Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực lựa chọn ẩn phụ để giải một số bài toán đại số và giải tích ở bậc trung học phổ thông

1 mở đầu lý chọn đề tài 1.1 Nghị Hội nghị lần thứ Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khoá VIII, 1997) khẳng định : Phải đổi phơng pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp t sáng tạo cho ngời học Luật Giáo dục nớc Cộng hoà Xà hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998) quy định: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo HS, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn 1.2 Nhận định phơng pháp dạy học Toán trờng phổ thông giai đoạn nay, nhà toán học Hoàng Tụy Nguyễn Cảnh Toàn viết: Kiến thức, t duy, tính cách ngời mục tiêu giáo dục Thế nhng, nhà trờng t tính cách bị chìm kiến thức Cách dạy phổ biến thầy đa kiến thức (khái niệm, định lý) giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, cố gắng vận dụng công thức, định lý để tính toán, để chứng minh Ta chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải toán oăm, giả tạo, chẳng giúp phát triển t mà làm cho HS thêm xa rời thực tế, mệt mỏi chán nản 1.3 Theo nhà toán học nhà s phạm tiếng G Pôlya, nhiệm vụ dạy học Toán trờng phổ thông dạy học sinh suy nghĩ Ông cho rằng, để việc dạy học có hiệu nhất, HS phải tự khám phá chừng mực đó, phần lớn nhờ tài liệu 1.4 Rất nhiều sách tham khảo cho em HS tính từ trớc tới đợc trình bày theo kiểu đề toán sau trình bày lời giải ngay, mà không giải thích cho em hiểu lại làm nh Theo chúng tôi, để sách thực ngời bạn hữu ích cho em HS nên trình bày theo lối khác, chẳng hạn nh trớc vào lời giải chi tiết nên dẫn dắt em bớc một, cố gắng làm nh đó, để em với gợi ý tìm lời giải toán Nếu trình bày theo lối áp đặt nh số tài liệu khó phát triển t cho em, mà buộc em phải nhớ cách máy móc lời giải toán cụ thể Mặc dù biết rằng, để viết đợc sách nh tác giả sách phải ngời thật tâm huyết với nghề quan tâm tới phát triển t cho hệ trẻ Có sè ý kiÕn cho r»ng kh«ng thĨ viÕt mét qun sách mà phải dẫn dắt em tìm lời giải đợc, lẽ làm nh không đủ mặt thời gian số lợng toán sách ! Thế nhng lại có trờng hợp tác giả mà viết nhiều sách tham khảo cho học sinh, số toán lời giải chúng trùng lặp nhiều? Có nên chăng, sách tham khảo nên đề cập nhiều phơng pháp học tập cho em sai lầm thờng gặp trình giải Toán Thực tế thấy, đứng trớc toán em không giải đợc, ngời giáo viên trình bày lời giải cách đờng đột mà không đề cập đến phơng pháp giải, sau thời gian ngắn thôi, em học sinh bắt gặp lại toán hay toán tơng tự, em bế tắc 1.5 Khó khăn lớn giải toán phơng pháp đặt ẩn phụ việc lựa chọn biểu thức để gán ẩn phụ cho nó, khó khăn việc tìm điều kiện xác định ẩn phụ Nhiều em học sinh quên tìm sai điều kiện xác định ẩn phụ, dẫn đến kết sai Ví dụ, giải toán: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x ”, mét số em giải nh sau: đặt t = sin x ⇒ cos x = − t , toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè y = −t + t + Sau em kết luận không tồn giá trị nhỏ ( t + t + 1) = −∞ Do vËy, ®Ị cập đến toán lim t cần thiết phải đặt ẩn phụ để giải, ngời giáo viên cần giúp học sinh ghi nhớ bớc thiếu trình giải Toán, tuỳ thuộc vào toán, lựa chọn ẩn phụ cho thích hợp, tìm điều kiện xác định ẩn phụ, giải toán ẩn điều kiện xác định Lu ý câu trả lời chung để trả lời cho câu hỏi: Đối với toán ta nên đặt ẩn phụ, đặt nh ? Tuy