góp phần rèn luyện cho học sinh thpt khả năng liên tưởng và huy động kiến thức trong dạy học đại số và giải tích

1 Më §Çu 1 Lý do chän ®Ò tµi D¹y To¸n lµ d¹y ho¹t ®éng to¸n häc, cho nªn mét trong nh÷ng yªu cÇu cña d¹y To¸n lµ ph¶i kh¬i dËy ®îc kh¶ n¨ng suy nghÜ vµ kh¸m ph¸ ®èi víi ngêi häc Tríc khi häc mét kiÕn thøc nµo ®ã th× häc sinh còng ®· cã mét vèn kiÕn thøc nhÊt ®Þnh råi, lµm sao cã thÓ vËn dông tèt nh÷ng c¸i ®· biÕt nh»m gi¶i quyÕt nh÷ng c¸i míi - ®ã chÝnh lµ mét trong nh÷ng nhiÖm vô cña viÖc häc M«n To¸n cã ®é liªn kÕt l«gÝc gi÷a c¸c chñ ®Ò kiÕn thøc, muèn häc To¸n cã chÊt lîng th× ngêi häc ph¶i biÕt liªn hÖ, ph¶i biÕt tÝch luü nh÷ng kiÕn thøc ®Ó råi khi cÇn th× ®em ra mµ sö dông Liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc lµ nh÷ng n¨ng lùc rÊt quan träng, cÇn ph¶i rÌn luyÖn cho häc sinh NÕu cã n¨ng lùc liªn tëng tèt th× nhiÒu khi ®øng tríc mét bµi to¸n rÊt khã, nhng ta vÉn nghÜ tíi ®îc mét kiÕn thøc nµo ®ã liªn quan, cã vai trß quyÕt ®Þnh trong viÖc t×m ra lêi gi¶i Ngîc l¹i, nÕu ta liªn tëng kÐm th× gÆp mét vÊn ®Ò nµo ®ã ta ch¼ng biÕt ®Æt nã trong mèi liªn hÖ víi c¸c kiÕn thøc ®· biÕt, thµnh ra ta nh×n c¸c vÊn ®Ò mét c¸ch côc bé vµ rêi r¹c Trong khi ®ã, To¸n häc lµ mét hÖ thèng c¸c kiÕn thøc cã liªn hÖ kh¸ mËt thiÕt víi nhau Cha cã c«ng tr×nh nµo nghiªn cøu s©u viÖc rÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc, v× lý do ®ã chóng t«i chän ®Ò tµi “Gãp phÇn rÌn luyÖn cho häc sinh THPT kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc trong d¹y häc §¹i sè vµ Gi¶i tÝch” 2 Môc ®Ých nghiªn cøu Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ nghiªn cøu vÊn ®Ò c¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn vÒ liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc, tõ ®ã t×m ra nh÷ng gi¶i ph¸p ®Ó rÌn luyÖn cho häc sinh THPT nh÷ng n¨ng lùc nµy 3 NhiÖm vô nghiªn cøu LuËn v¨n cã nhiÖm vô gi¶i ®¸p nh÷ng vÊn sau ®©y: - Liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc lµ g×? - V× sao l¹i cÇn ph¶i båi dìng cho häc sinh kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc? - Vai trß cña liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc lµ nh thÕ nµo? 2 - T×nh h×nh thùc tÕ cña häc sinh THPT trong viÖc liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc lµ ra sao? - Lµm thÕ nµo ®Ó rÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc? 4 Gi¶ thuyÕt khoa häc Trong d¹y häc To¸n nãi chung, d¹y häc §¹i sè vµ Gi¶i tÝch ë THPT nãi riªng, nÕu chó träng viÖc rÌn luyÖn cho häc sinh n¨ng lùc liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc th× sÏ h×nh thµnh ®îc ë häc sinh mét hÖ thèng nh÷ng kiÕn thøc v÷ng vµng, lµm s¸ng tá ®îc mèi liªn hÖ mËt thiÕt vµ ®é liªn kÕt l«gÝc gi÷a c¸c chñ ®Ò kiÕn thøc, gãp phÇn gióp häc sinh lÜnh héi kiÕn thøc mét c¸ch bÒn v÷ng vµ s©u s¾c h¬n 5 Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu - Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý luËn - Ph¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm - Ph¬ng ph¸p thùc nghiÖm s ph¹m 6 CÊu tróc luËn v¨n Ngoµi c¸c phÇn më ®Çu, kÕt luËn, tµi liÖu tham kh¶o vµ môc lôc, luËn v¨n gåm 3 ch¬ng: Ch¬ng 1: C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn Ch¬ng 2: Gãp phÇn rÌn luyÖn cho häc sinh THPT kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc trong d¹y häc §¹i sè vµ Gi¶i tÝch Ch¬ng 3: Thùc nghiÖm s ph¹m Ch¬ng 1 C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn 1.1 Liªn tëng 1.1.1 Kh¸i niÖm liªn tëng Theo Tõ ®iÓn tiÕng ViÖt th× liªn tëng cã nghÜa lµ: “Nh©n sù vËt, hiÖn tîng nµo ®ã mµ nghÜ ®Õn sù vËt, hiÖn tîng kh¸c cã liªn quan” 1.1.2 Vai trß cña liªn tëng díi gãc ®é t©m lý häc Trong t©m lý häc, trêng ph¸i tiÕp cËn liªn tëng vÊn ®Ò t duy(§.Ghatli, D.S.Mil¬, H.Spenx¬, …) cho r»ng: t duy lµ qu¸ tr×nh thay ®æi tù do tËp hîp c¸c h×nh ¶nh, lµ sù liªn tëng c¸c biÓu tîng Theo c¸c nhµ liªn tëng, cã 4 lo¹i liªn tëng: 3 Liªn tëng gièng nhau, liªn tëng t¬ng ph¶n, liªn tëng gÇn nhau vÒ kh«ng gian vµ thêi gian, liªn tëng nh©n qu¶ Liªn tëng nh©n qu¶ cã vai trß ®Æc biÖt quan träng trong c¸c qu¸ tr×nh trÝ tuÖ Sù ph¸t triÓn trÝ tuÖ lµ qu¸ tr×nh tÝch luü c¸c mèi liªn tëng Sù kh¸c biÖt vÒ tr×nh ®é trÝ tuÖ ®îc quy vÒ sù kh¸c nhau, vÒ sè lîng c¸c mèi liªn tëng, vÒ tèc ®é ho¸ c¸c liªn tëng ®ã T¸c gi¶ Bïi V¨n HuÖ chia liªn tëng thµnh 4 lo¹i: liªn tëng gÇn nhau vÒ kh«ng gian vµ thêi gian, liªn tëng gièng nhau vÒ h×nh thøc hoÆc néi dung, liªn tëng tr¸i ngîc nhau, liªn tëng nh©n qu¶ Theo t¸c gi¶, liªn tëng cã vai trß rÊt quan träng khi ghi nhí vµ nhí l¹i Nhµ t©m lý häc P.A.Sªvarev ®· nghiªn cøu tØ mØ nh÷ng mèi liªn tëng kh¸i qu¸t ®éc ®¸o vµ vai trß cña chóng trong d¹y häc ¤ng chØ ra r»ng: nh÷ng mèi liªn tëng kh¸i qu¸t bao gåm 3 kiÓu c¬ b¶n, nh÷ng liªn tëng®îc biÕn ®æi 1 nöa, nh÷ng liªn tëng trõu tîng - biÕn thiªn, nh÷ng liªn tëng cô thÓ - biÕn thiªn L.B.Itenx¬n cho r»ng: T