho trờng hợp ba điểm mặt phẳng, ta cố gắng đa ba đoạn thẳng chung đầu mút M MA, MB, MC đoạn gấp khúc có hai điểm đầu B 114 cố định Định hớng gợi cho ta liên tởng đến việc vận dụng phép quay để gi¶i: Q +B60 : A a C ' M a M' ⇒ MB = M'M (∆ BMM' ®Ịu), MA = C'M' A ⇒ MA + MB + MC = C'M' + M'M + MCC' Víi lu ý C', C cè định nên đờng gấp M' M khúc C'M'MC ngắn đoạn thẳng Lúc M', M thuộc đờng thẳng CC', hay M nhìn BC dới góc 1200 BHình Vì vai trò điểm A, B, C bình đẳng, nên hoàn toàn tơng tự ta chứng minh đợc M nhìn đoạn AC, AB dới gãc 1200 (M lµ giao ba cung chøa gãc 1200 vẽ ba cạnh BC, AC, AB ABC) Tùy vào khả liên tởng vốn kiến thức mà học sinh có phơng pháp tiếp cận toán khác Có học sinh vững phép biến hình nên đến lời giải toán nhanh Tuy nhiên, dù theo hớng đòi hỏi ngời làm Toán phải trải qua trình tìm tòi, dự đoán dựa nhiều trờng hợp đặc biệt hay tơng tự Cái khó Bài toán chỗ Nếu Bài toán đà cho dới dạng tìm kiếm mà thay bằng: "Chứng minh rằng: NÕu ∆ABC (cã ba gãc < 1200) cã mét ®iĨm O cho · · · = 1200, th× O điểm có tổng khoảng cách đến đỉnh AOB = BOC = COA tam giác bé Nếu ABC có góc 1200 đỉnh góc điểm có tính chất nói trên" - Bài toán không khó Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > tho¶ m·n a + b + c + d = T×m GTLN cña S= 2a + b + 2b + c + 2c + d + 2d + a C ... cứu Luận văn là: "Góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả dự đoán, suy luận có lý dạy học Toán trờng phổ thông" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc phát triển lực dự đoán, suy luận có lý học. .. trò dự đoán suy luận có lý dạy học Toán nh nào? 3.3 Những đờng thông dụng để tiến hành hoạt động dự đoán, suy luận có lý gì? 3.4 Thực trạng việc rèn luyện khả dự đoán, suy luận có lý cho học sinh. .. dự đoán, suy luận có lý việc tổng hợp, phân tích sở lý luận nhà khoa học 6.2 Đề xuất đợc quan điểm việc rèn luyện cho học sinh khả dự đoán, suy luận có lý 6.3 Hiện thực hóa đợc hoạt động dự đoán,