nhiên, tuỳ toán cụ thể ta trả lời đợc phần câu hỏi Vì lý trên, chọn đề tài : Góp phần rèn luyện cho học sinh lực lựa chọn ẩn phụ để giải số toán Đại số Giải tích bậc Trung học phổ thông MụC ĐíCH NGHIÊN CứU Mục đích nghiên cứu khoá luận nghiên cứu để xác định dấu hiệu đặc trng dạng toán, toán để từ giúp cho HS khả lựa chọn cách đặt ẩn phụ hợp lý, đồng thời từ góp phần phát triển lực cho học sinh Giả thuyết khoa học Nếu thờng xuyên quan tâm mức đến việc rèn luyện lực giải Toán sở xây dựng phơng pháp sử dụng quy trình giải Toán Đại số Giải tích cách đặt ẩn phụ, giúp HS nắm vững kiến thức dạng toán phát triển lực tìm tòi lời giải toán, đồng thời góp phần nâng cao chất lợng dạy học Toán trờng phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng sở lý luận việc rèn luyện lực giải Toán - Xây dựng hệ thống phơng pháp đặt ẩn phụ để giải toán chơng trình THPT - Tiến hành thực nghiệm Phơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu vấn đề có liên quan đến nội dung Khoá luận nh tâm lý học, giáo dục học, phơng pháp dạy học môn Toán, sách, báo có nội dung liên quan đến đề tài với giảng quý báu Thầy, Cô giáo 5.2 Điều tra quan sát: Vấn đề dạy học việc giải toán cách đặt ẩn phụ Những khó khăn học tập vận dụng phơng pháp đặt ẩn phụ vào việc giải toán 5.3 Thực nghiệm s phạm: Tất nhng nội dung Khoá luận đợc đúc rút trình học tập, gia s thực tập s phạm Trờng THPT Lê Hữu Trác I tác giả Đóng góp khoá luận Khoá luận đà góp phần làm sáng tỏ thêm số khía cạnh khái niệm lực toán học; đà phân tích tơng đối cụ thể tình liên quan đến phép đặt ẩn phụ giải Toán Đại số Giải tích Đặc biệt, đà trọng đến pha dẫn dắt theo tinh thần phát huy suy nghĩ HS nhằm thực hoá trình dạy học Cấu trúc khoá luận Phần mở đầu Chơng I Cơ sở lý luận Chơng II Góp phần rèn luyện cho học sinh lực lựa chọn ẩn phụ để giải toán Đại số Giải tích bậc THPT Chơng III Thực nghiệm s phạm Kết luận Tài liệu tham khảo Chơng I Cơ sở lý luận 1.1 Khái niệm lực Kết nghiên cứu công trình tâm lý học giáo dục học cho thấy, từ tảng khả ban đầu, trẻ em bớc vào hoạt động Qua trình hoạt động mà dần hình thành cho tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cần thiết ngày phong phú, từ nảy sinh khả với mức độ cao Đến lúc đó, trẻ em đủ khả bên để giải hoạt động yêu cầu khác xuất học tập sống lúc học sinh có đợc lực định Dới số cách hiểu lực: +) Định nghĩa 1: Năng lực phẩm chất tâm lý tạo cho ngời khả hoàn thành loại hoạt động với chất lợng cao [56] +) Định nghĩa 2: Năng lực tổ hợp đặc điểm tâm lý ngời, đáp ứng đợc yêu cầu hoạt động định điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết số hoạt động [1] +) Định nghĩa 3: Năng lực đặc điểm cá nhân ngời đáp ứng yêu cầu loại hoạt động định điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc số loại hoạt động (Dẫn theo [2]) Nh vậy, ba định nghĩa có điểm chung là: lực nảy sinh quan sát đợc hoạt động giải yêu cầu mẻ, gắn liền với tính sáng tạo, có khác mức độ (định nghĩa gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc) Mọi lực ngời đợc biểu lộ tiêu chí nh tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo độc đáo giải nhiệm vụ Phần lớn công trình nghiên cứu tâm lý học giáo dục học thừa nhận ngời có lực khác có tố chất riêng, tức thừa nhận tồn tố chất tự nhiên cá nhân thuận lợi cho hình thành phát triển lực khác 1.2 Khái niệm lực toán học Theo V A Krutecxki [33, tr 