duy tèt tøc lµ t duy ®óng ®¾n vµ cã hiÖu qu¶, biÕt thùc hiªn ®îc nh÷ng liªn tëng kh¸i qu¸t, nh÷ng liªn tëng phï hîp víi bµi to¸n cÇn gi¶i V× vËy, ®Ó viÖc d¹y t duy cã hiÖu qu¶, kh«ng chØ ®ßi hái ph¶i t×m hiÓu nh÷ng thuéc tÝnh hay nh÷ng quan hÖ chung x¸c ®Þnh cña c¸c ®èi tîng, mµ cßn ph¶i biÕt thuéc tÝnh nµy lµ b¶n chÊt ®èi víi nh÷ng bµi to¸n nµo" K.K.Plant«n«v xem t duy nh lµ mét qu¸ tr×nh gåm nhiÒu giai ®o¹n kÕ tiÕp nhau, mµ hai trong sè c¸c giai ®o¹n Êy lµ: xuÊt hiÖn liªn tëng, sµng läc liªn tëng vµ h×nh thµnh gi¶ thuyÕt Theo t¸c gi¶ Vò D¬ng Thuþ: “Trong d¹y häc, cÇn chó ý rÌn cho häc sinh kü n¨ng biÕn ®æi xu«i chiÒu vµ ngîc mét c¸ch song song víi nhau, nh»m gióp cho viÖc h×nh thµnh c¸c liªn tëng ngîc diÔn ra ®ång thêi víi viÖc h×nh thµnh c¸c liªn tëng thuËn” Nh vËy cã thÓ thÊy r»ng: Vai trß cña liªn tëng trong qu¸ tr×nh t duy lµ rÊt quan träng, liªn tëng còng ®ãng vai trß quan träng trong ho¹t ®éng t duy gi¶i to¸n nãi chung vµ gi¶i to¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch nãi riªng 1.1.3 Liªn tëng trong To¸n häc VÒ møc ®é khã, dÔ cña bµi to¸n, G.P«lya cho r»ng: “Kh«ng dÔ dµng xÐt ®o¸n møc ®é khã cña mét bµi to¸n, l¹i cµng khã h¬n n÷a khi x¸c lËp gi¸ trÞ gi¸o dôc cña nã” 4 Theo G.P«lya, thÇy gi¸o nªn n¾m ®îc c¸ch ph©n lo¹i møc ®é khã, dÔ cña c¸c bµi to¸n, v× ®ã lµ mét ®iÒu cã Ých cho viÖc gi¶ng d¹y ¤ng ®· ghi nhËn c«ng lao cña F.Denk vÒ sù ph©n lo¹i nµy trªn c¬ së sù ph©n lo¹i cña F.Denk, G.P«lya cã ®iÒu chØnh chót Ýt vµ ph©n lo¹i nh sau: Lo¹i thø nhÊt: c¸c bµi to¸n cã thÓ gi¶i ®îc b»ng c¸ch vËn dông trùc tiÕp quy t¾c mÉu hoÆc tu©n theo mét c¸ch m¸y mãc c¸c vÝ dô mÉu H¬n n÷a, quy t¾c hoÆc vÝ dô mÉu cã ngay tríc m¾t HS (võa míi häc song), thÇy gi¸o thêng cho c¸c bµi to¸n nh thÕ vµo cuèi giê häc Lo¹i thø hai khã h¬n, nã ®îc gi¶i tuy còng vËn dông trùc tiÕp quy t¾c ®· ®îc häc trong líp hoÆc tu©n thñ m¸y mãc vÝ dô mÉu ®· ®îc biÕt, tuy nhiªn HS cha râ ngay nªn chän quy t¾c mÉu nµo hoÆc vÝ dô mÉu nµo, HS cÇn ph¶i cã sù chän läc s¬ bé trong ph¹m vi nµo ®ã Lo¹i thø ba cßn khã h¬n n÷a §Ó gi¶i ®îc chóng, HS cÇn ph¶i kÕt hîp mét sè quy t¾c hoÆc vÝ dô ®· häc Bµi to¸n sÏ kh«ng qu¸ khã nÕu mét tæ hîp nµo ®ã t¬ng tù víi nã (nhng kh«ng ph¶i chÝnh nã) ®· ®îc tho¶ luËn ë líp NÕu tæ hîp nµy hoµn toµn míi, hoÆc cÇn ph¶i phèi hîp nhiÒu phÇn cña gi¸o tr×nh (cã thÓ rÊt xa nhau), th× bµi to¸n thêng lµ rÊt khã Cã ngêi ®· vÝ, qu¸ tr×nh gi¶i mét bµi to¸n gièng nh qu¸ tr×nh x©y mét ng«i nhµ §Çu tiªn, ph¶i thu thËp nh÷ng vËt liÖu cÇn thiÕt, sau ®ã ph¶i kÕt cÊu nh÷ng vËt liÖu rêi r¹c thµnh mét c¸i toµn thÓ theo mét mÉu thiÕt kÕ ®· ®îc h×nh dung tríc Thùc ra, thêng tríc khi x©y nhµ ta ®· h×nh dung ®îc cÇn ®Õn nh÷ng vËt liÖu nµo, cã ch¨ng, nÕu thiÕu vËt liÖu g× th× sau ®ã còng cã thÓ dÔ dµng bæ sung cho ®ñ Tríc khi gi¶i bµi to¸n, thêng lµ cha kh¼ng ®Þnh ®îc ch¾c ch¾n m×nh sÏ dïng nh÷ng kiÕn thøc (®Þnh nghÜa, ®Þnh lý, mÖnh ®Ò, quy t¾c, c«ng thøc, ) nµo, trõ khi ®ã lµ bµi to¸n ®· cã thuËt gi¶i hoÆc bµi to¸n kh¸ dÔ Sau khi gi¶i xong bµi to¸n, ngêi gi¶i tù hái m×nh: thÕ mµ ngay tõ ®Çu t¹i sao m×nh l¹i kh«ng nghÜ ®Õn ®Þnh lý nµy nhØ? (mÆc dÇu tríc ®ã hä ph¶i mß mÉm, suy nghÜ rÊt l©u míi biÕt c¸ch sö dông ®Þnh lý nµy) VÝ dô 1: XÐt bµi to¸n, Chøng minh r»ng: víi ∀∆ABC ta lu«n cã sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 9 4 5 NÕu bµi to¸n yªu cÇu häc sinh gi¶i khi cha häc vÒ c¸c c«ng thøc lîng gi¸c (c«ng thøc h¹ bËc) nhng ®· häc vÒ ®Þnh lý hµm sè sin th× viÖc ®a ra bµi to¸n nµy vÉn hîp lý Gi¸o viªn dÉn d¾t ®Ó häc sinh liªn tëng ®Õn viÖc ¸p dông ®Þnh lý hµm sè sin cho vÕ tr¸i cña bÊt ®¼ng thøc, cã thÓ nªu c©u hái: sinA, sinB, sinC gîi cho em liªn tëng ®Õn mét c¸i g× ®ã rÊt quen thuéc ë phÇn gi¶i tam gi¸c thêng sö dông? Chóng ta mong ®îi häc sinh sÏ tr¶ lêi r»ng: ®ã lµ ®Þnh lý hµm sè sin Gi¸o viªn dÉn d¾t ®Ó häc sinh ph¸t hiÖn ra vµ ®a bÊt ®¼ng thøc vÒ d¹ng: (1) 9 R 2 − (a 2 + b2 + c 2 ) ≥ 0 Gi¸o viªn cã thÓ ®Æt vÊn ®Ò: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®· cho ta sÏ kh«ng chøng minh trùc tiÕp mµ cã thÓ chøng minh bÊt ®¼ng thøc (1), con ®êng ®Ó chøng minh (1) ®óng? sö dông c«ng thøc nµo liªn quan ®Õn ®é dµi c¹nh cña tam gi¸c? Chóng ta mong ®îi häc sinh sÏ tr¶ lêi r»ng: chøng minh (1) b»ng ph¬ng ph¸p h×nh häc, sö dông c«ng thøc tÝch v« híng hai vÐc t¬ vµ ®Þnh lý hµm sè c«sin uu ur uu u r uu ur uu ur Trong tam gi¸c ABC th× OH = OA + OB + OC , víi H lµ trùc t©m, O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp cña tam gi¸c ABC uu ur uu ur uu ur uu ur Ta cã OH 2 = (OA + OB + OC )2 u u u u u u ur u u ur ur ur uru u u ru u = OA2 + OB 2 + OC 2 + 2(OA.OB + OB.OC + OC.OA) ¸p dông tÝch v« híng vµ ®Þnh lý hµm sè c«sin ta cã: OH 2 = 9 R 2 − (a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 0 lu«n ®óng VËy bÊt ®¼ng thøc ®· cho ®óng Nh vËy trong bµi to¸n nµy nÕu häc sinh liªn tëng ®îc viÖc sö dông hµm sè