13] lực toán học đợc hiểu theo ý nghĩa, mức độ: Một là, theo ý nghĩa lực học tập (tái tạo) tức lực việc học Toán, việc nắm giáo trình Toán học trờng phổ thông, nắm cách nhanh tốt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tơng ứng Hai là, theo ý nghĩa lực sáng tạo (khoa học), tức lực hoạt động sáng tạo Toán học, tạo kết mới, khách quan có giá trị lớn xà hội loài ngời Giữa hai mức độ hoạt động toán học ngăn cách tuyệt đối Nói đến lực học tập Toán không đề cập tới lực sáng tạo Có nhiều em HS có lực, đà nắm giáo trình Toán học cách độc lập sáng tạo, đà tự đặt giải toán không phức tạp lắm; đà tự tìm đờng, phơng pháp sáng tạo để chứng minh định lý, độc lập suy công thức, tự tìm phơng pháp giải độc đáo toán không mẫu mực Với mức độ HS trung bình khá, Khoá luận chủ yếu tiếp cận NLTH theo góc độ thứ (năng lực học Toán) Sau số định nghĩa NLTH: Định nghĩa 1: Năng lực học tập Toán học đặc điểm tâm lý cá nhân (trớc hết đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học giúp cho việc nắm giáo trình Toán cách sáng tạo, giúp cho việc nắm cách tơng đối nhanh, dễ dàng sâu sắc kiến thức, kỹ kỹ xảo toán học [33, tr 14] Định nghĩa 2: Những lực học Toán đợc hiểu đặc điểm tâm lý cá nhân (trớc hết đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học, điều kiện vững nh nguyên nhân thành công việc nắm vững cách sáng tạo Toán học với t cách môn học, đặc biệt nắm vững tơng đối nhanh, dễ dàng sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo lĩnh vực Toán học [26, tr 126] Nói đến HS có lực toán học nói đến HS có trí thông minh việc học Toán Tất HS có khả phải nắm đợc chơng trình trung học, nhng khả khác từ HS qua HS khác Các khả cố định, không thay đổi: Các lực thành bất biến mà hình thành phát triển trình học tập, luyện tập để nắm đợc hoạt động tơng ứng Vì vậy, cần nghiên cứu để nắm đợc chất lực đờng hình thành, phát triển, hoàn thiện lực Tuy nhiên, ngời có khác mức độ NLTH Do vậy, dạy học Toán, vấn đề quan trọng chọn lựa nội dung phơng pháp thích hợp để cho đối tợng HS đợc nâng cao dần mặt NLTH Về vấn đề nhà Toán học X«viÕt nỉi tiÕng, ViƯn sÜ A N K«lm«g«r«v cho r»ng: Năng lực bình thờng HS trung học đủ em tiếp thu, nắm đợc Toán häc trêng trung häc víi sù híng dÉn tèt thầy giáo hay với sách tốt 1.3 Cấu trúc lực toán học học sinh Để vạch cấu trúc lực học toán học sinh có công trình nghiên cứu tâm lý học đợc tiến hành công phu, đặc biệt công trình V A Krutecxki – nguyªn Phã ViƯn trëng ViƯn nghiªn cøu Tâm lý học thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô trớc đây, đà nghiên cứu tâm lý lực toán học với công trình đồ sộ Tâm lý lực toán học Luận án Tiến sĩ ông đợc Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá cao Công trình kết việc nghiên cứu lý luận thực tiễn, có tiến hành thực nghiệm công phu, đợc tiến hành từ năm 1955 đến 1968 Ông đà nghiên cứu sâu sắc mặt lý luận, tham khảo 747 tài liệu nớc Về mặt thực tiễn: Ông đà quan sát tự nhiên; theo dõi phát triển HS có khiếu Toán; thực nghiệm 157 HS giỏi, trung bình kém; nghiên cứu tình trạng học tập (qua tài liệu) môn khoảng 1000 HS từ lớp VII đến lớp X; tiến hành tọa đàm với 62 giáo viên dạy Toán; vấn giấy 56 giáo viên Toán; vấn giấy 21 nhà Toán học; nghiên cứu phân tích tiểu sử 84 nhà toán häc vµ vËt lý häc nỉi tiÕng vµ ngoµi nớc Chính độ tin cậy kết luận khoa học V A Krutecxki nên Khoá luận kế thừa kết điểm tựa quan trọng sở khoa học đề tài Kết chủ yếu quan trọng Ông đà cấu trúc lực toán học học sinh bao gồm thành phần sau (dựa theo quan điểm Lý thuyết thông tin): 1.3.1 Về mặt thu nhận thông tin toán học 10 Đó lực tri giác hình thức hoá tài liệu Toán học, lực nắm cấu trúc hình thức toán 1.3.2 Về mặt chế biến thông tin toán học 1) Năng lực t lôgic lĩnh vực quan hệ số lợng không gian, hệ thống ký hiệu số dấu Năng lực t ký hiệu toán học; 2) Năng lực khái quát hóa nhanh rộng đối tợng, quan hệ toán học phép toán; 3) Năng lực rút gọn trình suy luận toán học hệ thống phép toán tơng ứng Năng lực t cấu trúc rút gọn; 4) Tính linh hoạt trình t hoạt động toán học; 5) Khuynh hớng vơn tới tính rõ ràng đơn giản, tiết kiệm, hợp lý lời giải; 6) Năng lực nhanh chóng dễ dàng sửa lại phơng hớng trình t duy, lực chuyển từ tiến trình t thuận sang tiến trình t đảo (trong suy luận toán học) 1.3.3 Về mặt lu trữ thông tin toán học TrÝ nhí to¸n häc (trÝ nhí kh¸i qu¸t vỊ c¸c: quan hệ toán học; đặc điểm loại; sơ đồ suy luận chứng minh; phơng pháp giải toán; nguyên tắc, đờng lối giải toán) 1.3.4 Về thành phần tổng hợp khái quát Khuynh hớng toán học trí tuệ Các thành phần nêu có quan hệ mật thiết lẫn nhau, ảnh hởng lẫn hợp thành hệ thống định nghĩa cấu trúc toàn vẹn lực toán học Sơ đồ triển khai cấu trúc NLTH đợc biểu thị công thức khác, cô đọng hơn: Năng lực toán học đợc ®Ỉc tr- 103 * BiÕn ®ỉi biĨu thøc díi dÊu tích phân dạng f (cos x).(cos x)' * Từ hÃy lựa chọn cách sin xdx sin x(cos x) ' −(1 − cos x)(cos x) ' = = * + cos x + cos x + cos x * Đặt t = cos x dt = − sin xdx sin x = − cos x = t đặt Èn phơ * §ỉi cËn : x = ⇒ t = 1, x = * Thùc hiƯn bíc ®ỉi cËn? π cho? sin xdx (1 − t )(−dt ) (1 − t )dt = = ∫0 + t + cos2 x ∫1 1+ t *I = ∫ *H·y tính tích phân đà t = dt π − ∫ dt = − 1+ t 1 = 2∫ Ta thÊy r»ng theo hớng lời giải toán tự nhiên hơn, em hiểu lại đặt t = cos x cách cụ thể so với hớng thứ 2.6.3.5 Đối với tích phân có dạng R(sin x, cos x)dx , R hàm hữu tỉ mà R(sin x, cos x ) = - R(sin x, cos x ) ta đặt t = sin x VÝ dơ 49 TÝnh tÝch ph©n I = ∫ sin10 x cos3 xdx Những hoạt động chủ yếu giáo viên học sinh trình lựa chọn ẩn phụ tính tích phân: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh * Nhận xét biĨu thøc díi dÊu * Ta thÊy R(sin x, − cos x) = − R(sin x, cos x) tÝch ph©n, lựa chọn cách nên ta đặt t = sin x dt = cos xdx , đặt ẩn phụ: cos x = − sin x = − t * §ỉi cËn: x = ⇒ t = 0, x = * §ỉi cËn tÝnh tÝch ph©n? π ⇒ t = 104 Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên * Tính tích phân đà cho? 10 * I = ∫ sin x cos xdx = ∫ t (1 − t )dt 10 0  t 11 t 13  = − ÷ =  11 13  143 T¬ng tù nh trên, toán này, giáo viên dẫn dắt cách khác nh sau: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh * Biến ®ỉi biĨu thøc díi dÊu *Ta cã: sin10 x cos3 = sin10 x(1 − sin x)(sin x)' tÝch phân dạng f (sin x).(sin x)' * Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx cos x = − sin x = − t * Tõ ®ã h·y lùa chọn cách đặt ẩn phụ * Đổi cận tính tích phân? * Tính tích phân đà cho? * Đổi cận: x = ⇒ t = 0, x = π π ⇒ t = 10 * I = ∫ sin x cos xdx = ∫ t (1 − t )dt 10 0  t 11 t 13  = − ÷ =  11 13  143 2.6.3.6 §èi với tích phân có dạng R(sin x, cos x)dx , R hàm hữu tỉ mà R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x ) ta đặt t = tan t (hoặc t = cot x ) π VÝ dô 50 TÝnh tÝch ph©n I = ∫ dx cos x 3sin x Những hoạt