sin, tiÕp theo ®ã liªn tëng ®Õn c«ng thøc tÝch v« híng vµ ®Þnh lý hµm sè c«sin b»ng ph¬ng ph¸p h×nh häc sÏ gi¶i quyÕt ®îc mét c¸ch dÔ dµng Còng ®èi víi bµi to¸n nµy, yªu cÇu häc sinh chøng minh khi ®· häc c¸c c«ng thøc lîng gi¸c, th× viÖc gi¶i quyÕt bµi to¸n cã thÓ ®¬n gi¶n nÕu häc sinh liªn tëng ®Õn h¹ bËc, råi liªn tëng dïng tam thøc bËc hai hoÆc ®¸nh gi¸ 6 Ch¼ng h¹n (1) ®îc biÕn ®æi thµnh cos2C) ≤ 1 1 (1 - cos 2A) = (1 - cos 2B) + (1 2 2 9 nhê sö dông c«ng thøc h¹ bËc vµ sin 2C = 1 - cos2C Thùc hiÖn c¸c 4 phÐp biÕn ®æi ta ®îc: 1 1 9 (1 - cos 2A) + (1 - cos 2B) + (1 - cos2C) ≤ 2 2 4 ⇔2- 1 9 (cos 2A + cos 2B) - cos2C ≤ 2 4 ⇔2- 1 9 2 cos (A - B) cos (A + B) - cos2C - ≤ 0 2 4 ⇔ cos2C + cos (A - B) cosC - 1 ≤ 0 (*) 4 §Õn ®©y ta cã thÓ ®Æt c©u hái cho häc sinh: VÕ tr¸i cña bÊt ®¼ng thøc (*) gîi cho em liªn tëng ®Õn c¸i g×? Mét c¸i g× ®ã liªn quan khi gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh thêng dïng? - Ta mong ®îi häc sinh sÏ tr¶ lêi r»ng: VÕ tr¸i cña (*) lµ tam thøc bËc hai ®èi víi cosC Sau ®ã gi¸o viªn dÉn d¾t häc sinh ph¸t hiÖn ra tam thøc bËc hai nµy cã biÖt thøc ∆ chÝnh lµ - sin2 (A - B) Lóc nµy häc sinh cã thÓ kÕt luËn vÕ tr¸i cña (*) lu«n kh«ng d¬ng, vµ ®îc ®iÒu cÇn chøng minh 1.1.4 Vai trß cña liªn tëng trong d¹y häc To¸n D¹y häc to¸n bao gåm d¹y häc kh¸i niÖm, ®Þnh lý, mÖnh ®Ò, gi¶i bµi tËp to¸n… N¨ng lùc liªn tëng ë mçi ngêi mét kh¸c, khi ®øng tríc mét vÊn ®Ò cô thÓ (bµi to¸n, ®Þnh lý, mÖnh ®Ò, kh¸i niÖm…) Cã ngêi liªn tëng ®îc nhiÒu ®Þnh lý, mÖnh ®Ò, bµi to¸n phô, ®Ó hy väng sÏ gióp cho viÖc gi¶i quyÕt vÊn ®Ò kh¸ ®¬n gi¶n Nhng cã ngêi kh«ng liªn tëng ®îc hay chØ liªn tëng ®îc Ýt ®Þnh lý, mÖnh ®Ò, bµi to¸n phô th× vÊn ®Ò Êy sÏ bÞ bÕ t¾c ngay VÝ dô 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 7  2x y = 2  1− x  2y z = 2  1− y  2z x = 2  1− z §©y lµ mét bµi to¸n hÖ ph¬ng tr×nh d¹ng vßng, nÕu ta gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p thÕ th× hÖ t¬ng ®¬ng vÉn lµ chÝnh nã §Ó gi¶i bµi to¸n nµy thËt kh«ng dÔ dµng, nÕu kh«ng cã sù chØ dÉn cña thÇy gi¸o gióp häc sinh ph¸t hiÖn ra vÕ ph¶i cña c¸c ph¬ng tr×nh trong hÖ cã liªn quan ®Õn mét c«ng thøc mµ ta gÆp ë trong lîng gi¸c VËy nªn cÇn cã sù thuyÕt tr×nh, vÊn ®¸p cña gi¸o viªn b»ng nh÷ng c©u hái, ch¼ng h¹n: VÕ ph¶i cña c¸c ph¬ng tr×nh trong hÖ trªn gîi cho em liªn tëng ®Õn c«ng thøc lîng gi¸c nµo mµ ta ®· häc ? Ta mong ®îi häc sinh sÏ tr¶ lêi ®îc c«ng thøc: tan2α = 2tanα 1-tan 2α ViÖc liªn tëng ®Õn c«ng thøc trªn qu¶ lµ kh«ng dÔ g×? Bíc tiÕp theo ®Ó gi¶i bµi to¸n nµy còng rÊt quan träng, cÇn chuyÓn bµi to¸n ®¹i sè sang lîng gi¸c Nh vËy lùa chän c¸ch ®Æt cho Èn X, Y, Z lµ bíc quan träng Tõ c«ng thøc: tan2α = 2tanα vµ hÖ ®· cho 1-tan 2α §Æt X= tanα suy ra Y= tan2α, Z = tan4α, Thay vµo hÖ ta sÏ ®îc ph¬ng tr×nh: X = tan8α §Õn ®©y häc sinh cã thÓ t×m ®îc sè nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ 7 nghiÖm 1.2 Huy ®éng kiÕn thøc 1.2.1 Kh¸i niÖm huy ®éng kiÕn thøc Trong qu¸ tr×nh gi¶i mét bµi to¸n cô thÓ nµo ®ã, lÏ ®¬ng nhiªn kh«ng cÇn huy ®éng ®Õn mäi kiÕn thøc mµ ngêi gi¶i ®· thu thËp, tÝch luü ®îc tõ tríc CÇn huy ®éng ®Õn nh÷ng kiÕn thøc nµo, cÇn xem xÐt ®Õn nh÷ng mèi liªn hÖ nµo, 8 ®iÒu ®ã cßn phô thuéc vµo kh¶ n¨ng chän läc cña ngêi gi¶i to¸n Ngêi gi¶i to¸n ®· tÝch luü ®îc nh÷ng tri thøc Êy trong tri nhí, giê ®©y rót ra vµ vËn dông mét c¸ch thÝch hîp ®Ó gi¶i bµi to¸n G.P«lya gäi viÖc nhí l¹i cã chän läc c¸c tri thøc nh vËy lµ sù huy ®éng 1.2.2 Vai trß cña huy ®éng kiÕn thøc trong d¹y häc To¸n N¨ng lùc huy ®éng kiÕn thøc kh«ng ph¶i lµ ®iÒu bÊt biÕn, mét bµi to¸n cô thÓ nÕu ®Æt vµo thêi ®iÓm nµy cã thÓ kh«ng gi¶i ®îc, chøng minh ®îc, hoÆc gi¶i ®îc, chøng minh ®îc mét c¸ch rÊt m¸y mãc vµ dµi dßng, nhng ®Æt trong thêi ®iÓm kh¸c (cã thÓ kh«ng xa l¾m), nÕu cã n¨ng lùc huy ®éng kiÕn thøc tèt, häc sinh cã thÓ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò mét c¸ch rÊt ®éc ®¸o, hay VÝ dô 3: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh sau víi Èn n thuéc tËp hîp sè tù nhiªn: 5 n C n-1 + C n +2 > A 2 n +2 2 n Ta nhËn thÊy r»ng bµi to¸n cã ®Ò cËp ®Õn chØnh hîp vµ tæ hîp, gi¸o viªn cÇn lu ý cho häc sinh nh÷ng tÝnh chÊt, c«ng thøc ®· biÕt cña tæ hîp vµ chØnh hîp: n! Ck = (n ≥ k) (2) n k!(n- k)! , k C k +C n -1 =C k n n +1 (0 ≤ k ≤ n) (3) nC k =C n k n (0 ≤ k ≤ n) (4) Ak = n n! (n- k)! A k = k!C k n n (5) (6) §Ó chän läc nh÷ng kiÕn thøc thÝch hîp, ta nªn sö dông c«ng thøc (3) ®Ó gi¶i bíc ®Çu, bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: C n +3 > 5 A2 n 2 n Sö dông tiÕp (2) vµ (5) ®îc: (n +3)! 5 n! > n!3! 