động chủ yếu giáo viên học sinh trình lựa chọn ẩn phụ tính tích phân: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh * NhËn xÐt biĨu thøc díi * R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x ) nªn ta đặt: 105 dấu tích phân, lựa chọn cách đặt Hoạt động giáo viên ẩn phụ Hoạt động häc sinh dx t = tan x ⇒ dt = cos x * §ỉi cËn tÝnh π tÝch * §ỉi cËn: x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = ph©n? π * I= * Tính tích phân đà cho? π dx =− ∫ 2 cos x − 3sin x 30  t−  dt =− ∫ = − ln t2 −  24 t+  dx  sin x  cos x  − ÷  cos x  3 1 1− ÷ ÷ = − ln ÷ 24 1+ ữ Hoàn toàn tơng tự nh ví dụ trên, toán này, giáo viên dẫn dắt cách khác nh sau: Hoạt động giáo Hoạt động học sinh viên * Biến đổi biểu thức 1 1 ( tan x ) ' = = 2 díi dÊu tÝch ph©n vỊ * cos x − 3sin x cos x  − sin x ÷ − tan x  cos x  d¹ng f(tanx)(tanx)’ dx * Từ hÃy lựa chọn * Đặt t = tan x ⇒ dt = cos x c¸ch đặt ẩn phụ * Đổi cận? * Đổi cận: x = ⇒ t = 0, x = π * Tính tích phân đà dx * I = ∫0 cos x − 3sin x = − ∫0 cho?  t−  dt  =− ∫ = − ln t2 −  24 t+  π ⇒ t = dx  sin x  cos x  − ÷  cos x  3 1 1− ÷ ÷ = − ln ÷ 24 1+ ÷ 0 106 2.7 KÕt luËn chơng II Trong chơng này, Khoá luận đà đề cập đến số khó khăn, sai lầm thờng gặp học sinh THPT giải toán cách đặt ẩn phụ Chơng II sâu vào biện pháp s phạm cụ thể hoạt động giáo viên nhằm góp phần bồi dỡng lực lựa chọn ẩn phụ cho HS THPT việc giải toán Đại số Giải tích Trong phần trình bày nội dung chơng này, Khoá luận đặc biệt quan tâm hình thức dẫn dắt học sinh theo hớng tích cực hoá hoạt động ngời học phù hợp với lực học học sinh, nh»m hiƯn thùc ho¸ viƯc thùc hiƯn c¸c biƯn pháp s phạm điều kiện thực tế trình dạy học 107 Chơng III thực nghiệm s phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm s phạm đợc tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi tính hiệu việc đặt ẩn phụ giải toán mà khoá luận đà đề xuất; kiểm nghiệm tính đắn Giả thuyết khoa học 3.2 Tỉ chøc vµ néi dung thùc nghiƯm 3.2.1 Tỉ chức thực nghiệm Thực nghiệm s phạm đợc tiến hành Trờng THPT Lê Hữu Trác I, huyện Hơng Sơn, tÜnh Hµ TÜnh +) Líp thùc nghiƯm: 11A1 +) Líp đối chứng: 11A3 Cả hai lớp học Ban Khoa học tự nhiên Thời gian thực nghiệm đợc tiến hành thời gian tác giả thực tập trờng tức vào khoảng từ ngày 24 tháng 02 đến ngày 12 tháng 04 năm 2008 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Thầy giáo Nguyễn Văn Hùng Giáo viên dạy lớp đối chứng: Cô giáo Nguyễn Thị Thu Hiền Đợc đồng ý Ban Giám hiệu trờng THPT Lê Hữu Trác I, đà tìm hiểu kết học tập lớp khối 11 trờng nhận thấy trình độ chung môn Toán lớp 11A 11A3 tơng đơng Trên sở đó, đề xuất đợc thực nghiệm lớp 11A1 lấy lớp 11A3 làm lớp đối chứng Ban Giám hiệu trờng, thầy (cô) Tổ trởng tổ Toán và thầy (cô) dạy lớp 11A1 11A3 chấp nhận đề xuất tạo điều kiện thuận lợi cho tiến hành thực nghiệm 3.2.2 Nội dung thực nghiệm 108 Thực nghiệm đợc tiÕn hµnh bi chiỊu (thêi gian ngoµi giê học khoá) với nội dung sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ để toán phơng trình;hệ phơng trình; bất phơng trình; hệ bất phơng trình; chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức hàm số; tìm giới hạn hàm số Mặc dù khoá luận cã ®Ị cËp ®Õn viƯc dïng Èn phơ ®Ĩ tÝnh tích phân toán có liên quan đến hàm số mũ, lôgarit Nhng học sinh 11 cha học đến tích phân, hàm số mũ, hàm số lôgarit nên cha tiến hành thực nghiệm đợc toán liên quan đến tích phân, hàm