2 2(n-2)! ⇔ n(n2 - 9n + 26) + 6 > 0 lu«n ®óng víi mäi n ≥ 2 9 Nh vËy nÕu chän läc c«ng thøc phï hîp th× viÖc gi¶i quyÕt bµi to¸n kh¸ ®¬n gi¶n vµ nhanh Cßn nÕu, kh«ng huy ®éng ®îc c¸c c«ng thøc ®· häc trªn ((2) ®Õn (6)) vµ ¸p dông nã th× viÖc gi¶i quyÕt bµi to¸n sÏ dµi dßng h¬n, cã khi bÕ t¾c VÝ dô 4: Chøng minh r»ng, tam gi¸c ABC lµ c©n nÕu ®iÒu kiÖn sau ®©y tho¶ m·n: 2sin A sin B C = cot sin C 2 (7) Yªu cÇu bµi to¸n ®ßi hái lµ tam gi¸c ABC c©n, ta ph¶i huy ®éng nh÷ng ®Þnh nghÜa, ®Þnh lý, tÝnh chÊt liªn quan ®Õn tam gi¸c c©n §Ó chøng minh mét tam gi¸c lµ c©n, ta cã thÓ chøng minh lµ tam gi¸c ®ã cã hai c¹nh hoÆc hai gãc b»ng nhau VÊn ®Ò ë ®©y lµ chøng minh hai c¹nh b»ng nhau hay hai gãc b»ng nhau? ë ®©y, gi¶ thiÕt bµi to¸n cho ta mét hÖ thøc gi÷a c¸c gãc th«ng qua c¸c hµm sè lîng gi¸c gi÷a chóng Do vËy, ®Ó chøng minh tam gi¸c ABC c©n, trong bµi to¸n nµy ta sÏ chøng minh hai gãc b»ng nhau: A=B hoÆc B = C hoÆc A = C Do biÓu thøc ®· cho trong gi¶ thiÕt cã tÝnh ®èi xøng ®èi víi sinA vµ sinB (®iÒu ®ã kh«ng x¶y ra ®èi víi sinA vµ sinC hoÆc sinB vµ sinC) Tõ ®ã, ta sÏ chøng minh A = B hay A- B = 0 §Ó chøng minh A - B = 0, ta ®· biÕt c¸c c¸ch sau: Chøng minh sin(A - B) = 0 (8) HoÆc chøng minh cos(A - B) = 0 (9) Ta chän c¸ch nµo trong hai c¸ch ®ã? Tõ biÓu thøc sinA.sinB trong gi¶ thiÕt, ta thu ®îc cos(A - B) V× sinA.sinB = 1 [cos(A - B) - cos(A + B)] Toµn bé gi¶ thiÕt 2 kh«ng thÓ biÕn ®æi ®Ó lµm xuÊt hiÖn sin(A - B) ® îc Tõ ®ã ta cã ®îc c¸ch gi¶i bµi to¸n §Ó lµm xuÊt hiÖn liªn tëng, cã khi ta ph¶i biÕn ®æi bµi to¸n Nãi c¸ch kh¸c, nÕu gi÷ nguyªn c¸ch ph¸t biÓu cña bµi to¸n th× kh«ng lµm xuÊt hiÖn liªn tëng, nhng biÕn ®æi chót Ýt th× lËp tøc xuÊt hiÖn mét liªn tëng cã lîi cho viÖc gi¶i nã 10 Ch¼ng h¹n, xÐt bµi to¸n: Chøng minh r»ng nÕu 0 〈 a 〈 b 〈 π th×: 2 b−a b−a (*) 〈 tan b − tan a 〈 2 cos a cos2 b NÕu biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh thµnh bÊt ®¼ng thøc t¬ng ®¬ng víi nã: tan b − tan a 1 1 〈 〈 2 b−a cos a cos2 b Th× cã thÓ liªn tëng ®Õn ®Þnh lý Lagrange, nhê ®ã cã thÓ gi¶i ®îc bµi to¸n b»ng c¸ch: XÐt hµm sè f(x) = tanx trªn [a,b], trªn ®o¹n nµy hµm sè liªn tôc vµ cã ®¹o hµm, do ®ã theo ®Þnh lý Lagrange th× tån t¹i mét sè c ∈ (a,b) mµ (*) ⇔ f ′( c ) = ⇔ f ( b) − f ( a) b−a tan b − tan a 1 π = v× 0 〈 a 〈 c 〈 b 〈 nªn 0 〈 cos b 〈 cos c 〈 cos a 2 b−a cos c 2 1 1 1 〈 〈 2 2 cos a cos c cos 2 b Tõ ®ã rót ra ®iÒu ph¶i chøng minh Nh vËy, n¨ng lùc huy ®éng vµ liªn tëng kiÕn thøc lµ rÊt quan träng trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi to¸n Gi¸o viªn cÇn ®Æc biÖt chó ý ph¸t triÓn n¨ng lùc nµy cho häc sinh, gióp c¸c em cã kh¶ n¨ng ®éc lËp gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n 1.3 Ho¹t ®éng trÝ tuÖ cña häc sinh trong häc tËp m«n To¸n Qu¸ tr×nh t duy kh«ng n¶y sinh nÕu ®Ó gi¶i quyÕt nhiÖm vô nhËn thøc (tr¶ lêi c©u hái, gi¶i bµi tËp), häc sinh chØ vËn dông mét c¸ch m¸y mãc, tù ®éng nh÷ng kiÕn thøc cã s½n, nhng qu¸ tr×nh t duy còng kh«ng n¶y sinh nÕu nh ®Ó gi¶i quyÕt ®îc nhiÖm vô, nhËn thøc ph¶i cÇn ®Õn nh÷ng kiÕn thøc mµ häc sinh cha thÓ cã ®îc T duy lµ thao t¸c lùa chän c¸c kiÕn thøc phï hîp víi néi dung vµ lo¹i h×nh nhiÖm vô nhËn thøc ®îc ®Æt ra KiÕn thøc võa lµ c¸i kÝch thÝch ban ®Çu, võa lµ ph¬ng tiÖn c¬ b¶n, võa lµ kÕt qu¶ cuèi cïng cña qu¸ tr×nh t duy, kiÕn thøc ®îc nãi tíi ë ®©y bao hµm trong nã cã c¶ mÆt khèi lîng lÉn c¸c mÆt kh¸c nh tÝnh hÖ thèng, tÝnh chÝnh x¸c, tÝnh s©u s¾c ⇒ 85 2.3 KÕt luËn ch¬ng 2 Néi dung chñ yÕu cña ch¬ng nµy ®Ò cËp 5 ®Þnh híng ®Ó x©y dùng 4 biÖn ph¸p s ph¹m nh»m gãp phÇn rÌn luyÖn kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc §Ó ®i tíi c¸c biÖn ph¸p ®ã, luËn v¨n ®· vËn dông tæng hîp c¸c c¬ së lÝ luËn vµ thùc tiÔn cña t©m lÝ häc, gi¸o dôc häc vµ ph¬ng ph¸p d¹y häc bé m«n C¸c biÖn ph¸p chó träng viÖc x©y dùng bµi to¸n gèc, rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t duy cña ho¹t ®éng trÝ tuÖ trong häc tËp m«n To¸n th«ng qua sù liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc C¸c biÖn ph¸p ®· ®îc hiÖn thùc ho¸ mét c¸ch cô thÓ vµ cã ý nghÜa trong nh÷ng ®iÒu kiÖn thùc tÕ cña qu¸ tr×nh d¹y häc, nh»m gãp phÇn rÌn luyÖn kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc cho häc sinh THPT trong qu¸ tr×nh d¹y häc §¹i sè vµ Gi¶i tÝch Ch¬ng 3 Thùc nghiÖm s ph¹m 3.1 Môc ®Ých thùc nghiÖm Thùc nghiÖm s ph¹m ®îc tiÕn hµnh nh»m môc ®Ých kiÓm nghiÖm tÝnh kh¶ thi, tÝnh hiÖu qu¶ cña nh÷ng biÖn ph¸p s ph¹m ®· ®Ò xuÊt 3.2 Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm 3.2.1 Tæ chøc thùc nghiÖm Thùc nghiÖm tiÕn hµnh trong hai ®ît: §ît 1: §îc tiÕn hµnh tõ ngµy 25/8/2008 ®Õn ngµy 10/10/2008 Líp thùc nghiÖm lµ líp 12C1 86 Líp ®èi chøng lµ líp 12C3 C¶ hai líp nµy ®Òu thuéc trêng THPT Sµo Nam - Nam §µn Gi¸o viªn d¹y líp thùc nghiÖm lµ thÇy gi¸o NguyÔn TuÊn Hïng Gi¸o viªn d¹y líp ®èi chøng lµ c« gi¸o NguyÔn Thu H¬ng §ît 2: §îc tiÕn hµnh trong kho¶ng tõ ngµy 01/10/2008 ®Õn ngµy 15/11/2008 Líp thùc nghiÖm lµ líp 11C1 Líp ®èi chøng lµ líp 11C4 C¶ hai líp nµy ®Òu thuéc trêng THPT Sµo Nam_Nam §µn Gi¸o viªn d¹y líp thùc nghiÖm lµ thÇy gi¸o NguyÔn TuÊn Hïng Gi¸o viªn d¹y líp ®èi chøng lµ c« gi¸o Bïi ThÞ Nhung ViÖc lùa chän cÆp líp thùc nghiÖm - ®èi chøng ë ®ît thùc nghiÖm thø nhÊt ®îc tr¶i qua c¸c giai ®o¹n §îc sù ®ång ý cña tæ trëng, c¸c thÇy c« gi¸o trong tæ m«n To¸n vµ Ban Gi¸m HiÖu trêng THPT Sµo Nam Chóng t«i ®· t×m hiÓu kÕt qu¶ häc tËp cña toµn khèi 12 cña trêng vµ nhËn thÊy: Tr×nh ®é chung vÒ m«n To¸n cña häc sinh hai líp 12C1 vµ 12C3 lµ t¬ng ®¬ng Trªn c¬ së ®ã, chóng t«i ®Ò xuÊt ®îc thùc nghiÖm t¹i líp 12C 1 vµ lÊy líp 12C3 lµm líp ®èi chøng Tæ trëng, c¸c gi¸o viªn trong tæ to¸n vµ BGH trêng THPT Sµo Nam ®· chÊp thuËn ®Ò xuÊt nµy vµ t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho chóng t«i tiÕn hµnh thùc nghiÖm ViÖc lùa chän cÆp líp thùc nghiÖm - ®èi chøng ë ®ît thùc nghiÖm thø hai còng ®îc sù ®ång ý cña BGH trêng THPT Sµo Nam vµ sù phèi hîp céng t¸c cña c¸c thÇy c« gi¸o trong tæ m«n To¸n 3.2.2 Néi dung thùc nghiÖm Vµo thêi ®iÓm tiÕn hµnh ®ît thùc nghiÖm thø nhÊt cã 2 cuèn s¸ch gi¸o khoa Gi¶i tÝch 12 (Ban c¬ b¶n vµ n©ng cao) Theo quy ®Þnh cña Bé Gi¸o Dôc vµ §µo T¹o, mçi trêng trong toµn quèc cã thÓ sö dông mét trong hai cuèn s¸ch hoÆc c¶ hai cuèn s¸ch tuú thuéc vµo chÊt lîng ®µo t¹o cña nhµ trêng Trêng THPT Sµo Nam lùa chän gi¶ng d¹y theo ban c¬ b¶n cho häc sinh nªn sö dông cuèn s¸ch Gi¶i tÝch 12 cña nhãm t¸c gi¶: TrÇn V¨n H¹o, Vò TuÊn, Lª ThÞ Thiªn H¬ng, NguyÔn TiÕn Tµi, CÊn V¨n TuÊt Vµo thêi ®iÓm tiÕn hµnh ®ît thùc nghiÖm thø hai, thùc nghiÖm vµ ®èi chøng theo ch¬ng tr×nh líp 11, sö dông cuèn s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch líp 11 87 do nhãm t¸c gi¶: TrÇn V¨n H¹o,Vò TuÊn, §µo Ngäc Nam, Lª V¨n TiÕn, Vò ViÕt Yªn Hai ®ît thùc nghiÖm nµy thùc hiÖn trong thêi gian 45 ngµy, c¸c chñ ®Ò kiÕn thøc ®îc d¹y trong hai hoµn toµn kh¸c nhau Cô thÓ: §ît 1: Thùc nghiÖm tiÕn hµnh trong 20 tiÕt víi ch¬ng øng dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (ch¬ng 1 s¸ch gi¸o khoa Gi¶i tÝch 12) §ît 2: Thùc nghiÖm tiÕn hµnh trong 15 tiÕt víi ch¬ng hµm sè lîng gi¸c vµ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c (ch¬ng 1 s¸ch gi¸o khoa §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11) Trong mçi ®ît thùc nghiÖm chóng t«i cho häc sinh lµm hai bµi kiÓm tra gi÷a ch¬ng thêi gian 15 phót, cuèi ch¬ng 45 phót Sau ®©y lµ néi dung c¸c ®Ò kiÓm tra §Ò kiÓm tra sè 1 ®ît thùc nghiÖm thø nhÊt (Thêi gian 15 phót) C©u 1: Chän ®¸p ¸n ®óng trong c¸c ph¸t biÓu sau: Hµm sè f(x) = x - sinx ®ång biÕn: A Trªn kho¶ng (O; π 2 ) π B Trªn nöa kho¶ng [O; C Trªn kho¶ng (O; π π 2 ) ] D Trªn ®o¹n [O; 2 2 ] C©u 2: Chän ®¸p ¸n ®óng: Gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y = 4 − x 2 lµ: A 0 B 2 C Kh«ng tån t¹i D C¶ ba c©u trªn ®Òu sai 4 C©u 3: Hµm sè f(x) = x − 2 x 2 + 6 ®¹t cùc ®¹i t¹i: 4 A x = 0 C x = -2 B x = -2 vµ x = 2 D x = 2 §Ò kiÓm tra sè 2 ®ît thùc nghiÖm thø nhÊt (Thêi gian 45 phót) 88 C©u 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè: a y = sin4x + cos4x b y = x + 4 − x 2 C©u 2: Chøng minh r»ng trong c¸c h×nh ch÷ nhËt néi tiÕp trong ®êng trßn b¸n kÝnh R th× h×nh vu«ng lµ h×nh cã chu vi lín nhÊt C©u 3: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh x 2 + 2 x − m = 2 x −1 a Cã 1 nghiÖm b Cã 2 nghiÖm ph©n biÖt §Ò kiÓm tra sè 1 ®ît thùc nghiÖm thø hai (Thêi gian 15 phót) C©u 1: NghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 3 cos 2 x + 2 sin x cos x − 3 sin 2 x − 2 = 0 lµ: 5π + k 2π 24 5π B x = + kπ 24 5π C x = + k 2π 12 5π D x = − + kπ 24 A x = x=− ; π x=− ; π 24 24 ; x=− ; x= + kπ π 12 π 24 + k 2π + k 2π + kπ C©u 2: Chän ph¬ng ¸n ®óng trong 4 ph¬ng ¸n ®· cho trong mçi c©u sau: a 3 sin 15o + cos 15o - 2 b»ng: A 3 C 1 b sin π − 9 B 2 D 0 1 1 π 3 cos b»ng: 9 A 3 B 2 3 C 4 3 D - 2 §Ò kiÓm tra sè 2 ®ît thùc nghiÖm thø hai (Thêi gian 45 phót) 3 89 C©u 1: Cho tam gi¸c ABC chøng minh r»ng: sin 2 A B C A B C + sin 2 + sin 2 = 1 − 2 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3(sinx + cosx) + 2sin 2x +3 = 0 C©u 3: Chøng minh r»ng: sin x + sin y x+ y ≤ sin (*) 2 2 Tõ (*) ph¸t biÓu vµ chøng minh bµi to¸n tæng qu¸t ViÖc ra c¸c ®Ò kiÓm tra nh trªn hµm chøa nh÷ng dông ý s ph¹m Xin ®îc ph©n tÝch râ h¬n vÒ ®iÒu nµy, ®ång thêi lµ nh÷ng ®¸nh gi¸ s¬ bé vÒ chÊt lîng lµm bµi cña häc sinh: Tríc hÕt, tÊt c¶ c¸c c©u trong 4 ®Ò kiÓm tra kh«ng phøc t¹p vÒ mÆt tÝnh to¸n Nãi mét c¸ch kh¸c, nÕu häc sinh x¸c ®Þnh ®óng híng gi¶i th× dêng nh ch¾c ch¾n sÏ ®i ®Õn kÕt qu¶ mµ kh«ng bÞ k×m h·m bëi nh÷ng tÝnh to¸n r¾c rèi §iÒu ®ã phÇn nµo cho thÊy: C¸c ®Ò kiÓm tra thiªn vÒ viÖc “kh¶o s¸t” t duy h¬n lµ kü thuËt tÝnh to¸n MÆt kh¸c, nhiÒu c©u trong ®ã chøa ®ùng nh÷ng t×nh huèng, nÕu häc sinh cã liªn tëng tèt vµ huy ®éng cã chän läc th× viÖc gi¶i quyÕt sÏ kh«ng khã kh¨n, nhng nÕu n¨ng lùc huy ®éng kiÕn thøc víi viÖc chän läc c«ng thøc phÐp to¸n bÞ h¹n chÕ th× sÏ bÞ bÕ t¾c §èi víi ®ît thùc nghiÖm ®ît thø nhÊt: Víi ®Ò sè 1: C©u 1: Dông ý c©u nµy lµ thö xem häc sinh cã sö dông ®îc c«ng cô ®¹o hµm ®Ó xÐt tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè trªn kho¶ng ®· cho C©u 2: HÕt søc ®¬n gi¶n nÕu häc sinh n¾m v÷ng c¸ch t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè, nhê sö dông c«ng cô ®¹o hµm C©u 3: Thùc chÊt muèn thö häc sinh kh¶ n¨ng liªn tëng, huy ®éng chÝnh x¸c kh¸i niÖm hµm sè ®¹t cùc ®¹i hay ®Ó cùc ®¹i th«ng qua ph¬ng ph¸p ®¹o hµm §èi víi ®Ò sè 2 ®ît thùc nghiÖm thø nhÊt: C©u 1: Dông ý c©u nµy lµ thö xem häc sinh cã vËn dông ®îc c«ng cô ®¹o hµm khi ®øng tríc bµi to¸n tõ gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè (nÕu cha n¾m ch¾c th× sÏ khã kh¨n, nÕu n¾m ®îc th× viÖc gi¶i bµi to¸n sÏ ®¬n gi¶n) C©u 2: Víi dông ý muèn thö häc sinh kh¶ n¨ng n¾m v÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i mét bµi to¸n ®· cã thùc gi¶i, víi kh¶ n¨ng nhËn d¹ng vµ tÝnh to¸n 90 §èi víi ®ît thùc nghiÖm thø 2: C©u 1: Thùc chÊt bµi to¸n nµy ®a ra víi môc tiªu kiÓm tra xem häc sinh ®· n¾m v÷ng c¸ch chøng minh mét bµi to¸n hÖ thøc lîng trong tam gi¸c cha NÕu häc sinh kh«ng liªn tëng ®îc mèi liªn hÖ gi÷a c¸c gãc vµ kh«ng huy ®éng ®îc c¸c c«ng thøc biÕn ®æi th× viÖc gi¶i bµi to¸n gÆp khã kh¨n §©y lµ mét trong nh÷ng d¹ng to¸n häc sinh thêng gÆp khã kh¨n v× hä cßn h¹n chÕ vÒ kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc C©u 2: KiÓm tra l¹i thao t¸c nhËn biÕt vµ ph©n nhãm l¹i C©u 3: RÌn luyÖn thao t¸c kh¸i qu¸t ho¸ bµi to¸n Qua sù ph©n tÝch s¬ bé trªn ®©y cã thÓ thÊy r»ng bèn ®Ò kiÓm tra cña hai ®ît thùc nghiÖm ®· thÓ hiÖn dông ý: Kh¶o s¸t kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc cña häc sinh trong gi¶i to¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 3.3 §¸nh gi¸ vµ kÕt qu¶ thùc nghiÖm 3.3.1 §¸nh gi¸ ®Þnh tÝnh ViÖc ph©n tÝch dông ý cña bèn ®Ò kiÓm tra còng nh ®¸nh gi¸ s¬ bé kÕt qu¶ lµm bµi kiÓm tra cho thÊy r»ng: Kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc cña häc sinh cßn h¹n chÕ NhËn ®Þnh nµy cßn ®îc rót ra tõ thùc tiÔn s ph¹m cña t¸c gi¶ vµ sù tham kh¶o ý kiÕn cña rÊt nhiÒu gi¸o viªn to¸n THPT Khi qu¸ tr×nh thùc nghiÖm míi ®îc b¾t ®Çu, quan s¸t chÊt lîng tr¶ lêi c¸c c©u hái còng nh gi¶i c¸c bµi tËp, cã thÓ thÊy r»ng: Nh×n chung häc sinh líp ®èi chøng vµ ngay c¶ líp thùc nghiÖm còng ë vµo t×nh tr¹ng nh vËy Sau khi nghiªn cøu kü vµ vËn dông c¸c biÖn ph¸p ®îc x©y dùng ë ch¬ng hai vµo qu¸ tr×nh d¹y häc, c¸c gi¸o viªn d¹y thùc nghiÖm ®Òu cã ý kiÕn r»ng: Kh«ng cã trë ng¹i, khã kh¶ thi trong viÖc vËn dông c¸c biÖn ph¸p nµy; nh÷ng biÖn ph¸p ®Æc biÖt gîi ý vÒ c¸ch ®Æt c©u hái vµ c¸ch dÉn d¾t lµ hîp lý, võa søc ®èi víi häc sinh; c¸ch hái vµ c¸ch dÉn d¾t nh vËy võa kÝch thÝch ®îc tÝnh tÝch cùc, ®éc lËp cña häc sinh l¹i võa kiÓm so¸t ®îc, ng¨n chÆn ®îc nh÷ng khã kh¨n sai lÇm cã thÓ n¶y sinh, häc sinh ®îc lÜnh héi nh÷ng tri thøc ph¬ng ph¸p trong qu¸ tr×nh gi¶i quyÕt vÊn ®Ò Gi¸o viªn høng thó khi dïng c¸c biÖn ph¸p ®ã, cßn häc sinh th× häc tËp mét c¸ch tÝch cùc h¬n, nh÷ng khã kh¨n cña häc sinh ®îc chØ ra trªn ®©y gi¶m ®i rÊt nhiÒu vµ ®Æc biÖt lµ ®· h×nh thµnh cho häc sinh mét phong c¸ch t duy kh¸c tríc rÊt nhiÒu Häc sinh b¾t ®Çu ham thÝch nh÷ng d¹ng to¸n xuÊt ph¸t tõ bµi to¸n gèc thµnh chuçi c¸c bµi to¸n 3.3.2 §¸nh gi¸ ®Þnh lîng 91 KÕt qu¶ lµm bµi kiÓm tra cña häc sinh líp thùc nghiÖm vµ häc sinh líp ®èi chøng ®îc thÓ hiÖn th«ng qua c¸c b¶ng thèng kª sau ®©y: B¶ng 3.1 Líp Thùc nghiÖm: Sè HS vµ (tû lÖ %) §iÓm §èi chøng: Sè HS vµ (tû lÖ %) 0 0 (0%) 0 (0%) 1 0 (0%) 0 (0%) 2 0 (0%) 0 (0%) 3 0 (0%) 3 (5,5%) 4 2 (3,8%) 8 (14,8%) 5 4 (7,7%) 19 (35,2%) 6 7 (13,5%) 16 (31,5%) 7 21 (40,4%) 5 (9,3%) 8 13 (25%) 2 (3,7%) 9 5 (9,6%) 0 (0%) 10 0 (0%) 0 (0%) Líp TN §C §iÓm Trung b×nh 7,0 ®iÓm 5,4 ®iÓm Tû lÖ ®¹t yªu cÇu 96,2 % 79,6 % Tû lÖ ®iÓm kÐm 3,8 % 20,4 % Tû lÖ ®iÓm trung b×nh 21,2 % 66,7 % Tû lÖ ®iÓm kh¸ 65,4 % 13 % Tû lÖ ®iÓm giái 9,6 % 0% B¶ng 3.1 cho thÊy: ®iÓm trung b×nh céng; tû lÖ ®¹t yªu cÇu; tû lÖ ®¹t ®iÓm kh¸, giái ë líp thùc nghiÖm cao h¬n so víi líp ®èi chøng C©u hái ®Æt ra lµ: Cã ph¶i ph¬ng ph¸p d¹y ë líp thùc nghiÖm tèt h¬n ë líp ®èi chøng kh«ng, hay chØ 92 do ngÉu nhiªn mµ cã? Chóng ta ®Ò ra gi¶ thiÕt thèng kª H 0: “Kh«ng cã sù kh¸c nhau gi÷a hai ph¬ng ph¸p vµ sö dông ph¬ng ph¸p U nh»m b¸c bá H0” B¶ng 3.2 §iÓm sè TN XÕp h¹ng §C TN 333 §C 222 44 444444 44 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 5555 555555 555555 555555 5 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 66666 66 6666 6666 6666 6666 6 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 48,5 77777 77777 77777 77777 7 7777 7 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 73,5 88888 88888 888 88 94 94 94 94 94 94 94 94 94 94 94 94 94 94 94 99999 n1 = 52 104 104 104 104 104 n2 = 54 R1 = 3742 n (n + 1) 52 × 53 U1 = R − 1 1 = 3742 − = 2364 1 2 2 R2 = 1929 93 n (n + 1) 54 × 55 U2 = R − 2 2 = 1929 − = 498 2 2 2 n ×n 52 × 54 µ= 1 2 = = 1404 2 2 σ= U= n n (n + n + 1) 52 × 54(52 + 54 + 1) 1 2 1 2 = = 158,2 