số mũ, hàm số lôgarit Sau dạy thực nghiệm, cho HS làm kiểm tra Sau nội dung đề kiểm tra: Đề kiểm tra (Thời gian 60 phút) Câu I: Giải phơng trình a b x − x + + x − x + = (2 ®iĨm) tan x + tan x + tan x + cot x + cot x + cot x = (2 ®iĨm)  ( x + y ) (1 + xy ) =  C©u II: Giải hệ phơng trình ( x + y ) (1 + ) = 49  x2 y (2 điểm) Câu III: Với x + y = 16 Tìm giá trị lín nhÊt, nhá nhÊt cđa hµm sè sau: u = x + 3 y + (2 ®iĨm) Câu IV: Tính giới hạn sau: lim x 2x −1 + x − x −1 (2 điểm) Việc đề kiểm tra nh hàm chứa dụng ý s phạm Xin đợc phân tích rõ điều này, đồng thời đánh giá sơ chất lợng làm HS 109 Trớc hết, phải nói câu đề kiểm tra không phức tạp mặt tính toán, mục đích dừng lại việc học sinh lựa chọn đợc ẩn phụ áp dụng vào toán Nói cách khác, HS xác định hớng giải dờng nh chắn đến kết mà không bị kìm hÃm tính toán rắc rối Điều phần cho thấy, đề kiểm tra thiên việc khảo sát t duy, lực HS kỹ thuật tính toán Đối với câu I a Dụng ý câu kiểm tra xem học sinh biết dùng ẩn phụ chuyển toán phơng trình ẩn x thành hệ phơng trình nhiều ẩn Cụ thể hai ẩn Nếu u + v = đặt u = x 3x + ≥ ; v = x − 3x + Ta thu đợc hệ 2 u − v = HƯ nµy häc sinh dễ dàng tính đợc tìm kết cuối Câu I b Bài kiểm tra học sinh khả biến đổi phát ẩn phụ đặt điều kiện cho ẩn phụ t = tan x + cot x t ≥ ⇒ * tan x + cot x = t − *tan x + cot x = (tan x + cot x)3 − tan x cot x(tan x + cot x) = t 3t Chuyển sang toán tơng đơng t + t t = dễ dàng tìm đợc t suy kết Câu II Bài tơng đối đơn giản nÕu häc sinh biÕt biÕn ®ỉi mét chót 1   ( x + y ) (1 + xy ) = x + y + x + y =   ⇔  ( x + y ) (1 + ) = 49  x + y + + = 49   x2 y x2 y 110 1 Chọn phép đặt ẩn phụ u = x + x ; u ≥ v = y + y ; v ≥ Khi ®ã ta u + v = ®ỵc hƯ  2 u + v = 53 DƠ dµng tìm đợc u,v tứ suy kết Câu III Câu nhằm kiểm tra học sinh có nắm đợc phơng pháp dùng ẩn phụ để lợng giác hoá toán hay không? Thông qua dấu hiệu đặc biệt biến số có mặt toán dấu hiệu lại đợc xác định thông qua miền giá trị chúng ta có (2 x) + (3x) = 42 Nên đặt thành tìm giá 2x 3x = cos ; = sin α ; α ∈ [0; 2π ] Khi toán trở 4 trị lớn nhất, nhỏ nhÊt cđa hµm sè u = cos α + sin α + Sư dơng bÊt ®¼ng thøc quen thuéc sau: b cos α + a sin α ≤ a + b ®Ĩ chøng minh tiếp Câu IV.Bài nhằm kiểm tra học sinh lực lựa chọn ẩn phụ qua vài bíc biÕn ®ỉi Ta cã 2x −1 + x − 2x −1 −1 + x − + = x −1 x −1 u4 −1 ; v = x − ⇒ x = v Đến học Đặt u = x x = sinh cần nhớ đến công thức nhị thức Newton toán phức tạp học sinh dễ dàng tìm đợc kết 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 3.3.1 Đánh giá định tính Những khó khăn sai lầm HS có liên quan đến việc nắm kiến thức đà đợc học Việc phân tích dụng ý đề kiểm tra nh đánh giá sơ kết làm bài, thêm lần cho thấy rằng: lực mặt biến đổi, suy luận để dẫn ®Õn 111 c¸ch lùa chän Èn phơ nh»m ph¸t biĨu đợc toán tơng đơng với toán ban đầu HS hạn chế Nhận định đợc rút từ trình học tập, thực tế gia s, thực tập s phạm tác giả tham khảo ý kiến nhiều giáo viên Toán trờng THPT Khi trình thực nghiệm đợc bắt đầu, quan sát chất lợng trả lời câu hỏi nh giải tập, nhận thấy rằng: nhìn chung, HS lớp đối chứng lớp thực nghiệm vào tình trạng nh Chẳng hạn, đứng trớc toán sử dụng ẩn phụ để giải toán trở nên gọn nhẹ Tuy nhiên, HS không nhận biết đợc điều thực tế nhiều học sinh giải bình thờng cho dù toán giải cồng kềnh, HS không ý thức đợc cần thiết nên đặt ẩn phụ, nên đặt nh cho thích hợp? giải toán có dùng đến ẩn số phụ, yêu cầu ban đầu biến x đợc bê i xì để áp cho biến mà không lu ý đến quy luật tơng ứng hai biến (chẳng hạn nh, việc tìm a để phơng trình x4 + ax2 + = có nghiệm đợc HS quy về: tìm a để phơng tr×nh t2 + at + = cã nghiƯm); Với giáo viên họ ngại dạy cách dẫn dắt tĩ mỉ hoá hoạt động Dẫu biết cách dạy nhiều mang tính áp đặt Cũng vậy, mà hứng thú học tập HS có phần giảm sút HS nhiều không hiểu lại đặt đợc nh Sau nghiên cứu kỹ vận dụng phơng pháp lựa chọn ẩn phụ đợc xây dựng chơng II vào trình dạy học, giáo viên dạy thực nghiệm có ý kiến rằng: trở ngại, khó khả thi việc vận dụng phơng pháp này; biện pháp, đặc biệt gợi ý cách đặt câu hỏi cách dẫn dắt hợp lí, vừa sức HS; cách hỏi dẫn dắt nh vừa 112 kích thích đợc tính tích cực, độc lập HS lại vừa kiểm soát đợc, ngăn chặn đợc khó khăn, sai lầm nảy sinh; HS đợc lĩnh hội tri thức phơng pháp trình giải vấn đề Giáo viên hứng thú dùng biện pháp đó, HS học tập cách tích cực hơn, khó khăn sai lầm HS đợc đà giảm nhiều đặc biệt đà hình thành đợc cho HS phong cách t khác trớc nhiều HS đà bắt đầu ham thích dạng toán mà trớc họ ngại gặp phải thiếu sót sai lầm đứng trớc dạng 3.3.2 Đánh giá định lợng Kết làm kiểm tra học sinh lớp thực nghiệm (TN) học sinh lớp đối chứng (ĐC) đợc thể thông qua bảng sau: Điể m Tæn 10 Lớp g số ĐC 0 10 16 15 0 51 TN 0 0 10 25 51 Líp thùc nghiƯm: Ỹu: 2%; Trung b×nh: 29,4%; Khá: 58,8%; Giỏi: 9,8% Lớp đối chứng: Yếu: 25,5%; Trung bình: 60,8%; Khá: 13,7%; Giỏi: 0% Căn vào kết kiểm tra, bớc đầu thấy hiệu biện pháp s phạm nhằm phát triển cho HS lực lựa chọn ẩn phụ để giải toán Đại số Giải tích bậc THPT 113 3.4 KÕt ln chung vỊ thùc nghiƯm Qu¸ trình thực nghiệm với kết rút sau thực nghiệm cho thấy: -Việc dạy học phơng pháp đặt ẩn phụ để giải toán Đại số Giải tích có tác dụng rèn luyện lực giải tập Toán cho học sinh -Việc dạy học phơng pháp rèn luyện cho học sinh khả nhìn nhận toán nh cách lựa chọn phơng pháp công cụ để giải Toán cách có hiệu -Việc tổ chức dạy học có tác dụng tốt việc gây hứng thú học tập cho học sinh, tạo điều kiện phát huy tính tÝch cùc cđa häc sinh viƯc suy nghÜ t×m tòi lời giải toán Nh vậy, mục đích thực nghiệm đà đợc hoàn thành, tính khả thi hiệu biện pháp đà đợc khẳng định Thực biện pháp góp phần bồi dỡng cho học sinh THPT lực lựa chọn ẩn phụ để giải toán Đại số Giải tích bậc THPT, đồng thời góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu dạy học môn Toán Trờng THPT 114 Kết luận Qua trình nghiên cứu đề tài: Góp phần rèn luyện cho học sinh lực lựa chọn ẩn phụ để giải số toán Đại số Giải tích bậc trung học phổ thông Khoá luận đà thu đợc kết sau đây: - Đà hệ thống hoá quan điểm nhà khoa học V A Krutecxki sơ đồ cấu trúc lực toán học học sinh Khoá luận đà làm sáng tỏ lý luận việc rèn luyện lực giải tập Toán - Đà đề xuất phơng pháp đặt ẩn phụ để giải toán, dạng Toán, đồng thời phát triển lực cho HS thông qua dạy học Đại số Giải tích trờng THPT - Đà phần làm sáng tỏ thực trạng việc sử dụng ẩn phụ vào giải Toán học sinh THPT việc dự kiến đợc khó khăn học sinh, đồng thời đa đợc hoạt động chủ yếu nhằm dẫn dắt học sinh giải dạng toán dùng yếu tố phụ, nguyên nhân chủ yếu khó khăn giải dạng hạn chế mặt huy động kiến thức cũ, kĩ xác định phơng hớng giải Toán - Đà thể đợc biện pháp s phạm nhằm góp phần phát triển cho học sinh lực lựa chọn ẩn phụ để giải toán Đại số Giải tích Trờng THPT - Khoá luận đáp ứng