12 12 U − µ 2364 − 1404 1 = σ 158,2 Víi møc ý nghÜa α = 0,05 th× gi¸ trÞ tíi h¹n Uα = 1,64 V× 0,67 > 1,64 = Uα nªn Gi¶ thuyÕt H0 bÞ b¸c bá VËy ph¬ng ph¸p d¹y ë líp thùc nghiÖm tèt h¬n so víi ph¬ng ph¸p d¹y ë líp ®èi chøng KÕt luËn ch¬ng 3 Qu¸ tr×nh thùc nghiÖm cïng nh÷ng kÕt qu¶ rót ra sau thùc nghiÖm cho thÊy: môc ®Ých ®· ®îc hoµn thµnh, tÝnh kh¶ thi vµ hiÖu qu¶ cña c¸c biÖn ph¸p ®· ®îc kh¼ng ®Þnh Thùc hiÖn c¸c biÖn ph¸p ®ã sÏ gãp phÇn rÌn luyÖn kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc cho häc sinh THPT trong d¹y häc §¹i sè vµ Gi¶i tÝch, ®ång thêi gãp phÇn quan träng vµo viÖc n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc ë trêng THPT 94 KÕt luËn LuËn v¨n ®· thu ®îc nh÷ng kÕt qu¶ chÝnh sau ®©y: 1 §· hÖ thèng ho¸ c¸c quan ®iÓm vÒ liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc cña c¸c t¸c gi¶ 2 §· lµm s¸ng tá ®îc vai trß cña liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc trong to¸n häc nãi chung vµ d¹y häc §¹i sè vµ Gi¶i thÝch nãi riªng 3 PhÇn nµo lµm s¸ng tá thùc tr¹ng cña häc sinh vÒ kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc trong häc tËp §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 4 LuËn v¨n ®· ®Ò xuÊt ®îc mét sè biÖn ph¸p s ph¹m trong d¹y häc §¹i sè vµ Gi¶i tÝch nh»m gãp phÇn rÌn luyÖn kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc ®Ó n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc m«n to¸n ë trêng THPT 5 §· tæ chøc thùc nghiÖm s ph¹m ®Ó minh ho¹ tÝnh kh¶ thi vµ tÝnh hiÖu qu¶ cña nh÷ng biÖn ph¸p ®· ®Ò xuÊt Nh vËy, cã thÓ kh¼ng ®Þnh r»ng môc ®Ých nghiªn cøu ®· ®îc thùc hiÖn NhiÖm vô nghiªn cøu ®· hoµn thµnh vµ gi¶ thuyÕt khoa häc lµ chÊp nhËn ®îc Tµi liÖu tham kh¶o 1 G.Polya (1997), Gi¶i bµi to¸n nh thÕ nµo, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 95 2 G.Polya (1999), S¸ng t¹o to¸n häc, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 3 G.Polya (2000),To¸n häc vµ nh÷ng suy luËn cã lý, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 4 Hoµng Chóng (1997), Ph¬ng ph¸p d¹y häc To¸n häc ë trêng PTTH c¬ së, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 5 Do·n Minh Cêng (chñ biªn), NguyÔn H¾c H¶i, NguyÔn §øc Hoµng, §ç §øc Th¸i, Phan Do·n Tho¹i (2003), To¸n «n thi ®¹i häc, tËp 2, Gi¶i tÝch, Nxb S Ph¹m Hµ Néi 6 Phan V¨n §øc, §ç Quang Minh, NguyÔn Thanh S¬n, Lª V¨n Trêng (2002), KiÕn thøc c¬ b¶n §¹i sè 10, Nxb §¹i häc Quèc gia, TP HCM 7 NguyÔn Huy §oan (chñ biªn), NguyÔn Xu©n Liªm, NguyÔn Kh¾c Minh, §oµn Quúnh, Ng« Xu©n S¬n, §Æng Hïng Th¾ng, Lu Xu©n T×nh (2007), Bµi tËp §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 n©ng cao, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 8 TrÇn V¨n H¹o (chñ biªn), NguyÔn Cam, NguyÔn Méng Hy, TrÇn §øc Huyªn, Cam Duy LÔ, NguyÔn Sinh Nguyªn, NguyÔn Vò Thµnh (2001), Chuyªn ®Ò luyÖn thi ®¹i häc §¹i sè, Nxb Gi¸o dôc, TP HCM 9 TrÇn V¨n H¹o (tæng chñ biªn), Vò TuÊn (chñ biªn), §µo Ngäc Nam, Lª V¨n TiÕn, Vò ViÕt Yªn (2007), §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 10 TrÇn V¨n H¹o (tæng chñ biªn), Vò TuÊn (chñ biªn), Do·n Minh Cêng, §ç M¹nh Hïng, NguyÔn TiÕn Tµi (2006), §¹i sè 10, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 11 TrÇn V¨n H¹o (tæng chñ biªn), Vò TuÊn (chñ biªn), §µo Ngäc Nam, Lª V¨n TiÕn, Vò ViÕt Yªn (2007), §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, S¸ch gi¸o viªn, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 12 TrÇn V¨n H¹o (tæng chñ biªn), Vò TuÊn (chñ biªn), Lª ThÞ Thiªn H¬ng, NguyÔn TiÕn Tµi, CÊn V¨n TuÊt (2008), Gi¶i tÝch 12, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 13 TrÇn V¨n H¹o (chñ biªn), NguyÔn Cam, NguyÔn Méng Hy, TrÇn §øc Huyªn, Cam Duy LÔ, NguyÔn Sinh Nguyªn, NguyÔn Vò Thanh (2004), Chuyªn ®Ò luyÖn thi vµo ®¹i häc Lîng gi¸c, Nxb §¹i häc Quèc gia, Hµ Néi 14 Ph¹m V¨n Hoµn (chñ biªn), NguyÔn Gia Cèc, TrÇn Thóc Tr×nh (1981), Gi¸o dôc häc m«n To¸n, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 15 NguyÔn M¹nh Hïng (chñ biªn) (2003), Híng dÉn «n luyÖn thi m«n To¸n, tËp 1, §¹i sè vµ Lîng gi¸c, Nxb §¹i häc Quèc gia, Hµ Néi 16 §Æng Thµnh Hng (2005), T¬ng t¸c ho¹t ®éng thÇy - trß trªn líp häc, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 96 17 NguyÔn Th¸i HoÌ (1997), RÌn luyÖn t duy qua viÖc gi¶i bµi tËp to¸n, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 18 NguyÔn Phô Hy (chñ biªn), NguyÔn ThÞ Trang, TrÇn Träng Nguyªn (1999), Gi¶ng d¹y tÝch ph©n trong ch¬ng tr×nh To¸n 12, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 19 Phan Huy Kh¶i (1998), 500 bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc, Nxb §¹i häc Quèc gia, Hµ Néi 20 NguyÔn B¸ Kim (2004), Ph¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n, Nxb S ph¹m, Hµ Néi 21 TrÇn Thµnh Minh, TrÇn Quang NghÜa, L©m V¨n TriÖu, D¬ng Quèc TuÊn (2003), Gi¶i to¸n lîng gi¸c, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 