đợc yêu cầu hoạt động đổi phơng pháp dạy học: Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t sáng tạo, linh hoạt ngời học Bồi dỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vơn lên cđa häc sinh - §· tỉ chøc thùc nghiƯm s phạm để minh họa tính khả thi và hiệu dự kiến hoạt động giáo viên đợc đề cập nhiều khoá luận 115 Nh vậy, khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu đà đợc thực hiện, Nhiệm vụ nghiên cứu đà hoàn thành Giả thuyết khoa học chấp nhận đợc Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Vĩnh Cận - Lê Thống Nhất - Phan Thanh Quang, Sai lầm phổ biến giải Toán Nxb Giáo dục, H 1996 [2] Phan Đức Chính - Vũ Dơng Thuỵ - Đào Tam - Lê Thống Nhất, Các giảng luyện thi môn Toán, Nxb Giáo dục, H 1998 [3] Hoàng Chúng, Rèn luyện khả sáng tạo Toán học Trờng phổ thông, Nxb Giáo dục, H 1969 [4] Hoàng Chúng, Phơng pháp dạy học môn Toán, Nxb Giáo dục, H 1978 [5] Lê Hồng Đức, Phơng pháp giải tự luận trắc nghiệm Toán sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ, Nxb Giáo dục, H 2007 [6] Lê Hồng Đức - Đào Thiện Khải, Sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ để giải Toán, Nxb Giáo dục, H 2004 [7] Lê Quốc Hán, ẩn sau định lý Ptôlêmê, Nxb Giáo dục, H 2006 [8] Phạm Văn Hoàn - Nguyễn Gia Cốc - Trần Thúc Trình, Giáo dục học môn Toán, Nxb Gi¸o dơc, H 1981 [9] Ngun Th¸i H, Dïng Èn phụ để giải Toán, Nxb Giáo dục, H 2002 [10] Nguyễn Thái Hoè, Rèn luyện t qua việc giải tập Toán, Nxb Giáo dục, H 2003 116 [11] Nguyễn Thái Hoè, Tìm tòi lời giải Toán ứng dụng vào việc dạy Toán - học Toán, Công ty Sách - thiết bị trờng học Nghệ Tĩnh thực 1989 [12] Hoàng Kì, Đại số sơ cÊp, Nxb Gi¸o dơc, H 2000 [13] Ngun B¸ Kim, Phơng pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học S phạm, H 2002 [14] Nguyễn Bá Kim - Đinh Nho Chơng - Nguyễn Mạnh Cảng Vũ Dơng Thuỵ - Nguyễn Văn Thờng, Phơng pháp dạy học môn Toán, phần II, Nxb Gi¸o dơc, H 1994 [15] Lt Gi¸o dơc, Nxb Chính trị Quốc gia, H 1998 [16] Trần Thành Minh - Vũ Thiện Căn - Võ Anh Dũng, Giải toán Đại số sơ cấp, Nxb Giáo dục, H 2000 [17] Pôlya G, Giải Toán nh nào?, Nxb Giáo dục, H 1997 [18] Pôlya G, Sáng tạo Toán học, Tập 1, Nxb Giáo dục, H 1975 [19] Pôlya G, Sáng tạo Toán học, Tập 3, Nxb Giáo dục, H 1976 [20] Pôlya G, Toán học suy luận có lý, Nxb Giáo dục, H 1995 [21] Trần Phơng - Lê Hồng Đức, Đại số sơ cấp, Nxb Giáo dục, H 2005 [22] Trần Phơng - Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thờng gặp sáng tạo giải Toán, Nxb Giáo dục, H 2004 [23] Nguyễn Văn Thông - Lê Hữu Dũng, Bất đẳng thức, Nxb Hồ Chí Minh, 2001 [24] Nguyễn Văn Thuận, Góp phần phát triển lực t lôgic sử dụng xác ngôn ngữ Toán học cho học sinh đầu 117 cấp Trung học phổ thông dạy học Đại số, Ln ¸n TiÕn sÜ Gi¸o dơc häc, Vinh 2004 ... trên, chọn đề tài : Góp phần rèn luyện cho học sinh lực lựa chọn ẩn phụ để giải số toán Đại số Giải tích bậc Trung học phổ thông MụC ĐíCH NGHIÊN CứU Mục đích nghiên cứu khoá luận nghiên cứu để xác... nhằm thực hoá trình dạy học Cấu trúc khoá luận Phần mở đầu Chơng I Cơ sở lý luận Chơng II Góp phần rèn luyện cho học sinh lực lựa chọn ẩn phụ để giải toán Đại số Giải tích bậc THPT Chơng III Thực... lực suy đoán, lực tìm tòi phơng pháp giải toán Đề tài Khoá luận tập trung chủ yếu vào việc góp phần bồi dỡng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc xây dựng quy trình giải số toán Đại số Giải