22 NguyÔn H÷u Ngäc (2007), C¸c d¹ng to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 23 Phan Träng Ngä (chñ biªn), D¬ng DiÖu Hoa, NguyÔn Lan Anh (2001), T©m lý häc trÝ tuÖ, Nxb §¹i häc Quèc gia, Hµ Néi 24 NguyÔn V¨n ThuËn (2004), Gãp phÇn Ph¸t triÓn n¨ng lùc tuy duy logic vµ sö dông chÝnh x¸c ng«n ng÷ To¸n häc cho häc sinh ®Çu cÊp THPT trong d¹y häc §¹i sè, LuËn ¸n tiÕn sÜ, §¹i häc Vinh 25 Vò TuÊn (chñ biªn), TrÇn V¨n H¹o, §µo Ngäc Tam, Lª V¨n TiÕn, Vò ViÕt Yªn (2007), Bµi tËp §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 26 Vò TuÊn (chñ biªn), Do·n Minh Cêng, TrÇn V¨n H¹o, §ç M¹nh Hïng, Ph¹m Phu, NguyÔn TiÕn Tµi (2006), Bµi tËp §¹i sè 10, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 27 §oµn Quúnh (tæng chñ biªn), NguyÔn Huy §oan (chñ biªn), NguyÔn Xu©n Liªm, §Æng Hïng Th¾ng, TrÇn V¨n Vu«ng (2006), §¹i sè 10 n©ng cao, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 28 §oµn Quúnh (tæng chñ biªn), NguyÔn Huy §oan (chñ biªn), NguyÔn Xu©n Liªm, NguyÔn Kh¾c Minh, §Æng Hïng Th¾ng (2007), §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 n©ng cao s¸ch gi¸o viªn, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 29 §oµn Quúnh (tæng chñ biªn), NguyÔn Huy §oan (chñ biªn), TrÇn Ph¬ng Dung, NguyÔn Xu©n Liªm, §Æng Hïng Th¾ng (2008), Gi¶i tÝch 12 n©ng cao, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi 97 Quy íc vÒ c¸c ch÷ viÕt t¾t sö dông trong luËn v¨n ViÕt t¾t GQV§ : THPT: HS: GTLN: GTNN: B§T: §PCM: SGK: BGH: TN: §C: CT: Nxb: PH: STT: TP HCM: ViÕt ®Çy ®ñ Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò Trung häc phæ th«ng Häc sinh Gi¸ trÞ lín nhÊt Gi¸ trÞ nhá nhÊt BÊt ®¼ng thøc §iÒu ph¶i chøng minh S¸ch gi¸o khoa Bam gi¸m hiÖu Thùc nghiÖm §èi chøng C«ng thøc Nhµ xuÊt b¶n Ph¸t hiÖn Sè thø tù Thµnh phè Hå ChÝ Minh 98 Môc lôc Më ®Çu 1 1 Lý do chän ®Ò tµi 1 2 Môc ®Ých nghiªn cøu 1 3 NhiÖm vô nghiªn cøu 2 4 Gi¶ thuyÕt khoa häc .2 5 Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu .2 6 CÊu tróc luËn v¨n 2 Ch¬ng 1: C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn 3 1.1 Liªn tëng 3 1.1.1 Kh¸i niÖm liªn tëng .3 1.1.2 Vai trß cña liªn tëng díi gãc ®é t©m lý häc 3 1.1.3 Liªn tëng trong To¸n häc 4 1.1.4 Vai trß cña liªn tëng trong d¹y häc To¸n 7 1.2 Huy ®éng kiÕn thøc 9 1.2.1 Kh¸i niÖm huy ®éng kiÕn thøc 9 1.2.2 Vai trß cña huy ®éng kiÕn thøc trong d¹y häc To¸n 9 1.3 Ho¹t ®éng trÝ tuÖ cña häc sinh trong häc tËp m«n To¸n 12 1.4 §«i nÐt thùc tr¹ng vÒ kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc cña häc sinh 16 1.5 Liªn hÖ víi PhÐp duy vËt biÖn chøng .19 KÕt luËn ch¬ng 1 23 Ch¬ng 2: Gãp phÇn rÌn luyÖn cho häc sinh THPT kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc trong d¹y häc §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 24 2.1 C¸c ®Þnh híng x©y dùng vµ thùc hiÖn c¸c biÖn ph¸p s ph¹m 24 2.2 Mét sè biÖn ph¸p s ph¹m nh»m gãp phÇn rÌn luyÖn cho häc sinh THPT kh¶ n¨ng liªn tëng vµ huy ®éng kiÕn thøc trong d¹y häc §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 24 99 2.2.1 BiÖn ph¸p 1: Trong qu¸ tr×nh truyÒn thô kiÕn thøc To¸n häc cho häc sinh, cÇn nhÊn m¹nh kh¶ n¨ng øng dông cña nã b»ng viÖc lùa chän mét hÖ thèng bµi tËp phï hîp ®Ó häc sinh thÊy ®îc mèi liªn quan gi÷a c¸c néi dung To¸n häc 24 2.2.2 BiÖn ph¸p 2: Chó träng tÝnh gi¶i quyÕt vÊn ®Ò trong qu¸ tr×nh rÌn luyÖn kh¶ n¨ng liªn tëng, huy ®éng kiÕn thøc cña häc sinh trªn c¬ së vËn dông c¸c cÊp ®é cña d¹y häc ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò trong nh÷ng t×nh huèng phï hîp 44 2.2.3 BiÖn ph¸p 3: Khai th¸c hîp lý hÖ thèng c¸c bµi to¸n gèc ®Ó lµm ®iÓm tùa t×m ph¬ng híng gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n míi 59 2.2.4 BiÖn ph¸p 4: Chó träng viÖc rÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng kh¸i qu¸t ho¸, ®Æc biÖt ho¸ vµ t¬ng tù trong d¹y häc To¸n nãi chung, d¹y häc §¹i sè vµ Gi¶i tÝch nãi riªng 74 2.3 KÕt luËn ch¬ng 2 92 Ch¬ng 3: Thùc nghiÖm s ph¹m 93 3.1 Môc ®Ých thùc nghiÖm 93 3.2 Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm 93 3.2.1 Tæ chøc thùc nghiÖm .93 3.2.2 Néi dung thùc nghiÖm 94 3.3 §¸nh gi¸ vµ kÕt qu¶ thùc nghiÖm 98 3.3.1 §¸nh gi¸ ®Þnh tÝnh 98 3.3.2 §¸nh gi¸ ®Þnh lîng .99 KÕt luËn ch¬ng 3 102 KÕt luËn 103 Tµi liÖu tham kh¶o 104 ... sinh khả liên tởng huy động kiến thức dạy học Đại số Giải tích phù hợp với thực trạng cần thiết Chơng Góp phần rèn luyện cho học sinh THPT khả liên tởng huy động kiến thức dạy học Đại số Giải tích. .. sinh THPT việc liên tởng huy động kiến thức sao? - Làm để rèn luyện cho học sinh khả liên tởng huy động kiến thức? Giả thuyết khoa học Trong dạy học Toán nói chung, dạy học Đại số Giải tích THPT. .. số Giải tích 2.2 Một số biện pháp s phạm nhằm góp phần rèn luyện khả liên tởng huy động kiến thức dạy học Đại số Giải tÝch ë trêng THPT 2.2.1 BiƯn ph¸p 1: Trong qu¸ trình truyền thụ kiến thức